En sirkel skaper to hovedtyper vinkler: sentralvinkel — med toppunkt i sentrum, og innskreven vinkel — med toppunkt på selve sirkelbuen. Sammenhengen mellom dem er enkel: sentralvinkelen er lik buen den spenner over, mens den innskrevne vinkelen er halvparten så stor. På denne siden finner du definisjoner, teoremet om innskrevne vinkler med alle følger, illustrerende tegninger, trinnvise oppgaveløsninger og en interaktiv simulator der du kan teste deg selv.
Typer vinkler i en sirkel: sentralvinkel og innskreven vinkel
Hvis vi tegner to linjestykker fra ett punkt i en sirkel, får vi en vinkel. Avhengig av hvor toppunktet ligger, skiller vi mellom to hovedtyper vinkler i en sirkel:
- Sentralvinkel — en vinkel med toppunkt i sirkelens sentrum \(O\). Sidene er radier.
- Innskreven vinkel — en vinkel der toppunktet ligger på sirkelbuen, og sidene skjærer sirkelen (det vil si at de er korder).
Hver av disse vinklene spenner over en bue — den delen av sirkelen som ligger inne i vinkelen. Det er buen som knytter sentralvinkelen og den innskrevne vinkelen sammen: begge uttrykkes gjennom buen sin gradstørrelse.
Hvis vinkelens toppunkt ligger inne i sirkelen (men ikke i sentrum) eller utenfor, er det ikke en innskreven eller sentralvinkel: for slike vinkler finnes det egne formler, som vi kommer til på slutten av siden.
∠AOC = bue AC = 120°
∠ABC = ½ bue AC = 60°
Teorem om innskrevne vinkler og størrelsen på en innskreven vinkel
Sentralvinkelen er lik buen den spenner over — slik defineres gradstørrelsen til en bue. Hvis \(\angle AOC = 120°\), så er også bue \(AC\) lik \(120°\).
Teorem om innskrevne vinkler: en innskreven vinkel måles som halvparten av buen den spenner over:
Herfra kommer hovedforholdet mellom innskrevne vinkler og sentralvinkler: en innskreven vinkel er halvparten så stor som sentralvinkelen som spenner over den samme buen:
Størrelsen på en innskreven vinkel avhenger ikke av nøyaktig hvor på sirkelen toppunktet befinner seg — det er bare buen den spenner over som betyr noe. Derfor er tegningen under verdt å huske som en «arbeidstegning» for hele temaet: den grønne buen og to vinkler som ser på den.
Innskrevne og sentralvinkler: egenskaper og følger
Fra teoremet om innskrevne vinkler følger det direkte egenskaper som de fleste skoleoppgaver bygger på:
- Innskrevne vinkler som spenner over samme bue, er like. Hver av dem er lik halvparten av den samme buen — og dermed er de også like hverandre, uansett hvor toppunktene deres befinner seg.
- En innskreven vinkel som spenner over en diameter, er rett. En diameter deler sirkelen i to halvsirkler på \(180°\), derfor er en slik vinkel lik \(180° : 2 = 90°\). Det motsatte er også sant: hvis en innskreven vinkel er rett, spenner den over en diameter.
- En innskreven vinkel kan være stump. Hvis buen er større enn \(180°\), er vinkelen større enn \(90°\) — formelen «halve buen» fungerer uten unntak.
Disse egenskapene fungerer også «den andre veien»: for eksempel ved å bruke likhet mellom vinkler som spenner over samme linjestykke, kan man bevise at fire punkter ligger på samme sirkel.
Innskrevne og omskrevne vinkler: firkant i en sirkel
Hvis alle fire hjørnene i en firkant ligger på en sirkel, kalles den innskreven (og sirkelen kalles omskreven om firkanten). Vinklene i en slik firkant er innskrevne vinkler, så det samme teoremet gjelder for dem.
- Summen av motstående vinkler i en innskreven firkant er \(180°\). Vinklene \(A\) og \(C\) spenner over to buer som til sammen utgjør hele sirkelen (\(360°\)), derfor er \(\angle A + \angle C = 360° : 2 = 180°\).
- En ytre vinkel i en innskreven firkant er lik den indre vinkelen ved det motstående hjørnet. Den ytre vinkelen utfyller den indre vinkelen til \(180°\) — akkurat som den motstående vinkelen gjør.
- Egenskapen om summen av vinkler er også et kjennetegn: hvis summen av motstående vinkler i en firkant er \(180°\), kan man tegne en sirkel rundt den. Derfor kan enhver rektangel innskrives i en sirkel, mens en rombe (bortsett fra kvadratet) ikke kan det.
Ved siden av innskrevne vinkler møter man i oppgaver også omskrevne vinkler — vinkler mellom to tangenter trukket fra ett punkt utenfor sirkelen. En omskreven vinkel er lik halve differansen mellom buene den skjærer ut på sirkelen.
Eksempler på oppgaveløsning for innskrevne og sentralvinkler
Eksempel 1. Innskreven vinkel ut fra bue
Oppgave. Den innskrevne vinkelen \(ABC\) spenner over bue \(AC\), som er \(120°\). Finn \(\angle ABC\).
Trinn 1. Vi husker teoremet: en innskreven vinkel er lik halvparten av buen den spenner over.
Trinn 2. Vi setter inn: \(\angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 120° = 60°\).
Svar: \(60°\).
Eksempel 2. Sentralvinkel ut fra innskreven vinkel
Oppgave. Den innskrevne vinkelen \(ABC\) er \(40°\). Finn sentralvinkelen \(AOC\) som spenner over samme bue \(AC\).
