Упрощение тригонометрического выражения с использованием формулы синуса суммы

Задание 4

Упростим выражение: \(\sqrt{2}\sin(\alpha + \frac{\pi}{4}) - \sin\alpha\)

1. Применим формулу синуса суммы:
   \(\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b\)

   В нашем случае:
   \(\sin(\alpha + \frac{\pi}{4}) = \sin\alpha \cos\frac{\pi}{4} + \cos\alpha \sin\frac{\pi}{4}\)

2. Вычислим значения \(\cos\frac{\pi}{4}\) и \(\sin\frac{\pi}{4}\):
   \(\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
   \(\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)

3. Подставим значения в формулу синуса суммы:
   \(\sin(\alpha + \frac{\pi}{4}) = \sin\alpha \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos\alpha \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}(\sin\alpha + \cos\alpha)\)

4. Подставим полученное выражение в исходное:
   \(\sqrt{2}\sin(\alpha + \frac{\pi}{4}) - \sin\alpha = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}(\sin\alpha + \cos\alpha) - \sin\alpha\)

5. Упростим выражение:
   \(\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}(\sin\alpha + \cos\alpha) - \sin\alpha = \frac{2}{2}(\sin\alpha + \cos\alpha) - \sin\alpha = \sin\alpha + \cos\alpha - \sin\alpha\)

6. Окончательно упростим:
   \(\sin\alpha + \cos\alpha - \sin\alpha = \cos\alpha\)

Ответ: \(\cos\alpha\)