Cosinussetningen relaterer de tre sidene i en trekant og en av dens vinkler: \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\). Den gjelder i enhver trekant, og derfor erstatter den i 9. klasse Pytagoras' læresetning der det ikke er en rett vinkel. Den brukes til å finne den tredje siden når to andre sider og vinkelen mellom dem er kjent, og ved konklusjonen \(\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\) – enhver vinkel ut fra tre sider og trekanttypen. På siden finner du formuleringen og alle tre formelvarianter, bevis, en cosinustabell, huskelapp «sinus eller cosinus», løsningsforslag for OGE-oppgaver og et treningsprogram for selvtesting.
Cosinussetningen: formulering og formel
Cosinussetningen gjelder i enhver trekant – den trenger ikke en rett vinkel. Den relaterer tre sider og en vinkel, og brukes derfor til å finne en side når to andre sider og vinkelen mellom dem er kjent.
Formulering. Kvadratet av en side i en trekant er lik summen av kvadratene av de to andre sidene minus det dobbelte produktet av disse sidene og cosinus til vinkelen mellom dem.
Her er \(a\), \(b\), \(c\) sidene i trekanten, og \(C\) er vinkelen mellom sidene \(a\) og \(b\); siden \(c\) ligger motstående til denne vinkelen. Bokstavene kan velges fritt – formelen er symmetrisk, og derfor har den tre likeverdige varianter:
Hovedregelen for innsetting: bruk vinkelen som er mellom de to sidene i produktet, og finn siden som ligger motstående til den. Hvis du bruker en «nabo»-vinkel, vil alle tallene være fra betingelsen, og svaret – feil.
Hvorfor Pytagoras' læresetning er et spesialtilfelle av cosinussetningen
La oss sette inn en rett vinkel i formelen, altså \(C = 90°\). Cosinus til en rett vinkel er null, så den tredje termen blir null:
Dette er nøyaktig Pytagoras' læresetning, kjent fra 8. klasse. Derfor kalles cosinussetningen en generalisering av den: Pytagoras er et «spesialtilfelle ved 90°», mens cosinussetningen gjelder for alle vinkler.
Termen \(-2ab\cos C\) kan forstås som en korreksjon for vinkelens ikke-retthet:
- vinkelen er spiss, \(\cos C > 0\) – korreksjonen trekkes fra, siden \(c\) blir kortere enn Pytagoras ville gitt;
- vinkelen er rett, \(\cos C = 0\) – ingen korreksjon, \(c^2 = a^2 + b^2\) gjenstår;
- vinkelen er stump, \(\cos C < 0\) – korreksjonen legges til, siden \(c\) blir lengre.
Bevis for cosinussetningen
Det korteste skolebeviset er ved hjelp av koordinater. Plasser hjørnet \(C\) i origo, og siden \(b = CA\) langs x-aksen. Da blir koordinatene til hjørnene:
- \(C(0;\ 0)\) – origo;
- \(A(b;\ 0)\) – punkt på x-aksen i avstand \(b\) fra origo;
- \(B(a\cos C;\ a\sin C)\) – hjørne i avstand \(a\) fra origo under vinkelen \(C\) med x-aksen.
Siden \(c\) er lengden av linjestykket \(AB\). Vi beregner den ved hjelp av avstandsformelen mellom to punkter:
Vi utvider parentesene:
Vi grupperer leddene med \(a^2\) og bruker den grunnleggende trigonometriske identiteten \(\sin^2 C + \cos^2 C = 1\):
Hvilket skulle bevises. Vær oppmerksom på at det aldri ble krevd at vinkelen \(C\) skulle være spiss. Hvis den er stump, er cosinus negativ, koordinaten \(a\cos C\) går til venstre for y-aksen, men alle utregningene forblir de samme – derfor er teoremet gyldig for enhver trekant.
