Kosinusų teorema sieja tris trikampio kraštines ir vieną jo kampą: \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\). Ji galioja bet kuriame trikampyje, todėl 9 klasėje ji pakeičia Pitagoro teoremą ten, kur nėra stataus kampo. Pagal ją randama trečioji kraštinė, jei žinomos dvi kitos ir kampas tarp jų, o pagal pasekmę \(\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\) – bet koks kampas pagal tris kraštines ir trikampio rūšis. Puslapyje pateikiama formuluotė, visos trys formulės išraiškos, įrodymas, kosinusų lentelė, atmintinė „sinusai ar kosinusai“, PUPP uždavinių sprendimai ir treniruoklis savikontrolei.
Kosinusų teorema: formuluotė ir formulė
Kosinusų teorema galioja bet kuriame trikampyje – status kampas jai nebūtinas. Ji sieja tris kraštines ir vieną kampą, todėl pagal ją randama kraštinė, jei žinomos dvi kitos kraštinės ir kampas tarp jų.
Formuluotė. Trikampio kraštinės kvadratas lygus dviejų kitų kraštinių kvadratų sumai, iš kurios atimta dviguba tų kraštinių sandauga ir kampo tarp jų kosinusas.
Čia \(a\), \(b\), \(c\) – trikampio kraštinės, o \(C\) – kampas tarp kraštinių \(a\) ir \(b\); kraštinė \(c\) yra priešais šį kampą. Raidės gali būti bet kokios – formulė simetriška, todėl ji turi tris lygiavertes išraiškas:
Pagrindinė įstatymo taisyklė: imame kampą, kuris yra tarp dviejų sandaugoje esančių kraštinių, o ieškome kraštinės, esančios priešais jį. Jei paimsite „gretimą“ kampą, visi skaičiai bus iš sąlygos, o atsakymas – neteisingas.
Kodėl Pitagoro teorema yra atskiras kosinusų teoremos atvejis
Įstatykime į formulę statų kampą, t. y. \(C = 90°\). Stataus kampo kosinusas lygus nuliui, todėl trečiasis dėmuo tampa lygus nuliui:
Gavome tikslią Pitagoro teoremą, žinomą iš 8 klasės. Todėl kosinusų teorema vadinama jos apibendrinimu: Pitagoro teorema yra „atskiras atvejis esant 90°“, o kosinusų teorema veikia visiems kampams iškart.
Dėmenį \(-2ab\cos C\) patogu suprasti kaip korekciją dėl kampo nestatumo:
- kampas smailusis, \(\cos C > 0\) — korekcija atimama, kraštinė \(c\) gaunama trumpesnė, nei būtų pagal Pitagorą;
- kampas statusis, \(\cos C = 0\) — korekcijos nėra, lieka \(c^2 = a^2 + b^2\);
- kampas bukasis, \(\cos C < 0\) — korekcija pridedama, kraštinė \(c\) gaunama ilgesnė.
Kosinusų teoremos įrodymas
Trumpiausias mokyklinis įrodymas – koordinatinis. Padėkime viršūnę \(C\) koordinačių pradžioje, o kraštinę \(b = CA\) nukreipkime išilgai \(x\) ašies. Tada viršūnių koordinatės yra tokios:
- \(C(0;\ 0)\) — koordinačių pradžia;
- \(A(b;\ 0)\) — taškas \(x\) ašyje, esantis atstumu \(b\) nuo pradžios;
- \(B(a\cos C;\ a\sin C)\) — viršūnė, esanti atstumu \(a\) nuo pradžios kampu \(C\) \(x\) ašies atžvilgiu.
Kraštinė \(c\) — tai atkarpos \(AB\) ilgis. Skaičiuojame ją pagal atstumo tarp dviejų taškų formulę:
Atveriame skliaustus:
Grupuojame dėmenis su \(a^2\) ir taikome pagrindinę trigonometrinę tapatybę \(\sin^2 C + \cos^2 C = 1\):
Tai ir reikėjo įrodyti. Atkreipkite dėmesį: niekur nereikalauta, kad kampas \(C\) būtų smailusis. Jei jis bukasis, kosinusas neigiamas, koordinatė \(a\cos C\) nukrypsta į kairę nuo \(y\) ašies, tačiau visi skaičiavimai išlieka tie patys – todėl teorema teisinga bet kuriam trikampiui.
