Apskritimas sukuria du pagrindinius kampų tipus: centrinį – su viršūne centre, ir įbrėžtinį – su viršūne pačiame apskritime. Ryšys tarp jų paprastas: centrinis kampas lygus lankui, į kurį remiasi, o įbrėžtinis – jo pusei. Šiame puslapyje – apibrėžimai, teorema apie įbrėžtinį kampą su visomis išvadomis, aiškūs brėžiniai, žingsnis po žingsnio išnagrinėti uždaviniai ir interaktyvus treniruoklis, kuriame galite iškart pasitikrinti.
Kampų tipai apskritime: centrinis ir įbrėžtinis
Apskritime nubrėžus dvi atkarpas iš vieno taško, gaunamas kampas. Priklausomai nuo to, kur yra jo viršūnė, išskiriami du pagrindiniai kampų tipai apskritime:
- Centrinis kampas – kampas, kurio viršūnė yra apskritimo centre \(O\). Jo kraštinės – spinduliai.
- Įbrėžtinis kampas – kampas, kurio viršūnė yra ant apskritimo, o kraštinės jį kerta (t. y. yra stygos).
Kiekvienas iš šių kampų remiasi į lanką – apskritimo dalį, esančią kampo viduje. Būtent lankas susieja centrinį ir įbrėžtinį kampus: per jo laipsninį matą išreiškiami abu.
Jei kampo viršūnė atsidūrė skritulio viduje (bet ne centre) arba už jo ribų – tai jau nebe įbrėžtinis ir nebe centrinis kampas: tokiems kampams yra savos formulės, apie jas – puslapio pabaigoje.
∠AOC = lankui AC = 120°
∠ABC = ½ lanko AC = 60°
Teorema apie įbrėžtinį kampą ir jo dydis
Centrinis kampas lygus lankui, į kurį jis remiasi, – taip įvedamas lanko laipsninis matas. Jei \(\angle AOC = 120°\), tai ir lankas \(AC\) lygus \(120°\).
Teorema apie įbrėžtinį kampą: įbrėžtinis kampas matuojamas puse lanko, į kurį jis remiasi:
Iš čia – pagrindinis įbrėžtinių ir centrinių kampų santykis: įbrėžtinis kampas yra dvigubai mažesnis už centrinį, besiremiantį į tą patį lanką:
Įbrėžtinio kampo dydis nepriklauso nuo to, kurioje apskritimo vietoje yra viršūnė – svarbus tik lankas, į kurį jis remiasi. Todėl žemiau esantį brėžinį verta įsiminti kaip visos temos „darbinį paveikslėlį“: žalias lankas ir du į jį žiūrintys kampai.
Įbrėžtiniai ir centriniai kampai: savybės ir išvados
Iš teoremos apie įbrėžtinį kampą tiesiogiai išplaukia savybės, kuriomis remiasi dauguma mokyklinių uždavinių:
- Įbrėžtiniai kampai, besiremiantys į tą patį lanką, yra lygūs. Kiekvienas iš jų lygus pusei to paties lanko – vadinasi, jie lygūs ir vienas kitam, nesvarbu, kur būtų jų viršūnės.
- Įbrėžtinis kampas, besiremiantis į skersmenį, yra statusis. Skersmuo dalija apskritimą į du pusapskritimius po \(180°\), todėl toks kampas lygus \(180° : 2 = 90°\). Teisingas ir atvirkštinis teiginys: jei įbrėžtinis kampas yra statusis, tai jis remiasi į skersmenį.
- Įbrėžtinis kampas gali būti bukas. Jei lankas didesnis nei \(180°\), kampas didesnis nei \(90°\) – formulė „pusė lanko“ veikia be išimčių.
Šios savybės veikia ir „atvirkščiai“: pavyzdžiui, remiantis kampų, besiremiančių į tą pačią atkarpą, lygybe, įrodoma, kad keturi taškai priklauso vienam apskritimui.
