Triunghiurile asemenea sunt triunghiuri de aceeași formă, dar de dimensiuni diferite: unghiurile lor sunt respectiv egale, iar laturile asemenea sunt proporționale. Numărul care arată de câte ori un triunghi este mai mare decât altul se numește coeficient de similitudine \(k\). Trei semne ajută la demonstrarea similitudinii, iar rapoartele perimetrelor și ariilor respectă o regulă simplă: perimetrele se raportează ca \(k\), iar ariile — ca \(k^2\). Pe această pagină — definiția și notația similitudinii cu ordinea corectă a vârfurilor, toate cele trei semne, similitudinea triunghiurilor dreptunghice și înălțimea din unghiul drept, rezolvări de probleme OGE „găsește latura” și un simulator interactiv.
Ce sunt triunghiurile asemenea și coeficientul de similitudine
Două triunghiuri se numesc asemenea dacă sunt îndeplinite simultan două condiții:
- unghiurile lor sunt respectiv egale — fiecărui unghi al primului triunghi îi corespunde un unghi egal din al doilea;
- laturile lor asemenea sunt proporționale — toate cele trei rapoarte dau același număr.
Laturi asemenea (corespondente) — sunt laturile care se opun unghiurilor egale. Acestea formează perechi, între care se calculează raportul.
Similitudinea se notează cu semnul \(\sim\):
Coeficientul de similitudine \(k\) — este exact același raport egal al laturilor asemenea:
Dacă \(k > 1\), al doilea triunghi este mai mare decât primul; dacă \(k < 1\) — mai mic; la \(k = 1\) triunghiurile sunt pur și simplu congruente, deoarece congruența este un caz particular de similitudine.
Ordinea vârfurilor în notație — nu este o formalitate
Notația \(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\) se citește strict pe poziții: \(A\) corespunde lui \(A_1\), \(B\) — lui \(B_1\), \(C\) — lui \(C_1\). De aici rezultă imediat ce unghiuri sunt egale (\(\angle A = \angle A_1\)) și ce laturi sunt asemenea (\(AB\) și \(A_1B_1\), \(BC\) și \(B_1C_1\), \(AC\) și \(A_1C_1\)).
Dacă se schimbă literele și se scrie \(\triangle ABC \sim \triangle B_1A_1C_1\), se obține o altă afirmație: acum \(\angle A = \angle B_1\), iar laturii \(AB\) îi va corespunde latura \(B_1A_1\). Nu se poate forma o proporție pe laturi „așezate asemănător” — doar pe pozițiile din notație. De aceea, mai întâi se scriu perechile de unghiuri egale și abia apoi se ajustează ordinea literelor.
Cele trei semne de similitudine a triunghiurilor
Nu este necesar să verifici toate cele șase condiții din definiție: similitudinea se demonstrează pe baza unuia dintre cele trei semne. Fiecare reprezintă un set minim de date, din care rezultă automat atât egalitatea tuturor unghiurilor, cât și proporționalitatea tuturor laturilor.
Cum se alege semnul. Vezi ce este dat în problemă: dacă sunt date unghiuri — primul semn, dacă sunt date două laturi și unghiul dintre ele — al doilea semn, dacă sunt date toate trei laturile — al treilea semn.
- Primul semn (după două unghiuri) — „calul de bătaie” al cursului școlar: aproape toate problemele OGE se rezolvă cu acesta. Nu este necesar să verifici al treilea unghi, acesta este egal automat: suma unghiurilor unui triunghi este întotdeauna \(180°\). Caută perechi gata formate de unghiuri egale — unghi comun a două triunghiuri, unghiuri opuse la vârf, alterne interne și corespondente la drepte paralele, două unghiuri drepte.
- Al doilea semn (după două laturi și unghiul dintre ele) necesită ca unghiul să fie exact între cele două laturi. Dacă unghiul egal se află vizavi de una dintre ele, semnul nu funcționează și similitudinea nu este demonstrată.
- Al treilea semn (după trei laturi) — când în condiții nu sunt date deloc unghiuri, ci doar lungimi. Scrie laturile fiecărui triunghi în ordine crescătoare și împarte cea mai mică la cea mai mică, cea mijlocie la cea mijlocie, cea mai mare la cea mai mare: astfel perechile nu vor fi încurcate. Similitudinea există doar dacă toate cele trei rapoarte coincid.
Pentru a nu confunda semnele de similitudine cu semnele de congruență, ține minte diferența: la congruență laturile trebuie să coincidă, la similitudine — să fie proporționale.
