Panašūs trikampiai – tai tos pačios formos, bet skirtingų dydžių trikampiai: jų kampai atitinkamai lygūs, o atitinkamos kraštinės proporcingos. Skaičius, rodantis, kiek kartų vienas trikampis didesnis už kitą, vadinamas panašumo koeficientu \(k\). Panašumui įrodyti padeda trys požymiai, o perimetrų ir plotų santykiai paklūsta paprastai taisyklei: perimetrai santykiauja kaip \(k\), o plotai – kaip \(k^2\). Šiame puslapyje – apibrėžimas ir panašumo žymėjimas, tinkamai surašant viršūnes, visi trys požymiai, statieji trikampiai ir aukštinė iš stačiojo kampo, OGE uždavinių „raskite kraštinę“ sprendimo pavyzdžiai ir interaktyvus treniruoklis.
Kas yra panašūs trikampiai ir panašumo koeficientas
Du trikampius vadiname panašiais, jei tenkinamos dvi sąlygos:
- jų kampai atitinkamai lygūs – kiekvienam pirmojo trikampio kampui atitinka lygus jam antrasis kampas;
- jų atitinkamos kraštinės proporcingos – visi trys santykiai duoda tą patį skaičių.
Atitinkamos kraštinės – tai kraštinės, esančios prieš lygiais kampais. Būtent jos sudaro poras, tarp kurių skaičiuojamas santykis.
Panašumas žymimas ženklu \(\sim\):
Panašumo koeficientas \(k\) – tas pats vienodas atitinkamų kraštinių santykis:
Jei \(k > 1\), antrasis trikampis didesnis už pirmąjį; jei \(k < 1\) – mažesnis; kai \(k = 1\), trikampiai tiesiog lygūs, nes lygybė yra panašumo atvejis.
Viršūnių tvarka žymėjime – ne formalumas
Žymėjimą \(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\) skaitome griežtai pagal pozicijas: \(A\) atitinka \(A_1\), \(B\) – \(B_1\), \(C\) – \(C_1\). Iš čia išplaukia, kurie kampai lygūs (\(\angle A = \angle A_1\)), o kurios kraštinės atitinkamos (\(AB\) ir \(A_1B_1\), \(BC\) ir \(B_1C_1\), \(AC\) ir \(A_1C_1\)).
Jei perstatytume raides ir parašytume \(\triangle ABC \sim \triangle B_1A_1C_1\), gautume kitą teiginį: dabar \(\angle A = \angle B_1\), o prie \(AB\) atitinkama bus kraštinė \(B_1A_1\). Negalima sudaryti proporcijos pagal „panašiai išsidėsčiusias“ kraštines – tik pagal žymėjimo pozicijas. Todėl pirmiausia išsirašome lygiais kampais poras ir jau pagal jas prideriname raidžių tvarką.
Trys panašumo požymiai
Nereikia tikrinti visų šešių apibrėžimo sąlygų: panašumas įrodomas pagal vieną iš trijų požymių. Kiekvienas – tai minimalus duomenų rinkinys, iš kurio automatiškai seka ir visų kampų lygybė, ir visų kraštinių proporcingumas.
Kaip pasirinkti požymį. Pažiūrėk, kas duota uždavinyje: jei apie kampus – pirmasis, jei apie dvi kraštines ir kampą – antrasis, jei apie visas tris kraštines – trečiasis.
- Pirmasis požymis (pagal du kampus) – pagrindinis mokyklinės programos įrankis: beveik visi OGE uždaviniai sprendžiami juo. Trečiojo kampo tikrinti nereikia, jis lygus automatiškai: trikampio kampų suma visada \(180°\). Ieškok paruoštų lygiais kampais porų – bendras dviejų trikampių kampas, kryžminiai kampai, pakaitiniai ir atitinkami kampai prie lygiagrečių tiesių, du statūs kampai.
