Я ИИ-ассистент платформы Homiwork. Сейчас я помогу вам решить задание.

Задание 4.4

Уравнения системы:
1. $x - 3y + z = 2$
2. $2x + y + 3z = 3$
3. $2x - y - 2z = 8$

Решение методом Крамера

Сначала найдем главный определитель системы:

$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & -3 & 1 \ 2 & 1 & 3 \ 2 & -1 & -2 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 \ -1 & -2 \end{vmatrix} - (-3) \cdot \begin{vmatrix} 2 & 3 \ 2 & -2 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 \ 2 & -1 \end{vmatrix} = 1(-2 + 3) + 3(-4 - 6) + 1(-2 - 2) = 1 - 30 - 4 = -33$

Теперь найдем определители для каждой переменной:

$\Delta_x = \begin{vmatrix} 2 & -3 & 1 \ 3 & 1 & 3 \ 8 & -1 & -2 \end{vmatrix} = 2 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 \ -1 & -2 \end{vmatrix} - (-3) \cdot \begin{vmatrix} 3 & 3 \ 8 & -2 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 1 \ 8 & -1 \end{vmatrix} = 2(-2 + 3) + 3(-6 - 24) + 1(-3 - 8) = 2 - 90 - 11 = -99$

$\Delta_y = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \ 2 & 3 & 3 \ 2 & 8 & -2 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 3 \ 8 & -2 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 3 \ 2 & -2 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 3 \ 2 & 8 \end{vmatrix} = 1(-6 - 24) - 2(-4 - 6) + 1(16 - 6) = -30 + 20 + 10 = 0$

$\Delta_z = \begin{vmatrix} 1 & -3 & 2 \ 2 & 1 & 3 \ 2 & -1 & 8 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 \ -1 & 8 \end{vmatrix} - (-3) \cdot \begin{vmatrix} 2 & 3 \ 2 & 8 \end{vmatrix} + 2 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 \ 2 & -1 \end{vmatrix} = 1(8 + 3) + 3(16 - 6) + 2(-2 - 2) = 11 + 30 - 8 = 33$

Теперь найдем значения переменных:

$x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{-99}{-33} = 3$

$y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{0}{-33} = 0$

$z = \frac{\Delta_z}{\Delta} = \frac{33}{-33} = -1$

Итак, решение системы: $x = 3, y = 0, z = -1$.

Решение матричным методом

Запишем систему в матричном виде:

$\begin{pmatrix} 1 & -3 & 1 \ 2 & 1 & 3 \ 2 & -1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \ y \ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \ 3 \ 8 \end{pmatrix}$

Найдем обратную матрицу для матрицы коэффициентов. Матрица коэффициентов:

$A = \begin{pmatrix} 1 & -3 & 1 \ 2 & 1 & 3 \ 2 & -1 & -2 \end{pmatrix}$

Определитель матрицы $A$ мы уже нашли: $\Delta = -33$.

Найдем матрицу алгебраических дополнений:

$A_{11} = \begin{vmatrix} 1 & 3 \ -1 & -2 \end{vmatrix} = 1$, $A_{12} = -\begin{vmatrix} 2 & 3 \ 2 & -2 \end{vmatrix} = 10$, $A_{13} = \begin{vmatrix} 2 & 1 \ 2 & -1 \end{vmatrix} = -4$

$A_{21} = -\begin{vmatrix} -3 & 1 \ -1 & -2 \end{vmatrix} = -7$, $A_{22} = \begin{vmatrix} 1 & 1 \ 2 & -2 \end{vmatrix} = -4$, $A_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & -3 \ 2 & -1 \end{vmatrix} = -5$

$A_{31} = \begin{vmatrix} -3 & 1 \ 1 & 3 \end{vmatrix} = -10$, $A_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \ 2 & 3 \end{vmatrix} = -1$, $A_{33} = \begin{vmatrix} 1 & -3 \ 2 & 1 \end{vmatrix} = 7$

Матрица алгебраических дополнений:

