ကိုဆိုင်းသီအိုရမ်- ဖော်မြူလာ၊ သက်သေပြချက်နှင့် ပုစ္ဆာများ

Name: Homiwork
Rating: 4.92 (18437 reviews)
Author: Homiwork

ကြီးမားသောတြိဂံဘေးတွင် ဂျီသြမေတြီ Mascot၊ ထောင့်တစ်ခုကို အမှတ်အသားပြုထားသည်

ကိုဆိုင်းသီအိုရမ်သည် တြိဂံ၏ ဘေးသုံးခုနှင့် ထောင့်တစ်ခုကို ဆက်သွယ်ပေးသည်- $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$။ ၎င်းသည် မည်သည့် တြိဂံတွင်မဆို အလုပ်လုပ်သောကြောင့် အတန်း (၉) တွင် ထောင့်မှန်မရှိသောနေရာ၌ ပိုက်သာဂိုရပ်စ်သီအိုရမ်နေရာတွင် အသုံးပြုသည်။ ၎င်းဖြင့် ဘေးနှစ်ခုနှင့် ၎င်းတို့ကြားရှိထောင့်ကို သိလျှင် တတိယဘေးကို ရှာနိုင်ပြီး၊ ဆက်စပ်အချက် $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$ ဖြင့် ဘေးသုံးခုမှ မည်သည့်ထောင့်ကိုမဆို ရှာနိုင်ကာ တြိဂံအမျိုးအစားကို သိနိုင်သည်။ ဤစာမျက်နှာတွင် ဖော်မြူလာ၏ အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုချက်၊ ဖော်မြူလာပုံစံသုံးမျိုး၊ သက်သေပြချက်၊ ကိုဆိုင်းဇယား၊ «ဆိုင်း သို့မဟုတ် ကိုဆိုင်း» မှတ်စု၊ OGE ပုစ္ဆာများနှင့် ကိုယ်တိုင်စစ်ဆေးရန် လေ့ကျင့်ခန်းများ ပါဝင်သည်။

ကိုဆိုင်းသီအိုရမ်- အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုချက်နှင့် ဖော်မြူလာ

ကိုဆိုင်းသီအိုရမ်သည် မည်သည့်တြိဂံတွင်မဆို အလုပ်လုပ်သည် - ထောင့်မှန်စရာမလိုပါ။ ၎င်းသည် ဘေးသုံးခုနှင့် ထောင့်တစ်ခုကို ဆက်သွယ်ပေးသောကြောင့် ဘေးနှစ်ခုနှင့် ၎င်းတို့ကြားရှိထောင့်ကို သိလျှင် ဘေးကို ရှာနိုင်သည်။

အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုချက်။ တြိဂံ၏ ဘေးတစ်ခု၏ နှစ်ထပ်ကိန်းသည် အခြားဘေးနှစ်ခု၏ နှစ်ထပ်ကိန်းပေါင်းခြင်းမှ ၎င်းတို့၏ နှစ်ဆမြှောက်ခြင်းနှင့် ၎င်းတို့ကြားရှိထောင့်၏ ကိုဆိုင်းကို မြှောက်ခြင်းကို နှုတ်ခြင်းနှင့် ညီမျှသည်။

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\]

ဤနေရာတွင် $a, b, c$ သည် တြိဂံ၏ ဘေးများဖြစ်ပြီး $C$ သည် $a$ နှင့် $b$ ဘေးတို့ကြားရှိ ထောင့်ဖြစ်သည်၊ ဘေး $c$ သည် ထိုထောင့်၏ ဆန့်ကျင်ဘက်တွင် ရှိသည်။ စာလုံးများကို မည်သည့်အရာမဆို ယူနိုင်သည် - ဖော်မြူလာသည် အချိုးကျသောကြောင့် ၎င်းတွင် တူညီသော မှတ်တမ်းသုံးမျိုး ရှိသည်-

\[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A\]

\[b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B\]

ထည့်သွင်းခြင်း၏ အဓိကစည်းမျဉ်းမှာ- မြှောက်ခြင်းတွင်ပါဝင်သော ဘေးနှစ်ခုကြားရှိ ထောင့်ကို ယူရမည်၊ ပြီးလျှင် ၎င်း၏ ဆန့်ကျင်ဘက်တွင်ရှိသော ဘေးကို ရှာရမည်။ အကယ်၍ «အနီးနား» ထောင့်ကို ယူပါက ကိန်းဂဏန်းများအားလုံးသည် ပုစ္ဆာမှဖြစ်သော်လည်း အဖြေမှာ မှားယွင်းနေလိမ့်မည်။

c² = a² + b² − 2ab · cos C a² = b² + c² − 2bc · cos A b² = a² + c² − 2ac · cos B

မြှောက်ခြင်းတွင်ပါဝင်သော ဘေးနှစ်ခုကြားရှိ ထောင့်ကို ယူရမည်၊ ပြီးလျှင် ၎င်း၏ ဆန့်ကျင်ဘက် ဘေးကို ရှာရမည်: ထောင့် C — a နှင့် b ကြားတွင်ရှိသည်၊ ဘေး c — ဆန့်ကျင်ဘက်တွင် ရှိသည်။

ပိုက်သာဂိုရပ်စ်သီအိုရမ်သည် ကိုဆိုင်းသီအိုရမ်၏ အထူးကိစ္စရပ်တစ်ခု ဖြစ်ရသည့်အကြောင်းရင်း

ဖော်မြူလာတွင် ထောင့်မှန်တစ်ခု၊ ဆိုလိုသည်မှာ $C = 90°$ ကို ထည့်သွင်းကြည့်ပါ။ ထောင့်မှန်၏ ကိုဆိုင်းသည် သုညနှင့် ညီမျှသောကြောင့် တတိယအပေါင်းကိန်းသည် လုံးဝသုညဖြစ်သွားသည်-

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos 90° = a^2 + b^2 - 2ab \cdot 0 = a^2 + b^2.\]

အတန်း (၈) မှ သိရှိထားသော ပိုက်သာဂိုရပ်စ်သီအိုရမ်အတိုင်း ရရှိလာသည်။ ထို့ကြောင့် ကိုဆိုင်းသီအိုရမ်ကို ၎င်း၏ ယေဘုယျသဘောတရားဟု ခေါ်ဆိုကြသည်- ပိုက်သာဂိုရပ်စ်သည် «90° ရှိသည့် အထူးကိစ္စရပ်» ဖြစ်ပြီး ကိုဆိုင်းသီအိုရမ်သည် ထောင့်အားလုံးအတွက် တစ်ပြိုင်နက် အလုပ်လုပ်သည်။