Įbrėžtiniai ir apibrėžtiniai kampai: keturkampis apskritime
Jei visos keturios keturkampio viršūnės yra ant apskritimo, jis vadinamas įbrėžtiniu (o apskritimas – apibrėžtiniu aplink jį). Tokio keturkampio kampai yra įbrėžtiniai, todėl jiems galioja ta pati teorema.
- Įbrėžtinio keturkampio priešingų kampų suma lygi \(180°\). Kampai \(A\) ir \(C\) remiasi į du lankus, kurie kartu sudaro visą apskritimą (\(360°\)), todėl \(\angle A + \angle C = 360° : 2 = 180°\).
- Įbrėžtinio keturkampio priekampis lygus vidaus kampui prie priešingos viršūnės. Priekampis papildo savo vidaus kampą iki \(180°\) – lygiai taip pat, kaip ir priešingas kampas.
- Kampų sumos savybė yra ir požymis: jei keturkampio priešingų kampų sumos yra po \(180°\), aplink jį galima apibrėžti apskritimą. Todėl bet kurį stačiakampį galima įbrėžti į apskritimą, o rombo (išskyrus kvadratą) – ne.
Šalia įbrėžtinių uždaviniuose pasitaiko ir kampų tarp liestinių – kampų tarp dviejų liestinių, nubrėžtų iš vieno taško už apskritimo ribų. Toks kampas lygus lankų, kuriuos jis iškerta apskritime, skirtumo pusei.
Uždavinių apie įbrėžtinius ir centrinius kampus sprendimo pavyzdžiai
1 pavyzdys. Įbrėžtinis kampas pagal lanką
Užduotis. Įbrėžtinis kampas \(ABC\) remiasi į lanką \(AC\), lygų \(120°\). Raskite \(\angle ABC\).
1 žingsnis. Prisimename teoremą: įbrėžtinis kampas lygus pusei lanko, į kurį jis remiasi.
2 žingsnis. Įstatome reikšmes: \(\angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 120° = 60°\).
Atsakymas: \(60°\).
2 pavyzdys. Centrinis kampas pagal įbrėžtinį
Užduotis. Įbrėžtinis kampas \(ABC\) lygus \(40°\). Raskite centrinį kampą \(AOC\), besiremiantį į tą patį lanką \(AC\).
1 žingsnis. Centrinis kampas yra dvigubai didesnis už įbrėžtinį, besiremiantį į tą patį lanką: \(\angle AOC = 2 \cdot \angle ABC\).
2 žingsnis. Skaičiuojame: \(\angle AOC = 2 \cdot 40° = 80°\). Taip pat sužinojome ir lanko dydį: \(AC = 80°\).
Atsakymas: \(80°\).
3 pavyzdys. Kampas, besiremiantis į skersmenį
Užduotis. \(AC\) – apskritimo skersmuo, taškas \(B\) yra ant apskritimo, \(\angle BAC = 35°\). Raskite \(\angle BCA\).
1 žingsnis. Kampas \(ABC\) remiasi į skersmenį \(AC\), vadinasi \(\angle ABC = 90°\) – trikampis \(ABC\) yra statusis.
2 žingsnis. Trikampio kampų suma lygi \(180°\): \(\angle BCA = 180° - 90° - 35° = 55°\).
Atsakymas: \(55°\).
4 pavyzdys. Įbrėžtinis keturkampis
Užduotis. Keturkampis \(ABCD\) įbrėžtas į apskritimą, \(\angle A = 70°\), \(\angle B = 80°\). Raskite kampus \(C\) ir \(D\).
1 žingsnis. Įbrėžtinio keturkampio priešingų kampų sumos lygios \(180°\): \(\angle C = 180° - \angle A = 180° - 70° = 110°\).
2 žingsnis. Analogiškai \(\angle D = 180° - \angle B = 180° - 80° = 100°\).
Patikrinimas. \(70° + 80° + 110° + 100° = 360°\) – keturkampio kampų suma teisinga.
Atsakymas: \(\angle C = 110°\), \(\angle D = 100°\).
Dažnos klaidos uždaviniuose apie kampus apskritime
-
Painiojamas įbrėžtinis kampas su centriniu: kampui su viršūne centre imama pusė lanko (arba atvirkščiai).