Trinn 1. Sentralvinkelen er dobbelt så stor som den innskrevne vinkelen som spenner over samme bue: \(\angle AOC = 2 \cdot \angle ABC\).
Trinn 2. Vi regner ut: \(\angle AOC = 2 \cdot 40° = 80°\). Samtidig fant vi buen: \(AC = 80°\).
Svar: \(80°\).
Eksempel 3. Vinkel som spenner over en diameter
Oppgave. \(AC\) er en diameter i sirkelen, punkt \(B\) ligger på sirkelen, \(\angle BAC = 35°\). Finn \(\angle BCA\).
Trinn 1. Vinkel \(ABC\) spenner over diameteren \(AC\), derfor er \(\angle ABC = 90°\) — trekant \(ABC\) er rettvinklet.
Trinn 2. Summen av vinklene i en trekant er \(180°\): \(\angle BCA = 180° - 90° - 35° = 55°\).
Svar: \(55°\).
Eksempel 4. Innskreven firkant
Oppgave. Firkanten \(ABCD\) er innskrevet i en sirkel, \(\angle A = 70°\), \(\angle B = 80°\). Finn vinklene \(C\) og \(D\).
Trinn 1. Summen av motstående vinkler i en innskreven firkant er \(180°\): \(\angle C = 180° - \angle A = 180° - 70° = 110°\).
Trinn 2. Tilsvarende er \(\angle D = 180° - \angle B = 180° - 80° = 100°\).
Kontroll. \(70° + 80° + 110° + 100° = 360°\) — summen av vinklene i firkanten stemmer.
Svar: \(\angle C = 110°\), \(\angle D = 100°\).
Vanlige feil i oppgaver om vinkler i en sirkel
-
Man forveksler innskreven vinkel med sentralvinkel: for en vinkel med toppunkt i sentrum tar man halvparten av buen (eller omvendt).
Se først på toppunktet. Toppunkt i sentrum \(O\) — sentralvinkel, den er lik hele buen. Toppunkt på sirkelen — innskreven vinkel, den er lik halve buen.
-
Man tar feil bue: for en innskreven vinkel regner man buen som toppunktet ligger på.
En innskreven vinkel spenner over buen som ligger «inne» i vinkelen — toppunktet ligger alltid på den andre buen. I notasjonen \(\angle ABC\) spenner vinkelen over bue \(AC\) som ikke inneholder punkt \(B\).
-
Man ganger og deler med 2 «feil vei»: fra innskreven til sentralvinkel deler man i stedet for å gange.
Husk: innskreven vinkel er «liten» (halve buen), sentralvinkel er «stor» (hele buen). Fra innskreven til sentralvinkel — gang med 2, fra sentralvinkel til innskreven — del på 2.
-
Man regner enhver vinkel der sidene skjærer sirkelen som en innskreven vinkel — for eksempel vinkelen mellom korder som skjærer hverandre inne i sirkelen.
For en innskreven vinkel må toppunktet ligge på selve sirkelbuen. En vinkel med toppunkt inne i sirkelen er lik halve summen av de utskårne buene, med toppunkt utenfor sirkelen — halve differansen: dette er andre formler.
-
I en innskreven firkant setter man summen av nabovinkler lik $180°$ i stedet for motstående vinkler.
Egenskapen gjelder bare for motstående hjørner: \(\angle A + \angle C = 180°\) og \(\angle B + \angle D = 180°\). Nabovinkler i en innskreven firkant kan være hva som helst.
Spørsmål og svar
Hva er en innskreven vinkel lik?
En innskreven vinkel er lik halvparten av buen den spenner over. For eksempel, hvis buen er 120°, er den innskrevne vinkelen 60°. Dette er teoremet om innskrevne vinkler — hovedformelen i dette temaet.
Hvordan henger innskrevne vinkler og sentralvinkler som spenner over samme bue sammen?
Sentralvinkelen er dobbelt så stor som den innskrevne vinkelen: ∠AOC = 2·∠ABC. Sentralvinkelen er lik selve buen, mens den innskrevne vinkelen er halvparten av den.
Hvorfor er en innskreven vinkel som spenner over en diameter lik 90°?
Diameteren spenner over en halvsirkel — en bue på 180°. Den innskrevne vinkelen er lik halvparten av buen: 180° : 2 = 90°. Derfor er enhver trekant der den ene siden er en diameter i den omskrevne sirkelen, rettvinklet.
Kan en innskreven vinkel være stump?
Ja. Hvis buen vinkelen spenner over er større enn 180°, er vinkelen stump: for eksempel tilsvarer en bue på 210° en innskreven vinkel på 105°. Samtidig er en innskreven vinkel alltid mindre enn 180°.
Hva er en omskreven vinkel, og hvordan skiller den seg fra en innskreven vinkel?
En omskreven vinkel dannes av to tangenter trukket til sirkelen fra ett punkt utenfor. Toppunktet ligger utenfor sirkelen, og den er lik halve differansen mellom de utskårne buene. For en innskreven vinkel ligger toppunktet på sirkelen, og den er lik halvparten av én bue.
Hvilke andre typer vinkler finnes i en sirkel?
I tillegg til sentralvinkler og innskrevne vinkler ser man på vinkler mellom korder (toppunkt inne i sirkelen — halve summen av buer), vinkler mellom sekanter fra et ytre punkt (halve differansen av buer) og vinkler mellom tangent og korde (halve buen som ligger inni). Alle disse uttrykkes gjennom sirkelbuene.