Pasekmė: kaip rasti kampą pagal tris kraštines
Iš kosinusų teoremos išreiškiamas pats kosinusas – tai jos pagrindinė pasekmė. Pagal ją randamas kampas, kai žinomos visos trys kraštinės:
Skaitiklyje – dviejų kraštinių, gretimų kampui, kvadratų suma, atėmus kraštinės, esančios priešais jį, kvadratą. Vardiklyje – dviguba gretimų kraštinių sandauga. Kitiems kampams formulės tokios pat:
Sprendimo tvarka:
- pasirinkti ieškomą kampą ir nustatyti, kuri kraštinė yra priešais jį – jos kvadratas eina į skaitiklį su minuso ženklu;
- apskaičiuoti trupmeną (vardiklis visada teigiamas, ženklą nustato tik skaitiklis);
- pagal reikšmių lentelę arba per arkkosinusą rasti patį kampą.
Naudingas metodas: pradėti nuo didžiausios kraštinės. Prieš ją yra didžiausias kampas, ir tik jis gali būti statusis arba bukasis – kiti du trikampio kampai visada smailieji.
Bukųjų kampų kosinusai yra neigiami: reikšmių lentelė
Mokykliniuose uždaviniuose kampai beveik visada yra „lenteliniai“: 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°. Smailųjų kampų kosinusas teigiamas, stataus – lygus nuliui, o bukųjų – neigiamas. Bukųjų kampų reikšmės gaunamos iš smailųjų kampų reikšmių pagal redukcijos taisyklę \(\cos(180° - \alpha) = -\cos\alpha\): pavyzdžiui, \(\cos 120° = -\cos 60° = -0{,}5\).
Ką tai reiškia praktiškai: esant bukajam kampui, reiškinys \(-2ab\cos C\) virsta pliusu – minusas su minusu duoda pliusą. Kampui \(120°\) formulė atrodo taip:
Būtent čia dažniausiai prarandami taškai: įstatomas \(0{,}5\) vietoj \(-0{,}5\) ir gaunama kraštinė, trumpesnė už abi duotas. Tai akivaizdžiai neįmanoma – prieš bukąjį kampą yra ilgiausia trikampio kraštinė.
| Kampas | Kosinusas |
|---|---|
| 30° | √3/2 ≈ 0,87 |
| 45° | √2/2 ≈ 0,71 |
| 60° | 1/2 = 0,5 |
| 90° | 0 |
| 120° | −1/2 = −0,5 |
| 135° | −√2/2 ≈ −0,71 |
| 150° | −√3/2 ≈ −0,87 |
Kaip nustatyti trikampio rūšį pagal tris kraštines
Kosinusų teorema leidžia sužinoti trikampio rūšį nematuojant kampų matlankiu. Trupmenos \(\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\) ženklas priklauso tik nuo skaitiklio: vardiklis \(2ab\) visada teigiamas. Vadinasi, pakanka palyginti didžiausios kraštinės kvadratą su dviejų kitų kvadratų suma.
Tarkime, \(c\) — didžiausia kraštinė, tada prieš ją yra didžiausias kampas \(C\):
- \(a^2 + b^2 > c^2\) → \(\cos C > 0\) → kampas \(C\) smailusis. Kiti kampai mažesni už jį, vadinasi, visi trys kampai smailieji — trikampis smailusis;
- \(a^2 + b^2 = c^2\) → \(\cos C = 0\) → \(C = 90°\) — trikampis statusis (tai ir yra atvirkštinė Pitagoro teorema);
- \(a^2 + b^2 < c^2\) → \(\cos C < 0\) → kampas \(C\) bukasis — trikampis bukasis.
Tikrinti kitų kampų nereikia: statusis arba bukasis kampas trikampyje gali būti tik vienas. Ir nepamirškite trikampio nelygybės – jei didžiausia kraštinė nėra mažesnė už dviejų kitų sumą, trikampio su tokiomis kraštinėmis išvis nėra.
Sinusų ar kosinusų teorema: kaip pasirinkti
Abi teoremos sprendžia tą pačią užduotį – randa nežinomas trikampio kraštines ir kampus, – tačiau taikomos pagal skirtingus duomenų rinkinius. Sinusų teorema sieja kraštinę ir priešais ją esantį kampą:
Iš čia ir pasirinkimo taisyklė: jei sąlygoje jau yra pora „kraštinė ir kampas priešais ją“ – veikia sinusų teorema; jei tokios poros nėra – pradedame nuo kosinusų teoremos. Atmintinė pagal keturis mokyklinius duomenų rinkinius – lentelėje.
