Formlikhet av trekanter: kjennetegn og formlikhetsfaktor

To trekanter kalles formlike hvis to betingelser er oppfylt:

1. vinklene deres er tilsvarende like — til hver vinkel i den første trekanten finnes det en lik vinkel i den andre;
2. sidene deres er korresponderende proporsjonale — alle tre forhold gir samme tall.

Korresponderende (tilsvarende) sider er sider som ligger mot like vinkler. Det er disse som danner par, mellom hvilke forholdet beregnes.

Formlikhet skrives med tegnet \(\sim\):

Formlikhetsfaktor \(k\) — det samme, like forholdet mellom korresponderende sider:

Hvis \(k > 1\), er den andre trekanten større enn den første; hvis \(k < 1\) — mindre; ved \(k = 1\) er trekantene rett og slett kongruente, siden kongruens er et spesialtilfelle av formlikhet.

Rekkefølgen av hjørner i oppskriften er ikke en formalitet

Oppskriften \(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\) leses strengt etter posisjon: \(A\) tilsvarer \(A_1\), \(B\) — \(B_1\), \(C\) — \(C_1\). Herav følger det umiddelbart hvilke vinkler som er like (\(\angle A = \angle A_1\)) og hvilke sider som er korresponderende (\(AB\) og \(A_1B_1\), \(BC\) og \(B_1C_1\), \(AC\) og \(A_1C_1\)).

Hvis du bytter om bokstavene og skriver \(\triangle ABC \sim \triangle B_1A_1C_1\), får du et annet utsagn: nå er \(\angle A = \angle B_1\), og siden \(B_1A_1\) blir korresponderende til \(AB\). Du kan ikke sette opp en proporsjon basert på «likt plasserte» sider — bare etter posisjonene i oppskriften. Derfor skriver man først par av like vinkler, og deretter tilpasser man bokstavrekkefølgen.

Du trenger ikke å sjekke alle seks betingelsene fra definisjonen: formlikhet bevises ved ett av tre kjennetegn. Hvert kjennetegn er et minimalt sett med data som automatisk medfører likhet av alle vinkler og proporsjonalitet av alle sider.

Hvordan velge kjennetegn. Se hva som er gitt i oppgaven: hvis det handler om vinkler — det første, hvis det handler om to sider og vinkelen mellom dem — det andre, hvis det handler om alle tre sider — det tredje.

• Første kjennetegn (etter to vinkler) — arbeidshesten i skolepensumet: nesten alle OGE-oppgaver løses med dette. Den tredje vinkelen trenger ikke sjekkes, den er automatisk lik: summen av vinklene i en trekant er alltid \(180°\). Se etter ferdige par av like vinkler — felles vinkel for to trekanter, vertikale vinkler, alternerende vinkler og samsvarende vinkler ved parallelle linjer, to rette vinkler.
• Andre kjennetegn (etter to sider og vinkelen mellom dem) krever at vinkelen er akkurat mellom disse to sidene. Hvis den like vinkelen ligger overfor en av dem, fungerer ikke kjennetegnet og formlikheten er ikke bevist.
• Tredje kjennetegn (etter tre sider) — når det ikke er noen vinkler i betingelsen, bare lengder. Skriv ned sidene i hver trekant i stigende rekkefølge og del den minste på den minste, den midterste på den midterste, den største på den største: slik unngår du å blande parene. Formlikhet eksisterer bare hvis alle tre forholdene er like.

For å unngå å forveksle kjennetegn på formlikhet med kjennetegn på kongruens, husk forskjellen: ved kongruens skal sidene falle sammen, ved formlikhet — være proporsjonale.

Formlikhet har to konsekvenser som spørres om oftest, og en av dem er den største fellen i temaet.

Omkretser forholder seg som \(k\). Hver side i den andre trekanten er \(k\) ganger større enn den korresponderende siden i den første, derfor øker summen av sidene nøyaktig \(k\) ganger:

På samme måte — «i \(k\) ganger» — oppfører alle lineære størrelser seg: høyder, medianer, bisectriser, radier av innskrevne og omskrevne sirkler, midtnormaler.