→ △ABC ∼ △A1B1C1
Raportul perimetrelor și ariilor triunghiurilor asemenea
Similitudinea are două consecințe care sunt întrebate cel mai des, iar una dintre ele este principala capcană a temei.
Perimetrele se raportează ca \(k\). Fiecare latură a celui de-al doilea triunghi este de \(k\) ori mai mare decât latura asemenea din primul, de aceea și suma laturilor crește exact de \(k\) ori:
La fel — „de \(k\) ori” — se comportă toate mărimile liniare: înălțimi, mediane, bisectoare, raze ale cercului înscris și circumscris, linii mijlocii.
Ariile se raportează ca \(k^2\). Aria depinde de două dimensiuni simultan: atât baza, cât și înălțimea cresc de \(k\) ori, iar produsul — de \(k \cdot k\) ori:
Fie \(k = 5\). Atunci perimetrul este de 5 ori mai mare (de exemplu, a fost 14 cm — a devenit 70 cm), iar aria — deja de 25 de ori (a fost 6 cm² — a devenit 150 cm²). Diferența este uriașă, iar înlocuirea lui \(k\) cu \(k^2\) aici este cea mai frecventă greșeală la examen.
Calcul invers. Dacă în condiții este dat raportul ariilor, coeficientul de similitudine se extrage prin radical: \(k = \sqrt{S_2 : S_1}\). De exemplu, ariile se raportează ca \(16 : 1\), deci laturile — ca \(4 : 1\).
| k | Perimetre P₂ : P₁ | Arii S₂ : S₁ |
|---|---|---|
| 2 | 2 : 1 | 4 : 1 |
| 3 | 3 : 1 | 9 : 1 |
| 1,5 | 1,5 : 1 | 2,25 : 1 |
| oricare | k : 1 | k² : 1 |
Similitudinea triunghiurilor dreptunghice și înălțimea din unghiul drept
Pentru triunghiurile dreptunghice, primul semn se simplifică: unghiurile drepte sunt egale din start, de aceea este suficientă egalitatea unui unghi ascuțit pentru ca triunghiurile să fie asemenea. Din aceasta rezultă și semnul după două catete: dacă catetele unui triunghi sunt proporționale cu catetele altuia, triunghiurile sunt asemenea (acesta este al doilea semn, deoarece unghiul dintre catete este drept).
Cea mai utilă configurație din toată tema — înălțimea dusă din vârful unghiului drept. Aceasta împarte triunghiul în două, iar toate cele trei triunghiuri rezultate sunt asemenea între ele.
De ce așa: triunghiul \(AHC\) are unghi drept în \(H\) și un unghi comun cu triunghiul mare \(A\), deci \(\triangle AHC \sim \triangle ACB\). Triunghiul \(CHB\) are unghi drept în \(H\) și un unghi comun \(B\), deci \(\triangle CHB \sim \triangle ACB\). De aici rezultă că și cele două triunghiuri mici sunt asemenea între ele.
Din aceste similitudini rezultă formulele mediei geometrice (numite segmente proporționale în triunghiul dreptunghic):
- \(CH^2 = AH \cdot HB\) — înălțimea este media geometrică a segmentelor în care împarte ipotenuza;
- \(AC^2 = AH \cdot AB\) și \(BC^2 = HB \cdot AB\) — cateta este media geometrică a întregii ipotenuze și a proiecției sale pe ea.
Cel mai important — să nu se confunde ce segment este „propriu”: catetei \(AC\) îi corespunde proiecția \(AH\), catetei \(BC\) — proiecția \(HB\). Proiecția este întotdeauna adiacentă aceluiași capăt al ipotenuzei ca și cateta.
Probleme OGE de similitudine: cum se găsește o latură
Aproape toate problemele de similitudine se rezolvă după un singur algoritm:
- Găsește o pereche de unghiuri egale — unghi comun, opuse la vârf, alterne interne la drepte paralele sau două unghiuri drepte.
- Scrie similitudinea în ordinea corectă a vârfurilor — astfel încât unghiurile egale să fie pe poziții identice.
- Formează o proporție din laturile asemenea (alegem laturile care stau pe locuri identice în notație).
- Exprimă necunoscuta și calculează; la final verifică răspunsul prin sens — latura triunghiului mai mic trebuie să rezulte mai mică.