Konklusjon: hvordan finne vinkelen ut fra tre sider
Fra cosinussetningen kan vi uttrykke cosinus selv – dette er dens viktigste konklusjon. Den brukes til å finne vinkelen når alle tre sidene er kjent:
I telleren er summen av kvadratene av de to sidene som er tilgrensende til vinkelen, minus kvadratet av siden som ligger motstående til den. I nevneren er det dobbelte produktet av de tilgrensende sidene. For andre vinkler er formlene de samme:
Løsningsrekkefølge:
- Velg vinkelen du vil finne, og bestem hvilken side som ligger motstående til den – dens kvadrat går i telleren med minustegn.
- Regn ut brøken (nevneren er alltid positiv, kun telleren bestemmer fortegnet).
- Finn selve vinkelen ved hjelp av en tabell over verdier eller via arkuskosinus.
Nyttig tips: start med den lengste siden. Motstående til den ligger den største vinkelen, og bare den kan være rett eller stump – de to andre vinklene i trekanten er alltid spisse.
Cosinus for stumpe vinkler: tabell over verdier
I skoleoppgaver er vinklene nesten alltid «fra tabellen»: 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°. For spisse vinkler er cosinus positiv, for rette er den null, og for stumpe – negativ. Verdier for stumpe vinkler finnes ved hjelp av reduksjonsformelen \(\cos(180° - \alpha) = -\cos\alpha\): for eksempel, \(\cos 120° = -\cos 60° = -0{,}5\).
Hva dette betyr i praksis: for en stump vinkel blir uttrykket \(-2ab\cos C\) til et pluss – minus ganger minus. For vinkelen \(120°\) ser formelen slik ut:
Det er her man oftest mister poeng: man setter inn \(0{,}5\) i stedet for \(-0{,}5\) og får en side som er kortere enn begge de gitte. Dette er åpenbart umulig – mot en stump vinkel ligger den lengste siden i trekanten.
| Vinkel | Cosinus |
|---|---|
| 30° | √3/2 ≈ 0,87 |
| 45° | √2/2 ≈ 0,71 |
| 60° | 1/2 = 0,5 |
| 90° | 0 |
| 120° | −1/2 = −0,5 |
| 135° | −√2/2 ≈ −0,71 |
| 150° | −√3/2 ≈ −0,87 |
Hvordan bestemme trekanttypen ut fra tre sider
Cosinussetningen lar oss bestemme trekanttypen uten å måle vinklene med gradskive. Fortegnet til brøken \(\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\) avhenger kun av telleren: nevneren \(2ab\) er alltid positiv. Derfor er det nok å sammenligne kvadratet av den lengste siden med summen av kvadratene av de to andre.
La \(c\) være den lengste siden, da ligger den største vinkelen \(C\) motstående til den:
- \(a^2 + b^2 > c^2\) → \(\cos C > 0\) → vinkel \(C\) er spiss. De andre vinklene er mindre enn den, så alle tre vinklene er spisse – trekanten er spissvinklet;
- \(a^2 + b^2 = c^2\) → \(\cos C = 0\) → \(C = 90°\) – trekanten er rettvinklet (dette er den omvendte Pytagoras' læresetning);
- \(a^2 + b^2 < c^2\) → \(\cos C < 0\) → vinkel \(C\) er stump – trekanten er stumpvinklet.
Du trenger ikke sjekke de andre vinklene: det kan bare være én rett eller stump vinkel i en trekant. Og ikke glem trekantulikheten – hvis den lengste siden er ikke mindre enn summen av de to andre, eksisterer ikke en trekant med slike sider i det hele tatt.
Sinussetningen eller cosinussetningen: hvordan velge
Begge setningene løser én oppgave – å finne ukjente sider og vinkler i en trekant – men de brukes med ulike datasett. Sinussetningen relaterer en side og vinkelen motstående til den:
Derav valgregelen: hvis betingelsen allerede inneholder et par «side og vinkel motstående til den» – brukes sinussetningen; hvis et slikt par ikke finnes – start med cosinussetningen. Huskelapp for de fire vanlige datasett i skolen er i tabellen.