$C = \begin{pmatrix} 1 & 10 & -4 \ -7 & -4 & -5 \ -10 & -1 & 7 \end{pmatrix}$

Транспонированная матрица:

$C^T = \begin{pmatrix} 1 & -7 & -10 \ 10 & -4 & -1 \ -4 & -5 & 7 \end{pmatrix}$

Обратная матрица:

$A^{-1} = \frac{1}{\Delta} C^T = \frac{1}{-33} \begin{pmatrix} 1 & -7 & -10 \ 10 & -4 & -1 \ -4 & -5 & 7 \end{pmatrix}$

Теперь найдем решение:

$\begin{pmatrix} x \ y \ z \end{pmatrix} = A^{-1} \begin{pmatrix} 2 \ 3 \ 8 \end{pmatrix} = \frac{1}{-33} \begin{pmatrix} 1 & -7 & -10 \ 10 & -4 & -1 \ -4 & -5 & 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \ 3 \ 8 \end{pmatrix} = \frac{1}{-33} \begin{pmatrix} 2 - 21 - 80 \ 20 - 12 - 8 \ -8 - 15 + 56 \end{pmatrix} = \frac{1}{-33} \begin{pmatrix} -99 \ 0 \ 33 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \ 0 \ -1 \end{pmatrix}$

Итак, решение системы: $x = 3, y = 0, z = -1$.

Решение методом Гаусса

Запишем расширенную матрицу системы:

$\begin{pmatrix} 1 & -3 & 1 & | & 2 \ 2 & 1 & 3 & | & 3 \ 2 & -1 & -2 & | & 8 \end{pmatrix}$

Выполним элементарные преобразования строк:

1. Вычтем из второй строки первую, умноженную на 2: $R_2 \rightarrow R_2 - 2R_1$
2. Вычтем из третьей строки первую, умноженную на 2: $R_3 \rightarrow R_3 - 2R_1$

$\begin{pmatrix} 1 & -3 & 1 & | & 2 \ 0 & 7 & 1 & | & -1 \ 0 & 5 & -4 & | & 4 \end{pmatrix}$

Теперь избавимся от коэффициента 5 во второй строке.

Умножим вторую строку на 5, а третью на 7:
$\begin{pmatrix} 1 & -3 & 1 & | & 2 \ 0 & 35 & 5 & | & -5 \ 0 & 35 & -28 & | & 28 \end{pmatrix}$

Вычтем из третьей строки вторую: $R_3 \rightarrow R_3 - R_2$

$\begin{pmatrix} 1 & -3 & 1 & | & 2 \ 0 & 35 & 5 & | & -5 \ 0 & 0 & -33 & | & 33 \end{pmatrix}$

Теперь можно найти значения переменных, начиная с последней строки:

$-33z = 33 \Rightarrow z = -1$

$35y + 5z = -5 \Rightarrow 35y - 5 = -5 \Rightarrow 35y = 0 \Rightarrow y = 0$

$x - 3y + z = 2 \Rightarrow x - 0 - 1 = 2 \Rightarrow x = 3$

Итак, решение системы: $x = 3, y = 0, z = -1$.

Проверка решения

Подставим найденные значения в исходные уравнения:

1. $3 - 3(0) + (-1) = 3 - 0 - 1 = 2$ (верно)
2. $2(3) + 0 + 3(-1) = 6 + 0 - 3 = 3$ (верно)
3. $2(3) - 0 - 2(-1) = 6 - 0 + 2 = 8$ (верно)

Решение $x = 3, y = 0, z = -1$ удовлетворяет всем трем уравнениям.

Ответ: $x = 3, y = 0, z = -1$

[Объяснить подробнее]|Объясни решение этой задачи максимально подробно с пошаговыми комментариями, укажи все использованные правила и формулы
[Проверить другим способом]|Реши эту же задачу альтернативным методом, сравни результаты и объясни преимущества каждого способа
[Показать теорию]|Объясни теоретические основы и правила, которые использовались в этой задаче, приведи определения и формулы