ទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស៖ រូបមន្ត ការបង្ហាញ និងលំហាត់

Name: Homiwork
Rating: 4.92 (18437 reviews)
Author: Homiwork

ម៉ាស្កូតធរណីមាត្រនៅក្បែរត្រីកោណធំមួយ មុំមួយត្រូវបានសម្គាល់ដោយធ្នូ

ទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុសភ្ជាប់ជ្រុងទាំងបីនៃត្រីកោណ និងមុំមួយរបស់វា៖ $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$។ វាអាចប្រើបានក្នុងត្រីកោណគ្រប់ប្រភេទ ដូច្នេះនៅថ្នាក់ទី ៩ វាជំនួសទ្រឹស្តីបទពីតាកូរនៅកន្លែងដែលគ្មានមុំកែង។ វាត្រូវបានប្រើដើម្បីរកជ្រុងទីបី ប្រសិនបើគេស្គាល់ជ្រុងពីរផ្សេងទៀត និងមុំរវាងពួកវា ហើយតាមរយៈផលវិបាក $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$ — គេអាចរកមុំណាមួយតាមរយៈជ្រុងទាំងបី និងកំណត់ប្រភេទត្រីកោណ។ នៅលើទំព័រនេះ — មានការកំណត់ និងទម្រង់រូបមន្តទាំងបី ការបង្ហាញ តារាងកូស៊ីនុស កំណត់ចំណាំ «ស៊ីនុស ឬ កូស៊ីនុស» ការដោះស្រាយលំហាត់ OGE និងលំហាត់សម្រាប់សាកល្បងខ្លួនឯង។

ទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស៖ ការកំណត់ និងរូបមន្ត

ទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុសអាចប្រើបានក្នុងត្រីកោណគ្រប់ប្រភេទ — វាមិនត្រូវការមុំកែងទេ។ វាភ្ជាប់ជ្រុងទាំងបី និងមុំមួយ ដូច្នេះគេប្រើវាដើម្បីរកជ្រុង ប្រសិនបើគេស្គាល់ជ្រុងពីរផ្សេងទៀត និងមុំរវាងពួកវា។

ការកំណត់។ ការ៉េនៃជ្រុងមួយនៃត្រីកោណ ស្មើនឹងផលបូកនៃការ៉េនៃជ្រុងពីរផ្សេងទៀត ដកនឹងពីរដងនៃផលគុណនៃជ្រុងទាំងនោះជាមួយកូស៊ីនុសនៃមុំរវាងពួកវា។

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\]

នៅទីនេះ $a$, $b$, $c$ — គឺជាជ្រុងនៃត្រីកោណ ហើយ $C$ — គឺជាមុំរវាងជ្រុង $a$ និង $b$; ជ្រុង $c$ ស្ថិតនៅទល់នឹងមុំនេះ។ អក្សរអាចប្រើអ្វីក៏បាន — រូបមន្តមានលក្ខណៈស៊ីមេទ្រី ដូច្នេះវាមានទម្រង់ស្មើភាពគ្នាចំនួនបី៖

\[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A\]

\[b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B\]

ច្បាប់សំខាន់នៃការជំនួស៖ យើងយកមុំដែលស្ថិតនៅរវាងជ្រុងទាំងពីរនៅក្នុងផលគុណ ហើយយើងរកជ្រុងដែលស្ថិតនៅទល់នឹងវា។ ប្រសិនបើអ្នកយកមុំ «ជិតខាង» លេខទាំងអស់នឹងមកពីលក្ខខណ្ឌ ប៉ុន្តែចម្លើយនឹងខុស។

c² = a² + b² − 2ab · cos C a² = b² + c² − 2bc · cos A b² = a² + c² − 2ac · cos B

យើងយកមុំដែលស្ថិតនៅ រវាងជ្រុងនៅក្នុងផលគុណ ហើយរកជ្រុង ទល់នឹង វា៖ មុំ C — នៅរវាង a និង b, ជ្រុង c — នៅទល់នឹងវា។

ហេតុអ្វីបានជាទ្រឹស្តីបទពីតាកូរជាករណីពិសេសនៃទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស

ជំនួសចូលក្នុងរូបមន្តនូវមុំកែង ពោលគឺ $C = 90°$។ កូស៊ីនុសនៃមុំកែងស្មើនឹងសូន្យ ដូច្នេះតួទីបីក្លាយជាសូន្យទាំងស្រុង៖

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos 90° = a^2 + b^2 - 2ab \cdot 0 = a^2 + b^2.\]

