Вычисление значений тригонометрических выражений

Я понял, нужно вычислить значения тригонометрических выражений. Начнем с первого задания.

Задание 1

Вычислить: \(arctg(-\sqrt{3}) + arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) + \frac{1}{2}arccos(-1) - 2 \cdot arctg(\sqrt{3})\)

1. \(arctg(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}\), так как \(tg(-\frac{\pi}{3}) = -\sqrt{3}\)
2. \(arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{6}\), так как \(cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
3. \(arccos(-1) = \pi\), так как \(cos(\pi) = -1\)
4. \(arctg(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}\), так как \(tg(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}\)

Подставляем значения в исходное выражение:

\(-\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} + \frac{1}{2}\pi - 2 \cdot \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2} - \frac{2\pi}{3} = \frac{-2\pi + \pi + 3\pi - 4\pi}{6} = \frac{-2\pi}{6} = -\frac{\pi}{3}\)

Ответ: \(-\frac{\pi}{3}\)

Задание 2

Вычислить: \(tg(3 \cdot arctg\sqrt{3} - arccos\frac{1}{2}) + sin(2 \cdot arccos\frac{1}{2})\)

1. \(arctg(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}\), так как \(tg(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}\)
2. \(arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}\), так как \(cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}\)

Подставляем значения в исходное выражение:

\(tg(3 \cdot \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{3}) + sin(2 \cdot \frac{\pi}{3}) = tg(\pi - \frac{\pi}{3}) + sin(\frac{2\pi}{3}) = tg(\frac{2\pi}{3}) + sin(\frac{2\pi}{3})\)

\(tg(\frac{2\pi}{3}) = -\sqrt{3}\)
\(sin(\frac{2\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(-\sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{2}\)

Ответ: \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\)

Задание 3

Вычислить: \(arcsin(sin(\frac{\pi}{3})) + arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2})\)

1. \(arcsin(sin(\frac{\pi}{3})) = \frac{\pi}{3}\), так как \(\frac{\pi}{3}\) находится в диапазоне \([-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\)
2. \(arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3}\), так как \(sin(-\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\)

Подставляем значения в исходное выражение:

\(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{3} = 0\)

Ответ: 0

Ассистент: Конечно, вот решение четвертого задания.

Задание 4

Вычислить: \(cos(2 \cdot arccos(-0.5)) + sin(2 \cdot arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}))\)

1. \(arccos(-0.5) = arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}\), так как \(cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}\)
2. \(arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3}\), так как \(sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

Подставляем значения в исходное выражение:

\(cos(2 \cdot \frac{2\pi}{3}) + sin(2 \cdot \frac{\pi}{3}) = cos(\frac{4\pi}{3}) + sin(\frac{2\pi}{3})\)

\(cos(\frac{4\pi}{3}) = -\frac{1}{2}\)
\(sin(\frac{2\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}\)

Ответ: \(\frac{\sqrt{3} - 1}{2}\)

Ассистент: Я вижу еще несколько заданий. Начнем с пятого.

Задание 5

Вычислить: \(cos(arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}))\)

1. \(arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3\pi}{4}\), так как \(cos(\frac{3\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\)
2. \(arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4}\), так как \(sin(-\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\)

Подставляем значения в исходное выражение:

\(cos(\frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4}) = cos(\frac{2\pi}{4}) = cos(\frac{\pi}{2}) = 0\)

Ответ: 0

Задание 6

Вычислить: \(sin(\frac{15\pi}{4}) + \frac{\sqrt{3}}{2}\)

1. Преобразуем угол \(\frac{15\pi}{4}\): \(\frac{15\pi}{4} = \frac{16\pi - \pi}{4} = 4\pi - \frac{\pi}{4}\)
2. \(sin(\frac{15\pi}{4}) = sin(4\pi - \frac{\pi}{4}) = sin(-\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\)

Подставляем значения в исходное выражение:

\(-\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{2}\)

Ответ: \(\frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{2}\)

Задание 7

Вычислить: \(3 \cdot cos(\frac{19\pi}{6}) + sin(\frac{\pi}{3})\)

1. Преобразуем угол \(\frac{19\pi}{6}\): \(\frac{19\pi}{6} = \frac{18\pi + \pi}{6} = 3\pi + \frac{\pi}{6}\)
2. \(cos(\frac{19\pi}{6}) = cos(3\pi + \frac{\pi}{6}) = cos(\pi + \frac{\pi}{6}) = -cos(\frac{\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\)
3. \(sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

Подставляем значения в исходное выражение:

\(3 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) + \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{2\sqrt{3}}{2} = -\sqrt{3}\)

Ответ: \(-\sqrt{3}\)

Ассистент: Конечно, вот решение заданий 8 и 9.

Задание 8

Вычислить: \(tg(390^\circ) + ctg(-300^\circ)\)

1. \(tg(390^\circ) = tg(360^\circ + 30^\circ) = tg(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3}\)
2. \(ctg(-300^\circ) = -ctg(300^\circ) = -ctg(360^\circ - 60^\circ) = -(-ctg(60^\circ)) = ctg(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3}\)

Подставляем значения в исходное выражение:

\(\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{2\sqrt{3}}{3}\)

Ответ: \(\frac{2\sqrt{3}}{3}\)

Задание 9

Вычислить: \(16cos(20^\circ)cos(40^\circ)cos(80^\circ)\)

Используем формулу: \(sin(2x) = 2sin(x)cos(x)\)

Умножим и разделим выражение на \(sin(20^\circ)\):

\(\frac{16cos(20^\circ)cos(40^\circ)cos(80^\circ)sin(20^\circ)}{sin(20^\circ)} = \frac{8(2sin(20^\circ)cos(20^\circ))cos(40^\circ)cos(80^\circ)}{sin(20^\circ)} = \frac{8sin(40^\circ)cos(40^\circ)cos(80^\circ)}{sin(20^\circ)} = \frac{4(2sin(40^\circ)cos(40^\circ))cos(80^\circ)}{sin(20^\circ)} = \frac{4sin(80^\circ)cos(80^\circ)}{sin(20^\circ)} = \frac{2(2sin(80^\circ)cos(80^\circ))}{sin(20^\circ)} = \frac{2sin(160^\circ)}{sin(20^\circ)}\)

Так как \(sin(160^\circ) = sin(180^\circ - 20^\circ) = sin(20^\circ)\), то:

\(\frac{2sin(20^\circ)}{sin(20^\circ)} = 2\)

Ответ: 2