Configurațiile tipice la OGE sunt puține și merită recunoscute din prima:
- O dreaptă paralelă cu o latură. O dreaptă taie din triunghi un triunghi mic, asemenea celui inițial. Nuanța cheie: în proporție intră raportul întregilor laturi de la vârful comun (\(BM : BA\)), nu al segmentelor (\(BM : MA\)).
- „Fluture”. Două segmente se intersectează, iar capetele lor sunt unite prin drepte paralele — se obțin două triunghiuri asemenea, răsucite unul față de altul.
- Înălțimea din unghiul drept — configurație din secțiunea anterioară; la OGE se caută prin ea înălțimea, cateta sau segmentul ipotenuzei.
- Umbra și înălțimea obiectului. Razele soarelui sunt paralele, de aceea obiectul cu umbra sa și copacul cu umbra sa formează triunghiuri dreptunghice asemenea.
- Linia mijlocie — un caz particular cu \(k = 2\): este paralelă cu latura și de două ori mai scurtă decât ea.
unghiul B comun, unghiurile la M și A corespondente
unghiurile la O opuse la vârf, unghiurile A și C alterne interne
Exemple de rezolvare a problemelor de similitudine a triunghiurilor
Exemplul 1. Găsirea laturilor după coeficientul de similitudine
Problemă. \(\triangle MNK \sim \triangle PQR\). Se știe că \(MN = 7\), \(NK = 11\), \(MK = 9\) și \(PQ = 21\). Găsiți \(QR\) și \(PR\).
Pasul 1. Analizăm notația pe poziții: \(M \leftrightarrow P\), \(N \leftrightarrow Q\), \(K \leftrightarrow R\). Deci perechile asemenea sunt: \(MN\) și \(PQ\), \(NK\) și \(QR\), \(MK\) și \(PR\).
Pasul 2. Calculăm coeficientul după singura pereche unde ambele laturi sunt cunoscute:
Pasul 3. Celelalte laturi ale celui de-al doilea triunghi sunt de 3 ori mai mari decât cele asemenea:
Răspuns: \(QR = 33\), \(PR = 27\). Verificare: \(33 : 11 = 27 : 9 = 3\) — toate rapoartele au coincis.
Exemplul 2. Demonstrarea similitudinii după al doilea semn
Problemă. În triunghiurile \(ABC\) și \(DEF\) se știe: \(AB = 5\), \(AC = 9\), \(DE = 15\), \(DF = 27\), iar unghiurile \(A\) și \(D\) sunt egale. Demonstrați că triunghiurile sunt asemenea.
Pasul 1. Verificăm condiția principală a celui de-al doilea semn: unghiul \(A\) este cuprins între laturile \(AB\) și \(AC\), unghiul \(D\) — între \(DE\) și \(DF\). Unghiurile între laturile date — semnul este aplicabil.
Pasul 2. Calculăm rapoartele laturilor asemenea:
Pasul 3. Două perechi de laturi sunt proporționale cu același coeficient \(k = 3\), iar unghiurile dintre ele sunt egale — conform celui de-al doilea semn \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\).
Răspuns: triunghiurile sunt asemenea, \(k = 3\). Observați: dacă unghiurile egale ar fi fost \(B\) și \(D\), semnul nu ar fi fost aplicabil — unghiul \(B\) nu se află între \(AB\) și \(AC\).
Exemplul 3. Dreaptă paralelă cu o latură (problemă OGE)
Problemă. În triunghiul \(ABC\), punctul \(M\) se află pe latura \(AB\), punctul \(N\) — pe latura \(BC\), astfel încât \(MN \parallel AC\). Se știe că \(BM = 4\), \(MA = 12\), \(MN = 5\). Găsiți \(AC\).
Pasul 1. Deoarece \(MN \parallel AC\), unghiurile \(BMN\) și \(BAC\) sunt egale ca fiind corespondente, iar unghiul \(B\) este comun. Conform primului semn \(\triangle BMN \sim \triangle BAC\) (ordinea vârfurilor: \(M \leftrightarrow A\), \(N \leftrightarrow C\)).
Pasul 2. Găsim latura completă de la vârful comun: \(BA = BM + MA = 4 + 12 = 16\). Aceasta este nuanța principală — în proporție intră \(BA\), nu \(MA\).
Pasul 3. Formăm proporția din laturile asemenea:
Pasul 4. De aici \(AC = 5 \cdot 4 = 20\).
Răspuns: \(AC = 20\). Coeficientul de similitudine aici este 4: triunghiul mare este de patru ori mai mare decât cel tăiat.
