Анализ дисперсии сельскохозяйственных доходов: F-тест

Задание 13-1

Цель: Определить, существуют ли различия в дисперсии сельскохозяйственных доходов между регионами Хоккайдо-Тохоку и Кюсю, используя тест на равенство дисперсий.

Данные: Таблица 13.1 "Суммарный сельскохозяйственный доход (2017 год, в миллиардах иен)" содержит данные по префектурам Хоккайдо-Тохоку и Кюсю.

Решение:

Для проверки равенства дисперсий двух групп данных используется F-тест.

1. Сбор данных:

   • Хоккайдо-Тохоку: 12,762 (Хоккайдо), 3,103 (Аомори), 2,693 (Иватэ), 1,900 (Мияги), 1,792 (Акита), 2,441 (Ямагата), 2,071 (Фукусима).
   • Кюсю: 2,194 (Фукуока), 1,311 (Сага), 1,632 (Нагасаки), 3,423 (Кумамото), 1,273 (Оита), 3,524 (Миядзаки), 5,000 (Кагосима).

2. Расчет выборочных дисперсий:

   • Хоккайдо-Тохоку:
     • Среднее значение (\(\bar{x}_1\)): \(\frac{12762 + 3103 + 2693 + 1900 + 1792 + 2441 + 2071}{7} \approx 4000.43\)
     • Дисперсия (\(s_1^2\)): \(\frac{\sum(x_i - \bar{x}_1)^2}{n_1 - 1} \approx \frac{85,588,000}{6} \approx 14,264,667\)
   • Кюсю:
     • Среднее значение (\(\bar{x}_2\)): \(\frac{2194 + 1311 + 1632 + 3423 + 1273 + 3524 + 5000}{7} \approx 2650.71\)
     • Дисперсия (\(s_2^2\)): \(\frac{\sum(x_i - \bar{x}_2)^2}{n_2 - 1} \approx \frac{15,100,000}{6} \approx 2,516,667\)

   Примечание: Расчеты дисперсий могут незначительно отличаться в зависимости от используемой формулы (с коррекцией Бесселя или без нее) и точности промежуточных вычислений.

3. Расчет F-статистики:
   F-статистика рассчитывается как отношение большей выборочной дисперсии к меньшей:
   \(F = \frac{s_{большая}^2}{s_{меньшая}^2}\)
   В нашем случае:
   \(F = \frac{14,264,667}{2,516,667} \approx 5.67\)

4. Определение критического значения:

   • Уровень значимости (\(\alpha\)): Обычно принимается 0.05.
   • Степени свободы:
     • Числитель: \(df_1 = n_1 - 1 = 7 - 1 = 6\)
     • Знаменатель: \(df_2 = n_2 - 1 = 7 - 1 = 6\)
   • Критическое значение F для \(\alpha = 0.05\) и степеней свободы (6, 6) находится по таблице F-распределения. Оно составляет примерно 4.28.

5. Принятие решения:

   • Сравниваем рассчитанную F-статистику с критическим значением: \(5.67 > 4.28\).
   • Поскольку рассчитанное значение F больше критического, мы отвергаем нулевую гипотезу о равенстве дисперсий.

Вывод:
На уровне значимости 0.05 существуют статистически значимые различия в дисперсии сельскохозяйственных доходов между регионами Хоккайдо-Тохоку и Кюсю. Это означает, что разброс данных (вариативность доходов) в этих двух регионах различается.