Решение уравнений с квадратными корнями

Здравствуйте! Я Homiwork, и я помогу вам решить это уравнение.

Задание 1

Решим уравнение:

\(8 - 3x = \sqrt{x + 2}\)

1. Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня:

\((8 - 3x)^2 = (\sqrt{x + 2})^2\)

\(64 - 48x + 9x^2 = x + 2\)

2. Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\(9x^2 - 48x - x + 64 - 2 = 0\)

\(9x^2 - 49x + 62 = 0\)

3. Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\(D = b^2 - 4ac = (-49)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 62 = 2401 - 2232 = 169\)

\(\sqrt{D} = \sqrt{169} = 13\)

\(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{49 + 13}{2 \cdot 9} = \frac{62}{18} = \frac{31}{9}\)

\(x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{49 - 13}{2 \cdot 9} = \frac{36}{18} = 2\)

4. Проверим полученные корни, подставив их в исходное уравнение:

• Для \(x_1 = \frac{31}{9}\):

\(8 - 3 \cdot \frac{31}{9} = \sqrt{\frac{31}{9} + 2}\)

\(8 - \frac{31}{3} = \sqrt{\frac{31 + 18}{9}}\)

\(\frac{24 - 31}{3} = \sqrt{\frac{49}{9}}\)

\(-\frac{7}{3} = \frac{7}{3}\) (неверно, так как левая часть отрицательная, а правая положительная)

• Для \(x_2 = 2\):

\(8 - 3 \cdot 2 = \sqrt{2 + 2}\)

\(8 - 6 = \sqrt{4}\)

\(2 = 2\) (верно)

Таким образом, \(x_1 = \frac{31}{9}\) не является решением, а \(x_2 = 2\) является решением.

Ответ: \(x = 2\)

Здравствуйте! Я Homiwork, и я помогу вам решить эти уравнения.

Задание 2

Решим уравнение:

\(\sqrt{x + 9x} - x = x - 1\)

1. Упростим выражение под корнем:

\(\sqrt{10x} - x = x - 1\)

2. Перенесем \(x\) в правую часть уравнения:

\(\sqrt{10x} = 2x - 1\)

3. Возведем обе части уравнения в квадрат:

\((\sqrt{10x})^2 = (2x - 1)^2\)

\(10x = 4x^2 - 4x + 1\)

4. Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\(4x^2 - 4x - 10x + 1 = 0\)

\(4x^2 - 14x + 1 = 0\)

5. Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\(D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 196 - 16 = 180\)

\(\sqrt{D} = \sqrt{180} = \sqrt{36 \cdot 5} = 6\sqrt{5}\)

\(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 + 6\sqrt{5}}{2 \cdot 4} = \frac{7 + 3\sqrt{5}}{4}\)

\(x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 - 6\sqrt{5}}{2 \cdot 4} = \frac{7 - 3\sqrt{5}}{4}\)

6. Проверим полученные корни, подставив их в исходное уравнение:

• Для \(x_1 = \frac{7 + 3\sqrt{5}}{4}\):

\(\sqrt{10 \cdot \frac{7 + 3\sqrt{5}}{4}} - \frac{7 + 3\sqrt{5}}{4} = \frac{7 + 3\sqrt{5}}{4} - 1\)

\(\sqrt{\frac{70 + 30\sqrt{5}}{4}} - \frac{7 + 3\sqrt{5}}{4} = \frac{3 + 3\sqrt{5}}{4}\)

\(\sqrt{\frac{35 + 15\sqrt{5}}{2}} - \frac{7 + 3\sqrt{5}}{4} = \frac{3 + 3\sqrt{5}}{4}\)

Это выражение сложно проверить аналитически, но можно оценить численно.

\(x_1 \approx \frac{7 + 3 \cdot 2.236}{4} \approx \frac{7 + 6.708}{4} \approx \frac{13.708}{4} \approx 3.427\)

\(\sqrt{10 \cdot 3.427} - 3.427 \approx 3.427 - 1\)

\(\sqrt{34.27} - 3.427 \approx 2.427\)

\(5.854 - 3.427 \approx 2.427\)

\(2.427 \approx 2.427\) (верно)

• Для \(x_2 = \frac{7 - 3\sqrt{5}}{4}\):

\(x_2 \approx \frac{7 - 3 \cdot 2.236}{4} \approx \frac{7 - 6.708}{4} \approx \frac{0.292}{4} \approx 0.073\)

\(\sqrt{10 \cdot 0.073} - 0.073 \approx 0.073 - 1\)

\(\sqrt{0.73} - 0.073 \approx -0.927\)

\(0.854 - 0.073 \approx -0.927\)

\(0.781 \approx -0.927\) (неверно)

Таким образом, \(x_2 = \frac{7 - 3\sqrt{5}}{4}\) не является решением, а \(x_1 = \frac{7 + 3\sqrt{5}}{4}\) является решением.

Ответ: \(x = \frac{7 + 3\sqrt{5}}{4}\)

Ассистент: Здравствуйте! Я Homiwork, и я помогу вам решить это уравнение.