$-2ab\cos C$ အပေါင်းကိန်းကို ထောင့်၏ မမှန်ကန်မှုအတွက် ပြင်ဆင်ချက် အဖြစ် နားလည်ရန် အဆင်ပြေသည်-

ထောင့်သည် စူးရှလျှင်၊ $\cos C > 0$ — ပြင်ဆင်ချက်ကို နှုတ်ရသည်၊ ဘေး $c$ သည် ပိုက်သာဂိုရပ်စ်ပေးမည့် တန်ဖိုးထက် ပိုတို သည်;
ထောင့်သည် ထောင့်မှန်ဖြစ်လျှင်၊ $\cos C = 0$ — ပြင်ဆင်ချက်မရှိပါ၊ $c^2 = a^2 + b^2$ သာ ကျန်ရှိသည်;
ထောင့်သည် တုံးထောင့်ဖြစ်လျှင်၊ $\cos C < 0$ — ပြင်ဆင်ချက်ကို ပေါင်းရသည်၊ ဘေး $c$ သည် ပိုရှည် သည်。

ကိုဆိုင်းသီအိုရမ်ကို ယူပါc² = a² + b² − 2ab · cos C

ထောင့်ကို ထောင့်မှန်ဖြစ်အောင် လုပ်ပါC = 90°, cos 90° = 0 → 2ab · 0 = 0

ပိုက်သာဂိုရပ်စ်သီအိုရမ် ကျန်ရှိသည်c² = a² + b²

ကိုဆိုင်းသီအိုရမ် သက်သေပြချက်

အတိုဆုံး ကျောင်းသုံးသက်သေပြချက်မှာ ကိုဩဒိနိတ်စနစ်ဖြင့် ဖြစ်သည်။ ထိပ်ဖျား $C$ ကို ကိုဩဒိနိတ်အစမှတ်တွင် ထားပြီး၊ ဘေး $b = CA$ ကို $x$ ဝင်ရိုးပေါ်တွင် ထားပါ။ ထိုအခါ ထိပ်ဖျားများ၏ ကိုဩဒိနိတ်များမှာ-

$C(0;\ 0)$ — ကိုဩဒိနိတ်အစမှတ်;
$A(b;\ 0)$ — အစမှတ်မှ အကွာအဝေး $b$ ရှိ $x$ ဝင်ရိုးပေါ်ရှိ အမှတ်;
$B(a\cos C;\ a\sin C)$ — အစမှတ်မှ အကွာအဝေး $a$ ရှိ၊ $x$ ဝင်ရိုးနှင့် ထောင့် $C$ စောင်းနေသော ထိပ်ဖျား။

ဘေး $c$ သည် အပိုင်း $AB$ ၏ အလျားဖြစ်သည်။ အမှတ်နှစ်ခုကြား အကွာအဝေး ဖော်မြူလာဖြင့် တွက်ချက်ပါ-

\[c^2 = (a\cos C - b)^2 + (a\sin C)^2\]

ကွင်းစများကို ဖြည်ပါ-

\[c^2 = a^2\cos^2 C - 2ab\cos C + b^2 + a^2\sin^2 C\]

$a^2$ ပါသော အပေါင်းကိန်းများကို အုပ်စုဖွဲ့ပြီး အခြေခံ တြိဂံမေတြီဆိုင်ရာ အမှတ်အသား $\sin^2 C + \cos^2 C = 1$ ကို အသုံးပြုပါ-

\[c^2 = a^2(\cos^2 C + \sin^2 C) + b^2 - 2ab\cos C = a^2 + b^2 - 2ab\cos C.\]

သက်သေပြရန် လိုအပ်သည့်အချက်မှာ ဤသို့ဖြစ်သည်။ သတိပြုပါ- ထောင့် $C$ သည် စူးရှထောင့်ဖြစ်ရန် မည်သည့်နေရာတွင်မှ မလိုအပ်ပါ။ အကယ်၍ ၎င်းသည် တုံးထောင့်ဖြစ်လျှင် ကိုဆိုင်းသည် အနှုတ်ဖြစ်ပြီး၊ $a\cos C$ ကိုဩဒိနိတ်သည် $y$ ဝင်ရိုး၏ ဘယ်ဘက်သို့ ရောက်သွားသော်လည်း တွက်ချက်မှုအားလုံးသည် တူညီနေဆဲဖြစ်သောကြောင့် သီအိုရမ်သည် မည်သည့်တြိဂံအတွက်မဆို မှန်ကန်သည်။

ထိပ်ဖျား C — ကိုဩဒိနိတ်အစမှတ်တွင်၊ ဘေး b သည် x ဝင်ရိုးပေါ်တွင် ရှိသည်။ ထိုအခါ ထိပ်ဖျား B ၏ ကိုဩဒိနိတ်များကို ဘေး a နှင့် ထောင့် C တို့ဖြင့် ဖော်ပြနိုင်သည်။

ဆက်စပ်အချက်- ဘေးသုံးခုမှ ထောင့်ကို မည်သို့ရှာရမည်နည်း

ကိုဆိုင်းသီအိုရမ်မှ ကိုဆိုင်းကိုယ်တိုင်ကို ထုတ်ယူခြင်းသည် ၎င်း၏ အဓိကဆက်စပ်အချက်ဖြစ်သည်။ ၎င်းဖြင့် ဘေးသုံးခုလုံးကို သိရှိသောအခါ ထောင့်ကို ရှာနိုင်သည်-

\[\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\]

အပေါ်ပိုင်းတွင် ထောင့်နှင့် ကပ်လျက် ရှိသော ဘေးနှစ်ခု၏ နှစ်ထပ်ကိန်းပေါင်းခြင်းမှ ၎င်း၏ ဆန့်ကျင်ဘက် တွင်ရှိသော ဘေး၏ နှစ်ထပ်ကိန်းကို နှုတ်ရသည်။ အောက်ပိုင်းတွင် ကပ်လျက်ရှိသော ဘေးနှစ်ခု၏ နှစ်ဆမြှောက်ခြင်းဖြစ်သည်။ အခြားထောင့်များအတွက် ဖော်မြူလာများမှာ-

\[\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}, \qquad \cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}\]

