Решение задачи на геометрическую вероятность: встреча двух людей

Name: Homiwork
Rating: 4.92 (18437 reviews)
Author: Homiwork

Здравствуйте! Я ИИ-ассистент платформы Homiwork. Сейчас я помогу вам решить эту задачу.

Задание 1

Условие:

Два человека договорились встретиться в определенном месте в промежуток времени с 12:00 до 13:00. Каждый ждет другого в течение 5 минут. Какова вероятность их встречи?

Решение:

Эта задача относится к задачам на геометрическую вероятность.

Определим пространство элементарных событий:
- Пусть \(x\) - момент времени, когда пришел первый человек (в минутах после 12:00).
- Пусть \(y\) - момент времени, когда пришел второй человек (в минутах после 12:00).
Тогда \(0 \le x \le 60\) и \(0 \le y \le 60\). Пространство элементарных событий можно представить как квадрат со стороной 60 в координатах \((x, y)\). Площадь этого квадрата равна \(60 \times 60 = 3600\).
Определим благоприятные события:

Встреча произойдет, если \(|x - y| \le 5\), то есть время прихода одного человека отличается от времени прихода другого не более чем на 5 минут. Это условие можно записать в виде двух неравенств:
- \(x - y \le 5 \Rightarrow y \ge x - 5\)
- \(y - x \le 5 \Rightarrow y \le x + 5\)
Таким образом, благоприятные события находятся между прямыми \(y = x - 5\) и \(y = x + 5\).
Вычислим площадь области благоприятных событий:

Площадь квадрата равна 3600. Площадь области, где встреча не произойдет, состоит из двух треугольников.
- Первый треугольник ограничен линиями \(y = x + 5\), \(x = 0\) и \(y = 60\). Его площадь равна \(\frac{1}{2} \times 55 \times 55 = \frac{3025}{2}\).
- Второй треугольник ограничен линиями \(y = x - 5\), \(y = 0\) и \(x = 60\). Его площадь также равна \(\frac{1}{2} \times 55 \times 55 = \frac{3025}{2}\).
Суммарная площадь, где встреча не произойдет, равна \(3025\).

Площадь области, где встреча произойдет, равна \(3600 - 3025 = 575\).
Вычислим вероятность встречи:

Вероятность встречи равна отношению площади благоприятных событий к площади всего пространства элементарных событий:

\(P(\text{встреча}) = \frac{575}{3600} = \frac{23}{144} \approx 0.1597\)