Задание 2 (с исправлением)

Решим уравнение:

\(\sqrt{x + 4x} - x = x - 1\)

1. Упростим выражение под корнем:

\(\sqrt{5x} - x = x - 1\)

2. Перенесем \(x\) в правую часть уравнения:

\(\sqrt{5x} = 2x - 1\)

3. Возведем обе части уравнения в квадрат:

\((\sqrt{5x})^2 = (2x - 1)^2\)

\(5x = 4x^2 - 4x + 1\)

4. Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\(4x^2 - 4x - 5x + 1 = 0\)

\(4x^2 - 9x + 1 = 0\)

5. Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\(D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 81 - 16 = 65\)

\(\sqrt{D} = \sqrt{65}\)

\(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + \sqrt{65}}{2 \cdot 4} = \frac{9 + \sqrt{65}}{8}\)

\(x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - \sqrt{65}}{2 \cdot 4} = \frac{9 - \sqrt{65}}{8}\)

6. Проверим полученные корни, подставив их в исходное уравнение:

• Для \(x_1 = \frac{9 + \sqrt{65}}{8}\):

\(\sqrt{5 \cdot \frac{9 + \sqrt{65}}{8}} - \frac{9 + \sqrt{65}}{8} = \frac{9 + \sqrt{65}}{8} - 1\)

\(\sqrt{\frac{45 + 5\sqrt{65}}{8}} - \frac{9 + \sqrt{65}}{8} = \frac{1 + \sqrt{65}}{8}\)

Это выражение сложно проверить аналитически, но можно оценить численно.

\(x_1 \approx \frac{9 + 8.062}{8} \approx \frac{17.062}{8} \approx 2.133\)

\(\sqrt{5 \cdot 2.133} - 2.133 \approx 2.133 - 1\)

\(\sqrt{10.665} - 2.133 \approx 1.133\)

\(3.266 - 2.133 \approx 1.133\)

\(1.133 \approx 1.133\) (верно)

• Для \(x_2 = \frac{9 - \sqrt{65}}{8}\):

\(x_2 \approx \frac{9 - 8.062}{8} \approx \frac{0.938}{8} \approx 0.117\)

\(\sqrt{5 \cdot 0.117} - 0.117 \approx 0.117 - 1\)

\(\sqrt{0.585} - 0.117 \approx -0.883\)

\(0.765 - 0.117 \approx -0.883\)

\(0.648 \approx -0.883\) (неверно)

Таким образом, \(x_2 = \frac{9 - \sqrt{65}}{8}\) не является решением, а \(x_1 = \frac{9 + \sqrt{65}}{8}\) является решением.

Ответ: \(x = \frac{9 + \sqrt{65}}{8}\)

Ассистент: Здравствуйте! Я Homiwork, и я помогу вам решить это уравнение.

Задание 1 (с исправлением)

Решим уравнение:

\(8 - 3x = \sqrt{1 + 2}\)

1. Упростим выражение под корнем:

\(8 - 3x = \sqrt{3}\)

2. Выразим \(x\):

\(3x = 8 - \sqrt{3}\)

\(x = \frac{8 - \sqrt{3}}{3}\)

3. Оценим значение \(x\):

\(x \approx \frac{8 - 1.732}{3} \approx \frac{6.268}{3} \approx 2.089\)

Ответ: \(x = \frac{8 - \sqrt{3}}{3} \approx 2.089\)

Ассистент: Здравствуйте! Я Homiwork, и я помогу вам решить эти уравнения.

Задание 2 (с исправлением)

Решим уравнение:

\(\sqrt{1 + 4x} - x = x - 1\)

1. Перенесем \(x\) в правую часть уравнения:

\(\sqrt{1 + 4x} = 2x - 1\)

2. Возведем обе части уравнения в квадрат:

\((\sqrt{1 + 4x})^2 = (2x - 1)^2\)

\(1 + 4x = 4x^2 - 4x + 1\)

3. Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\(4x^2 - 4x - 4x + 1 - 1 = 0\)

\(4x^2 - 8x = 0\)

4. Вынесем общий множитель \(4x\) за скобки:

\(4x(x - 2) = 0\)

5. Найдем корни уравнения:

\(4x = 0\) или \(x - 2 = 0\)

\(x_1 = 0\) или \(x_2 = 2\)

6. Проверим полученные корни, подставив их в исходное уравнение:

• Для \(x_1 = 0\):

\(\sqrt{1 + 4 \cdot 0} - 0 = 0 - 1\)

\(\sqrt{1} = -1\)

\(1 = -1\) (неверно)

• Для \(x_2 = 2\):

\(\sqrt{1 + 4 \cdot 2} - 2 = 2 - 1\)

\(\sqrt{9} - 2 = 1\)

\(3 - 2 = 1\)

\(1 = 1\) (верно)

Таким образом, \(x_1 = 0\) не является решением, а \(x_2 = 2\) является решением.

Ответ: \(x = 2\)