Решение задачи по тригонометрическому нивелированию

Привет! Я Homiwork, твой ИИ-ассистент. Сейчас помогу решить задачу.

Задание 1

Вычислите превышение методом тригонометрического нивелирования по формуле:

\(h = D \cdot tg(v)\)

и оцените его точность.

Дано:

• Горизонтальное проложение: \(D = 143.5\) м
• Вертикальный угол: \(v = 2^\circ30' \pm m_v\)

где \(m_v\) берется из таблицы в минутах.

Решение:

1. Перевод минут в градусы:

   Чтобы перевести минуты в градусы, нужно разделить значение в минутах на 60. Например, для первого студента \(m_v = 2' = \frac{2}{60} \approx 0.0333^\circ\).

2. Вычисление угла в градусах:

   \(v = 2^\circ30' \pm m_v = 2.5^\circ \pm \frac{m_v}{60}^\circ\)

3. Вычисление превышения \(h\):

   \(h = D \cdot tg(v) = 143.5 \cdot tg(2.5^\circ \pm \frac{m_v}{60}^\circ)\)

4. Оценка точности:

   Для оценки точности необходимо вычислить \(h\) для \(v + m_v\) и \(v - m_v\), а затем найти разницу.

Пример для первого студента (Адиева Элина Тимуровна):

• \(m_v = 2'\)

• \(v = 2.5^\circ \pm \frac{2}{60}^\circ = 2.5^\circ \pm 0.0333^\circ\)

  • \(v_{max} = 2.5^\circ + 0.0333^\circ = 2.5333^\circ\)
  • \(v_{min} = 2.5^\circ - 0.0333^\circ = 2.4667^\circ\)

• \(h_{max} = 143.5 \cdot tg(2.5333^\circ) \approx 6.349\) м

• \(h_{min} = 143.5 \cdot tg(2.4667^\circ) \approx 6.183\) м

• \(\Delta h = h_{max} - h_{min} = 6.349 - 6.183 = 0.166\) м

Ответ для первого студента:

\(h \approx 6.266 \pm 0.083\) м

Теперь можно повторить эти вычисления для каждого студента, используя их значения \(m_v\) из таблицы.

Homiwork: Сейчас рассчитаем для другого студента!

Задание 1 (продолжение)

Вычислим превышение методом тригонометрического нивелирования для второго студента (Алиев Михаил Игоревич).

Дано:

• Горизонтальное проложение: \(D = 143.5\) м
• Вертикальный угол: \(v = 2^\circ30' \pm m_v\)
• \(m_v = 4'\) (для второго студента)

Решение:

1. Перевод минут в градусы:

   \(m_v = 4' = \frac{4}{60} \approx 0.0667^\circ\)

2. Вычисление угла в градусах:

   \(v = 2^\circ30' \pm m_v = 2.5^\circ \pm \frac{4}{60}^\circ\)

3. Вычисление превышения \(h\):

   \(h = D \cdot tg(v) = 143.5 \cdot tg(2.5^\circ \pm \frac{4}{60}^\circ)\)

4. Оценка точности:

   Вычислим \(h\) для \(v + m_v\) и \(v - m_v\), а затем найдем разницу.

Пример для второго студента (Алиев Михаил Игоревич):

• \(m_v = 4'\)

• \(v = 2.5^\circ \pm \frac{4}{60}^\circ = 2.5^\circ \pm 0.0667^\circ\)

  • \(v_{max} = 2.5^\circ + 0.0667^\circ = 2.5667^\circ\)
  • \(v_{min} = 2.5^\circ - 0.0667^\circ = 2.4333^\circ\)

• \(h_{max} = 143.5 \cdot tg(2.5667^\circ) \approx 6.432\) м

• \(h_{min} = 143.5 \cdot tg(2.4333^\circ) \approx 6.100\) м

• \(\Delta h = h_{max} - h_{min} = 6.432 - 6.100 = 0.332\) м

Ответ для второго студента:

\(h \approx 6.266 \pm 0.166\) м

Ассистент: Я вижу на фото два задания. Сейчас помогу решить их по порядку.

Задание 1 (продолжение)

Вычислим превышение методом тригонометрического нивелирования для третьего студента (Белозерова Диана Денисовна).

Дано:

• Горизонтальное проложение: \(D = 143.5\) м
• Вертикальный угол: \(v = 2^\circ30' \pm m_v\)
• \(m_v = 6'\) (для третьего студента)

Решение:

1. Перевод минут в градусы:

   \(m_v = 6' = \frac{6}{60} = 0.1^\circ\)

2. Вычисление угла в градусах:

   \(v = 2^\circ30' \pm m_v = 2.5^\circ \pm 0.1^\circ\)

3. Вычисление превышения \(h\):

   \(h = D \cdot tg(v) = 143.5 \cdot tg(2.5^\circ \pm 0.1^\circ)\)

4. Оценка точности:

   Вычислим \(h\) для \(v + m_v\) и \(v - m_v\), а затем найдем разницу.