ဖြေရှင်းခြင်း အဆင့်ဆင့်-

ရှာလိုသောထောင့်ကို ရွေးချယ်ပြီး မည်သည့်ဘေးသည် ၎င်း၏ ဆန့်ကျင်ဘက်တွင် ရှိသည်ကို သတ်မှတ်ပါ - ၎င်း၏ နှစ်ထပ်ကိန်းသည် အပေါ်ပိုင်းတွင် အနှုတ်လက္ခဏာဖြင့် သွားမည်;
အပိုင်းကိန်းကို တွက်ချက်ပါ (အောက်ပိုင်းသည် အမြဲတမ်း အပေါင်းဖြစ်သည်၊ လက္ခဏာကို အပေါ်ပိုင်းကသာ သတ်မှတ်သည်);
တန်ဖိုးဇယား သို့မဟုတ် အာ့ခ်ကိုဆိုင်း (arccos) မှတစ်ဆင့် ထောင့်ကို ရှာပါ။

အသုံးဝင်သော နည်းလမ်း- အရှည်ဆုံး ဘေးမှ စတင်ပါ။ ၎င်း၏ ဆန့်ကျင်ဘက်တွင် အကြီးဆုံးထောင့် ရှိပြီး ၎င်းတစ်ခုသာ ထောင့်မှန် သို့မဟုတ် တုံးထောင့် ဖြစ်နိုင်သည် - တြိဂံရှိ အခြားထောင့်နှစ်ခုမှာ အမြဲတမ်း စူးရှထောင့်များ ဖြစ်သည်။

တုံးထောင့်များ၏ ကိုဆိုင်းများသည် အနှုတ်ဖြစ်သည်- တန်ဖိုးဇယား

ကျောင်းသုံးပုစ္ဆာများတွင် ထောင့်များသည် အမြဲတမ်း «ဇယားဝင်» ဖြစ်သည်- 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°။ စူးရှထောင့်များ၏ ကိုဆိုင်းသည် အပေါင်းဖြစ်ပြီး၊ ထောင့်မှန်သည် သုညနှင့် ညီမျှကာ၊ တုံးထောင့်များ၏ ကိုဆိုင်းသည် အနှုတ် ဖြစ်သည်။ တုံးထောင့်များအတွက် တန်ဖိုးများကို စူးရှထောင့်များ၏ တန်ဖိုးများမှ $\cos(180° - \alpha) = -\cos\alpha$ စည်းမျဉ်းဖြင့် ရရှိသည်- ဥပမာ၊ $\cos 120° = -\cos 60° = -0{,}5$။

လက်တွေ့တွင် ၎င်း၏ အဓိပ္ပာယ်မှာ- တုံးထောင့်တွင် $-2ab\cos C$ အသုံးအနှုန်းသည် အပေါင်းအဖြစ် ပြောင်းလဲသွားသည် - အနှုတ်နှင့် အနှုတ်မြှောက်လျှင် အပေါင်းဖြစ်သောကြောင့်ဖြစ်သည်။ $120°$ ထောင့်အတွက် ဖော်မြူလာမှာ-

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot (-0{,}5) = a^2 + b^2 + ab.\]

ဤနေရာတွင် အမှတ်အများဆုံး ဆုံးရှုံးတတ်သည်- $-0{,}5$ အစား $0{,}5$ ကို ထည့်သွင်းပြီး ဘေးနှစ်ခုလုံးထက် ပိုတိုသော ဘေးကို ရရှိတတ်သည်။ ၎င်းသည် မဖြစ်နိုင်ပါ - တုံးထောင့်၏ ဆန့်ကျင်ဘက်တွင် တြိဂံ၏ အရှည်ဆုံးဘေး ရှိသည်။

ထောင့်	ကိုဆိုင်း
30°	√3/2 ≈ 0,87
45°	√2/2 ≈ 0,71
60°	1/2 = 0,5
90°	0
120°	−1/2 = −0,5
135°	−√2/2 ≈ −0,71
150°	−√3/2 ≈ −0,87

ပြောင်းလဲခြင်းစည်းမျဉ်း: cos(180° − α) = −cos α. အစိမ်းရောင်တန်ဖိုးများသည် စူးရှထောင့်ကို ပေးပြီး၊ ပန်းရောင်တန်ဖိုးများသည် တုံးထောင့်ကို ပေးသည်။

တြိဂံအမျိုးအစားကို ဘေးသုံးခုမှ မည်သို့ခွဲခြားရမည်နည်း

ကိုဆိုင်းသီအိုရမ်သည် ထောင့်တိုင်းကိရိယာဖြင့် တိုင်းတာစရာမလိုဘဲ တြိဂံအမျိုးအစားကို သိရှိစေသည်။ $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$ အပိုင်းကိန်း၏ လက္ခဏာသည် အပေါ်ပိုင်းပေါ်တွင်သာ မူတည်သည်- အောက်ပိုင်း $2ab$ သည် အမြဲတမ်း အပေါင်းဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် အရှည်ဆုံးဘေး၏ နှစ်ထပ်ကိန်းကို အခြားဘေးနှစ်ခု၏ နှစ်ထပ်ကိန်းပေါင်းခြင်းနှင့် နှိုင်းယှဉ်ရန် လုံလောက်သည်။

$c$ သည် အရှည်ဆုံးဘေးဖြစ်ပါက၊ ၎င်း၏ ဆန့်ကျင်ဘက်တွင် အကြီးဆုံးထောင့် $C$ ရှိသည်-

$a^2 + b^2 > c^2$ → $\cos C > 0$ → ထောင့် $C$ သည် စူးရှထောင့်ဖြစ်သည်။ အခြားထောင့်များသည် ၎င်းထက် ငယ်သောကြောင့် ထောင့်သုံးခုလုံးသည် စူးရှထောင့်များဖြစ်သည် - တြိဂံသည် စူးရှထောင့်တြိဂံ ဖြစ်သည်;
$a^2 + b^2 = c^2$ → $\cos C = 0$ → $C = 90°$ — တြိဂံသည် ထောင့်မှန်တြိဂံ ဖြစ်သည် (၎င်းသည် ပိုက်သာဂိုရပ်စ်သီအိုရမ်၏ ပြောင်းပြန်သီအိုရမ် ဖြစ်သည်);
$a^2 + b^2 < c^2$ → $\cos C < 0$ → ထောင့် $C$ သည် တုံးထောင့်ဖြစ်သည် - တြိဂံသည် တုံးထောင့်တြိဂံ ဖြစ်သည်။

