Într-un cerc se formează două tipuri principale de unghiuri: unghiul la centru — cu vârful în centrul cercului, și unghiul înscris — cu vârful pe cerc. Legătura dintre ele este simplă: unghiul la centru are măsura egală cu măsura arcului pe care îl subîntinde, iar unghiul înscris este jumătate din măsura acestuia. Pe această pagină veți găsi definiții, teorema unghiului înscris cu toate consecințele sale, desene explicative, rezolvări de probleme pas cu pas și un simulator interactiv pe care vă puteți testa imediat cunoștințele.
Tipuri de unghiuri în cerc: la centru și înscris
Dacă trasăm în cerc două segmente dintr-un punct, obținem un unghi. În funcție de poziția vârfului său, distingem două tipuri principale de unghiuri în cerc:
- Unghi la centru — un unghi cu vârful în centrul cercului \(O\). Laturile sale sunt raze.
- Unghi înscris — un unghi al cărui vârf se află pe cerc, iar laturile sale intersectează cercul (adică sunt coarde).
Fiecare dintre aceste unghiuri subîntinde un arc — o porțiune a cercului care se află în interiorul unghiului. Arcul este cel care leagă unghiul la centru de cel înscris: ambele se exprimă prin măsura în grade a arcului.
În cazul în care vârful unghiului se află în interiorul cercului (dar nu în centru) sau în exteriorul acestuia, nu mai este un unghi înscris sau la centru: pentru astfel de unghiuri există formule specifice, despre care vom vorbi la sfârșitul paginii.
m(∠AOC) = m(arc AC) = 120°
m(∠ABC) = ½ m(arc AC) = 60°
Teorema unghiului înscris și măsura unghiului înscris
Măsura unghiului la centru este egală cu măsura arcului pe care îl subîntinde — astfel se introduce măsura în grade a unui arc. Dacă \(m(\angle AOC) = 120°\), atunci și arcul \(AC\) are măsura de \(120°\).
Teorema unghiului înscris: măsura unghiului înscris este jumătate din măsura arcului pe care îl subîntinde:
De aici rezultă principala relație dintre unghiurile înscrise și cele la centru: unghiul înscris este de două ori mai mic decât unghiul la centru care subîntinde același arc:
Măsura unghiului înscris nu depinde de poziția exactă a vârfului pe cerc — contează doar arcul pe care îl subîntinde. De aceea, desenul de mai jos merită memorat ca o „imagine de lucru” pentru întreaga temă: arcul verde și cele două unghiuri care „privesc” spre el.
Unghiuri înscrise și la centru: proprietăți și consecințe
Din teorema unghiului înscris decurg direct proprietăți pe care se bazează majoritatea problemelor școlare:
- Unghiurile înscrise care subîntind același arc sunt congruente (egale). Fiecare dintre ele are măsura jumătate din măsura aceluiași arc — deci sunt egale între ele, indiferent de poziția vârfurilor lor.
- Unghiul înscris care subîntinde un diametru (un semicerc) este drept. Diametrul împarte cercul în două semicercuri de \(180°\), deci un astfel de unghi are măsura \(180° : 2 = 90°\). Reciproca este de asemenea adevărată: dacă un unghi înscris este drept, atunci el subîntinde un diametru.
- Un unghi înscris poate fi obtuz. Dacă arcul are măsura mai mare de \(180°\), unghiul este mai mare de \(90°\) — formula „jumătate din arc” funcționează fără excepții.
Aceste proprietăți funcționează și „în sens invers”: de exemplu, pe baza egalității unghiurilor care subîntind același segment, se demonstrează că patru puncte sunt conciclice (se află pe același cerc).
Patrulaterul inscriptibil
Dacă toate cele patru vârfuri ale unui patrulater se află pe un cerc, acesta se numește inscriptibil (iar cercul se numește circumscris patrulaterului). Unghiurile unui astfel de patrulater sunt unghiuri înscrise, deci pentru ele se aplică aceeași teoremă.
