Teorema cosinusului leagă cele trei laturi ale unui triunghi și unul dintre unghiurile sale: \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\). Ea funcționează în orice triunghi, de aceea în clasa a IX-a ea înlocuiește teorema lui Pitagora acolo unde nu există un unghi drept. Cu ea se găsește a treia latură, dacă sunt cunoscute celelalte două și unghiul dintre ele, iar prin consecință \(\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\) — orice unghi după trei laturi și tipul triunghiului. Pe pagină — formularea și toate cele trei variante ale formulei, demonstrația, tabelul cosinusurilor, fișa „sinusuri sau cosinusuri”, analize de probleme OGE și un simulator pentru autoverificare.
Teorema cosinusului: formulare și formulă
Teorema cosinusului funcționează în orice triunghi — unghiul drept nu îi este necesar. Ea leagă trei laturi și un unghi, de aceea cu ea se găsește o latură, dacă sunt cunoscute celelalte două laturi și unghiul dintre ele.
Formulare. Pătratul unei laturi a triunghiului este egal cu suma pătratelor celorlalte două laturi minus dublul produs al acestor laturi cu cosinusul unghiului dintre ele.
Aici \(a\), \(b\), \(c\) — laturile triunghiului, iar \(C\) — unghiul dintre laturile \(a\) și \(b\); latura \(c\) se află vizavi de acest unghi. Literele pot fi alese oricum — formula este simetrică, de aceea are trei scrieri echivalente:
Regula principală de substituție: unghiul ales este cel cuprins între laturile din produs, iar latura găsită este cea vizavi de el. Dacă se alege un unghi „vecin”, toate numerele vor fi din condiție, iar răspunsul — incorect.
De ce teorema lui Pitagora este un caz particular al teoremei cosinusului
Să substituim în formulă un unghi drept, adică \(C = 90°\). Cosinusul unghiului drept este zero, de aceea termenul al treilea se anulează în totalitate:
Am obținut exact teorema lui Pitagora, cunoscută din clasa a VIII-a. De aceea teorema cosinusului este numită generalizarea ei: Pitagora — este „cazul particular pentru 90°”, iar teorema cosinusului funcționează pentru toate unghiurile simultan.
Termenul \(-2ab\cos C\) este util de înțeles ca o corecție pentru unghiul ne-drept:
- unghiul este ascuțit, \(\cos C > 0\) — corecția se scade, latura \(c\) este mai scurtă decât ar fi dat-o Pitagora;
- unghiul este drept, \(\cos C = 0\) — nu există corecție, rămâne \(c^2 = a^2 + b^2\);
- unghiul este obtuz, \(\cos C < 0\) — corecția se adaugă, latura \(c\) este mai lungă.
Demonstrația teoremei cosinusului
Cea mai scurtă demonstrație școlară este cea prin coordonate. Plasăm vârful \(C\) în originea sistemului de coordonate, iar latura \(b = CA\) o orientăm pe axa x. Atunci coordonatele vârfurilor sunt:
- \(C(0;\ 0)\) — originea sistemului de coordonate;
- \(A(b;\ 0)\) — punctul de pe axa x la distanța \(b\) de origine;
- \(B(a\cos C;\ a\sin C)\) — vârful la distanța \(a\) de origine sub un unghi \(C\) față de axa x.
Latura \(c\) este lungimea segmentului \(AB\). O calculăm după formula distanței dintre două puncte:
Desfacem parantezele:
Grupăm termenii cu \(a^2\) și aplicăm identitatea trigonometrică fundamentală \(\sin^2 C + \cos^2 C = 1\):
Ceea ce era de demonstrat. Atenție: nicăieri nu s-a cerut ca unghiul \(C\) să fie ascuțit. Dacă este obtuz, cosinusul este negativ, coordonata \(a\cos C\) se deplasează spre stânga față de axa y, dar toate calculele rămân aceleași — de aceea teorema este valabilă pentru orice triunghi.