- Antrasis požymis (pagal dvi kraštines ir kampą tarp jų) reikalauja, kad kampas būtų būtent tarp šių dviejų kraštinių. Jei lygus kampas yra prieš vieną iš jų, požymis neveikia ir panašumas neįrodytas.
- Trečiasis požymis (pagal tris kraštines) – kai sąlygoje visai nėra kampų, o tik ilgių. Išrašyk kiekvieno trikampio kraštines didėjimo tvarka ir padalink mažiausiąją iš mažiausiosios, vidurinę iš vidurinės, didžiausią iš didžiausios: taip poros tikrai nesupainiosi. Panašumas yra tik tada, jei visi trys santykiai sutapo.
Kad nesupainiotumėte panašumo požymių su lygybės požymiais, turėkite omenyje skirtumą: lygybėje kraštinės turi sutapti, panašume – būti proporcingos.
→ △ABC ∼ △A1B1C1
Panašių trikampių perimetrų ir plotų santykis
Panašumas turi dvi pasekmes, kurios klausiamos dažniausiai, ir viena jų – pagrindinė temos spąstai.
Perimetrai santykiauja kaip \(k\). Kiekviena antrojo trikampio kraštinė yra \(k\) kartų didesnė už atitinkamą pirmojo trikampio kraštinę, todėl ir kraštinių suma išauga lygiai \(k\) kartų:
Taip pat – „\(k\) kartų“ – elgiasi visos linijinės dydžiai: aukštinės, medianos, pusiaukampinės, įbrėžto ir apibrėžto apskritimų spinduliai, vidurinės linijos.
Plotai santykiauja kaip \(k^2\). Plotas priklauso nuo dviejų matavimų iš karto: ir pagrindas, ir aukštinė didėja \(k\) kartų, o sandauga – \(k \cdot k\) kartų:
Tegul \(k = 5\). Tada perimetras didesnis 5 kartus (pvz., buvo 14 cm – tapo 70 cm), o plotas – jau 25 kartus (buvo 6 cm² – tapo 150 cm²). Skirtumas didžiulis, ir įstatyti čia \(k\) vietoj \(k^2\) – dažniausia klaida egzamine.
Atvirkštinis veiksmas. Jei sąlygoje duotas plotų santykis, panašumo koeficientas randamas šaknimi: \(k = \sqrt{S_2 : S_1}\). Pavyzdžiui, plotai santykiauja kaip \(16 : 1\), vadinasi kraštinės – kaip \(4 : 1\).
| k | Perimetrai P₂ : P₁ | Plotai S₂ : S₁ |
|---|---|---|
| 2 | 2 : 1 | 4 : 1 |
| 3 | 3 : 1 | 9 : 1 |
| 1,5 | 1,5 : 1 | 2,25 : 1 |
| bet koks | k : 1 | k² : 1 |
Panašumas statuosiuose trikampiuose ir aukštinė iš stačiojo kampo
Statiesiems trikampiams pirmasis požymis supaprastėja: statieji kampai pas juos lygūs iš anksto, todėl pakanka vieno smailiojo kampo lygybės, kad trikampiai būtų panašūs. Iš to seka ir požymis pagal du statinius: jei vieno statiniai proporcingi kito statiniams, trikampiai panašūs (tai antrasis požymis, nes kampas tarp statinių – statusis).
Labiausiai naudinga visos temos konfigūracija – aukštinė, nubrėžta iš stačiojo kampo viršūnės. Ji dalija trikampį į du, ir visi trys gauti trikampiai yra panašūs vienas į kitą.
Kodėl taip: trikampyje \(AHC\) statusis kampas prie \(H\) ir bendras su didžiuoju trikampiu kampas \(A\), vadinasi \(\triangle AHC \sim \triangle ACB\). Trikampyje \(CHB\) statusis kampas prie \(H\) ir bendras kampas \(B\), vadinasi \(\triangle CHB \sim \triangle ACB\). Iš to seka, kad panašūs ir du mažieji trikampiai tarp savęs.