- Suma unghiurilor opuse ale unui patrulater inscriptibil este de \(180°\). Unghiurile \(A\) și \(C\) subîntind două arce care împreună formează întregul cerc (\(360°\)), de aceea \(m(\angle A) + m(\angle C) = 360° : 2 = 180°\).
- Unghiul exterior al unui patrulater inscriptibil este congruent cu unghiul interior opus. Unghiul exterior este suplementar cu unghiul interior adiacent — la fel ca și unghiul opus acestuia.
- Proprietatea sumei unghiurilor este și un criteriu de inscriptibilitate: dacă într-un patrulater suma unghiurilor opuse este de \(180°\), atunci în jurul lui se poate circumscrie un cerc. De aceea, orice dreptunghi este inscriptibil, dar un romb (cu excepția pătratului) nu este.
Pe lângă unghiurile înscrise, în probleme se întâlnesc și unghiuri circumscrise — unghiuri formate de două tangente duse dintr-un punct exterior cercului. Măsura unghiului circumscris este egală cu semidiferența măsurilor arcelor pe care le determină pe cerc.
Exemple de rezolvare a problemelor cu unghiuri înscrise și la centru
Exemplul 1. Unghiul înscris pe baza arcului
Problemă. Unghiul înscris \(ABC\) subîntinde arcul \(AC\) cu măsura de \(120°\). Aflați \(m(\angle ABC)\).
Pasul 1. Ne amintim teorema: măsura unghiului înscris este jumătate din măsura arcului pe care îl subîntinde.
Pasul 2. Înlocuim: \(m(\angle ABC) = \frac{1}{2} \cdot 120° = 60°\).
Răspuns: \(60°\).
Exemplul 2. Unghiul la centru pe baza celui înscris
Problemă. Unghiul înscris \(ABC\) are măsura de \(40°\). Aflați măsura unghiului la centru \(AOC\), care subîntinde același arc \(AC\).
Pasul 1. Unghiul la centru este de două ori mai mare decât unghiul înscris care subîntinde același arc: \(m(\angle AOC) = 2 \cdot m(\angle ABC)\).
Pasul 2. Calculăm: \(m(\angle AOC) = 2 \cdot 40° = 80°\). Am aflat și măsura arcului: \(m(AC) = 80°\).
Răspuns: \(80°\).
Exemplul 3. Unghiul care subîntinde un diametru
Problemă. \(AC\) este diametrul cercului, punctul \(B\) se află pe cerc, \(m(\angle BAC) = 35°\). Aflați \(m(\angle BCA)\).
Pasul 1. Unghiul \(ABC\) subîntinde diametrul \(AC\), deci \(m(\angle ABC) = 90°\) — triunghiul \(ABC\) este dreptunghic.
Pasul 2. Suma unghiurilor unui triunghi este de \(180°\): \(m(\angle BCA) = 180° - 90° - 35° = 55°\).
Răspuns: \(55°\).
Exemplul 4. Patrulaterul inscriptibil
Problemă. Patrulaterul \(ABCD\) este inscriptibil, \(m(\angle A) = 70°\), \(m(\angle B) = 80°\). Aflați măsurile unghiurilor \(C\) și \(D\).
Pasul 1. Suma unghiurilor opuse ale unui patrulater inscriptibil este de \(180°\): \(m(\angle C) = 180° - m(\angle A) = 180° - 70° = 110°\).
Pasul 2. Similar, \(m(\angle D) = 180° - m(\angle B) = 180° - 80° = 100°\).
Verificare. \(70° + 80° + 110° + 100° = 360°\) — suma unghiurilor patrulaterului este corectă.
Răspuns: \(m(\angle C) = 110°\), \(m(\angle D) = 100°\).
Greșeli frecvente în problemele despre unghiuri în cerc
-
Se confundă unghiul înscris cu cel la centru: pentru unghiul cu vârful în centru se ia jumătate din arc (sau invers).
