Здравствуйте! Я Homiwork, и я помогу вам решить это уравнение.

Задание 1

Решим уравнение:

$8 - 3x = \sqrt{x + 2}$

1. Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня:

$(8 - 3x)^2 = (\sqrt{x + 2})^2$

$64 - 48x + 9x^2 = x + 2$

2. Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$9x^2 - 48x - x + 64 - 2 = 0$

$9x^2 - 49x + 62 = 0$

3. Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-49)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 62 = 2401 - 2232 = 169$

$\sqrt{D} = \sqrt{169} = 13$

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{49 + 13}{2 \cdot 9} = \frac{62}{18} = \frac{31}{9}$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{49 - 13}{2 \cdot 9} = \frac{36}{18} = 2$

4. Проверим полученные корни, подставив их в исходное уравнение:

• Для $x_1 = \frac{31}{9}$:

$8 - 3 \cdot \frac{31}{9} = \sqrt{\frac{31}{9} + 2}$

$8 - \frac{31}{3} = \sqrt{\frac{31 + 18}{9}}$

$\frac{24 - 31}{3} = \sqrt{\frac{49}{9}}$

$-\frac{7}{3} = \frac{7}{3}$ (неверно, так как левая часть отрицательная, а правая положительная)

• Для $x_2 = 2$:

$8 - 3 \cdot 2 = \sqrt{2 + 2}$

$8 - 6 = \sqrt{4}$

$2 = 2$ (верно)

Таким образом, $x_1 = \frac{31}{9}$ не является решением, а $x_2 = 2$ является решением.

Ответ: $x = 2$

Здравствуйте! Я Homiwork, и я помогу вам решить эти уравнения.

Задание 2

Решим уравнение:

$\sqrt{x + 9x} - x = x - 1$

1. Упростим выражение под корнем:

$\sqrt{10x} - x = x - 1$

2. Перенесем $x$ в правую часть уравнения:

$\sqrt{10x} = 2x - 1$

3. Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{10x})^2 = (2x - 1)^2$

$10x = 4x^2 - 4x + 1$

4. Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$4x^2 - 4x - 10x + 1 = 0$

$4x^2 - 14x + 1 = 0$

5. Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 196 - 16 = 180$

$\sqrt{D} = \sqrt{180} = \sqrt{36 \cdot 5} = 6\sqrt{5}$

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 + 6\sqrt{5}}{2 \cdot 4} = \frac{7 + 3\sqrt{5}}{4}$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 - 6\sqrt{5}}{2 \cdot 4} = \frac{7 - 3\sqrt{5}}{4}$

6. Проверим полученные корни, подставив их в исходное уравнение:

• Для $x_1 = \frac{7 + 3\sqrt{5}}{4}$:

$\sqrt{10 \cdot \frac{7 + 3\sqrt{5}}{4}} - \frac{7 + 3\sqrt{5}}{4} = \frac{7 + 3\sqrt{5}}{4} - 1$

$\sqrt{\frac{70 + 30\sqrt{5}}{4}} - \frac{7 + 3\sqrt{5}}{4} = \frac{3 + 3\sqrt{5}}{4}$

$\sqrt{\frac{35 + 15\sqrt{5}}{2}} - \frac{7 + 3\sqrt{5}}{4} = \frac{3 + 3\sqrt{5}}{4}$

Это выражение сложно проверить аналитически, но можно оценить численно.

$x_1 \approx \frac{7 + 3 \cdot 2.236}{4} \approx \frac{7 + 6.708}{4} \approx \frac{13.708}{4} \approx 3.427$

$\sqrt{10 \cdot 3.427} - 3.427 \approx 3.427 - 1$

$\sqrt{34.27} - 3.427 \approx 2.427$

$5.854 - 3.427 \approx 2.427$

$2.427 \approx 2.427$ (верно)

• Для $x_2 = \frac{7 - 3\sqrt{5}}{4}$:

$x_2 \approx \frac{7 - 3 \cdot 2.236}{4} \approx \frac{7 - 6.708}{4} \approx \frac{0.292}{4} \approx 0.073$

$\sqrt{10 \cdot 0.073} - 0.073 \approx 0.073 - 1$

$\sqrt{0.73} - 0.073 \approx -0.927$

$0.854 - 0.073 \approx -0.927$

$0.781 \approx -0.927$ (неверно)

Таким образом, $x_2 = \frac{7 - 3\sqrt{5}}{4}$ не является решением, а $x_1 = \frac{7 + 3\sqrt{5}}{4}$ является решением.

Ответ: $x = \frac{7 + 3\sqrt{5}}{4}$

Ассистент: Здравствуйте! Я Homiwork, и я помогу вам решить это уравнение.