အခြားထောင့်များကို စစ်ဆေးရန် မလိုပါ- တြိဂံတစ်ခုတွင် ထောင့်မှန် သို့မဟုတ် တုံးထောင့်သည် တစ်ခုသာ ရှိနိုင်သည်။ တြိဂံမညီမျှခြင်းကိုလည်း မမေ့ပါနှင့် - အရှည်ဆုံးဘေးသည် အခြားဘေးနှစ်ခု၏ ပေါင်းခြင်းထက် မငယ်ပါက ထိုဘေးများပါသော တြိဂံသည် လုံးဝမရှိနိုင်ပါ။

a² + b² > c²cos C > 0, ထောင့် C စူးရှစူးရှထောင့်တြိဂံဥပမာ: 5, 6, 7

a² + b² = c²cos C = 0, ထောင့် C ထောင့်မှန်ထောင့်မှန်တြိဂံဥပမာ: 8, 15, 17

a² + b² < c²cos C < 0, ထောင့် C တုံးထောင့်တုံးထောင့်တြိဂံဥပမာ: 4, 7, 9

စာကြောင်းသုံးကြောင်းလုံးတွင် c — တြိဂံ၏ အရှည်ဆုံးဘေး ဖြစ်သည်: ၎င်း၏ ဆန့်ကျင်ဘက်တွင်သာ ထောင့်မှန် သို့မဟုတ် တုံးထောင့် ရှိနိုင်သည်။

ဆိုင်းသီအိုရမ် သို့မဟုတ် ကိုဆိုင်းသီအိုရမ်- မည်သို့ရွေးချယ်ရမည်နည်း

သီအိုရမ်နှစ်ခုလုံးသည် တူညီသောပုစ္ဆာကို ဖြေရှင်းပေးသည် - တြိဂံ၏ မသိရှိသော ဘေးများနှင့် ထောင့်များကို ရှာဖွေပေးသည် - သို့သော် မတူညီသော အချက်အလက်များမှ စတင်သည်။ ဆိုင်းသီအိုရမ်သည် ဘေးတစ်ခုနှင့် ၎င်း၏ ဆန့်ကျင်ဘက် ထောင့်ကို ဆက်သွယ်ပေးသည်-

\[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R\]

ထို့ကြောင့် ရွေးချယ်ရမည့် စည်းမျဉ်းမှာ- အကယ်၍ ပုစ္ဆာတွင် «ဘေးနှင့် ၎င်း၏ ဆန့်ကျင်ဘက်ထောင့်» အတွဲ ရှိပြီးသားဆိုလျှင် ဆိုင်းသီအိုရမ်ကို အသုံးပြုပါ; ထိုသို့သော အတွဲမရှိလျှင် ကိုဆိုင်းသီအိုရမ်မှ စတင်ပါ။ ကျောင်းသုံး အချက်အလက်အစုံ လေးခုအတွက် မှတ်စုကို ဇယားတွင် ကြည့်ပါ။

မကြာခဏဆိုသလို ပုစ္ဆာကို အဆင့်နှစ်ဆင့်ဖြင့် ဖြေရှင်းသည်- ဦးစွာ ကိုဆိုင်းသီအိုရမ်ဖြင့် တတိယဘေးကို ရှာပြီးနောက်၊ ဆိုင်းသီအိုရမ်ဖြင့် ကျန်ရှိသော ထောင့်များကို လျင်မြန်စွာ ရှာနိုင်သည်။

ဘာသိထားသနည်း	ဘာကိုအသုံးပြုမည်နည်း
ဘထဘဘေးနှစ်ခုနှင့် ၎င်းတို့ကြားရှိထောင့်	ကိုဆိုင်းသီအိုရမ်တတိယဘေးကို ရှာသည်
ဘဘဘဘေးသုံးခုလုံး	ကိုဆိုင်းသီအိုရမ်မည်သည့်ထောင့်နှင့် တြိဂံအမျိုးအစားကိုမဆို ရှာသည်
ထဘထဘေးတစ်ခုနှင့် ထောင့်နှစ်ခု	ဆိုင်းသီအိုရမ်အခြားဘေးနှစ်ခုကို ရှာသည်
ဘဘထဘေးနှစ်ခုနှင့် ၎င်းတို့ထဲမှ တစ်ခု၏ ဆန့်ကျင်ဘက်ထောင့်	ဆိုင်းသီအိုရမ်ဆန့်ကျင်ဘက်ထောင့်ကို ရှာသည်

ဘဘထ ကိစ္စတွင် အဖြေနှစ်ခု ရှိနိုင်သည်: ဆိုင်းသည် စူးရှထောင့်နှင့် တုံးထောင့်ကို မခွဲခြားနိုင်သောကြောင့် ရွေးချယ်စရာနှစ်ခုလုံးကို ပုစ္ဆာ၏ အခြေအနေအရ စစ်ဆေးရမည်။

OGE ပုစ္ဆာများတွင် ကိုဆိုင်းသီအိုရမ်

သင်္ချာ OGE တွင် ကိုဆိုင်းသီအိုရမ်ကို ပလန်နီမက်ထရစ် ပုစ္ဆာများတွင် - ပထမအပိုင်းနှင့် အသေးစိတ်ဖြေရှင်းရသော ပုစ္ဆာများတွင် တွေ့ရသည်။ ပုံမှန်အကြောင်းအရာများမှာ-