លទ្ធផលគឺទ្រឹស្តីបទពីតាកូរ ដែលស្គាល់ពីថ្នាក់ទី ៨។ ដូច្នេះទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុសត្រូវបានគេហៅថាជាការទូទៅរបស់វា៖ ពីតាកូរ — គឺជា «ករណីពិសេសនៅ 90°» ហើយទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុសអាចប្រើបានសម្រាប់មុំទាំងអស់ក្នុងពេលតែមួយ។

តួ $-2ab\cos C$ ងាយស្រួលយល់ថាជា ការកែតម្រូវសម្រាប់មុំមិនកែង៖

មុំស្រួច, $\cos C > 0$ — ការកែតម្រូវត្រូវបានដកចេញ, ជ្រុង $c$ ទទួលបាន ខ្លីជាង ជាងអ្វីដែលពីតាកូរផ្តល់ឱ្យ;
មុំកែង, $\cos C = 0$ — គ្មានការកែតម្រូវទេ, នៅសល់ $c^2 = a^2 + b^2$;
មុំទាល, $\cos C < 0$ — ការកែតម្រូវត្រូវបានបូកបន្ថែម, ជ្រុង $c$ ទទួលបាន វែងជាង។

យកទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុសc² = a² + b² − 2ab · cos C

ធ្វើឱ្យមុំជាមុំកែងC = 90°, cos 90° = 0 → 2ab · 0 = 0

នៅសល់ទ្រឹស្តីបទពីតាកូរc² = a² + b²

ការបង្ហាញទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស

ការបង្ហាញតាមសាលាដែលខ្លីបំផុតគឺតាមរយៈកូអរដោនេ។ ដាក់កំពូល $C$ នៅដើមនៃកូអរដោនេ ហើយជ្រុង $b = CA$ តាមអ័ក្ស $x$។ នោះកូអរដោនេនៃកំពូលទាំងឡាយគឺ៖

$C(0;\ 0)$ — ដើមនៃកូអរដោនេ;
$A(b;\ 0)$ — ចំណុចនៅលើអ័ក្ស $x$ នៅចម្ងាយ $b$ ពីដើម;
$B(a\cos C;\ a\sin C)$ — កំពូលនៅចម្ងាយ $a$ ពីដើមក្រោមមុំ $C$ ទៅអ័ក្ស $x$។

ជ្រុង $c$ — គឺជាប្រវែងនៃអង្កត់ $AB$។ យើងគណនាវាតាមរូបមន្តចម្ងាយរវាងចំណុចពីរ៖

\[c^2 = (a\cos C - b)^2 + (a\sin C)^2\]

ពន្លាតវង់ក្រចក៖

\[c^2 = a^2\cos^2 C - 2ab\cos C + b^2 + a^2\sin^2 C\]

ដាក់ក្រុមតួដែលមាន $a^2$ ហើយប្រើអត្តសញ្ញាណត្រីកោណមាត្រមូលដ្ឋាន $\sin^2 C + \cos^2 C = 1$៖

\[c^2 = a^2(\cos^2 C + \sin^2 C) + b^2 - 2ab\cos C = a^2 + b^2 - 2ab\cos C.\]

ដែលត្រូវបង្ហាញ។ សូមកត់សម្គាល់៖ គ្មានកន្លែងណាដែលតម្រូវឱ្យមុំ $C$ ជាមុំស្រួចទេ។ ប្រសិនបើវាជាមុំទាល កូស៊ីនុសមានតម្លៃអវិជ្ជមាន កូអរដោនេ $a\cos C$ ទៅខាងឆ្វេងនៃអ័ក្ស $y$ ប៉ុន្តែការគណនាទាំងអស់នៅដដែល — ដូច្នេះទ្រឹស្តីបទនេះត្រឹមត្រូវសម្រាប់ត្រីកោណគ្រប់ប្រភេទ។

កំពូល C — នៅដើមនៃកូអរដោនេ, ជ្រុង b ស្ថិតនៅលើអ័ក្ស x។ នោះកូអរដោនេនៃកំពូល B បង្ហាញតាមជ្រុង a និងមុំ C។

ផលវិបាក៖ របៀបរកមុំតាមរយៈជ្រុងទាំងបី

ពីទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស គេអាចទាញយកកូស៊ីនុសដោយខ្លួនវា — នេះគឺជាផលវិបាកដ៏សំខាន់បំផុតរបស់វា។ តាមរយៈវា គេអាចរកមុំ នៅពេលដែលគេស្គាល់ជ្រុងទាំងបី៖

\[\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\]