Consecință: cum să găsești unghiul după trei laturi
Din teorema cosinusului se exprimă cosinusul însuși — aceasta este consecința sa principală. Cu ea se găsește unghiul atunci când sunt cunoscute toate cele trei laturi:
La numărător — suma pătratelor celor două laturi adiacente unghiului, minus pătratul laturii vizavi de el. La numitor — dublul produs al laturilor adiacente. Pentru celelalte unghiuri, formulele sunt aceleași:
Ordinea rezolvării:
- se alege unghiul căutat și se determină ce latură se află vizavi de el — pătratul acesteia intră în numărător cu semnul minus;
- se calculează fracția (numitorul este întotdeauna pozitiv, semnul este dat doar de numărător);
- după tabelul valorilor sau prin arc-cosinus se găsește unghiul însuși.
Un truc util: începe cu cea mai mare latură. Vizavi de ea se află cel mai mare unghi, și doar acesta poate fi drept sau obtuz — celelalte două unghiuri din triunghi sunt întotdeauna ascuțite.
Cosinusurile unghiurilor obtuze sunt negative: tabelul valorilor
În problemele școlare, unghiurile sunt aproape întotdeauna „din tabel”: 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°. Unghiurile ascuțite au cosinusul pozitiv, cel drept este zero, iar cele obtuze — negative. Valorile pentru unghiurile obtuze se obțin din valorile pentru cele ascuțite conform regulii de reducere \(\cos(180° - \alpha) = -\cos\alpha\): de exemplu, \(\cos 120° = -\cos 60° = -0{,}5\).
Ce înseamnă asta în practică: la un unghi obtuz, expresia \(-2ab\cos C\) se transformă în plus — minus înmulțit cu minus. Pentru unghiul \(120°\) formula arată așa:
Exact aici se pierd cele mai multe puncte: se substituie \(0{,}5\) în loc de \(-0{,}5\) și se obține o latură mai scurtă decât cele două date. Acest lucru este în mod evident imposibil — vizavi de un unghi obtuz se află cea mai lungă latură a triunghiului.
| Unghi | Cosinus |
|---|---|
| 30° | √3/2 ≈ 0,87 |
| 45° | √2/2 ≈ 0,71 |
| 60° | 1/2 = 0,5 |
| 90° | 0 |
| 120° | −1/2 = −0,5 |
| 135° | −√2/2 ≈ −0,71 |
| 150° | −√3/2 ≈ −0,87 |
Cum să determini tipul triunghiului după trei laturi
Teorema cosinusului permite aflarea tipului triunghiului, fără a măsura unghiurile cu raportorul. Semnul fracției \(\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\) depinde doar de numărător: numitorul \(2ab\) este întotdeauna pozitiv. Deci, este suficient să comparăm pătratul celei mai mari laturi cu suma pătratelor celorlalte două.
Fie \(c\) cea mai mare latură, atunci vizavi de ea se află cel mai mare unghi \(C\):
- \(a^2 + b^2 > c^2\) → \(\cos C > 0\) → unghiul \(C\) este ascuțit. Celelalte unghiuri sunt mai mici decât el, deci toate cele trei unghiuri sunt ascuțite — triunghiul este ascuțitunghic;
- \(a^2 + b^2 = c^2\) → \(\cos C = 0\) → \(C = 90°\) — triunghiul este dreptunghic (aceasta este teorema inversă a lui Pitagora);
- \(a^2 + b^2 < c^2\) → \(\cos C < 0\) → unghiul \(C\) este obtuz — triunghiul este obtuzunghic.
Nu este necesar să verifici celelalte unghiuri: un unghi drept sau obtuz într-un triunghi există doar unul singur. Și nu uita de inegalitatea triunghiului — dacă cea mai mare latură nu este mai mică decât suma celorlalte două, un triunghi cu astfel de laturi nici nu există.
Teorema sinusurilor sau cosinusurilor: cum să alegi
Ambele teoreme rezolvă o singură problemă — găsesc laturile și unghiurile necunoscute ale triunghiului — dar se aplică în funcție de diferite seturi de date. Teorema sinusurilor leagă o latură de unghiul opus ei:
De aici și regula de alegere: dacă în condiție există deja o pereche „latură și unghiul opus ei” — funcționează teorema sinusurilor; dacă o astfel de pereche nu există — începem cu teorema cosinusurilor. Fișa de memorare pentru cele patru seturi școlare de date — în tabel.