Ofte løses en oppgave i to trinn: først gir cosinussetningen den tredje siden, og deretter finner sinussetningen raskt de resterende vinklene.
| Hva er kjent | Hva brukes |
|---|---|
| SUSTo sider og vinkelen mellom dem | Cosinussetningenfinner den tredje siden |
| SSSAlle tre sidene | Cosinussetningenfinner enhver vinkel og trekanttypen |
| USUEn side og to vinkler | Sinussetningenfinner de to andre sidene |
| SSUTo sider og vinkelen motstående til en av dem | Sinussetningenfinner den motstående vinkelen |
Cosinussetningen i OGE-oppgaver
På OGE i matematikk forekommer cosinussetningen i planimetrioppgaver – både i første del og i oppgaver med utdypende svar. Typiske scenarioer er:
- Finn siden ut fra to sider og vinkelen mellom dem – direkte bruk av formelen, oftest med vinklene 60° eller 120°.
- Finn vinkelen eller dens cosinus ut fra tre sider – konklusjon \(\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\). Hvis oppgaven sier «finn \(\cos\angle A\)», trenger du ikke ta arkuskosinus: svaret er akkurat den brøken, den skrives ned.
- Diagonalene i et parallellogram. Diagonalen deler opp en trekant med to sider og vinkelen mellom dem. Nabovinkler i et parallellogram summerer seg til 180°, så deres cosinusverdier er motsatte: mot den spisse vinkelen ligger den kortere diagonalen, mot den stumpe – den lengre.
- Trekanttype ut fra tre tall – sammenligning av \(a^2 + b^2\) med \(c^2\).
- Median i en trekant. Formelen \(m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}\) utledes ved dobbel bruk av cosinussetningen på to nabovinkler ved basen.
Råd til eksamen: før du regner, marker vinkelen på tegningen som er «klemt» mellom de kjente sidene. Hvis en slik vinkel ikke finnes – er cosinussetningen ennå ikke anvendelig, du må finne en annen vei.
Eksempler på løsning av oppgaver om cosinussetningen
Eksempel 1. Finn siden ut fra to sider og vinkelen 60°
Oppgave. I trekant \(ABC\) er sidene \(a = 7\) og \(b = 15\), vinkelen mellom dem \(C = 60°\). Finn siden \(c\).
Trinn 1. Vinkel \(C\) er mellom sidene \(a\) og \(b\) – dette er akkurat tilfellet som setningen er laget for:
Trinn 2. Vi setter inn tallene, \(\cos 60° = 0{,}5\):
Trinn 3. Vi trekker roten: \(c = \sqrt{169} = 13\).
Svar: \(13\). Sjekk med fornuft: vinkelen \(60°\) er spiss, så siden motstående til den er ikke den lengste – og riktig nok, \(13 < 15\).
Eksempel 2. Stump vinkel: minus ganger minus
Oppgave. I trekant \(ABC\) er kjent: \(AB = 6\), \(BC = 10\), vinkel \(B = 120°\). Finn siden \(AC\).
Trinn 1. Vinkel \(B\) er mellom sidene \(AB\) og \(BC\), og siden \(AC\) ligger motstående til den:
Trinn 2. Vinkelen er stump, så \(\cos 120° = -0{,}5\). Minus foran produktet og minus ved cosinus gir pluss:
Trinn 3. \(AC = \sqrt{196} = 14\).
Svar: \(14\). Sjekk: mot den stumpe vinkelen ligger den lengste siden – \(14\) er større enn både \(6\) og \(10\).
Eksempel 3. Finn vinkelen ut fra tre sider
Oppgave. Sidene i en trekant er \(3\), \(5\) og \(7\). Finn den største vinkelen.