Pirmiausia žiūrėkite į viršūnę. Viršūnė centre \(O\) – centrinis kampas, jis lygus visam lankui. Viršūnė ant apskritimo – įbrėžtinis, jis lygus pusei lanko.
-
Imamas ne tas lankas: įbrėžtiniam kampui skaičiuojamas lankas, ant kurio yra jo viršūnė.
Įbrėžtinis kampas remiasi į lanką, kuris yra kampo „viduje“, – viršūnė visada yra ant kito lanko. Užraše \(\angle ABC\) kampas remiasi į lanką \(AC\), kuriame nėra taško \(B\).
-
Dauginama ir dalijama iš 2 „ne į tą pusę“: pereinant nuo įbrėžtinio kampo prie centrinio dalijama, o ne dauginama.
Įsiminkite: įbrėžtinis – „mažas“ (pusė lanko), centrinis – „didelis“ (visas lankas). Nuo įbrėžtinio prie centrinio – dauginti iš 2, nuo centrinio prie įbrėžtinio – dalyti.
-
Įbrėžtiniu laikomas bet koks kampas, kurio kraštinės kerta apskritimą, – pavyzdžiui, kampas tarp stygų, susikertančių skritulio viduje.
Įbrėžtinio kampo viršūnė privalo būti ant paties apskritimo. Kampas su viršūne skritulio viduje lygus iškertamų lankų sumos pusei, su viršūne už skritulio ribų – skirtumo pusei: tai yra kitos formulės.
-
Įbrėžtiniame keturkampyje prie $180°$ prilyginama gretimų kampų suma vietoj priešingų.
Savybė galioja tik priešingoms viršūnėms: \(\angle A + \angle C = 180°\) ir \(\angle B + \angle D = 180°\). Gretimi įbrėžtinio keturkampio kampai gali būti bet kokio dydžio.
Klausimai ir atsakymai
Kam lygus įbrėžtinis kampas?
Įbrėžtinis kampas lygus pusei lanko, į kurį jis remiasi. Pavyzdžiui, jei lankas lygus 120°, įbrėžtinis kampas lygus 60°. Tai ir yra teorema apie įbrėžtinį kampą – pagrindinė šios temos formulė.
Kaip susiję įbrėžtinis ir centrinis kampai, besiremiantys į tą patį lanką?
Centrinis kampas yra dvigubai didesnis už įbrėžtinį: ∠AOC = 2·∠ABC. Centrinis kampas lygus pačiam lankui, o įbrėžtinis – jo pusei.
Kodėl įbrėžtinis kampas, besiremiantis į skersmenį, lygus 90°?
Skersmuo atitinka pusapskritimį – 180° lanką. Įbrėžtinis kampas lygus pusei lanko: 180° : 2 = 90°. Todėl bet kuris trikampis, kurio viena kraštinė yra apibrėžtinio apskritimo skersmuo, yra statusis.
Ar įbrėžtinis kampas gali būti bukas?
Taip. Jei lankas, į kurį remiasi kampas, yra didesnis nei 180°, kampas yra bukas: pavyzdžiui, 210° lanką atitinka 105° įbrėžtinis kampas. Tačiau įbrėžtinis kampas visada yra mažesnis nei 180°.
Kas yra kampas tarp liestinių ir kuo jis skiriasi nuo įbrėžtinio?
Kampą tarp liestinių sudaro dvi liestinės, nubrėžtos apskritimui iš vieno išorinio taško. Jo viršūnė yra už apskritimo ribų, ir jis lygus iškertamų lankų skirtumo pusei. Įbrėžtinio kampo viršūnė yra ant apskritimo, ir jis lygus pusei vieno lanko.
Kokių dar būna kampų tipų, susijusių su apskritimu?
Be centrinio ir įbrėžtinio, nagrinėjami kampas tarp stygų (viršūnė skritulio viduje – lankų sumos pusė), kampas tarp kirstinių iš išorinio taško (lankų skirtumo pusė) ir kampas tarp liestinės ir stygos (pusė lanko, esančio kampo viduje). Visi jie išreiškiami per apskritimo lankus.