Adesea, problema se rezolvă în doi pași: mai întâi teorema cosinusurilor dă a treia latură, apoi teorema sinusurilor găsește rapid unghiurile rămase.
| Ce este cunoscut | Ce aplicăm |
|---|---|
| LULDouă laturi și unghiul dintre ele | Teorema cosinusuluigăsim a treia latură |
| LLLToate cele trei laturi | Teorema cosinusuluigăsim orice unghi și tipul triunghiului |
| UL UO latură și două unghiuri | Teorema sinusurilorgăsim celelalte două laturi |
| L U LDouă laturi și unghiul opus uneia dintre ele | Teorema sinusurilorgăsim unghiul opus |
Teorema cosinusului în problemele OGE
La examenul OGE la matematică, teorema cosinusului apare în sarcinile de planimetrie — atât în prima parte, cât și în problemele cu răspuns detaliat. Subiecte tipice sunt:
- Găsirea laturii după două laturi și unghiul dintre ele — aplicare directă a formulei, cel mai des cu unghiuri de 60° sau 120°.
- Găsirea unghiului sau a cosinusului său după trei laturi — consecința \(\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\). Dacă în sarcină este scris „găsiți \(\cos\angle A\)”, nu este necesar să se calculeze arc-cosinusul: răspunsul este chiar acea fracție, care se și scrie.
- Diagonalele paralelogramului. Diagonala taie un triunghi din două laturi și unghiul dintre ele. Unghiurile adiacente ale paralelogramului însumează 180°, de aceea cosinusurile lor sunt opuse: vizavi de unghiul ascuțit se află diagonala mai mică, vizavi de cel obtuz — cea mai mare.
- Tipul triunghiului după trei numere — compararea \(a^2 + b^2\) cu \(c^2\).
- Mediana triunghiului. Formula \(m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}\) se deduce prin aplicarea dublă a teoremei cosinusului la două unghiuri adiacente la bază.
Sfat pentru examen: înainte de a calcula, marchează pe figură unghiul care este „prins” între laturile cunoscute. Dacă un astfel de unghi nu există — teorema cosinusului nu este încă aplicabilă, trebuie să cauți altă cale.
Exemple de rezolvare a problemelor la teorema cosinusului
Exemplul 1. Găsirea laturii după două laturi și unghiul de 60°
Problemă. Într-un triunghi \(ABC\), laturile \(a = 7\) și \(b = 15\), unghiul dintre ele \(C = 60°\). Găsiți latura \(c\).
Pasul 1. Unghiul \(C\) este cuprins între laturile \(a\) și \(b\) — acesta este exact cazul pentru care teorema a fost creată:
Pasul 2. Substituim numerele, \(\cos 60° = 0{,}5\):
Pasul 3. Extragem radicalul: \(c = \sqrt{169} = 13\).
Răspuns: \(13\). Verificare prin sens: unghiul \(60°\) este ascuțit, de aceea latura vizavi de el nu este cea mai lungă — și într-adevăr, \(13 < 15\).
Exemplul 2. Unghi obtuz: minus pe minus
Problemă. Într-un triunghi \(ABC\) se știe: \(AB = 6\), \(BC = 10\), unghiul \(B = 120°\). Găsiți latura \(AC\).
Pasul 1. Unghiul \(B\) este cuprins între laturile \(AB\) și \(BC\), iar latura \(AC\) se află vizavi de el:
Pasul 2. Unghiul este obtuz, de aceea \(\cos 120° = -0{,}5\). Minusul din fața produsului și minusul de la cosinus dau plus:
Pasul 3. \(AC = \sqrt{196} = 14\).
Răspuns: \(14\). Verificare: vizavi de unghiul obtuz se află cea mai lungă latură — \(14\) este mai mare decât \(6\) și \(10\).
Exemplul 3. Găsirea unghiului după trei laturi
Problemă. Laturile triunghiului sunt egale cu \(3\), \(5\) și \(7\). Găsiți cel mai mare unghi al său.