Пример для третьего студента (Белозерова Диана Денисовна):

• \(m_v = 6'\)

• \(v = 2.5^\circ \pm 0.1^\circ\)

  • \(v_{max} = 2.5^\circ + 0.1^\circ = 2.6^\circ\)
  • \(v_{min} = 2.5^\circ - 0.1^\circ = 2.4^\circ\)

• \(h_{max} = 143.5 \cdot tg(2.6^\circ) \approx 6.498\) м

• \(h_{min} = 143.5 \cdot tg(2.4^\circ) \approx 6.034\) м

• \(\Delta h = h_{max} - h_{min} = 6.498 - 6.034 = 0.464\) м

Ответ для третьего студента:

\(h \approx 6.266 \pm 0.232\) м

Задание 2

Определяем значение предельной погрешности \(\Delta_{пр}\) по формуле Бесселя:

\(\Delta_{пр} = t \cdot \frac{\sqrt{\sum v^2}}{n \cdot \sqrt{n-1}}\)

где:

• \(n\) - число измерений (в данном случае \(n = 5\))
• \(v\) - отклонение каждого измерения от среднего значения
• \(t\) - коэффициент Стьюдента (зависит от числа измерений и доверительной вероятности, обычно берется \(t = 3.051\) для \(n=5\))

Решение:

1. Выбираем вариант

   Выбираем вариант, соответствующий порядковому номеру в группе.

2. Вычисляем среднее значение угла:

   Складываем все 5 измерений и делим на 5.

3. Вычисляем отклонения \(v\):

   Для каждого измерения вычитаем среднее значение угла.

4. Вычисляем квадраты отклонений \(v^2\):

   Возводим каждое отклонение в квадрат.

5. Суммируем квадраты отклонений \(\sum v^2\):

   Складываем все квадраты отклонений.

6. Вычисляем предельную погрешность \(\Delta_{пр}\):

   Подставляем значения в формулу Бесселя.

Пример для первого варианта:

Измерения: \(39^\circ16'00''\), \(39^\circ16'03''\), \(39^\circ16'06''\), \(39^\circ16'33''\), \(39^\circ16'51''\)

1. Переводим в секунды для удобства:

   • \(39^\circ16'00'' = 39 \cdot 3600 + 16 \cdot 60 + 0 = 141360''\)
   • \(39^\circ16'03'' = 39 \cdot 3600 + 16 \cdot 60 + 3 = 141363''\)
   • \(39^\circ16'06'' = 39 \cdot 3600 + 16 \cdot 60 + 6 = 141366''\)
   • \(39^\circ16'33'' = 39 \cdot 3600 + 16 \cdot 60 + 33 = 141393''\)
   • \(39^\circ16'51'' = 39 \cdot 3600 + 16 \cdot 60 + 51 = 141411''\)

2. Среднее значение:

   \(\frac{141360 + 141363 + 141366 + 141393 + 141411}{5} = \frac{706893}{5} = 141378.6''\)

3. Отклонения:

   • \(v_1 = 141360 - 141378.6 = -18.6''\)
   • \(v_2 = 141363 - 141378.6 = -15.6''\)
   • \(v_3 = 141366 - 141378.6 = -12.6''\)
   • \(v_4 = 141393 - 141378.6 = 14.4''\)
   • \(v_5 = 141411 - 141378.6 = 32.4''\)

4. Квадраты отклонений:

   • \(v_1^2 = (-18.6)^2 = 345.96\)
   • \(v_2^2 = (-15.6)^2 = 243.36\)
   • \(v_3^2 = (-12.6)^2 = 158.76\)
   • \(v_4^2 = (14.4)^2 = 207.36\)
   • \(v_5^2 = (32.4)^2 = 1049.76\)

5. Сумма квадратов отклонений:

   \(\sum v^2 = 345.96 + 243.36 + 158.76 + 207.36 + 1049.76 = 2005.2\)

6. Предельная погрешность:

   \(\Delta_{пр} = 3.051 \cdot \frac{\sqrt{2005.2}}{5 \cdot \sqrt{5-1}} = 3.051 \cdot \frac{\sqrt{2005.2}}{5 \cdot 2} = 3.051 \cdot \frac{44.78}{10} \approx 13.66''\)

Ответ для первого варианта:

\(\Delta_{пр} \approx 13.66''\)

Теперь можно повторить эти вычисления для каждого варианта, используя их значения углов из таблицы.