Arealer forholder seg som \(k^2\). Arealet avhenger av to dimensjoner samtidig: både grunnlinjen og høyden øker \(k\) ganger, og produktet — \(k \cdot k\) ganger:

La \(k = 5\). Da er omkretsen 5 ganger større (for eksempel, var 14 cm — ble 70 cm), og arealet — allerede 25 ganger større (var 6 cm² — ble 150 cm²). Forskjellen er enorm, og å sette inn \(k\) i stedet for \(k^2\) er den vanligste feilen på eksamen.

Omvendt vei. Hvis forholdet mellom arealer er gitt i betingelsen, finner man formlikhetsfaktoren ved å ta roten: \(k = \sqrt{S_2 : S_1}\). For eksempel, arealer forholder seg som \(16 : 1\), noe som betyr at sidene forholder seg som \(4 : 1\).

For rettvinklede trekanter forenkles det første kjennetegnet: de rette vinklene er lik fra før, så likhet av én spiss vinkel er tilstrekkelig for at trekantene skal være formlike. Av dette følger også kjennetegnet etter to kateter: hvis katetene i den ene er proporsjonale med katetene i den andre, er trekantene formlike (dette er det andre kjennetegnet, siden vinkelen mellom katetene er rett).

Den mest nyttige konfigurasjonen i hele temaet er høyden trukket fra toppen av den rette vinkelen. Den deler trekanten i to, og alle de tre resulterende trekantene er formlike med hverandre.

Hvorfor slik: trekanten \(AHC\) har en rett vinkel ved \(H\) og en felles vinkel med den store trekanten \(A\), så \(\triangle AHC \sim \triangle ACB\). Trekanten \(CHB\) har en rett vinkel ved \(H\) og en felles vinkel \(B\), så \(\triangle CHB \sim \triangle ACB\). Derfor er også de to små trekantene formlike med hverandre.

Fra disse formlikhetene får vi formlene for geometrisk gjennomsnitt (de kalles proporsjonale linjestykker i en rettvinklet trekant):

• \(CH^2 = AH \cdot HB\) — høyden er det geometriske gjennomsnittet av linjestykkene den deler hypotenusen i;
• \(AC^2 = AH \cdot AB\) og \(BC^2 = HB \cdot AB\) — kateten er det geometriske gjennomsnittet av hele hypotenusen og dens projeksjon på den.

Hovedsaken er å ikke forveksle hvilken linje som er «egen»: kateten \(AC\) har projeksjonen \(AH\), kateten \(BC\) har projeksjonen \(HB\). Projeksjonen ligger alltid ved samme ende av hypotenusen som kateten.

Nesten alle oppgaver om formlikhet løses med én algoritme:

1. Finn et par like vinkler — felles vinkel, vertikale, alternerende ved parallelle linjer eller to rette.
2. Skriv opp formlikheten i riktig rekkefølge av hjørner — slik at like vinkler står på samme posisjon.
3. Sett opp en proporsjon av korresponderende sider (ta sider som står på samme sted i oppskriften).
4. Uttrykk den ukjente og regn ut; til slutt, sjekk svaret med fornuft — siden i den mindre trekanten må bli mindre.

Det er få typiske konfigurasjoner i OGE, og de bør gjenkjennes ved første blikk:

• En linje parallell med en side. En linje skjærer av en liten trekant fra den opprinnelige trekanten, som er formlik med den opprinnelige. Nøkkeldetalj: i proporsjonen brukes forholdet mellom hele sider fra den felles toppunktet (\(BM : BA\)), ikke linjestykker (\(BM : MA\)).
• «Sommerfugl». To linjestykker krysser hverandre, og endepunktene deres er forbundet med parallelle linjer — det dannes to formlike trekanter, vendt mot hverandre.
• Høyden fra den rette vinkelen — konfigurasjonen fra forrige avsnitt; i OGE brukes den til å finne høyden, en katet eller et linjestykke av hypotenusen.
• Skyggen og høyden på et objekt. Solstrålene er parallelle, derfor danner objektet med sin skygge og treet med sin skygge formlike rettvinklede trekanter.
• Midtnormalen — et spesialtilfelle med \(k = 2\): den er parallell med siden og halvparten så lang som den.