ဘေးနှစ်ခုနှင့် ၎င်းတို့ကြားရှိထောင့်မှ ဘေးကိုရှာခြင်း - ဖော်မြူလာကို တိုက်ရိုက်အသုံးပြုခြင်း၊ အများအားဖြင့် 60° သို့မဟုတ် 120° ထောင့်များဖြင့် ဖြစ်သည်။
ဘေးသုံးခုမှ ထောင့် သို့မဟုတ် ၎င်း၏ ကိုဆိုင်းကို ရှာခြင်း - ဆက်စပ်အချက် $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$။ အကယ်၍ ပုစ္ဆာတွင် «$\cos\angle A$ ကို ရှာပါ» ဟု ရေးထားလျှင် အာ့ခ်ကိုဆိုင်းကို ယူရန် မလိုပါ: အဖြေမှာ ထိုအပိုင်းကိန်းဖြစ်ပြီး ၎င်းကိုသာ ရေးရမည်။
အပြိုင်စတုဂံ၏ ထောင့်ဖြတ်မျဉ်းများ။ ထောင့်ဖြတ်မျဉ်းသည် ဘေးနှစ်ခုနှင့် ၎င်းတို့ကြားရှိထောင့်ပါသော တြိဂံကို ဖြတ်ထုတ်သည်။ အပြိုင်စတုဂံ၏ အနီးနားထောင့်များသည် ပေါင်းလျှင် 180° ဖြစ်သောကြောင့် ၎င်းတို့၏ ကိုဆိုင်းများသည် ဆန့်ကျင်ဘက်ဖြစ်သည်: စူးရှထောင့်၏ ဆန့်ကျင်ဘက်တွင် ပိုတိုသော ထောင့်ဖြတ်မျဉ်းရှိပြီး၊ တုံးထောင့်၏ ဆန့်ကျင်ဘက်တွင် ပိုရှည်သော ထောင့်ဖြတ်မျဉ်း ရှိသည်။
ကိန်းဂဏန်းသုံးခုမှ တြိဂံအမျိုးအစား - $a^2 + b^2$ ကို $c^2$ နှင့် နှိုင်းယှဉ်ခြင်း။
တြိဂံ၏ မီဒီယန်။ $m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}$ ဖော်မြူလာကို အခြေခံရှိ အနီးနားထောင့်နှစ်ခုအတွက် ကိုဆိုင်းသီအိုရမ်ကို နှစ်ကြိမ်အသုံးပြုခြင်းဖြင့် ထုတ်ယူသည်။

စာမေးပွဲအတွက် အကြံပြုချက်: မတွက်ချက်မီ၊ သိရှိထားသော ဘေးနှစ်ခုကြားတွင် «ညှပ်ထားသော» ထောင့်ကို ပုံတွင် အမှတ်အသားပြုပါ။ ထိုသို့သောထောင့် မရှိလျှင် - ကိုဆိုင်းသီအိုရမ်ကို မသုံးနိုင်သေးပါ၊ အခြားလမ်းကြောင်းကို ရှာရမည်။

ကိုဆိုင်းသီအိုရမ် ပုစ္ဆာများ ဖြေရှင်းခြင်း နမူနာများ

နမူနာ 1. ဘေးနှစ်ခုနှင့် 60° ထောင့်မှ ဘေးကိုရှာခြင်း

ပုစ္ဆာ။ $ABC$ တြိဂံတွင် ဘေး $a = 7$ နှင့် $b = 15$၊ ၎င်းတို့ကြားရှိထောင့် $C = 60°$ ဖြစ်သည်။ ဘေး $c$ ကို ရှာပါ။

အဆင့် 1. ထောင့် $C$ သည် ဘေး $a$ နှင့် $b$ ကြားတွင် ရှိသည် - ၎င်းသည် သီအိုရမ်ကို အသုံးပြုရန် ရည်ရွယ်ထားသည့် အခြေအနေအတိုင်း ဖြစ်သည်:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C.\]

အဆင့် 2. ကိန်းဂဏန်းများကို ထည့်သွင်းပါ၊ $\cos 60° = 0{,}5$:

\[c^2 = 7^2 + 15^2 - 2 \cdot 7 \cdot 15 \cdot 0{,}5 = 49 + 225 - 105 = 169.\]

အဆင့် 3. နှစ်ထပ်ကိန်းရင်းကို ရှာပါ: $c = \sqrt{169} = 13$.

အဖြေ: $13$။ အဓိပ္ပာယ်အရ စစ်ဆေးခြင်း: 60° ထောင့်သည် စူးရှထောင့်ဖြစ်သောကြောင့် ၎င်း၏ ဆန့်ကျင်ဘက်ဘေးသည် အရှည်ဆုံးမဟုတ်ပါ - အမှန်ပင်၊ $13 < 15$ ဖြစ်သည်။

နမူနာ 2. တုံးထောင့်: အနှုတ်နှင့် အနှုတ်

ပုစ္ဆာ။ $ABC$ တြိဂံတွင် သိရှိထားသည်မှာ: $AB = 6$, $BC = 10$, ထောင့် $B = 120°$ ဖြစ်သည်။ ဘေး $AC$ ကို ရှာပါ။

အဆင့် 1. ထောင့် $B$ သည် ဘေး $AB$ နှင့် $BC$ ကြားတွင် ရှိပြီး၊ ဘေး $AC$ သည် ၎င်း၏ ဆန့်ကျင်ဘက်တွင် ရှိသည်:

\[AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B.\]

အဆင့် 2. ထောင့်သည် တုံးထောင့်ဖြစ်သောကြောင့် $\cos 120° = -0{,}5$ ဖြစ်သည်။ မြှောက်ခြင်းရှေ့ရှိ အနှုတ်နှင့် ကိုဆိုင်း၏ အနှုတ်သည် အပေါင်းကို ပေးသည်:

\[AC^2 = 36 + 100 - 2 \cdot 6 \cdot 10 \cdot (-0{,}5) = 136 + 60 = 196.\]

အဆင့် 3. $AC = \sqrt{196} = 14$.

အဖြေ: $14$။ စစ်ဆေးခြင်း: တုံးထောင့်၏ ဆန့်ကျင်ဘက်တွင် အရှည်ဆုံးဘေး ရှိသည် - $14$ သည် $6$ နှင့် $10$ ထက် ပိုကြီးသည်။

နမူနာ 3. ဘေးသုံးခုမှ ထောင့်ကိုရှာခြင်း

ပုစ္ဆာ။ တြိဂံ၏ ဘေးများသည် $3$, $5$ နှင့် $7$ ဖြစ်သည်။ ၎င်း၏ အကြီးဆုံးထောင့်ကို ရှာပါ။

အဆင့် 1. အကြီးဆုံးထောင့်သည် အရှည်ဆုံးဘေး၏ ဆန့်ကျင်ဘက်တွင် ရှိသည်၊ ဆိုလိုသည်မှာ ဘေး $7$ ၏ ဆန့်ကျင်ဘက်တွင် ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို $C$ ဟု သတ်မှတ်ပါက $c = 7$ ဖြစ်ပြီး၊ ကပ်လျက်ဘေးများမှာ $a = 3$ နှင့် $b = 5$ ဖြစ်သည်။

အဆင့် 2. ဆက်စပ်အချက်ကို အသုံးပြုပါ:

\[\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{9 + 25 - 49}{2 \cdot 3 \cdot 5} = \frac{-15}{30} = -0{,}5.\]