Dažnai uždavinys sprendžiamas dviem žingsniais: iš pradžių kosinusų teorema duoda trečiąją kraštinę, o tada sinusų teorema greitai randa likusius kampus.
| Kas žinoma | Ką taikome |
|---|---|
| KŠKDvi kraštinės ir kampas tarp jų | Kosinusų teoremarandame trečiąją kraštinę |
| KKKVisos trys kraštinės | Kosinusų teoremarandame bet kokį kampą ir trikampio rūšį |
| ŠKKKraštinė ir du kampai | Sinusų teoremarandame dvi kitas kraštines |
| KKŠDvi kraštinės ir kampas priešais vieną iš jų | Sinusų teoremarandame priešais esantį kampą |
Kosinusų teorema PUPP uždaviniuose
PUPP matematikos egzamine kosinusų teorema sutinkama planimetrijos uždaviniuose – tiek pirmoje dalyje, tiek uždaviniuose su išplėstiniu atsakymu. Tipiniai siužetai tokie:
- Rasti kraštinę pagal dvi kraštines ir kampą tarp jų — tiesioginis formulės taikymas, dažniausiai su 60° arba 120° kampais.
- Rasti kampą arba jo kosinusą pagal tris kraštines — pasekmė \(\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\). Jei užduotyje parašyta „raskite \(\cos\angle A\)“, arkkosinuso imti nereikia: atsakymas – ta pati trupmena, ją ir įrašome.
- Lygiagretainio įstrižainės. Įstrižainė atskiria trikampį iš dviejų kraštinių ir kampo tarp jų. Gretimi lygiagretainio kampai sudaro 180°, todėl jų kosinusai priešingi: prieš smailųjį kampą yra mažesnė įstrižainė, prieš bukąjį – didesnė.
- Trikampio rūšis pagal tris skaičius — \(a^2 + b^2\) palyginimas su \(c^2\).
- Trikampio pusiaukraštinė. Formulė \(m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}\) išvedama dvigubai pritaikius kosinusų teoremą dviem gretimiems kampams prie pagrindo.
Patarimas egzamine: prieš skaičiuodami, brėžinyje pasižymėkite kampą, kuris „įspaustas“ tarp žinomų kraštinių. Jei tokio kampo nėra – kosinusų teorema kol kas netaikoma, reikia ieškoti kito kelio.
Kosinusų teoremos uždavinių sprendimo pavyzdžiai
1 pavyzdys. Rasti kraštinę pagal dvi kraštines ir 60° kampą
Uždavinys. Trikampyje \(ABC\) kraštinės \(a = 7\) ir \(b = 15\), kampas tarp jų \(C = 60°\). Raskite kraštinę \(c\).
1 žingsnis. Kampas \(C\) yra tarp kraštinių \(a\) ir \(b\) – tai būtent tas atvejis, kuriam teorema ir sukurta:
2 žingsnis. Įstatome skaičius, \(\cos 60° = 0{,}5\):
3 žingsnis. Ištraukiame šaknį: \(c = \sqrt{169} = 13\).
Atsakymas: \(13\). Patikrinimas pagal prasmę: kampas \(60°\) smailusis, todėl kraštinė prieš jį nėra pati ilgiausia – ir tiesa, \(13 < 15\).
2 pavyzdys. Bukasis kampas: minusas su minusu
Uždavinys. Trikampyje \(ABC\) žinoma: \(AB = 6\), \(BC = 10\), kampas \(B = 120°\). Raskite kraštinę \(AC\).
1 žingsnis. Kampas \(B\) yra tarp kraštinių \(AB\) ir \(BC\), o kraštinė \(AC\) yra priešais jį:
2 žingsnis. Kampas bukasis, todėl \(\cos 120° = -0{,}5\). Minusas prieš sandaugą ir minusas prie kosinuso duoda pliusą:
3 žingsnis. \(AC = \sqrt{196} = 14\).
Atsakymas: \(14\). Patikrinimas: prieš bukąjį kampą yra ilgiausia kraštinė – \(14\) didesnė ir už \(6\), ir už \(10\).
3 pavyzdys. Rasti kampą pagal tris kraštines
Uždavinys. Trikampio kraštinės lygios \(3\), \(5\) ir \(7\). Raskite jo didžiausią kampą.