Pasul 1. Cel mai mare unghi se află vizavi de cea mai mare latură, adică vizavi de latura \(7\). O vom nota cu \(C\), atunci \(c = 7\), iar laturile adiacente \(a = 3\) și \(b = 5\).
Pasul 2. Aplicăm consecința:
Pasul 3. Cosinusul este negativ — unghiul este obtuz. După tabelul valorilor, \(\cos 120° = -0{,}5\), deci \(C = 120°\).
Răspuns: \(120°\). În treacăt s-a aflat că triunghiul este obtuzunghic.
Exemplul 4. Determinarea tipului triunghiului
Problemă. Determinați tipul triunghiului cu laturile \(6\), \(7\) și \(10\).
Pasul 1. Verificăm inegalitatea triunghiului: \(6 + 7 = 13 > 10\) — triunghiul există. Cea mai mare latură — \(10\).
Pasul 2. Comparăm suma pătratelor celor două laturi mai mici cu pătratul celei mai mari:
Pasul 3. \(85 < 100\), deci numărătorul fracției este negativ și \(\cos C < 0\) — unghiul vizavi de latura \(10\) este obtuz. Dacă se dorește, se poate găsi și unghiul însuși:
Răspuns: triunghiul este obtuzunghic. Atenție: vizual nu se vede — laturile sunt aproape egale, iar unghiul a depășit deja \(90°\).
Exemplul 5. Problemă de nivel OGE: diagonala paralelogramului
Problemă. Laturile paralelogramului sunt egale cu \(5\) și \(8\), unghiul ascuțit este \(60°\). Găsiți diagonala mai mică.
Pasul 1. Diagonala taie un triunghi pentru care sunt cunoscute două laturi (\(5\) și \(8\)) și unghiul dintre ele. Diagonala mai mică se află vizavi de unghiul ascuțit de \(60°\).
Pasul 2. Calculăm:
Pasul 3. Verificare. Cealaltă diagonală se află vizavi de unghiul \(120°\) (unghiurile adiacente ale paralelogramului însumează \(180°\)): \(D^2 = 89 + 40 = 129\), deci \(D = \sqrt{129} \approx 11{,}4\). Suma pătratelor diagonalelor este \(49 + 129 = 178\), iar suma dublă a pătratelor laturilor — \(2(25 + 64) = 178\). S-a potrivit, deci calculul este corect.
Răspuns: \(7\).
Greșeli frecvente în problemele la teorema cosinusului
-
Se ia cosinusul unghiului obtuz cu semnul plus. Pentru laturile $4$ și $9$ cu unghiul de $120°$ între ele se scrie $c^2 = 16 + 81 - 2 \cdot 4 \cdot 9 \cdot 0{,}5 = 61$ și se obține $c \approx 7{,}8$.
\(\cos 120° = -0{,}5\), iar minus înmulțit cu minus dă plus: \(c^2 = 97 + 36 = 133\), deci \(c = \sqrt{133} \approx 11{,}5\). Verificare rapidă: vizavi de unghiul obtuz se află cea mai lungă latură, deci răspunsul trebuie să fie mai mare decât \(9\).
-
Se substituie un unghi care nu este cuprins între laturile date: în condiție este dat un unghi, și acesta este luat „ca atare”, fără a privi figura.
În scrierea \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\), laturile \(a\) și \(b\) formează unghiul \(C\), iar latura \(c\) se află vizavi de el. Dacă unghiul cunoscut este adiacent laturii căutate, această scriere nu se potrivește — este necesară o altă variantă din cele trei sau teorema sinusurilor.
-
Se uită să se extragă radicalul și se scrie la răspuns pătratul laturii: s-a obținut $c^2 = 225$ și se scrie „latura este egală cu 225”.
Formula dă întotdeauna exact pătratul laturii. Ultimul pas este obligatoriu: \(c = \sqrt{225} = 15\). Recitește întrebarea problemei înainte de a scrie răspunsul.
-
Se încurcă ordinea termenilor în consecință și se scrie $\cos C = \dfrac{c^2 - a^2 - b^2}{2ab}$.
