Решение системы линейных уравнений методом Крамера, матричным методом и методом Гаусса
Я ИИ-ассистент платформы Homiwork. Сейчас я помогу вам решить задание.
Задание 4.4
Уравнения системы:
1. \(x - 3y + z = 2\)
2. \(2x + y + 3z = 3\)
3. \(2x - y - 2z = 8\)
Решение методом Крамера
Сначала найдем главный определитель системы:
\(\Delta = \begin{vmatrix} 1 & -3 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 2 & -1 & -2 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ -1 & -2 \end{vmatrix} - (-3) \cdot \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 2 & -2 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = 1(-2 + 3) + 3(-4 - 6) + 1(-2 - 2) = 1 - 30 - 4 = -33\)
Теперь найдем определители для каждой переменной:
\(\Delta_x = \begin{vmatrix} 2 & -3 & 1 \\ 3 & 1 & 3 \\ 8 & -1 & -2 \end{vmatrix} = 2 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ -1 & -2 \end{vmatrix} - (-3) \cdot \begin{vmatrix} 3 & 3 \\ 8 & -2 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 8 & -1 \end{vmatrix} = 2(-2 + 3) + 3(-6 - 24) + 1(-3 - 8) = 2 - 90 - 11 = -99\)
\(\Delta_y = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 3 \\ 2 & 8 & -2 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 3 \\ 8 & -2 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 2 & -2 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 2 & 8 \end{vmatrix} = 1(-6 - 24) - 2(-4 - 6) + 1(16 - 6) = -30 + 20 + 10 = 0\)
\(\Delta_z = \begin{vmatrix} 1 & -3 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 2 & -1 & 8 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ -1 & 8 \end{vmatrix} - (-3) \cdot \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 2 & 8 \end{vmatrix} + 2 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = 1(8 + 3) + 3(16 - 6) + 2(-2 - 2) = 11 + 30 - 8 = 33\)
Теперь найдем значения переменных:
\(x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{-99}{-33} = 3\)
\(y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{0}{-33} = 0\)
\(z = \frac{\Delta_z}{\Delta} = \frac{33}{-33} = -1\)
Итак, решение системы: \(x = 3, y = 0, z = -1\).
Решение матричным методом
Запишем систему в матричном виде:
\(\begin{pmatrix} 1 & -3 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 2 & -1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 8 \end{pmatrix}\)
Найдем обратную матрицу для матрицы коэффициентов. Матрица коэффициентов:
\(A = \begin{pmatrix} 1 & -3 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 2 & -1 & -2 \end{pmatrix}\)
Определитель матрицы \(A\) мы уже нашли: \(\Delta = -33\).
Найдем матрицу алгебраических дополнений:
\(A_{11} = \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ -1 & -2 \end{vmatrix} = 1\), \(A_{12} = -\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 2 & -2 \end{vmatrix} = 10\), \(A_{13} = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = -4\)
\(A_{21} = -\begin{vmatrix} -3 & 1 \\ -1 & -2 \end{vmatrix} = -7\), \(A_{22} = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -2 \end{vmatrix} = -4\), \(A_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & -3 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = -5\)
\(A_{31} = \begin{vmatrix} -3 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = -10\), \(A_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = -1\), \(A_{33} = \begin{vmatrix} 1 & -3 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 7\)
Матрица алгебраических дополнений:
\(C = \begin{pmatrix} 1 & 10 & -4 \\ -7 & -4 & -5 \\ -10 & -1 & 7 \end{pmatrix}\)
Транспонированная матрица:
\(C^T = \begin{pmatrix} 1 & -7 & -10 \\ 10 & -4 & -1 \\ -4 & -5 & 7 \end{pmatrix}\)
Обратная матрица:
\(A^{-1} = \frac{1}{\Delta} C^T = \frac{1}{-33} \begin{pmatrix} 1 & -7 & -10 \\ 10 & -4 & -1 \\ -4 & -5 & 7 \end{pmatrix}\)
Теперь найдем решение:
\(\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = A^{-1} \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 8 \end{pmatrix} = \frac{1}{-33} \begin{pmatrix} 1 & -7 & -10 \\ 10 & -4 & -1 \\ -4 & -5 & 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 8 \end{pmatrix} = \frac{1}{-33} \begin{pmatrix} 2 - 21 - 80 \\ 20 - 12 - 8 \\ -8 - 15 + 56 \end{pmatrix} = \frac{1}{-33} \begin{pmatrix} -99 \\ 0 \\ 33 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}\)
Итак, решение системы: \(x = 3, y = 0, z = -1\).
Решение методом Гаусса
Запишем расширенную матрицу системы:
\(\begin{pmatrix} 1 & -3 & 1 & | & 2 \\ 2 & 1 & 3 & | & 3 \\ 2 & -1 & -2 & | & 8 \end{pmatrix}\)
Выполним элементарные преобразования строк:
- Вычтем из второй строки первую, умноженную на 2: \(R_2 \rightarrow R_2 - 2R_1\)
- Вычтем из третьей строки первую, умноженную на 2: \(R_3 \rightarrow R_3 - 2R_1\)
\(\begin{pmatrix} 1 & -3 & 1 & | & 2 \\ 0 & 7 & 1 & | & -1 \\ 0 & 5 & -4 & | & 4 \end{pmatrix}\)
Теперь избавимся от коэффициента 5 во второй строке.
Умножим вторую строку на 5, а третью на 7:
\(\begin{pmatrix} 1 & -3 & 1 & | & 2 \\ 0 & 35 & 5 & | & -5 \\ 0 & 35 & -28 & | & 28 \end{pmatrix}\)
Вычтем из третьей строки вторую: \(R_3 \rightarrow R_3 - R_2\)
\(\begin{pmatrix} 1 & -3 & 1 & | & 2 \\ 0 & 35 & 5 & | & -5 \\ 0 & 0 & -33 & | & 33 \end{pmatrix}\)
Теперь можно найти значения переменных, начиная с последней строки:
\(-33z = 33 \Rightarrow z = -1\)
\(35y + 5z = -5 \Rightarrow 35y - 5 = -5 \Rightarrow 35y = 0 \Rightarrow y = 0\)
\(x - 3y + z = 2 \Rightarrow x - 0 - 1 = 2 \Rightarrow x = 3\)
Итак, решение системы: \(x = 3, y = 0, z = -1\).
Проверка решения
Подставим найденные значения в исходные уравнения:
- \(3 - 3(0) + (-1) = 3 - 0 - 1 = 2\) (верно)
- \(2(3) + 0 + 3(-1) = 6 + 0 - 3 = 3\) (верно)
- \(2(3) - 0 - 2(-1) = 6 - 0 + 2 = 8\) (верно)
Решение \(x = 3, y = 0, z = -1\) удовлетворяет всем трем уравнениям.
Ответ: \(x = 3, y = 0, z = -1\)
[Объяснить подробнее]|Объясни решение этой задачи максимально подробно с пошаговыми комментариями, укажи все использованные правила и формулы
[Проверить другим способом]|Реши эту же задачу альтернативным методом, сравни результаты и объясни преимущества каждого способа
[Показать теорию]|Объясни теоретические основы и правила, которые использовались в этой задаче, приведи определения и формулы