នៅក្នុងភាគយក — គឺជាផលបូកនៃការ៉េនៃជ្រុងពីរ ដែល ជាប់នឹង មុំ ដកនឹងការ៉េនៃជ្រុងដែលស្ថិតនៅ ទល់នឹង វា។ នៅក្នុងភាគបែង — គឺជាពីរដងនៃផលគុណនៃជ្រុងជាប់។ សម្រាប់មុំផ្សេងទៀត រូបមន្តគឺដូចគ្នា៖

\[\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}, \qquad \cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}\]

លំដាប់នៃការដោះស្រាយ៖

ជ្រើសរើសមុំដែលត្រូវរក ហើយកំណត់ថាជ្រុងណាស្ថិតនៅទល់នឹងវា — ការ៉េរបស់វាត្រូវដាក់ក្នុងភាគយកជាមួយសញ្ញាដក;
គណនាប្រភាគ (ភាគបែងតែងតែមានតម្លៃវិជ្ជមាន សញ្ញាត្រូវបានកំណត់ដោយភាគយកតែប៉ុណ្ណោះ);
តាមតារាងតម្លៃ ឬតាមរយៈអាគូស៊ីនុស ដើម្បីរកមុំ។

វិធីសាស្ត្រមានប្រយោជន៍៖ ចាប់ផ្តើមជាមួយជ្រុង ធំបំផុត។ ទល់នឹងវាគឺជាមុំធំបំផុត ហើយមានតែវាទេដែលអាចជាមុំកែង ឬមុំទាល — មុំពីរទៀតក្នុងត្រីកោណតែងតែជាមុំស្រួច។

កូស៊ីនុសនៃមុំទាលមានតម្លៃអវិជ្ជមាន៖ តារាងតម្លៃ

ក្នុងលំហាត់សាលា មុំស្ទើរតែទាំងអស់គឺជា «មុំស្តង់ដារ»៖ 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°។ សម្រាប់មុំស្រួច កូស៊ីនុសមានតម្លៃវិជ្ជមាន សម្រាប់មុំកែងស្មើនឹងសូន្យ ហើយសម្រាប់មុំទាល — អវិជ្ជមាន។ តម្លៃសម្រាប់មុំទាលទទួលបានពីតម្លៃសម្រាប់មុំស្រួចតាមច្បាប់នៃការកាត់បន្ថយ $\cos(180° - \alpha) = -\cos\alpha$៖ ឧទាហរណ៍, $\cos 120° = -\cos 60° = -0{,}5$។

តើនេះមានន័យយ៉ាងណាក្នុងការអនុវត្ត៖ នៅពេលមានមុំទាល កន្សោម $-2ab\cos C$ ប្រែទៅជាបូក — ដកគុណនឹងដក។ សម្រាប់មុំ $120°$ រូបមន្តមានទម្រង់ដូចនេះ៖

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot (-0{,}5) = a^2 + b^2 + ab.\]

នេះគឺជាកន្លែងដែលគេតែងតែបាត់បង់ពិន្ទុច្រើនបំផុត៖ គេជំនួស $0{,}5$ ជំនួសឱ្យ $-0{,}5$ ហើយទទួលបានជ្រុងខ្លីជាងជ្រុងទាំងពីរដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ នេះគឺមិនអាចទៅរួចទេ — ទល់នឹងមុំទាលគឺជាជ្រុងវែងបំផុតនៃត្រីកោណ។

មុំ	កូស៊ីនុស
30°	√3/2 ≈ 0,87
45°	√2/2 ≈ 0,71
60°	1/2 = 0,5
90°	0
120°	−1/2 = −0,5
135°	−√2/2 ≈ −0,71
150°	−√3/2 ≈ −0,87

ច្បាប់នៃការប្តូរ៖ cos(180° − α) = −cos α។ តម្លៃពណ៌បៃតងផ្តល់មុំស្រួច, ពណ៌ផ្កាឈូក — មុំទាល។

របៀបកំណត់ប្រភេទត្រីកោណតាមរយៈជ្រុងទាំងបី

ទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុសអនុញ្ញាតឱ្យដឹងពីប្រភេទត្រីកោណ ដោយមិនចាំបាច់វាស់មុំដោយប្រើប្រដាប់វាស់មុំ។ សញ្ញានៃប្រភាគ $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$ អាស្រ័យតែលើភាគយកប៉ុណ្ណោះ៖ ភាគបែង $2ab$ តែងតែមានតម្លៃវិជ្ជមាន។ ដូច្នេះ គ្រាន់តែប្រៀបធៀបការ៉េនៃជ្រុងធំបំផុតជាមួយផលបូកនៃការ៉េនៃជ្រុងពីរទៀត។