Trinn 1. Den største vinkelen ligger motstående til den lengste siden, altså mot siden \(7\). La oss kalle den \(C\), da er \(c = 7\), og de tilgrensende sidene \(a = 3\) og \(b = 5\).
Trinn 2. Vi bruker konklusjonen:
Trinn 3. Cosinus er negativ – vinkelen er stump. Fra tabellen over verdier vet vi at \(\cos 120° = -0{,}5\), så \(C = 120°\).
Svar: \(120°\). Samtidig fant vi ut at trekanten er stumpvinklet.
Eksempel 4. Bestem trekanttypen
Oppgave. Bestem typen til trekanten med sider \(6\), \(7\) og \(10\).
Trinn 1. Vi sjekker trekantulikheten: \(6 + 7 = 13 > 10\) – trekanten eksisterer. Den lengste siden er \(10\).
Trinn 2. Vi sammenligner summen av kvadratene av de to kortere sidene med kvadratet av den lengste:
Trinn 3. \(85 < 100\), så telleren i brøken er negativ og \(\cos C < 0\) – vinkelen mot siden \(10\) er stump. Om ønskelig kan vi også finne selve vinkelen:
Svar: trekanten er stumpvinklet. Vær oppmerksom på: dette er ikke synlig ved første øyekast – sidene er nesten like lange, men vinkelen har allerede passert \(90°\).
Eksempel 5. OGE-nivå oppgave: diagonal i parallellogram
Oppgave. Sidene i et parallellogram er \(5\) og \(8\), den spisse vinkelen er \(60°\). Finn den kortere diagonalen.
Trinn 1. Diagonalen deler opp en trekant der to sider (\(5\) og \(8\)) og vinkelen mellom dem er kjent. Den kortere diagonalen ligger motstående til den spisse vinkelen \(60°\).
Trinn 2. Vi regner ut:
Trinn 3. Sjekk. Den andre diagonalen ligger motstående til vinkelen \(120°\) (nabovinkler i et parallellogram summerer seg til \(180°\)): \(D^2 = 89 + 40 = 129\), altså \(D = \sqrt{129} \approx 11{,}4\). Summen av kvadratene av diagonalene er \(49 + 129 = 178\), og det dobbelte av summen av kvadratene av sidene er \(2(25 + 64) = 178\). Det stemmer, så utregningen er korrekt.
Svar: \(7\).
Vanlige feil i oppgaver om cosinussetningen
-
Bruker cosinus for en stump vinkel med positivt fortegn. For sidene $4$ og $9$ med vinkelen $120°$ mellom dem skriver man $c^2 = 16 + 81 - 2 \cdot 4 \cdot 9 \cdot 0{,}5 = 61$ og får $c \approx 7{,}8$.
\(\cos 120° = -0{,}5\), og minus ganger minus gir pluss: \(c^2 = 97 + 36 = 133\), altså \(c = \sqrt{133} \approx 11{,}5\). Rask sjekk: mot den stumpe vinkelen ligger den lengste siden, så svaret må være større enn \(9\).
-
Setter inn en vinkel som ikke er mellom de gitte sidene: i betingelsen er én vinkel gitt, og den brukes «som den er», uten å se på tegningen.
I formelen \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\) danner sidene \(a\) og \(b\) vinkelen \(C\), og siden \(c\) ligger motstående til den. Hvis den kjente vinkelen er tilgrensende til siden som skal finnes, passer ikke denne formelen – man trenger en av de andre variantene eller sinussetningen.
-
Glemmer å trekke roten og skriver kvadratet av siden som svar: fikk $c^2 = 225$ og skriver «siden er 225».
Formelen gir alltid bare kvadratet av siden. Siste trinn er obligatorisk: \(c = \sqrt{225} = 15\). Les oppgaven nøye før du skriver svaret.
-
Blander rekkefølgen på leddene i konklusjonen og skriver $\cos C = \dfrac{c^2 - a^2 - b^2}{2ab}$.