Задание 2 (с исправлением)

Решим уравнение:

$\sqrt{x + 4x} - x = x - 1$

1. Упростим выражение под корнем:

$\sqrt{5x} - x = x - 1$

2. Перенесем $x$ в правую часть уравнения:

$\sqrt{5x} = 2x - 1$

3. Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{5x})^2 = (2x - 1)^2$

$5x = 4x^2 - 4x + 1$

4. Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$4x^2 - 4x - 5x + 1 = 0$

$4x^2 - 9x + 1 = 0$

5. Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 81 - 16 = 65$

$\sqrt{D} = \sqrt{65}$

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + \sqrt{65}}{2 \cdot 4} = \frac{9 + \sqrt{65}}{8}$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - \sqrt{65}}{2 \cdot 4} = \frac{9 - \sqrt{65}}{8}$

6. Проверим полученные корни, подставив их в исходное уравнение:

• Для $x_1 = \frac{9 + \sqrt{65}}{8}$:

$\sqrt{5 \cdot \frac{9 + \sqrt{65}}{8}} - \frac{9 + \sqrt{65}}{8} = \frac{9 + \sqrt{65}}{8} - 1$

$\sqrt{\frac{45 + 5\sqrt{65}}{8}} - \frac{9 + \sqrt{65}}{8} = \frac{1 + \sqrt{65}}{8}$

Это выражение сложно проверить аналитически, но можно оценить численно.

$x_1 \approx \frac{9 + 8.062}{8} \approx \frac{17.062}{8} \approx 2.133$

$\sqrt{5 \cdot 2.133} - 2.133 \approx 2.133 - 1$

$\sqrt{10.665} - 2.133 \approx 1.133$

$3.266 - 2.133 \approx 1.133$

$1.133 \approx 1.133$ (верно)

• Для $x_2 = \frac{9 - \sqrt{65}}{8}$:

$x_2 \approx \frac{9 - 8.062}{8} \approx \frac{0.938}{8} \approx 0.117$

$\sqrt{5 \cdot 0.117} - 0.117 \approx 0.117 - 1$

$\sqrt{0.585} - 0.117 \approx -0.883$

$0.765 - 0.117 \approx -0.883$

$0.648 \approx -0.883$ (неверно)

Таким образом, $x_2 = \frac{9 - \sqrt{65}}{8}$ не является решением, а $x_1 = \frac{9 + \sqrt{65}}{8}$ является решением.

Ответ: $x = \frac{9 + \sqrt{65}}{8}$

Ассистент: Здравствуйте! Я Homiwork, и я помогу вам решить это уравнение.

Задание 1 (с исправлением)

Решим уравнение:

$8 - 3x = \sqrt{1 + 2}$

1. Упростим выражение под корнем:

$8 - 3x = \sqrt{3}$

2. Выразим $x$:

$3x = 8 - \sqrt{3}$

$x = \frac{8 - \sqrt{3}}{3}$

3. Оценим значение $x$:

$x \approx \frac{8 - 1.732}{3} \approx \frac{6.268}{3} \approx 2.089$

Ответ: $x = \frac{8 - \sqrt{3}}{3} \approx 2.089$

Ассистент: Здравствуйте! Я Homiwork, и я помогу вам решить эти уравнения.

Задание 2 (с исправлением)

Решим уравнение:

$\sqrt{1 + 4x} - x = x - 1$

1. Перенесем $x$ в правую часть уравнения:

$\sqrt{1 + 4x} = 2x - 1$

2. Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{1 + 4x})^2 = (2x - 1)^2$

$1 + 4x = 4x^2 - 4x + 1$

3. Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$4x^2 - 4x - 4x + 1 - 1 = 0$

$4x^2 - 8x = 0$

4. Вынесем общий множитель $4x$ за скобки:

$4x(x - 2) = 0$

5. Найдем корни уравнения:

$4x = 0$ или $x - 2 = 0$

$x_1 = 0$ или $x_2 = 2$

6. Проверим полученные корни, подставив их в исходное уравнение:

• Для $x_1 = 0$:

$\sqrt{1 + 4 \cdot 0} - 0 = 0 - 1$

$\sqrt{1} = -1$

$1 = -1$ (неверно)

• Для $x_2 = 2$:

$\sqrt{1 + 4 \cdot 2} - 2 = 2 - 1$

$\sqrt{9} - 2 = 1$

$3 - 2 = 1$

$1 = 1$ (верно)

Таким образом, $x_1 = 0$ не является решением, а $x_2 = 2$ является решением.

Ответ: $x = 2$