ឱ្យ $c$ — ជាជ្រុងធំបំផុត នោះទល់នឹងវាគឺជាមុំធំបំផុត $C$៖

$a^2 + b^2 > c^2$ → $\cos C > 0$ → មុំ $C$ ជាមុំស្រួច។ មុំផ្សេងទៀតតូចជាងវា ដូច្នេះមុំទាំងបីសុទ្ធតែជាមុំស្រួច — ត្រីកោណ កែងស្រួច;
$a^2 + b^2 = c^2$ → $\cos C = 0$ → $C = 90°$ — ត្រីកោណ កែង (នេះគឺជាទ្រឹស្តីបទពីតាកូរច្រាស);
$a^2 + b^2 < c^2$ → $\cos C < 0$ → មុំ $C$ ជាមុំទាល — ត្រីកោណ កែងទាល។

មិនចាំបាច់ពិនិត្យមុំផ្សេងទៀតទេ៖ មុំកែង ឬមុំទាលក្នុងត្រីកោណមានតែមួយប៉ុណ្ណោះ។ ហើយកុំភ្លេចវិសមភាពត្រីកោណ — ប្រសិនបើជ្រុងធំបំផុតមិនតូចជាងផលបូកនៃជ្រុងពីរទៀតទេ ត្រីកោណដែលមានជ្រុងបែបនេះគឺមិនមានទេ។

a² + b² > c²cos C > 0, មុំ C ជាមុំស្រួចកែងស្រួចឧទាហរណ៍: 5, 6, 7

a² + b² = c²cos C = 0, មុំ C ជាមុំកែងកែងឧទាហរណ៍: 8, 15, 17

a² + b² < c²cos C < 0, មុំ C ជាមុំទាលកែងទាលឧទាហរណ៍: 4, 7, 9

ក្នុងជួរទាំងបី c — គឺជាជ្រុងធំបំផុត នៃត្រីកោណ៖ មានតែទល់នឹងវាទេដែលអាចជាមុំកែង ឬមុំទាល។

ទ្រឹស្តីបទស៊ីនុស ឬកូស៊ីនុស៖ របៀបជ្រើសរើស

ទ្រឹស្តីបទទាំងពីរដោះស្រាយបញ្ហាតែមួយ — រកជ្រុង និងមុំដែលមិនស្គាល់នៃត្រីកោណ — ប៉ុន្តែវាត្រូវបានប្រើប្រាស់អាស្រ័យលើសំណុំទិន្នន័យផ្សេងៗគ្នា។ ទ្រឹស្តីបទស៊ីនុសភ្ជាប់ជ្រុង និងមុំ ដែលស្ថិតនៅទល់នឹងវា៖

\[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R\]

ពីនេះក៏មានច្បាប់នៃការជ្រើសរើស៖ ប្រសិនបើក្នុងលក្ខខណ្ឌមានគូ «ជ្រុង និងមុំទល់នឹងវា» រួចហើយ — នោះទ្រឹស្តីបទស៊ីនុសដំណើរការ; ប្រសិនបើគ្មានគូនេះទេ — យើងចាប់ផ្តើមជាមួយទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស។ កំណត់ចំណាំសម្រាប់សំណុំទិន្នន័យសាលាទាំងបួន — មាននៅក្នុងតារាង។

ជាញឹកញាប់ លំហាត់ត្រូវបានដោះស្រាយក្នុងពីរជំហាន៖ ដំបូងទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុសផ្តល់ជ្រុងទីបី ហើយបន្ទាប់មកទ្រឹស្តីបទស៊ីនុសរកមុំដែលនៅសល់យ៉ាងរហ័ស។

អ្វីដែលគេស្គាល់	អ្វីដែលត្រូវប្រើ
ជ្រមជ្រជ្រុងពីរ និងមុំរវាងពួកវា	ទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុសរកជ្រុងទីបី
ជ្រជ្រជ្រជ្រុងទាំងបី	ទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុសរកមុំណាមួយ និងប្រភេទត្រីកោណ
មជ្រមជ្រុងមួយ និងមុំពីរ	ទ្រឹស្តីបទស៊ីនុសរកជ្រុងពីរទៀត
ជ្រជ្រមជ្រុងពីរ និងមុំទល់នឹងជ្រុងមួយក្នុងចំណោមនោះ	ទ្រឹស្តីបទស៊ីនុសរកមុំទល់នឹងជ្រុង