Exemplul 4. Perimetre și arii
Problemă. Perimetrele triunghiurilor asemenea sunt 18 cm și 45 cm. Aria triunghiului mai mic este 16 cm². Găsiți aria triunghiului mai mare.
Pasul 1. Perimetrele se raportează ca coeficientul de similitudine:
Pasul 2. Ariile se raportează ca pătratul coeficientului: \(k^2 = 2{,}5^2 = 6{,}25\).
Pasul 3. Înmulțim aria triunghiului mai mic cu \(k^2\):
Răspuns: 100 cm². Dacă am fi înmulțit cu \(k = 2{,}5\), am fi obținut 40 cm² — o greșeală tipică, din cauza căreia se pierd toți punctele.
Exemplul 5. Înălțimea din vârful unghiului drept
Problemă. În triunghiul dreptunghic \(ABC\), cu unghiul drept la vârful \(C\), se duce înălțimea \(CH\) la ipotenuză. Se știe că \(AH = 4\) cm, \(HB = 9\) cm. Găsiți înălțimea \(CH\) și aria triunghiului.
Pasul 1. Înălțimea din unghiul drept este media geometrică a segmentelor ipotenuzei, deoarece \(\triangle AHC \sim \triangle CHB\):
Pasul 2. Extragem radicalul: \(CH = 6\) cm.
Pasul 3. Ipotenuza \(AB = AH + HB = 4 + 9 = 13\) cm. Aria se calculează prin ipotenuză și înălțimea dusă la ea:
Răspuns: \(CH = 6\) cm, \(S = 39\) cm².
Exemplul 6. Înălțimea unui copac după umbră
Problemă. Un țăruș vertical cu înălțimea de 2 m aruncă o umbră de 1,5 m. În același moment, umbra copacului este de 9 m. Care este înălțimea copacului?
Pasul 1. Razele soarelui sunt paralele, de aceea unghiul de incidență al razei pentru țăruș și pentru copac este același. Țărușul cu umbra și copacul cu umbra formează triunghiuri dreptunghice cu un unghi ascuțit egal — deci sunt asemenea.
Pasul 2. Formăm proporția „înălțime la umbra sa”:
Pasul 3. Exprimăm înălțimea necunoscută:
Răspuns: 12 m. Verificare prin sens: umbra copacului este de 6 ori mai lungă decât umbra țărușului, deci și copacul este de 6 ori mai înalt: \(2 \cdot 6 = 12\) m.
Greșeli frecvente în problemele de similitudine a triunghiurilor
-
Se consideră că ariile triunghiurilor asemenea se raportează ca $k$: la $k = 3$ se mărește aria de trei ori.
Ariile se raportează ca pătratul coeficientului: la \(k = 3\) aria este de \(3^2 = 9\) ori mai mare. Ca \(k\) se raportează doar mărimile liniare — laturi, perimetru, înălțimi, mediane. Regula-indiciu: aria se măsoară în unități pătrate, deci și coeficientul intră în ea la pătrat.
-
Se ignoră ordinea vârfurilor: din notația $\triangle ABC \sim \triangle KLM$ se formează proporția $AB : LM$.
Corespondența vârfurilor este dată de pozițiile în notație: \(A \leftrightarrow K\), \(B \leftrightarrow L\), \(C \leftrightarrow M\). Laturii \(AB\) îi corespunde \(KL\), iar laturii \(BC\) — \(LM\). Înainte de a scrie proporția, scrie perechile de vârfuri una sub alta — durează cinci secunde și elimină majoritatea erorilor.
-
Se demonstrează similitudinea după un singur unghi egal sau după două laturi proporționale fără unghi.
Un singur unghi egal nu este suficient: două triunghiuri pot avea un unghi comun având forme complet diferite. Este necesar semnul complet — două unghiuri, sau două laturi și unghiul dintre ele, sau toate trei laturile.
-
La al doilea semn se ia un unghi care nu se află între laturile date.
Al doilea semn funcționează doar cu unghiul dintre cele două laturi date. Dacă sunt cunoscute \(AB\), \(AC\) și unghiul \(B\) este egal, semnul este inaplicabil — caută altă cale: o pereche de unghiuri egale sau a treia latură.
-
Se inversează coeficientul: se găsește $k$ ca „latura mai mică la mai mare”, apoi se înmulțește cu el pentru a obține latura triunghiului mai mare.