Iš šių panašumų gaunamos vidutinio geometrinio formulės (jas vadina proporcingomis atkarpos statiajame trikampyje):
- \(CH^2 = AH \cdot HB\) – aukštinė yra vidurys geometrinis atkarpų, į kurias ji dalija įžambinę;
- \(AC^2 = AH \cdot AB\) ir \(BC^2 = HB \cdot AB\) – statinis yra vidurys geometrinis visos įžambinės ir jo projekcijos į ją.
Svarbiausia – nesupainioti, kuri atkarpa „sava“: statiniui \(AC\) projekcija \(AH\), statiniui \(BC\) projekcija \(HB\). Projekcija visada priglunda prie to paties įžambinės galo, kaip ir statinis.
OGE uždaviniai apie panašumą: kaip rasti kraštinę
Beveik visi panašumo uždaviniai sprendžiami pagal vieną algoritmą:
- Rasti lygiais kampais porą – bendras kampas, kryžminiai, pakaitiniai prie lygiagrečių tiesių arba du statūs.
- Užrašyti panašumą tinkama viršūnių tvarka – taip, kad lygūs kampai atsidurtų tose pačiose pozicijose.
- Sudaryti proporciją iš atitinkamų kraštinių (imame kraštines, esančias tose pačiose vietose žymėjime).
- Išreikšti nežinomąjį ir apskaičiuoti; pabaigoje patikrinti atsakymą pagal prasmę – mažesniojo trikampio kraštinė privalo būti mažesnė.
Tipinių OGE konfigūracijų nedaug, ir jas verta atpažinti iš pirmo žvilgsnio:
- Tiesė, lygiagreti kraštinei. Tiesė iš didžiojo trikampio „nukanda“ mažąjį, panašų į pradinį. Pagrindinė subtilybė: proporcijoje įrašome visų kraštinių santykį nuo bendros viršūnės (\(BM : BA\)), o ne atkarpų (\(BM : MA\)).
- „Drugelis“. Du atkarpos susikerta, o jų galai sujungti lygiagrečiomis tiesėmis – gaunami du panašūs trikampiai, atsukti vienas prieš kitą.
- Aukštinė iš stačiojo kampo – ankstesnio skyriaus konfigūracija; OGE uždaviniuose ja ieško aukštinės, statinio ar įžambinės atkarpos.
- Medžio ir jo šešėlio aukštis. Saulės spinduliai yra lygiagretūs, todėl daiktas su savo šešėliu ir medis su savo šešėliu sudaro panašius statuosius trikampius.
- Vidurinė linija – specialus atvejis su \(k = 2\): ji lygiagreti kraštinei ir du kartus trumpesnė už ją.
kampas B bendras, kampai prie M ir A atitinkami
kampai prie O kryžminiai, kampai A ir C pakaitiniai
Panašių trikampių uždavinių sprendimo pavyzdžiai
1 pavyzdys. Rasti kraštines pagal panašumo koeficientą
Uždavinys. \(\triangle MNK \sim \triangle PQR\). Žinoma, kad \(MN = 7\), \(NK = 11\), \(MK = 9\) ir \(PQ = 21\). Raskite \(QR\) ir \(PR\).
1 žingsnis. Analizuojame žymėjimą pagal pozicijas: \(M \leftrightarrow P\), \(N \leftrightarrow Q\), \(K \leftrightarrow R\). Vadinasi, atitinkamos poros tokios: \(MN\) ir \(PQ\), \(NK\) ir \(QR\), \(MK\) ir \(PR\).
2 žingsnis. Skaičiuojame koeficientą pagal vienintelę porą, kurioje abi kraštinės žinomos:
3 žingsnis. Likusios antrojo trikampio kraštinės yra 3 kartus didesnės už atitinkamas:
Atsakymas: \(QR = 33\), \(PR = 27\). Patikrinimas: \(33 : 11 = 27 : 9 = 3\) – visi santykiai sutapo.