ក្នុងករណី ជ្រជ្រម ដំណោះស្រាយអាចមានពីរ៖ ស៊ីនុសមិនអាចបែងចែកមុំស្រួច និងមុំទាលបានទេ ដូច្នេះជម្រើសទាំងពីរត្រូវពិនិត្យតាមលក្ខខណ្ឌនៃលំហាត់។

ទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុសក្នុងលំហាត់ OGE

នៅក្នុងការប្រឡង OGE ផ្នែកគណិតវិទ្យា ទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុសជួបប្រទះក្នុងលំហាត់ធរណីមាត្រ — ទាំងផ្នែកទីមួយ និងក្នុងលំហាត់ដែលមានចម្លើយលម្អិត។ ប្រធានបទធម្មតាមានដូចជា៖

រកជ្រុងតាមរយៈជ្រុងពីរ និងមុំរវាងពួកវា — ការប្រើប្រាស់រូបមន្តដោយផ្ទាល់ ភាគច្រើនជាមួយមុំ 60° ឬ 120°។
រកមុំ ឬកូស៊ីនុសរបស់វាតាមរយៈជ្រុងទាំងបី — ផលវិបាក $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$។ ប្រសិនបើក្នុងលំហាត់សរសេរថា «រក $\cos\angle A$» មិនចាំបាច់យកអាគូស៊ីនុសទេ៖ ចម្លើយ — គឺជាប្រភាគនោះ គេសរសេរវា។
អង្កត់ទ្រូងនៃប្រលេឡូក្រាម។ អង្កត់ទ្រូងកាត់ត្រីកោណចេញពីជ្រុងពីរ និងមុំរវាងពួកវា។ មុំជិតខាងនៃប្រលេឡូក្រាមមានផលបូក 180° ដូច្នេះកូស៊ីនុសរបស់វាផ្ទុយគ្នា៖ ទល់នឹងមុំស្រួចគឺជាអង្កត់ទ្រូងខ្លី ទល់នឹងមុំទាល — អង្កត់ទ្រូងវែង។
ប្រភេទត្រីកោណតាមរយៈលេខបី — ការប្រៀបធៀប $a^2 + b^2$ ជាមួយ $c^2$។
មេដ្យាននៃត្រីកោណ។ រូបមន្ត $m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}$ ត្រូវបានទាញចេញដោយប្រើទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុសពីរដងទៅលើមុំជាប់គ្នាពីរនៅឯបាត។

ដំបូន្មានពេលប្រឡង៖ មុននឹងគណនា សូមសម្គាល់នៅលើគំនូរនូវមុំដែល «ជាប់» រវាងជ្រុងដែលស្គាល់។ ប្រសិនបើគ្មានមុំបែបនេះទេ — ទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុសមិនទាន់អាចប្រើបានទេ ត្រូវរកផ្លូវផ្សេង។

ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយលំហាត់ទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស

ឧទាហរណ៍ 1. រកជ្រុងតាមរយៈជ្រុងពីរ និងមុំ 60°

លំហាត់។ ក្នុងត្រីកោណ $ABC$ ជ្រុង $a = 7$ និង $b = 15$, មុំរវាងពួកវា $C = 60°$។ រកជ្រុង $c$។

ជំហាន 1. មុំ $C$ ស្ថិតនៅរវាងជ្រុង $a$ និង $b$ — នេះគឺជាករណីដែលទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបង្កើតឡើងសម្រាប់វា៖

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C.\]

ជំហាន 2. ជំនួសលេខ, $\cos 60° = 0{,}5$៖

\[c^2 = 7^2 + 15^2 - 2 \cdot 7 \cdot 15 \cdot 0{,}5 = 49 + 225 - 105 = 169.\]

ជំហាន 3. ទាញឫស៖ $c = \sqrt{169} = 13$.

ចម្លើយ៖ $13$។ ការពិនិត្យតាមន័យ៖ មុំ $60°$ ជាមុំស្រួច ដូច្នេះជ្រុងទល់នឹងវាមិនមែនជាជ្រុងវែងបំផុតទេ — ហើយពិតមែន $13 < 15$។

ឧទាហរណ៍ 2. មុំទាល៖ ដកគុណនឹងដក

លំហាត់។ ក្នុងត្រីកោណ $ABC$ គេស្គាល់៖ $AB = 6$, $BC = 10$, មុំ $B = 120°$។ រកជ្រុង $AC$។

ជំហាន 1. មុំ $B$ ស្ថិតនៅរវាងជ្រុង $AB$ និង $BC$, ហើយជ្រុង $AC$ ស្ថិតនៅទល់នឹងវា៖

\[AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B.\]

ជំហាន 2. មុំជាមុំទាល ដូច្នេះ $\cos 120° = -0{,}5$។ ដកនៅមុខផលគុណ និងដកនៅកូស៊ីនុសទទួលបានបូក៖

\[AC^2 = 36 + 100 - 2 \cdot 6 \cdot 10 \cdot (-0{,}5) = 136 + 60 = 196.\]

ជំហាន 3. $AC = \sqrt{196} = 14$.