Concordă cu tine însuți direcția: dacă \(k\) este raportul laturilor celui de-al doilea triunghi la primul, atunci laturile primului se înmulțesc cu \(k\), iar laturile celui de-al doilea se împart la \(k\). Verificarea finală prin sens: latura triunghiului mai mic trebuie să rezulte mai mică.
-
În problema cu o dreaptă paralelă cu o latură, se formează proporția din segmente: $BM : MA = MN : AC$.
Triunghiurile \(BMN\) și \(BAC\) sunt asemenea, iar laturile lor asemenea sunt \(BM\) și \(BA\) (latura întreagă de la vârful comun), nu segmentul \(MA\). Mai întâi găsește \(BA = BM + MA\), și abia apoi formează proporția.
-
Se confundă similitudinea cu congruența și în răspuns se scrie că laturile sunt pur și simplu egale.
Congruența este un caz particular de similitudine la \(k = 1\). Dacă \(k \ne 1\), triunghiurile au doar unghiurile egale, iar laturile sunt proporționale cu coeficientul \(k\). Semnele sunt de asemenea diferite: la congruență acestea sunt LUL, ULU, LLL cu laturi coincidente, la similitudine — laturi proporționale.
Întrebări și răspunsuri
Ce triunghiuri se numesc asemenea?
Se numesc asemenea triunghiurile ale căror unghiuri sunt respectiv egale, iar laturile asemenea sunt proporționale. Mai simplu spus, sunt triunghiuri de aceeași formă, dar de dimensiuni diferite. Similitudinea se notează cu semnul ∼: △ABC ∼ △A₁B₁C₁.
Ce este coeficientul de similitudine a triunghiurilor?
Coeficientul de similitudine k este un număr egal cu raportul laturilor asemenea ale triunghiurilor asemenea: k = A₁B₁ : AB = B₁C₁ : BC = A₁C₁ : AC. Acesta arată de câte ori un triunghi este mai mare decât altul. La k = 1 triunghiurile sunt congruente.
Câte semne de similitudine a triunghiurilor există și care sunt ele?
Există trei semne. Primul — după două unghiuri: două unghiuri ale unui triunghi sunt egale cu două unghiuri ale altuia. Al doilea — după două laturi și unghiul dintre ele: două laturi sunt proporționale și unghiurile dintre ele sunt egale. Al treilea — după trei laturi: toate cele trei perechi de laturi asemenea sunt proporționale.
Cum se raportează ariile triunghiurilor asemenea?
Ariile triunghiurilor asemenea se raportează ca pătratul coeficientului de similitudine: S₂ : S₁ = k². De exemplu, la k = 4 aria este de 16 ori mai mare. Invers: dacă ariile se raportează ca 25 : 1, atunci laturile se raportează ca 5 : 1.
Cum se raportează perimetrele triunghiurilor asemenea?
Perimetrele se raportează ca coeficientul de similitudine: P₂ : P₁ = k. La fel se comportă toate elementele liniare — înălțimi, mediane, bisectoare, linii mijlocii, raze ale cercului înscris și circumscris.
Prin ce se deosebește similitudinea triunghiurilor de congruență?
La triunghiurile congruente coincid atât unghiurile, cât și laturile, de aceea figurile pot fi suprapuse. La cele asemenea, coincid doar unghiurile, iar laturile sunt proporționale cu coeficientul k. Congruența este un caz particular de similitudine la k = 1.
Cum se demonstrează similitudinea triunghiurilor dreptunghice?
Este suficientă egalitatea unui unghi ascuțit: unghiurile drepte sunt deja egale, deci funcționează primul semn. A doua metodă — proporționalitatea catetelor: unghiul dintre catete este drept, de aceea este aplicabil al doilea semn de similitudine.
De ce înălțimea din unghiul drept dă trei triunghiuri asemenea?
Înălțimea CH din vârful unghiului drept C împarte triunghiul ABC în triunghiurile AHC și CHB. AHC are unghi drept în H și un unghi comun cu ABC, unghiul A, iar CHB — unghi drept în H și un unghi comun B, de aceea ambele sunt asemenea cu cel inițial, și deci și între ele. De aici rezultă formulele CH² = AH · HB, AC² = AH · AB și BC² = HB · AB.
În ce clasă se studiază similitudinea triunghiurilor?
În clasa a 8-a la lecțiile de geometrie — imediat după tema despre segmente proporționale. Acolo se studiază și cele trei semne de similitudine, raportul ariilor și aplicarea similitudinii la triunghiul dreptunghic. Mai departe, tema este folosită în clasa a 9-a și în problemele OGE.