အဆင့် 3. ကိုဆိုင်းသည် အနှုတ်ဖြစ်သောကြောင့် ထောင့်သည် တုံးထောင့်ဖြစ်သည်။ တန်ဖိုးဇယားအရ $\cos 120° = -0{,}5$ ဖြစ်သောကြောင့် $C = 120°$ ဖြစ်သည်။

အဖြေ: $120°$။ တြိဂံသည် တုံးထောင့်တြိဂံဖြစ်ကြောင်း တစ်ပါတည်း သိရှိလိုက်ရသည်။

နမူနာ 4. တြိဂံအမျိုးအစားကို ခွဲခြားခြင်း

ပုစ္ဆာ။ ဘေးများ $6$, $7$ နှင့် $10$ ရှိသော တြိဂံ၏ အမျိုးအစားကို ခွဲခြားပါ။

အဆင့် 1. တြိဂံမညီမျှခြင်းကို စစ်ဆေးပါ: $6 + 7 = 13 > 10$ - တြိဂံသည် ရှိသည်။ အရှည်ဆုံးဘေးမှာ $10$ ဖြစ်သည်။

အဆင့် 2. ပိုတိုသော ဘေးနှစ်ခု၏ နှစ်ထပ်ကိန်းပေါင်းခြင်းကို အရှည်ဆုံးဘေး၏ နှစ်ထပ်ကိန်းနှင့် နှိုင်းယှဉ်ပါ:

\[6^2 + 7^2 = 36 + 49 = 85, \qquad 10^2 = 100.\]

အဆင့် 3. $85 < 100$ ဖြစ်သောကြောင့် အပိုင်းကိန်း၏ အပေါ်ပိုင်းသည် အနှုတ်ဖြစ်ပြီး $\cos C < 0$ ဖြစ်သည် - ဘေး $10$ ၏ ဆန့်ကျင်ဘက်ထောင့်သည် တုံးထောင့်ဖြစ်သည်။ လိုအပ်ပါက ထောင့်ကိုလည်း ရှာနိုင်သည်:

\[\cos C = \frac{85 - 100}{2 \cdot 6 \cdot 7} = \frac{-15}{84} \approx -0{,}18 \Rightarrow C \approx 100°.\]

အဖြေ: တြိဂံသည် တုံးထောင့်တြိဂံဖြစ်သည်။ သတိပြုပါ: «မျက်စိဖြင့်» ကြည့်လျှင် မသိသာပါ - ဘေးများသည် နီးပါးတူညီသော်လည်း ထောင့်သည် 90° ကျော်လွန်သွားပြီ ဖြစ်သည်။

နမူနာ 5. OGE အဆင့် ပုစ္ဆာ: အပြိုင်စတုဂံ၏ ထောင့်ဖြတ်မျဉ်း

ပုစ္ဆာ။ အပြိုင်စတုဂံ၏ ဘေးများသည် $5$ နှင့် $8$ ဖြစ်ပြီး စူးရှထောင့်သည် $60°$ ဖြစ်သည်။ ပိုတိုသော ထောင့်ဖြတ်မျဉ်းကို ရှာပါ။

အဆင့် 1. ထောင့်ဖြတ်မျဉ်းသည် ဘေးနှစ်ခု ($5$ နှင့် $8$) နှင့် ၎င်းတို့ကြားရှိထောင့်ပါသော တြိဂံကို ဖြတ်ထုတ်သည်။ ပိုတိုသော ထောင့်ဖြတ်မျဉ်းသည် စူးရှထောင့် $60°$ ၏ ဆန့်ကျင်ဘက်တွင် ရှိသည်။

အဆင့် 2. တွက်ချက်ပါ:

\[d^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos 60° = 25 + 64 - 40 = 49 \Rightarrow d = 7.\]

အဆင့် 3. စစ်ဆေးခြင်း။ ဒုတိယထောင့်ဖြတ်မျဉ်းသည် $120°$ ထောင့်၏ ဆန့်ကျင်ဘက်တွင် ရှိသည် (အပြိုင်စတုဂံ၏ အနီးနားထောင့်များသည် ပေါင်းလျှင် $180°$ ဖြစ်သည်): $D^2 = 89 + 40 = 129$၊ ဆိုလိုသည်မှာ $D = \sqrt{129} \approx 11{,}4$ ဖြစ်သည်။ ထောင့်ဖြတ်မျဉ်းများ၏ နှစ်ထပ်ကိန်းပေါင်းခြင်းသည် $49 + 129 = 178$ ဖြစ်ပြီး၊ ဘေးများ၏ နှစ်ထပ်ကိန်းပေါင်းခြင်း၏ နှစ်ဆမှာ $2(25 + 64) = 178$ ဖြစ်သည်။ တူညီသောကြောင့် တွက်ချက်မှု မှန်ကန်သည်။

အဖြေ: $7$။

ကိုဆိုင်းသီအိုရမ် ပုစ္ဆာများတွင် မကြာခဏ ဖြစ်တတ်သော အမှားများ

တုံးထောင့်၏ ကိုဆိုင်းကို အပေါင်းလက္ခဏာဖြင့် ယူခြင်း။ ဘေး $4$ နှင့် $9$၊ ထောင့် $120°$ အတွက် $c^2 = 16 + 81 - 2 \cdot 4 \cdot 9 \cdot 0{,}5 = 61$ ဟု ရေးပြီး $c \approx 7{,}8$ ဟု ရရှိခြင်း။

$\cos 120° = -0{,}5$ ဖြစ်ပြီး၊ အနှုတ်နှင့် အနှုတ်မြှောက်လျှင် အပေါင်းဖြစ်သည်: $c^2 = 97 + 36 = 133$၊ ဆိုလိုသည်မှာ $c = \sqrt{133} \approx 11{,}5$ ဖြစ်သည်။ လျင်မြန်စွာ စစ်ဆေးခြင်း: တုံးထောင့်၏ ဆန့်ကျင်ဘက်တွင် အရှည်ဆုံးဘေး ရှိသောကြောင့် အဖြေသည် $9$ ထက် ပိုကြီးရမည်။
ပေးထားသော ဘေးများကြားတွင် မရှိသော ထောင့်ကို ထည့်သွင်းခြင်း: ပုစ္ဆာတွင် ထောင့်တစ်ခုသာ ပေးထားပြီး၊ ပုံကို မကြည့်ဘဲ «ရှိသည့်အတိုင်း» ယူခြင်း။