ចម្លើយ៖ $14$។ ការពិនិត្យ៖ ទល់នឹងមុំទាលគឺជាជ្រុងវែងបំផុត — $14$ ធំជាងទាំង $6$ និង $10$។

ឧទាហរណ៍ 3. រកមុំតាមរយៈជ្រុងទាំងបី

លំហាត់។ ជ្រុងនៃត្រីកោណស្មើនឹង $3$, $5$ និង $7$។ រកមុំធំបំផុតរបស់វា។

ជំហាន 1. មុំធំបំផុតស្ថិតនៅទល់នឹងជ្រុងធំបំផុត ពោលគឺទល់នឹងជ្រុង $7$។ តាងវាដោយ $C$, នោះ $c = 7$, ហើយជ្រុងជាប់ $a = 3$ និង $b = 5$។

ជំហាន 2. ប្រើផលវិបាក៖

\[\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{9 + 25 - 49}{2 \cdot 3 \cdot 5} = \frac{-15}{30} = -0{,}5.\]

ជំហាន 3. កូស៊ីនុសមានតម្លៃអវិជ្ជមាន — មុំជាមុំទាល។ តាមតារាងតម្លៃ $\cos 120° = -0{,}5$, ដូច្នេះ $C = 120°$។

ចម្លើយ៖ $120°$។ តាមរយៈនេះគេដឹងថាត្រីកោណជាត្រីកោណកែងទាល។

ឧទាហរណ៍ 4. កំណត់ប្រភេទត្រីកោណ

លំហាត់។ កំណត់ប្រភេទត្រីកោណដែលមានជ្រុង $6$, $7$ និង $10$។

ជំហាន 1. ពិនិត្យវិសមភាពត្រីកោណ៖ $6 + 7 = 13 > 10$ — ត្រីកោណមាន។ ជ្រុងធំបំផុតគឺ $10$។

ជំហាន 2. ប្រៀបធៀបផលបូកនៃការ៉េនៃជ្រុងតូចពីរជាមួយការ៉េនៃជ្រុងធំបំផុត៖

\[6^2 + 7^2 = 36 + 49 = 85, \qquad 10^2 = 100.\]

ជំហាន 3. $85 < 100$, ដូច្នេះភាគយកនៃប្រភាគមានតម្លៃអវិជ្ជមាន ហើយ $\cos C < 0$ — មុំទល់នឹងជ្រុង $10$ ជាមុំទាល។ បើចង់ គេអាចរកមុំនោះបាន៖

\[\cos C = \frac{85 - 100}{2 \cdot 6 \cdot 7} = \frac{-15}{84} \approx -0{,}18 \Rightarrow C \approx 100°.\]

ចម្លើយ៖ ត្រីកោណកែងទាល។ សូមកត់សម្គាល់៖ «មើលដោយភ្នែក» មិនឃើញទេ — ជ្រុងស្ទើរតែស្មើគ្នា ប៉ុន្តែមុំបានលើស $90°$ រួចទៅហើយ។

ឧទាហរណ៍ 5. លំហាត់កម្រិត OGE៖ អង្កត់ទ្រូងនៃប្រលេឡូក្រាម

លំហាត់។ ជ្រុងនៃប្រលេឡូក្រាមស្មើនឹង $5$ និង $8$, មុំស្រួចស្មើនឹង $60°$។ រកអង្កត់ទ្រូងខ្លី។

ជំហាន 1. អង្កត់ទ្រូងកាត់ត្រីកោណចេញ ដែលគេស្គាល់ជ្រុងពីរ ($5$ និង $8$) និងមុំរវាងពួកវា។ អង្កត់ទ្រូងខ្លីស្ថិតនៅទល់នឹងមុំស្រួច $60°$។

ជំហាន 2. គណនា៖

\[d^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos 60° = 25 + 64 - 40 = 49 \Rightarrow d = 7.\]

ជំហាន 3. ការពិនិត្យ។ អង្កត់ទ្រូងទីពីរស្ថិតនៅទល់នឹងមុំ $120°$ (មុំជិតខាងនៃប្រលេឡូក្រាមមានផលបូក $180°$)៖ $D^2 = 89 + 40 = 129$, ដូច្នេះ $D = \sqrt{129} \approx 11{,}4$។ ផលបូកនៃការ៉េនៃអង្កត់ទ្រូងស្មើនឹង $49 + 129 = 178$, ហើយពីរដងនៃផលបូកនៃការ៉េនៃជ្រុង — $2(25 + 64) = 178$។ ដូចគ្នា ដូច្នេះការគណនាត្រឹមត្រូវ។