2 pavyzdys. Įrodyti panašumą pagal antrąjį požymį
Uždavinys. Trikampiuose \(ABC\) ir \(DEF\) žinoma: \(AB = 5\), \(AC = 9\), \(DE = 15\), \(DF = 27\), o kampai \(A\) ir \(D\) lygūs. Įrodykite, kad trikampiai yra panašūs.
1 žingsnis. Tikriname pagrindinę antrojo požymio sąlygą: kampas \(A\) yra tarp kraštinių \(AB\) ir \(AC\), kampas \(D\) – tarp \(DE\) ir \(DF\). Kampai tarp duotų kraštinių – požymis taikomas.
2 žingsnis. Skaičiuojame atitinkamų kraštinių santykius:
3 žingsnis. Dvi kraštinių poros proporcingos su vienodu koeficientu \(k = 3\), kampai tarp jų lygūs – pagal antrąjį požymį \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\).
Atsakymas: trikampiai yra panašūs, \(k = 3\). Pastebėkite: jei lygūs būtų kampai \(B\) ir \(D\), požymis nebūtų taikomas – kampas \(B\) nėra tarp \(AB\) ir \(AC\).
3 pavyzdys. Tiesė, lygiagreti kraštinei (OGE uždavinys)
Uždavinys. Trikampyje \(ABC\) taškas \(M\) yra kraštinėje \(AB\), taškas \(N\) – kraštinėje \(BC\), ir \(MN \parallel AC\). Žinoma, kad \(BM = 4\), \(MA = 12\), \(MN = 5\). Raskite \(AC\).
1 žingsnis. Kadangi \(MN \parallel AC\), kampai \(BMN\) ir \(BAC\) lygūs kaip atitinkami, o kampas \(B\) – bendras. Pagal pirmąjį požymį \(\triangle BMN \sim \triangle BAC\) (viršūnių tvarka: \(M \leftrightarrow A\), \(N \leftrightarrow C\)).
2 žingsnis. Randame visą kraštinę nuo bendros viršūnės: \(BA = BM + MA = 4 + 12 = 16\). Tai ir yra pagrindinė subtilybė – proporcijoje įrašome \(BA\), o ne \(MA\).
3 žingsnis. Sudarome proporciją pagal atitinkamas kraštines:
4 žingsnis. Iš čia \(AC = 5 \cdot 4 = 20\).
Atsakymas: \(AC = 20\). Panašumo koeficientas čia lygus 4: didysis trikampis keturis kartus didesnis už atpjautąjį.
4 pavyzdys. Perimetrai ir plotai
Uždavinys. Panašių trikampių perimetrai lygūs 18 cm ir 45 cm. Mažesniojo trikampio plotas lygus 16 cm². Raskite didesniojo plotą.
1 žingsnis. Perimetrai santykiauja kaip panašumo koeficientas:
2 žingsnis. Plotai santykiauja kaip panašumo koeficientas kvadratu: \(k^2 = 2{,}5^2 = 6{,}25\).
3 žingsnis. Mažesniojo trikampio plotą dauginame iš \(k^2\):
Atsakymas: 100 cm². Jei būtume dauginę iš \(k = 2{,}5\), gautume 40 cm² – tipinė klaida, dėl kurios prarandamas visas balas.
5 pavyzdys. Aukštinė iš stačiojo kampo viršūnės
Uždavinys. Statiam trikampyje \(ABC\) su staciuoju kampu viršūnėje \(C\) nubrėžta aukštinė \(CH\) į įžambinę. Žinoma, kad \(AH = 4\) cm, \(HB = 9\) cm. Raskite aukštinę \(CH\) ir trikampio plotą.
1 žingsnis. Aukštinė iš stačiojo kampo – vidurys geometrinis įžambinės atkarpų, nes \(\triangle AHC \sim \triangle CHB\):
2 žingsnis. Ištraukiame šaknį: \(CH = 6\) cm.
3 žingsnis. Įžambinė \(AB = AH + HB = 4 + 9 = 13\) cm. Plotą skaičiuojame per įžambinę ir prie jos nubrėžtą aukštinę:
Atsakymas: \(CH = 6\) cm, \(S = 39\) cm².