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$ မှတ်တမ်းတွင် ဘေး $a$ နှင့် $b$ သည် ထောင့် $C$ ကို ဖြစ်ပေါ်စေပြီး ဘေး $c$ သည် ၎င်း၏ ဆန့်ကျင်ဘက်တွင် ရှိသည်။ သိရှိထားသောထောင့်သည် ရှာလိုသောဘေးနှင့် ကပ်လျက်ရှိပါက ဤမှတ်တမ်းသည် မသင့်တော်ပါ - သီအိုရမ်သုံးခုထဲမှ အခြားတစ်ခု သို့မဟုတ် ဆိုင်းသီအိုရမ် လိုအပ်သည်။
နှစ်ထပ်ကိန်းရင်းကို ရှာရန် မေ့လျော့ပြီး ဘေး၏ နှစ်ထပ်ကိန်းကိုသာ အဖြေအဖြစ် ရေးခြင်း: $c^2 = 225$ ဟု ရရှိပြီး «ဘေးသည် 225 နှင့် ညီမျှသည်» ဟု ရေးခြင်း။

ဖော်မြူလာသည် ဘေး၏ နှစ်ထပ်ကိန်းကိုသာ အမြဲပေးသည်။ နောက်ဆုံးအဆင့်မှာ မဖြစ်မနေ လိုအပ်သည်: $c = \sqrt{225} = 15$။ အဖြေမရေးမီ ပုစ္ဆာ၏ မေးခွန်းကို ပြန်ဖတ်ပါ။
ဆက်စပ်အချက်တွင် အပေါင်းကိန်းများ၏ အစီအစဉ်ကို မှားယွင်းပြီး $\cos C = \dfrac{c^2 - a^2 - b^2}{2ab}$ ဟု ရေးခြင်း။

မှန်ကန်သော အပေါ်ပိုင်းမှာ $a^2 + b^2 - c^2$ ဖြစ်သည်: ကပ်လျက်ဘေးများ၏ နှစ်ထပ်ကိန်းပေါင်းခြင်းမှ ဆန့်ကျင်ဘက်ဘေး၏ နှစ်ထပ်ကိန်းကို နှုတ်ရသည်။ နေရာပြောင်းလိုက်ပါက အပိုင်းကိန်း၏ လက္ခဏာသည် ဆန့်ကျင်ဘက်သို့ ပြောင်းသွားပြီး တုံးထောင့် $120°$ အစား စူးရှထောင့် $60°$ ရရှိသွားသည်။
ကိုဆိုင်း၏ တန်ဖိုး (absolute value) မှတစ်ဆင့် ထောင့်ကို ရှာခြင်း: −0,25 ရရှိပြီး အဖြေတွင် ကိုဆိုင်းသည် +0,25 ဖြစ်သကဲ့သို့ စူးရှထောင့်ကို ရေးခြင်း။

အနှုတ်ကိုဆိုင်းသည် အမြဲတမ်း တုံးထောင့်ဖြစ်သည်။ လက္ခဏာကို မဆုံးရှုံးရပါ: cos 60° = 0,5 ဖြစ်ပြီး cos 120° = −0,5 ဖြစ်သည်; အနှုတ်ကိန်း၏ အာ့ခ်ကိုဆိုင်းသည် 90° ထက် ပိုကြီးသည်။
«ဘေးနှစ်ခုနှင့် ၎င်းတို့ကြားရှိထောင့်» ပုစ္ဆာကို ဆိုင်းသီအိုရမ်ဖြင့် ဖြေရှင်းရန် ကြိုးစားပြီး ပထမစာကြောင်းမှာတင် ရပ်တန့်သွားခြင်း။

ဆိုင်းသီအိုရမ်သည် «ဘေးနှင့် ဆန့်ကျင်ဘက်ထောင့်» အတွဲ လိုအပ်သည်။ ဘေးနှစ်ခုနှင့် ၎င်းတို့ကြားရှိထောင့်တွင် ထိုသို့သောအတွဲ မရှိပါ - ဦးစွာ ကိုဆိုင်းသီအိုရမ်ဖြင့် တတိယဘေးကို ရှာပြီးမှသာ ဆိုင်းသီအိုရမ်ကို အသုံးပြုနိုင်သည်။

မေးခွန်းများနှင့် အဖြေများ

ကိုဆိုင်းသီအိုရမ်သည် မည်သို့ဆိုသနည်း?

တြိဂံ၏ ဘေးတစ်ခု၏ နှစ်ထပ်ကိန်းသည် အခြားဘေးနှစ်ခု၏ နှစ်ထပ်ကိန်းပေါင်းခြင်းမှ ၎င်းတို့၏ နှစ်ဆမြှောက်ခြင်းနှင့် ၎င်းတို့ကြားရှိထောင့်၏ ကိုဆိုင်းကို မြှောက်ခြင်းကို နှုတ်ခြင်းနှင့် ညီမျှသည်: c² = a² + b² − 2ab·cos C။ သီအိုရမ်သည် ထောင့်မှန်တြိဂံအတွက်သာမက မည်သည့်တြိဂံအတွက်မဆို မှန်ကန်သည်။

ဘေးနှစ်ခုနှင့် ၎င်းတို့ကြားရှိထောင့်မှ တြိဂံ၏ ဘေးကို မည်သို့ရှာရမည်နည်း?

အချက်အလက်များကို c² = a² + b² − 2ab·cos C ဖော်မြူလာတွင် ထည့်သွင်းပြီး နှစ်ထပ်ကိန်းရင်းကို ရှာပါ။ ဥပမာ၊ ဘေး 4 နှင့် 6၊ ၎င်းတို့ကြားရှိထောင့် 60° အတွက်: c² = 16 + 36 − 2·4·6·0,5 = 28၊ ထို့ကြောင့် c = √28 ≈ 5,3 ဖြစ်သည်။

ဘေးသုံးခုကို သိရှိပါက တြိဂံ၏ ထောင့်ကို မည်သို့ရှာရမည်နည်း?

ကိုဆိုင်းသီအိုရမ်မှ ဆက်စပ်အချက်ဖြင့်: cos C = (a² + b² − c²) / (2ab)၊ ဤနေရာတွင် c သည် ရှာလိုသောထောင့်၏ ဆန့်ကျင်ဘက်ဘေးဖြစ်သည်။ ဥပမာ၊ ဘေး 2, 3 နှင့် 4 အတွက် အကြီးဆုံးထောင့်၏ ကိုဆိုင်းသည် (4 + 9 − 16) / (2·2·3) = −0,25၊ ဆိုလိုသည်မှာ ထောင့်သည် တုံးထောင့်ဖြစ်ပြီး၊ ခန့်မှန်းခြေ 104° ဖြစ်သည်။

ပိုက်သာဂိုရပ်စ်သီအိုရမ်သည် ကိုဆိုင်းသီအိုရမ်၏ အထူးကိစ္စရပ်တစ်ခု ဖြစ်ရသည့်အကြောင်းရင်းမှာ အဘယ်နည်း?