ចម្លើយ៖ $7$។

កំហុសញឹកញាប់ក្នុងលំហាត់ទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស

យកកូស៊ីនុសនៃមុំទាលជាមួយសញ្ញាបូក។ សម្រាប់ជ្រុង $4$ និង $9$ ជាមួយមុំ $120°$ រវាងពួកវា គេសរសេរ $c^2 = 16 + 81 - 2 \cdot 4 \cdot 9 \cdot 0{,}5 = 61$ ហើយទទួលបាន $c \approx 7{,}8$។

$\cos 120° = -0{,}5$, ហើយដកគុណនឹងដកទទួលបានបូក៖ $c^2 = 97 + 36 = 133$, ដូច្នេះ $c = \sqrt{133} ≈ 11{,}5$។ ការពិនិត្យរហ័ស៖ ទល់នឹងមុំទាលគឺជាជ្រុងវែងបំផុត ដូច្នេះចម្លើយត្រូវតែធំជាង $9$។
ជំនួសមុំដែលមិនស្ថិតនៅរវាងជ្រុងដែលបានផ្តល់ឱ្យ៖ ក្នុងលក្ខខណ្ឌមានមុំមួយ ហើយគេយកវាមកប្រើ «ដូចដែលវាមាន» ដោយមិនមើលគំនូរ។

ក្នុងការសរសេរ $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$ ជ្រុង $a$ និង $b$ បង្កើតមុំ $C$, ហើយជ្រុង $c$ ស្ថិតនៅទល់នឹងវា។ ប្រសិនបើមុំដែលស្គាល់ជាប់នឹងជ្រុងដែលត្រូវរក ការសរសេរនេះមិនសមស្របទេ — ត្រូវការរូបមន្តមួយទៀតក្នុងចំណោមបី ឬទ្រឹស្តីបទស៊ីនុស។
ភ្លេចទាញឫស ហើយសរសេរការ៉េនៃជ្រុងជាចម្លើយ៖ ទទួលបាន $c^2 = 225$ ហើយសរសេរថា «ជ្រុងស្មើនឹង 225»។

រូបមន្តតែងតែផ្តល់ការ៉េនៃជ្រុង។ ជំហានចុងក្រោយគឺចាំបាច់៖ $c = \sqrt{225} = 15$។ សូមអានសំណួរលំហាត់ឡើងវិញមុននឹងសរសេរចម្លើយ។
ច្រឡំលំដាប់នៃតួក្នុងផលវិបាក ហើយសរសេរ $\cos C = \dfrac{c^2 - a^2 - b^2}{2ab}$។

ភាគយកត្រឹមត្រូវគឺ $a^2 + b^2 - c^2$៖ ផលបូកនៃការ៉េនៃជ្រុងជាប់ ដកនឹងការ៉េនៃជ្រុងទល់។ នៅពេលប្តូរទីតាំង សញ្ញានៃប្រភាគនឹងផ្លាស់ប្តូរ ហើយជំនួសឱ្យមុំទាល $120°$ ទទួលបានមុំស្រួច $60°$។
រកមុំតាមរយៈម៉ូឌុលនៃកូស៊ីនុស៖ ទទួលបាន −0,25, ប៉ុន្តែក្នុងចម្លើយសរសេរមុំស្រួច ដូចជាកូស៊ីនុសជា +0,25។

កូស៊ីនុសអវិជ្ជមាន — គឺជាមុំទាលជានិច្ច។ មិនអាចបាត់បង់សញ្ញាបានទេ៖ cos 60° = 0,5, ហើយ cos 120° = −0,5; អាគូស៊ីនុសនៃលេខអវិជ្ជមានធំជាង 90°។
ព្យាយាមដោះស្រាយលំហាត់ «ជ្រុងពីរ និងមុំរវាងពួកវា» ដោយទ្រឹស្តីបទស៊ីនុស ហើយជាប់គាំងនៅជួរទីមួយ។

ទ្រឹស្តីបទស៊ីនុសត្រូវការគូ «ជ្រុង និងមុំទល់នឹងវា» ដែលមានស្រាប់។ នៅពេលមានជ្រុងពីរ និងមុំរវាងពួកវា គ្មានគូនេះទេ — ដំបូងទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុសផ្តល់ជ្រុងទីបី ហើយបន្ទាប់មកទ្រឹស្តីបទស៊ីនុសទើបអាចប្រើបាន។

សំណួរ និងចម្លើយ

តើទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុសមានន័យដូចម្តេច?