6 pavyzdys. Medžio aukštis pagal šešėlį
Uždavinys. Vertikalus 2 m aukščio stiebas meta 1,5 m ilgio šešėlį. Tuo pačiu metu medžio šešėlis yra 9 m ilgio. Koks medžio aukštis?
1 žingsnis. Saulės spinduliai yra lygiagretūs, todėl spindulio kritimo kampas stiebui ir medžiui yra vienodas. Stiebas su šešėliu ir medis su šešėliu sudaro statuosius trikampius su lygiais smailiais kampais – vadinasi, jie panašūs.
2 žingsnis. Sudarome proporciją „aukštis prie savo šešėlio“:
3 žingsnis. Išreiškiame nežinomą aukštį:
Atsakymas: 12 m. Patikrinimas pagal prasmę: medžio šešėlis 6 kartus ilgesnis už stiebo šešėlį, todėl ir medis 6 kartus aukštesnis: \(2 \cdot 6 = 12\) m.
Dažnos klaidos panašių trikampių uždaviniuose
-
Laiko, kad panašių trikampių plotai santykiauja kaip $k$: kai $k = 3$, didina plotą tris kartus.
Plotai santykiauja kaip panašumo koeficientas kvadratu: kai \(k = 3\), plotas didesnis \(3^2 = 9\) kartus. Kaip \(k\) santykiauja tik linijiniai dydžiai – kraštinės, perimetras, aukštinės, medianos. Taisyklė-užuomina: plotas matuojamas kvadratiniais vienetais, todėl ir koeficientas jame įeina kvadratu.
-
Ignoruoja viršūnių tvarką: iš žymėjimo $\triangle ABC \sim \triangle KLM$ sudaro proporciją $AB : LM$.
Viršūnių atitikimą nustato žymėjimo pozicijos: \(A \leftrightarrow K\), \(B \leftrightarrow L\), \(C \leftrightarrow M\). Prie \(AB\) atitinkama bus \(KL\), o prie \(BC\) – \(LM\). Prieš rašant proporciją, išrašykite viršūnių poras stulpeliu – tai užima penkias sekundes ir pašalina daugumą klaidų.
-
Įrodo panašumą pagal vieną lygų kampą arba pagal dvi proporcingas kraštines be kampo.
Vieno lygio kampo nepakanka: du trikampiai gali turėti lygų kampą, bet būti visiškai skirtingos formos. Reikalingas pilnas požymis – du kampai, arba dvi kraštinės ir kampas tarp jų, arba visos trys kraštinės.
-
Antruoju požymiu naudoja kampą, kuris nėra tarp duotų kraštinių.
Antrasis požymis veikia tik su kampu tarp dviejų duotų kraštinių. Jei žinomos \(AB\), \(AC\) ir lygus kampas \(B\), požymis netaikomas – ieškokite kito kelio: lygiais kampais poros arba trečiosios kraštinės.
-
Apverčia koeficientą: randa $k$ kaip „mažesnioji kraštinė prie didesniosios“, o paskui ja dauginą, kad gautų didesniojo trikampio kraštinę.
Susitarkite patys su savimi dėl krypties: jei \(k\) – antrojo trikampio kraštinių santykis su pirmojo, tai pirmojo trikampio kraštines dauginame iš \(k\), o antrojo – dalijame iš \(k\). Galutinis patikrinimas pagal prasmę: mažesniojo trikampio kraštinė privalo būti mažesnė.
-
Uždavinyje su tiese, lygiagrečia kraštinei, sudaro proporciją iš atkarpų: $BM : MA = MN : AC$.
Panašūs trikampiai \(BMN\) ir \(BAC\), o jų atitinkamos kraštinės – \(BM\) ir \(BA\) (visa kraštinė nuo bendros viršūnės), o ne atkarpa \(MA\). Pirmiausia raskite \(BA = BM + MA\), ir tik tada sudarykite proporciją.