Korrekt teller er \(a^2 + b^2 - c^2\): summen av kvadratene av tilgrensende sider minus kvadratet av den motstående. Ved ombytting endres fortegnet på brøken til motsatt, og i stedet for den stumpe vinkelen \(120°\) får man den spisse \(60°\).
-
Finner vinkelen basert på absoluttverdien av cosinus: fikk −0,25, og skriver den spisse vinkelen som svar, som om cosinus var +0,25.
Negativ cosinus betyr alltid en stump vinkel. Fortegnet kan ikke ignoreres: cos 60° = 0,5, mens cos 120° = −0,5; arkuskosinus av et negativt tall er større enn 90°.
-
Forsøker å løse oppgaven «to sider og vinkelen mellom dem» med sinussetningen og står fast på første linje.
Sinussetningen trenger et ferdig par «side og motstående vinkel». Med to sider og vinkelen mellom dem finnes ikke et slikt par – først gir cosinussetningen den tredje siden, og først deretter kobles sinussetningen inn.
Spørsmål og svar
Hvordan lyder cosinussetningen?
Kvadratet av en side i en trekant er lik summen av kvadratene av de to andre sidene minus det dobbelte produktet av disse sidene og cosinus til vinkelen mellom dem: c² = a² + b² − 2ab·cos C. Setningen gjelder for enhver trekant, ikke bare for rettvinklede.
Hvordan finne en side i en trekant ut fra to sider og vinkelen mellom dem?
Sett inn dataene i formelen c² = a² + b² − 2ab·cos C og trekk roten. For eksempel, med sidene 4 og 6 og vinkelen 60° mellom dem: c² = 16 + 36 − 2·4·6·0,5 = 28, så c = √28 ≈ 5,3.
Hvordan finne en vinkel i en trekant hvis alle tre sidene er kjent?
Ved konklusjonen fra cosinussetningen: cos C = (a² + b² − c²) / (2ab), der c er siden motstående til vinkelen som skal finnes. For eksempel, for sidene 2, 3 og 4 er cosinus til den største vinkelen (4 + 9 − 16) / (2·2·3) = −0,25, altså vinkelen er stump, omtrent 104°.
Hvorfor er Pytagoras' læresetning et spesialtilfelle av cosinussetningen?
Fordi ved en rett vinkel er cos 90° = 0, og termen −2ab·cos C blir null. Fra formelen gjenstår c² = a² + b² – dette er Pytagoras' læresetning for en rettvinklet trekant.
Fungerer cosinussetningen i en stumpvinklet trekant?
Ja, og den fungerer uten endringer. For en stump vinkel er cosinus negativ, så termen −2ab·cos C blir positiv og legges til summen av kvadratene. Det er nettopp derfor siden motstående til den stumpe vinkelen blir den lengste.
Når skal man bruke sinussetningen, og når cosinussetningen?
Sinussetningen trengs når betingelsen allerede inneholder et par «side og motstående vinkel» – for eksempel, en side og to vinkler er gitt. Cosinussetningen brukes når et slikt par ikke finnes: to sider og vinkelen mellom dem er gitt, eller alle tre sidene. Ofte løses oppgaven i to trinn: først cosinus, deretter sinus.
Hvordan bestemme trekanttypen ut fra tre sider?
Sammenlign kvadratet av den lengste siden c² med summen av kvadratene av de to andre. Hvis a² + b² > c² – trekanten er spissvinklet, hvis a² + b² = c² – rettvinklet, hvis a² + b² < c² – stumpvinklet. Fortegnet til denne differansen samsvarer med fortegnet til cosinus til den største vinkelen.
I hvilken klasse lærer man om cosinussetningen?
I 9. klasse i geometriundervisningen, i temaet «Forholdet mellom sider og vinkler i en trekant» – sammen med sinussetningen. Videre brukes den stadig i OGE- og ЕГЭ-oppgaver i planimetri og stereometri.
