Здравствуйте! Давайте решим задачи по порядку.

Задание 1

Дано:
* $E = 100 \, \text{В}$
* $J = 2 \, \text{А}$
* $R = 100 \, \text{Ом}$

Определить:
* a) $i_L(0-)$, $u_C(0-)$
* б) $u_L(0+)$, $i_C(0+)$, $u(0+)$, $i(0+)$
* в) для источников $i_{пр}$, $u_{пр}$

Решение:

a) $i_L(0-)$, $u_C(0-)$

До момента коммутации (t = 0-) цепь находится в установившемся режиме. Индуктивность $L$ представляет собой короткое замыкание, а емкость $C$ - разрыв цепи.

• Ток через индуктивность $i_L(0-)$ определяется током источника $J$, так как весь ток пойдет через короткое замыкание (индуктивность):
  $i_L(0-) = J = 2 \, \text{А}$

• Напряжение на емкости $u_C(0-)$ определяется падением напряжения на резисторе $R$, через который течет ток $E/R$:
  $u_C(0-) = E = 100 \, \text{В}$

б) $u_L(0+)$, $i_C(0+)$, $u(0+)$, $i(0+)$

После коммутации (t = 0+):
* Ток через индуктивность не может измениться мгновенно: $i_L(0+) = i_L(0-) = 2 \, \text{А}$
* Напряжение на емкости не может измениться мгновенно: $u_C(0+) = u_C(0-) = 100 \, \text{В}$

Теперь рассмотрим схему после коммутации. Ток $i(0+)$ можно найти, применив закон Кирхгофа для узла, где сходятся $R$, $L$ и источник $E$:
$i(0+) = i_L(0+) + \frac{E}{R} = 2 + \frac{100}{100} = 3 \, \text{А}$

Напряжение $u(0+)$ равно напряжению источника $E$:
$u(0+) = E = 100 \, \text{В}$

Ток через конденсатор $i_C(0+)$ можно найти, зная, что ток через резистор $R$, подключенный параллельно конденсатору, равен $u_C(0+)/R = 100/100 = 1 \, \text{А}$. Тогда, используя закон Кирхгофа для узла, где сходятся конденсатор и резистор:
$i_C(0+) = J - \frac{u_C(0+)}{R} = 2 - 1 = 1 \, \text{А}$

• Напряжение на индуктивности $u_L(0+)$ определяется как падение напряжения на резисторе $R$, включенном последовательно с индуктивностью:
  $u_L(0+) = i_L(0+) \cdot R = 2 \cdot 100 = 200 \, \text{В}$

в) для источников $i_{пр}$, $u_{пр}$

В данном случае, $i_{пр}$ - это ток источника тока $J$, а $u_{пр}$ - это напряжение источника напряжения $E$.

• $i_{пр} = J = 2 \, \text{А}$
• $u_{пр} = E = 100 \, \text{В}$

Ответ:

• a) $i_L(0-) = 2 \, \text{А}$, $u_C(0-) = 100 \, \text{В}$
• б) $u_L(0+) = 200 \, \text{В}$, $i_C(0+) = 1 \, \text{А}$, $u(0+) = 100 \, \text{В}$, $i(0+) = 3 \, \text{А}$
• в) $i_{пр} = 2 \, \text{А}$, $u_{пр} = 100 \, \text{В}$

Задание 2

Дано:
* $J = 1 \, \text{А}$
* $L = 100 \, \text{мГн} = 0.1 \, \text{Гн}$
* $R = 200 \, \text{Ом}$

Определить: $u_L(t)$

а) Классическим методом

1. Определение начальных условий:
   В установившемся режиме до коммутации вся энергия источника тока $J$ течет через индуктивность, так как она представляет собой короткое замыкание. Следовательно, $i_L(0-) = J = 1 \, \text{А}$. После коммутации ток через индуктивность не может измениться мгновенно, поэтому $i_L(0+) = i_L(0-) = 1 \, \text{А}$.

2. Составление дифференциального уравнения:
   После коммутации ток источника $J$ разделяется между резистором $R$ и индуктивностью $L$. Применяем второй закон Кирхгофа:
   $J = i_R + i_L$
   $i_R = \frac{u_L}{R}$
   $u_L = L \frac{di_L}{dt}$
   Подставляем в первое уравнение:
   $J = \frac{L}{R} \frac{di_L}{dt} + i_L$
   $\frac{L}{R} \frac{di_L}{dt} + i_L = J$
   $\frac{di_L}{dt} + \frac{R}{L} i_L = \frac{R}{L} J$

3. Решение дифференциального уравнения:
   Решение имеет вид:
   $i_L(t) = i_L(\infty) + [i_L(0+) - i_L(\infty)] e^{-\frac{t}{\tau}}$
   где $\tau = \frac{L}{R}$ - постоянная времени.
   $i_L(\infty)$ - установившееся значение тока через индуктивность при $t \to \infty$. В этом случае вся энергия источника тока пойдет через индуктивность, так как резистор будет зашунтирован индуктивностью.
   $i_L(\infty) = J = 1 \, \text{А}$
   $\tau = \frac{0.1}{200} = 0.0005 \, \text{с} = 0.5 \, \text{мс}$
   $i_L(t) = 1 + (1 - 1) e^{-\frac{t}{0.0005}} = 1 \, \text{А}$

4. Нахождение $u_L(t)$:
   $u_L(t) = L \frac{di_L(t)}{dt} = L \frac{d(1)}{dt} = 0$

б) Операторным методом

1. Преобразование Лапласа:
   Переходим к операторному представлению:
   $L[i_L'(t)] = sI_L(s) - i_L(0+)$
   $L[i_L(t)] = I_L(s)$
   $L[J] = \frac{J}{s}$
   Дифференциальное уравнение в операторной форме:
   $\frac{L}{R} [sI_L(s) - i_L(0+)] + I_L(s) = \frac{J}{s}$
   $I_L(s) (\frac{Ls}{R} + 1) = \frac{J}{s} + \frac{L}{R} i_L(0+)$
   $I_L(s) = \frac{\frac{J}{s} + \frac{L}{R} i_L(0+)}{\frac{Ls}{R} + 1} = \frac{J + \frac{Ls}{R} i_L(0+)}{s(\frac{Ls}{R} + 1)}$

2. Подстановка значений:
   $I_L(s) = \frac{1 + \frac{0.1s}{200} \cdot 1}{s(\frac{0.1s}{200} + 1)} = \frac{1 + 0.0005s}{s(0.0005s + 1)}$

3. Обратное преобразование Лапласа:
   $I_L(s) = \frac{1 + 0.0005s}{s(0.0005s + 1)} = \frac{1}{s}$
   $i_L(t) = L^{-1}[\frac{1}{s}] = 1$

4. Нахождение $u_L(t)$:
   $U_L(s) = sLI_L(s) - Li_L(0+) = s \cdot 0.1 \cdot \frac{1}{s} - 0.1 \cdot 1 = 0.1 - 0.1 = 0$
   $u_L(t) = L^{-1}[0] = 0$

Ответ:
$u_L(t) = 0$

Задание 3

Дано:
* $C = 200 \, \text{мкФ} = 200 \cdot 10^{-6} \, \text{Ф}$
* $R = 12.5 \, \text{Ом}$
* $e(t) = 200 \sin(400t - 90^\circ) \, \text{В}$

Для решения этой задачи необходимо больше конкретики. Что именно требуется определить? Например, нужно найти ток в цепи, напряжение на конденсаторе или что-то другое. Пожалуйста, уточните вопрос, и я помогу вам решить эту задачу.