-
Maišo panašumą su lygybe ir atsakyme rašo, kad kraštinės tiesiog lygios.
Lygybė – tai panašumo atvejis, kai \(k = 1\). Jei \(k \ne 1\), trikampiai sutampa tik kampais, o kraštinės skiriasi \(k\) kartų. Požymiai taip pat skirtingi: lygybės požymiai yra ŠKŠ, KŠK, ŠŠŠ su sutampančiomis kraštinėmis, panašumo – proporcingomis kraštinėmis.
Klausimai ir atsakymai
Kaip vadinami panašūs trikampiai?
Panašiais vadinami trikampiai, kurių kampai atitinkamai lygūs, o atitinkamos kraštinės proporcingos. Paprasčiau tariant, tai tos pačios formos, bet skirtingų dydžių trikampiai. Panašumas žymimas ženklu ∼: △ABC ∼ △A₁B₁C₁.
Kas yra panašumo koeficientas?
Panašumo koeficientas k – tai skaičius, lygus atitinkamų panašių trikampių kraštinių santykiui: k = A₁B₁ : AB = B₁C₁ : BC = A₁C₁ : AC. Jis rodo, kiek kartų vienas trikampis didesnis už kitą. Kai k = 1, trikampiai yra lygūs.
Kiek yra panašumo požymių ir kokie jie?
Požymių yra trys. Pirmasis – pagal du kampus: du vieno trikampio kampai lygūs dviem kito trikampio kampams. Antrasis – pagal dvi kraštines ir kampą tarp jų: dvi kraštinės proporcingos ir kampai tarp jų lygūs. Trečiasis – pagal tris kraštines: visos trys atitinkamų kraštinių poros proporcingos.
Kaip santykiauja panašių trikampių plotai?
Panašių trikampių plotai santykiauja kaip panašumo koeficientas kvadratu: S₂ : S₁ = k². Pavyzdžiui, kai k = 4, plotas didesnis 16 kartų. Atvirkščiai: jei plotai santykiauja kaip 25 : 1, tai kraštinės santykiauja kaip 5 : 1.
Kaip santykiauja panašių trikampių perimetrai?
Perimetrai santykiauja kaip panašumo koeficientas: P₂ : P₁ = k. Taip pat elgiasi visi linijiniai elementai – aukštinės, medianos, pusiaukampinės, vidurinės linijos, įbrėžto ir apibrėžto apskritimų spinduliai.
Kuo panašumas skiriasi nuo lygybės?
Lygūs trikampiai turi sutampančius ir kampus, ir kraštines, todėl figūras galima sutapdinti. Panašūs turi sutampančius tik kampus, o kraštinės proporcingos su koeficientu k. Lygybė – tai panašumo atvejis, kai k = 1.
Kaip įrodyti statžiųjų trikampių panašumą?
Pakanka vieno smailiojo kampo lygybės: statieji kampai pas juos jau lygūs, vadinasi, veikia pirmasis požymis. Antras būdas – statinių proporcingumas: kampas tarp statinių statusis, todėl taikomas antrasis panašumo požymis.
Kodėl aukštinė iš stačiojo kampo duoda tris panašius trikampius?
Aukštinė CH iš stačiojo kampo C dalija trikampį ABC į trikampius AHC ir CHB. Trikampyje AHC statusis kampas prie H ir bendras su ABC kampas A, trikampyje CHB – statusis kampas prie H ir bendras kampas B, todėl abu panašūs į pradinį, o vadinasi ir vienas į kitą. Iš to gaunamos formulės CH² = AH · HB, AC² = AH · AB ir BC² = HB · AB.
Kurioje klasėje mokomasi apie panašius trikampius?
8 klasėje per geometrijos pamokas – iš karto po temos apie proporcingas atkarpos. Ten pat nagrinėjami trys panašumo požymiai, plotų santykis ir panašumo taikymas statiajam trikampiui. Vėliau tema naudojama 9 klasėje ir OGE uždaviniuose.