1 žingsnis. Didžiausias kampas yra priešais didžiausią kraštinę, t. y. priešais kraštinę \(7\). Pažymėkime jį \(C\), tada \(c = 7\), o gretimos kraštinės \(a = 3\) ir \(b = 5\).
2 žingsnis. Taikome pasekmę:
3 žingsnis. Kosinusas neigiamas – kampas bukasis. Pagal reikšmių lentelę \(\cos 120° = -0{,}5\), vadinasi \(C = 120°\).
Atsakymas: \(120°\). Kartu paaiškėjo, kad trikampis bukasis.
4 pavyzdys. Nustatyti trikampio rūšį
Uždavinys. Nustatykite trikampio su kraštinėmis \(6\), \(7\) ir \(10\) rūšį.
1 žingsnis. Tikriname trikampio nelygybę: \(6 + 7 = 13 > 10\) – trikampis egzistuoja. Didžiausia kraštinė – \(10\).
2 žingsnis. Lyginame dviejų mažesnių kraštinių kvadratų sumą su didžiausios kraštinės kvadratu:
3 žingsnis. \(85 < 100\), vadinasi trupmenos skaitiklis neigiamas ir \(\cos C < 0\) – kampas priešais kraštinę \(10\) bukasis. Norint galima rasti ir patį kampą:
Atsakymas: trikampis bukasis. Atkreipkite dėmesį: „iš akies“ to nematyti – kraštinės beveik lygios, o kampas jau viršijo \(90°\).
5 pavyzdys. PUPP lygio uždavinys: lygiagretainio įstrižainė
Uždavinys. Lygiagretainio kraštinės lygios \(5\) ir \(8\), smailusis kampas lygus \(60°\). Raskite mažesniąją įstrižainę.
1 žingsnis. Įstrižainė atskiria trikampį, kurio žinomos dvi kraštinės (\(5\) ir \(8\)) ir kampas tarp jų. Mažesnioji įstrižainė yra priešais smailųjį \(60°\) kampą.
2 žingsnis. Skaičiuojame:
3 žingsnis. Patikrinimas. Antroji įstrižainė yra priešais \(120°\) kampą (gretimi lygiagretainio kampai sudaro \(180°\)): \(D^2 = 89 + 40 = 129\), t. y. \(D = \sqrt{129} \approx 11{,}4\). Įstrižainių kvadratų suma lygi \(49 + 129 = 178\), o dviguba kraštinių kvadratų suma – \(2(25 + 64) = 178\). Sutapo, vadinasi skaičiavimas teisingas.
Atsakymas: \(7\).
Dažnos klaidos kosinusų teoremos uždaviniuose
-
Buko kampo kosinusas imamas su pliuso ženklu. Kraštinėms $4$ ir $9$ su $120°$ kampu tarp jų rašoma $c^2 = 16 + 81 - 2 \cdot 4 \cdot 9 \cdot 0{,}5 = 61$ ir gaunama $c \approx 7{,}8$.
\(\cos 120° = -0{,}5\), o minusas su minusu duoda pliusą: \(c^2 = 97 + 36 = 133\), t. y. \(c = \sqrt{133} \approx 11{,}5\). Greitas patikrinimas: prieš bukąjį kampą yra ilgiausia kraštinė, todėl atsakymas privalo būti didesnis už \(9\).
-
Įstatomas kampas, kuris nėra tarp duotų kraštinių: sąlygoje duotas vienas kampas, ir jis imamas „kaip yra“, nežiūrint į brėžinį.
Užraše \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\) kraštinės \(a\) ir \(b\) sudaro kampą \(C\), o kraštinė \(c\) yra priešais jį. Jei žinomas kampas yra gretimas ieškomai kraštinei, šis užrašas netinka – reikia kito iš trijų arba sinusų teoremos.
-
Pamirštama ištraukti šaknį ir atsakyme įrašomas kraštinės kvadratas: gauta $c^2 = 225$ ir rašoma „kraštinė lygi 225“.
Formulė visada duoda būtent kraštinės kvadratą. Paskutinis žingsnis privalomas: \(c = \sqrt{225} = 15\). Prieš įrašydami atsakymą, perskaitykite uždavinio klausimą.
-
Painiojama dėmenų tvarka pasekmėje ir rašoma $\cos C = \dfrac{c^2 - a^2 - b^2}{2ab}$.