Numărătorul corect este \(a^2 + b^2 - c^2\): suma pătratelor laturilor adiacente minus pătratul laturii vizavi. La inversarea ordinii, semnul fracției se schimbă în opusul, și în loc de unghiul obtuz de \(120°\) se obține unul ascuțit de \(60°\).
-
Se găsește unghiul după modulul cosinusului: s-a obținut −0,25, iar la răspuns se scrie unghiul ascuțit, ca și cum cosinusul ar fi fost +0,25.
Cosinusul negativ înseamnă întotdeauna un unghi obtuz. Semnul nu trebuie pierdut: cos 60° = 0,5, iar cos 120° = −0,5; arc-cosinusul unui număr negativ este mai mare de 90°.
-
Se încearcă rezolvarea problemei „două laturi și unghiul dintre ele” cu teorema sinusurilor și se rămâne blocat la prima linie.
Teorema sinusurilor necesită o pereche gata formată „latură și unghiul opus ei”. La două laturi și unghiul dintre ele, o astfel de pereche nu există — mai întâi teorema cosinusurilor dă a treia latură, și abia apoi se aplică teorema sinusurilor.
Întrebări și răspunsuri
Cum sună teorema cosinusului?
Pătratul unei laturi a triunghiului este egal cu suma pătratelor celorlalte două laturi minus dublul produs al acestor laturi cu cosinusul unghiului dintre ele: c² = a² + b² − 2ab·cos C. Teorema este valabilă pentru orice triunghi, nu doar pentru cel dreptunghic.
Cum să găsești latura unui triunghi după două laturi și unghiul dintre ele?
Substituie datele în formula c² = a² + b² − 2ab·cos C și extrage radicalul. De exemplu, la laturile 4 și 6 și unghiul de 60° dintre ele: c² = 16 + 36 − 2·4·6·0,5 = 28, deci c = √28 ≈ 5,3.
Cum să găsești unghiul unui triunghi, dacă sunt cunoscute trei laturi?
După consecința din teorema cosinusului: cos C = (a² + b² − c²) / (2ab), unde c este latura vizavi de unghiul căutat. De exemplu, pentru laturile 2, 3 și 4, cosinusul celui mai mare unghi este (4 + 9 − 16) / (2·2·3) = −0,25, deci unghiul este obtuz, aproximativ 104°.
De ce teorema lui Pitagora este un caz particular al teoremei cosinusului?
Deoarece la un unghi drept, cos 90° = 0, iar termenul −2ab·cos C se anulează. Din formulă rămâne c² = a² + b² — aceasta este teorema lui Pitagora pentru triunghiul dreptunghic.
Funcționează teorema cosinusului în triunghiul obtuzunghic?
Da, și funcționează fără modificări. La un unghi obtuz, cosinusul este negativ, de aceea termenul −2ab·cos C devine pozitiv și se adaugă la suma pătratelor. Tocmai din acest motiv latura vizavi de unghiul obtuz este cea mai lungă.
Când să aplici teorema sinusurilor, și când teorema cosinusului?
Teorema sinusurilor este necesară atunci când în condiție există deja o pereche „latură și unghiul opus ei” — de exemplu, este dată o latură și două unghiuri. Teorema cosinusului — atunci când o astfel de pereche nu există: sunt date două laturi și unghiul dintre ele sau toate trei laturile. Adesea, problema se rezolvă în doi pași: mai întâi cosinusul, apoi sinusul.
Cum să determini tipul triunghiului după trei laturi?
Compară pătratul celei mai mari laturi c² cu suma pătratelor celorlalte două. Dacă a² + b² > c² — triunghiul este ascuțitunghic, dacă a² + b² = c² — dreptunghic, dacă a² + b² < c² — obtuzunghic. Semnul acestei diferențe coincide cu semnul cosinusului celui mai mare unghi.
În ce clasă se studiază teorema cosinusului?
În clasa a IX-a la lecțiile de geometrie, în tema „Relații între laturile și unghiurile triunghiului” — împreună cu teorema sinusurilor. Mai departe ea este folosită constant în problemele OGE și EGE la planimetrie și în stereometrie.
