Я понял, нужно вычислить значения тригонометрических выражений. Начнем с первого задания.

Задание 1

Вычислить: $arctg(-\sqrt{3}) + arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) + \frac{1}{2}arccos(-1) - 2 \cdot arctg(\sqrt{3})$

1. $arctg(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$, так как $tg(-\frac{\pi}{3}) = -\sqrt{3}$
2. $arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{6}$, так как $cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
3. $arccos(-1) = \pi$, так как $cos(\pi) = -1$
4. $arctg(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$, так как $tg(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$

Подставляем значения в исходное выражение:

$-\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} + \frac{1}{2}\pi - 2 \cdot \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2} - \frac{2\pi}{3} = \frac{-2\pi + \pi + 3\pi - 4\pi}{6} = \frac{-2\pi}{6} = -\frac{\pi}{3}$

Ответ: $-\frac{\pi}{3}$

Задание 2

Вычислить: $tg(3 \cdot arctg\sqrt{3} - arccos\frac{1}{2}) + sin(2 \cdot arccos\frac{1}{2})$

1. $arctg(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$, так как $tg(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$
2. $arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$, так как $cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$

Подставляем значения в исходное выражение:

$tg(3 \cdot \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{3}) + sin(2 \cdot \frac{\pi}{3}) = tg(\pi - \frac{\pi}{3}) + sin(\frac{2\pi}{3}) = tg(\frac{2\pi}{3}) + sin(\frac{2\pi}{3})$

$tg(\frac{2\pi}{3}) = -\sqrt{3}$
$sin(\frac{2\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$-\sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$

Задание 3

Вычислить: $arcsin(sin(\frac{\pi}{3})) + arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2})$

1. $arcsin(sin(\frac{\pi}{3})) = \frac{\pi}{3}$, так как $\frac{\pi}{3}$ находится в диапазоне $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$
2. $arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3}$, так как $sin(-\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Подставляем значения в исходное выражение:

$\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{3} = 0$

Ответ: 0

Ассистент: Конечно, вот решение четвертого задания.

Задание 4

Вычислить: $cos(2 \cdot arccos(-0.5)) + sin(2 \cdot arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}))$

1. $arccos(-0.5) = arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$, так как $cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$
2. $arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3}$, так как $sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Подставляем значения в исходное выражение:

$cos(2 \cdot \frac{2\pi}{3}) + sin(2 \cdot \frac{\pi}{3}) = cos(\frac{4\pi}{3}) + sin(\frac{2\pi}{3})$

$cos(\frac{4\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$
$sin(\frac{2\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$

Ассистент: Я вижу еще несколько заданий. Начнем с пятого.

Задание 5

Вычислить: $cos(arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}))$

1. $arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3\pi}{4}$, так как $cos(\frac{3\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
2. $arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4}$, так как $sin(-\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Подставляем значения в исходное выражение:

$cos(\frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4}) = cos(\frac{2\pi}{4}) = cos(\frac{\pi}{2}) = 0$

Ответ: 0

Задание 6

Вычислить: $sin(\frac{15\pi}{4}) + \frac{\sqrt{3}}{2}$

1. Преобразуем угол $\frac{15\pi}{4}$: $\frac{15\pi}{4} = \frac{16\pi - \pi}{4} = 4\pi - \frac{\pi}{4}$
2. $sin(\frac{15\pi}{4}) = sin(4\pi - \frac{\pi}{4}) = sin(-\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Подставляем значения в исходное выражение:

$-\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{2}$

Задание 7

Вычислить: $3 \cdot cos(\frac{19\pi}{6}) + sin(\frac{\pi}{3})$

1. Преобразуем угол $\frac{19\pi}{6}$: $\frac{19\pi}{6} = \frac{18\pi + \pi}{6} = 3\pi + \frac{\pi}{6}$
2. $cos(\frac{19\pi}{6}) = cos(3\pi + \frac{\pi}{6}) = cos(\pi + \frac{\pi}{6}) = -cos(\frac{\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
3. $sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Подставляем значения в исходное выражение:

$3 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) + \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{2\sqrt{3}}{2} = -\sqrt{3}$

Ответ: $-\sqrt{3}$

Ассистент: Конечно, вот решение заданий 8 и 9.

Задание 8

Вычислить: $tg(390^\circ) + ctg(-300^\circ)$

1. $tg(390^\circ) = tg(360^\circ + 30^\circ) = tg(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3}$
2. $ctg(-300^\circ) = -ctg(300^\circ) = -ctg(360^\circ - 60^\circ) = -(-ctg(60^\circ)) = ctg(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Подставляем значения в исходное выражение:

$\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

Задание 9

Вычислить: $16cos(20^\circ)cos(40^\circ)cos(80^\circ)$

Используем формулу: $sin(2x) = 2sin(x)cos(x)$

Умножим и разделим выражение на $sin(20^\circ)$:

$\frac{16cos(20^\circ)cos(40^\circ)cos(80^\circ)sin(20^\circ)}{sin(20^\circ)} = \frac{8(2sin(20^\circ)cos(20^\circ))cos(40^\circ)cos(80^\circ)}{sin(20^\circ)} = \frac{8sin(40^\circ)cos(40^\circ)cos(80^\circ)}{sin(20^\circ)} = \frac{4(2sin(40^\circ)cos(40^\circ))cos(80^\circ)}{sin(20^\circ)} = \frac{4sin(80^\circ)cos(80^\circ)}{sin(20^\circ)} = \frac{2(2sin(80^\circ)cos(80^\circ))}{sin(20^\circ)} = \frac{2sin(160^\circ)}{sin(20^\circ)}$

Так как $sin(160^\circ) = sin(180^\circ - 20^\circ) = sin(20^\circ)$, то:

$\frac{2sin(20^\circ)}{sin(20^\circ)} = 2$

Ответ: 2