Решение задач по дифференциальным уравнениям с начальными условиями

Я понял, вам нужно решить несколько задач по дифференциальным уравнениям. Хорошо, давайте сделаем это по порядку.

## Задание 1

Найти частное решение дифференциального уравнения \(xy' - y = 0\) при начальных условиях \(y_0 = -4\) при \(x_0 = -2\).

Решение:

1. Преобразуем уравнение:
   \(xy' = y\)
   \(\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}\)

2. Разделяем переменные:
   \(\frac{dy}{y} = \frac{dx}{x}\)

3. Интегрируем обе части:
   \(\int \frac{dy}{y} = \int \frac{dx}{x}\)
   \(\ln|y| = \ln|x| + C_1\)

4. Упрощаем, чтобы получить общее решение:
   \(\ln|y| = \ln|x| + \ln|C|\) (где \(C = e^{C_1}\))
   \(\ln|y| = \ln|Cx|\)
   \(y = Cx\)

5. Используем начальные условия \(y_0 = -4\) при \(x_0 = -2\) для нахождения C:
   \(-4 = C(-2)\)
   \(C = 2\)

6. Подставляем C в общее решение, чтобы получить частное решение:
   \(y = 2x\)

Ответ: \(y = 2x\)

## Задание 2

Найти общее решение дифференциального уравнения \(y' = y\).

Решение:

1. Преобразуем уравнение:
   \(\frac{dy}{dx} = y\)

2. Разделяем переменные:
   \(\frac{dy}{y} = dx\)

3. Интегрируем обе части:
   \(\int \frac{dy}{y} = \int dx\)
   \(\ln|y| = x + C_1\)

4. Упрощаем, чтобы получить общее решение:
   \(y = e^{x + C_1}\)
   \(y = e^x \cdot e^{C_1}\)
   \(y = Ce^x\) (где \(C = e^{C_1}\))

Ответ: \(y = Ce^x\)

## Задание 3

Найти частное решение дифференциального уравнения \(y' = -\frac{x}{y}\) при начальных условиях \(y_0 = -4\) при \(x_0 = 3\).

Решение:

1. Преобразуем уравнение:
   \(\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}\)

2. Разделяем переменные:
   \(y \, dy = -x \, dx\)

3. Интегрируем обе части:
   \(\int y \, dy = \int -x \, dx\)
   \(\frac{y^2}{2} = -\frac{x^2}{2} + C_1\)

4. Упрощаем, чтобы получить общее решение:
   \(y^2 = -x^2 + 2C_1\)
   \(x^2 + y^2 = C\) (где \(C = 2C_1\))

5. Используем начальные условия \(y_0 = -4\) при \(x_0 = 3\) для нахождения C:
   \(3^2 + (-4)^2 = C\)
   \(9 + 16 = C\)
   \(C = 25\)

6. Подставляем C в общее решение, чтобы получить частное решение:
   \(x^2 + y^2 = 25\)
   \(y^2 = 25 - x^2\)
   \(y = \pm\sqrt{25 - x^2}\)

7. Учитываем начальное условие \(y_0 = -4\), выбираем знак минус:
   \(y = -\sqrt{25 - x^2}\)

Ответ: \(y = -\sqrt{25 - x^2}\)