Teisingas skaitiklis – \(a^2 + b^2 - c^2\): gretimų kraštinių kvadratų suma atėmus priešais esančios kraštinės kvadratą. Sukeitus vietomis, trupmenos ženklas pasikeičia į priešingą, ir vietoj bukojo \(120°\) kampo gaunamas smailusis \(60°\).
-
Kampas randamas pagal kosinuso modulį: gauta −0,25, o atsakyme rašomas smailusis kampas, tarsi kosinusas būtų +0,25.
Neigiamas kosinusas – tai visada bukasis kampas. Ženklo pamesti negalima: cos 60° = 0,5, o cos 120° = −0,5; neigiamo skaičiaus arkkosinusas didesnis už 90°.
-
Bandoma spręsti uždavinį „dvi kraštinės ir kampas tarp jų“ sinusų teorema ir įstringama pirmoje eilutėje.
Sinusų teoremai reikia paruoštos poros „kraštinė ir priešais esantis kampas“. Esant dviem kraštinėms ir kampui tarp jų, tokios poros nėra – iš pradžių kosinusų teorema duoda trečiąją kraštinę, ir tik tada įsijungia sinusų teorema.
Klausimai ir atsakymai
Kaip skamba kosinusų teorema?
Trikampio kraštinės kvadratas lygus dviejų kitų kraštinių kvadratų sumai, iš kurios atimta dviguba tų kraštinių sandauga ir kampo tarp jų kosinusas: c² = a² + b² − 2ab·cos C. Teorema teisinga bet kuriam trikampiui, o ne tik stačiajam.
Kaip rasti trikampio kraštinę pagal dvi kraštines ir kampą tarp jų?
Įstatyti duomenis į formulę c² = a² + b² − 2ab·cos C ir ištraukti šaknį. Pavyzdžiui, esant kraštinėms 4 ir 6 bei 60° kampui tarp jų: c² = 16 + 36 − 2·4·6·0,5 = 28, vadinasi c = √28 ≈ 5,3.
Kaip rasti trikampio kampą, jei žinomos trys kraštinės?
Pagal kosinusų teoremos pasekmę: cos C = (a² + b² − c²) / (2ab), kur c — kraštinė priešais ieškomą kampą. Pavyzdžiui, kraštinėms 2, 3 ir 4 didžiausio kampo kosinusas lygus (4 + 9 − 16) / (2·2·3) = −0,25, t. y. kampas bukasis, maždaug 104°.
Kodėl Pitagoro teorema yra atskiras kosinusų teoremos atvejis?
Todėl, kad esant statam kampui cos 90° = 0, ir dėmuo −2ab·cos C tampa lygus nuliui. Iš formulės lieka c² = a² + b² — tai ir yra Pitagoro teorema stačiajam trikampiui.
Ar kosinusų teorema veikia bukajame trikampyje?
Taip, ir veikia be pakeitimų. Buko kampo kosinusas neigiamas, todėl dėmuo −2ab·cos C tampa teigiamas ir pridedamas prie kvadratų sumos. Būtent dėl to kraštinė prieš bukąjį kampą yra pati ilgiausia.
Kada taikyti sinusų, o kada kosinusų teoremą?
Sinusų teorema reikalinga, kai sąlygoje jau yra pora „kraštinė ir priešais ją esantis kampas“ – pavyzdžiui, duota kraštinė ir du kampai. Kosinusų teorema – kai tokios poros nėra: duotos dvi kraštinės ir kampas tarp jų arba visos trys kraštinės. Dažnai uždavinys sprendžiamas dviem žingsniais: iš pradžių kosinusai, tada sinusai.
Kaip nustatyti trikampio rūšį pagal tris kraštines?
Palyginti didžiausios kraštinės kvadratą c² su dviejų kitų kvadratų suma. Jei a² + b² > c² — trikampis smailusis, jei a² + b² = c² — statusis, jei a² + b² < c² — bukasis. Šio skirtumo ženklas sutampa su didžiausio kampo kosinuso ženklu.
Kurioje klasėje mokomasi kosinusų teoremos?
9 klasėje per geometrijos pamokas, temoje „Trikampio kraštinių ir kampų sąryšiai“ – kartu su sinusų teorema. Toliau ji nuolat naudojama PUPP ir VBE planimetrijos bei stereometrijos uždaviniuose.
