Construa o gráfico da função $y=-2x^2+8x-5$
Para construir o gráfico da função quadrática $y=-2x^2+8x-5$, siga os seguintes passos:
- Determine as coordenadas do vértice da parábola
A função tem a forma $y=a(x-h)^2+k$, onde $(h,k)$ são as coordenadas do vértice.
Para nossa função $y=-2x^2+8x-5$, o coeficiente $a=-2$.
Coordenada $x$ do vértice: $h = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2(-2)} = -\frac{8}{-4} = 2$
Coordenada $y$ do vértice: $k = f(h) = -2(2)^2+8(2)-5 = -2(4)+16-5 = -8+16-5 = 3$
Portanto, o vértice da parábola está no ponto $(2,3)$.
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Determine a direção dos ramos da parábola
Como o coeficiente $a=-2$ é negativo, os ramos da parábola estão direcionados para baixo.
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Encontre os pontos de interseção com os eixos coordenados
Com o eixo $y$ (quando $x=0$):
$y = -2(0)^2+8(0)-5 = -5$
Ponto de interseção com o eixo $y$: $(0,-5)$
Com o eixo $x$ (quando $y=0$):
$0 = -2x^2+8x-5$
$2x^2-8x+5 = 0$
Use a fórmula do discriminante: $D = b^2-4ac = (-8)^2-4(2)(5) = 64-40 = 24$
$x_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{24}}{4} = \frac{8 \pm 2\sqrt{6}}{4} = 2 \pm \frac{\sqrt{6}}{2}$
$x_1 \approx 3.22$ e $x_2 \approx 0.78$
Pontos de interseção com o eixo $x$: $(0.78,0)$ e $(3.22,0)$
- Construa o gráfico
O gráfico é uma parábola com vértice no ponto $(2,3)$, ramos direcionados para baixo, intersectando o eixo $y$ no ponto $(0,-5)$, e o eixo $x$ nos pontos $(0.78,0)$ e $(3.22,0)$.