Mai întâi, uitați-vă la vârf. Vârful în centrul \(O\) — unghi la centru, măsura sa este egală cu măsura întregului arc. Vârful pe cerc — unghi înscris, măsura sa este jumătate din măsura arcului.
-
Se alege arcul greșit: pentru unghiul înscris, se consideră arcul pe care se află vârful său.
Unghiul înscris subîntinde arcul care se află „în interiorul” unghiului — vârful este întotdeauna pe celălalt arc. În notația \(\angle ABC\), unghiul subîntinde arcul \(AC\) care nu conține punctul \(B\).
-
Se înmulțește și se împarte la 2 „în direcția greșită”: de la unghiul înscris la cel la centru se împarte, în loc să se înmulțească.
Rețineți: unghiul înscris este „mic” (jumătate de arc), cel la centru este „mare” (arcul întreg). De la înscris la cel la centru — se înmulțește cu 2, de la cel la centru la înscris — se împarte.
-
Se consideră înscris orice unghi ale cărui laturi intersectează cercul — de exemplu, unghiul dintre două coarde care se intersectează în interiorul cercului.
Vârful unui unghi înscris trebuie să se afle chiar pe cerc. Un unghi cu vârful în interiorul cercului are măsura egală cu semisuma arcelor determinate, iar unul cu vârful în exterior — cu semidiferența: acestea sunt alte formule.
-
Într-un patrulater inscriptibil, se consideră că suma unghiurilor alăturate este de $180°$, în loc de cele opuse.
Proprietatea funcționează doar pentru vârfurile opuse: \(m(\angle A) + m(\angle C) = 180°\) și \(m(\angle B) + m(\angle D) = 180°\). Unghiurile alăturate ale unui patrulater inscriptibil pot avea orice măsuri.
Întrebări și răspunsuri
Care este măsura unghiului înscris?
Măsura unghiului înscris este jumătate din măsura arcului pe care îl subîntinde. De exemplu, dacă arcul are 120°, unghiul înscris are 60°. Aceasta este teorema unghiului înscris — formula principală a acestei teme.
Ce legătură există între unghiul înscris și cel la centru care subîntind același arc?
Unghiul la centru este de două ori mai mare decât cel înscris: m(∠AOC) = 2·m(∠ABC). Măsura unghiului la centru este egală cu măsura arcului, iar a celui înscris — cu jumătate din măsura arcului.
De ce unghiul înscris care subîntinde un diametru are 90°?
Diametrul subîntinde un semicerc — un arc de 180°. Măsura unghiului înscris este jumătate din măsura arcului: 180° : 2 = 90°. De aceea, orice triunghi în care o latură este diametrul cercului circumscris este dreptunghic.
Poate un unghi înscris să fie obtuz?
Da. Dacă arcul pe care îl subîntinde unghiul are măsura mai mare de 180°, unghiul este obtuz: de exemplu, unui arc de 210° îi corespunde un unghi înscris de 105°. Totuși, unghiul înscris este întotdeauna mai mic de 180°.
Ce este un unghi circumscris și prin ce se deosebește de cel înscris?
Un unghi circumscris este format de două tangente duse la cerc dintr-un punct exterior. Vârful său se află în afara cercului, iar măsura sa este egală cu semidiferența măsurilor arcelor determinate. Vârful unghiului înscris se află pe cerc, iar măsura sa este jumătate din măsura unui singur arc.
Ce alte tipuri de unghiuri în cerc mai există?
Pe lângă unghiul la centru și cel înscris, se mai studiază unghiul format de două coarde (vârful în interiorul cercului — semisuma arcelor), unghiul format de două secante dintr-un punct exterior (semidiferența arcelor) și unghiul format de o tangentă și o coardă (jumătate din măsura arcului interior). Toate acestea se exprimă prin măsurile arcelor de cerc.