ထောင့်မှန်တွင် cos 90° = 0 ဖြစ်ပြီး −2ab·cos C အပေါင်းကိန်းသည် သုညဖြစ်သွားသောကြောင့် ဖြစ်သည်။ ဖော်မြူလာမှ c² = a² + b² သာ ကျန်ရှိသည် - ၎င်းသည် ထောင့်မှန်တြိဂံအတွက် ပိုက်သာဂိုရပ်စ်သီအိုရမ် ဖြစ်သည်။

ကိုဆိုင်းသီအိုရမ်သည် တုံးထောင့်တြိဂံတွင် အလုပ်လုပ်သလား?

ဟုတ်ကဲ့၊ ပြောင်းလဲမှုမရှိဘဲ အလုပ်လုပ်သည်။ တုံးထောင့်၏ ကိုဆိုင်းသည် အနှုတ်ဖြစ်သောကြောင့် −2ab·cos C အပေါင်းကိန်းသည် အပေါင်းဖြစ်လာပြီး နှစ်ထပ်ကိန်းပေါင်းခြင်းနှင့် ပေါင်းရသည်။ ထိုအကြောင်းကြောင့်ပင် တုံးထောင့်၏ ဆန့်ကျင်ဘက်ဘေးသည် အရှည်ဆုံးဖြစ်လာသည်။

ဆိုင်းသီအိုရမ်ကို မည်သည့်အခါ အသုံးပြုပြီး ကိုဆိုင်းသီအိုရမ်ကို မည်သည့်အခါ အသုံးပြုရမည်နည်း?

ဆိုင်းသီအိုရမ်သည် ပုစ္ဆာတွင် «ဘေးနှင့် ၎င်း၏ ဆန့်ကျင်ဘက်ထောင့်» အတွဲ ရှိပြီးသားဆိုလျှင် လိုအပ်သည် - ဥပမာ၊ ဘေးတစ်ခုနှင့် ထောင့်နှစ်ခု ပေးထားခြင်း။ ကိုဆိုင်းသီအိုရမ်မှာ ထိုသို့သောအတွဲ မရှိလျှင် - ဘေးနှစ်ခုနှင့် ၎င်းတို့ကြားရှိထောင့် သို့မဟုတ် ဘေးသုံးခုလုံး ပေးထားခြင်း။ မကြာခဏဆိုသလို ပုစ္ဆာကို အဆင့်နှစ်ဆင့်ဖြင့် ဖြေရှင်းသည်: ဦးစွာ ကိုဆိုင်း၊ ထို့နောက် ဆိုင်း။

တြိဂံအမျိုးအစားကို ဘေးသုံးခုမှ မည်သို့ခွဲခြားရမည်နည်း?

အရှည်ဆုံးဘေး၏ နှစ်ထပ်ကိန်း c² ကို အခြားဘေးနှစ်ခု၏ နှစ်ထပ်ကိန်းပေါင်းခြင်းနှင့် နှိုင်းယှဉ်ပါ။ အကယ်၍ a² + b² > c² ဖြစ်လျှင် - တြိဂံသည် စူးရှထောင့်တြိဂံ၊ a² + b² = c² ဖြစ်လျှင် - ထောင့်မှန်တြိဂံ၊ a² + b² < c² ဖြစ်လျှင် - တုံးထောင့်တြိဂံ ဖြစ်သည်။ ဤခြားနားချက်၏ လက္ခဏာသည် အကြီးဆုံးထောင့်၏ ကိုဆိုင်းလက္ခဏာနှင့် တူညီသည်။

ကိုဆိုင်းသီအိုရမ်ကို မည်သည့်အတန်းတွင် သင်ယူရသနည်း?

အတန်း (၉) ဂျီသြမေတြီ သင်ခန်းစာများတွင်၊ «တြိဂံ၏ ဘေးများနှင့် ထောင့်များကြား ဆက်သွယ်ချက်» ခေါင်းစဉ်ဖြင့် - ဆိုင်းသီအိုရမ်နှင့်အတူ သင်ယူရသည်။ ထို့နောက် ၎င်းကို OGE နှင့် ЕГЭ ပလန်နီမက်ထရစ်နှင့် စတီရီယိုမက်ထရစ် ပုစ္ဆာများတွင် အမြဲတမ်း အသုံးပြုသည်။

မေးခွန်းများ ကျန်ရှိသေးသလား? ချတ်တွင် ဆက်လက်မေးမြန်းပါ

ကျွန်ုပ်၏ ပုစ္ဆာကို ဖြေရှင်းပေးပါ ကျွန်ုပ်၏ အဖြေကို စစ်ဆေးပေးပါ တြိဂံ၏ ဘေးကို ရှာပါ ဘေးသုံးခုမှ ထောင့်ကို ရှာပါ ဆိုင်း သို့မဟုတ် ကိုဆိုင်း? လေ့ကျင့်ရန် ပုစ္ဆာများ ပေးပါ

User #4365351

ဓာတ်ပုံပေါ်တွင် စာသားထည့်သည့် တည်းဖြတ်သူကို တကယ်သဘောကျတယ် — ရလဒ်က တကယ့်လက်ရာမြောက်တဲ့ အနုပညာတစ်ခုလိုပဲ။

Web · May 2026

User #4383661

ကျေးဇူးတင်ပါတယ်၊ ဒီနျူရယ်လ်ကွန်ရက်ရဲ့ အလုပ်လုပ်ပုံက ကျွန်တော့်ကို တကယ်အထင်ကြီးစေတယ်။ ပြီးပြည့်စုံတယ်!

User #4279467

ကျွန်တော် တကယ်သဘောကျတယ် — အခမဲ့ စမ်းသုံးခွင့် နောက်ထပ်နည်းနည်းလောက် ပိုရရင် ပိုကောင်းမယ်။

Google Play · May 2026

User #4160129

စျေးနှုန်းသက်သာပြီး အံ့သြစရာကောင်းတဲ့ အက်ပ်တစ်ခုပါ။