ការ៉េនៃជ្រុងនៃត្រីកោណស្មើនឹងផលបូកនៃការ៉េនៃជ្រុងពីរទៀត ដកនឹងពីរដងនៃផលគុណនៃជ្រុងទាំងនោះជាមួយកូស៊ីនុសនៃមុំរវាងពួកវា៖ c² = a² + b² − 2ab·cos C។ ទ្រឹស្តីបទនេះត្រឹមត្រូវសម្រាប់ត្រីកោណគ្រប់ប្រភេទ មិនមែនសម្រាប់តែត្រីកោណកែងទេ។

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីរកជ្រុងនៃត្រីកោណតាមរយៈជ្រុងពីរ និងមុំរវាងពួកវា?

ជំនួសទិន្នន័យក្នុងរូបមន្ត c² = a² + b² − 2ab·cos C ហើយទាញឫស។ ឧទាហរណ៍ សម្រាប់ជ្រុង 4 និង 6 និងមុំ 60° រវាងពួកវា៖ c² = 16 + 36 − 2·4·6·0,5 = 28, ដូច្នេះ c = √28 ≈ 5,3។

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីរកមុំនៃត្រីកោណ ប្រសិនបើស្គាល់ជ្រុងទាំងបី?

តាមផលវិបាកនៃទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស៖ cos C = (a² + b² − c²) / (2ab), ដែល c ជាជ្រុងទល់នឹងមុំដែលត្រូវរក។ ឧទាហរណ៍ សម្រាប់ជ្រុង 2, 3 និង 4 កូស៊ីនុសនៃមុំធំបំផុតស្មើនឹង (4 + 9 − 16) / (2·2·3) = −0,25, ដូច្នេះមុំជាមុំទាល ប្រហែល 104°។

ហេតុអ្វីបានជាទ្រឹស្តីបទពីតាកូរជាករណីពិសេសនៃទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស?

ព្រោះនៅមុំកែង cos 90° = 0, ហើយតួ −2ab·cos C ក្លាយជាសូន្យ។ ពីរូបមន្តនៅសល់ c² = a² + b² — នេះគឺជាទ្រឹស្តីបទពីតាកូរសម្រាប់ត្រីកោណកែង។

តើទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុសអាចប្រើបានក្នុងត្រីកោណកែងទាលដែរឬទេ?

បាន ហើយប្រើបានដោយគ្មានការផ្លាស់ប្តូរ។ សម្រាប់មុំទាល កូស៊ីនុសមានតម្លៃអវិជ្ជមាន ដូច្នេះតួ −2ab·cos C ក្លាយជាវិជ្ជមាន ហើយបូកបន្ថែមទៅនឹងផលបូកនៃការ៉េ។ នេះហើយជាមូលហេតុដែលជ្រុងទល់នឹងមុំទាលក្លាយជាជ្រុងវែងបំផុត។

ពេលណាត្រូវប្រើទ្រឹស្តីបទស៊ីនុស ហើយពេលណាត្រូវប្រើទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស?

ទ្រឹស្តីបទស៊ីនុសត្រូវការនៅពេលក្នុងលក្ខខណ្ឌមានគូ «ជ្រុង និងមុំទល់នឹងវា» រួចហើយ — ឧទាហរណ៍ គេឱ្យជ្រុងមួយ និងមុំពីរ។ ទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស — នៅពេលគ្មានគូនេះ៖ គេឱ្យជ្រុងពីរ និងមុំរវាងពួកវា ឬជ្រុងទាំងបី។ ជាញឹកញាប់លំហាត់ត្រូវបានដោះស្រាយក្នុងពីរជំហាន៖ ដំបូងកូស៊ីនុស បន្ទាប់មកស៊ីនុស។

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីកំណត់ប្រភេទត្រីកោណតាមរយៈជ្រុងទាំងបី?

ប្រៀបធៀបការ៉េនៃជ្រុងធំបំផុត c² ជាមួយផលបូកនៃការ៉េនៃជ្រុងពីរទៀត។ ប្រសិនបើ a² + b² > c² — ត្រីកោណកែងស្រួច, ប្រសិនបើ a² + b² = c² — កែង, ប្រសិនបើ a² + b² < c² — កែងទាល។ សញ្ញានៃភាពខុសគ្នានេះដូចគ្នានឹងសញ្ញានៃកូស៊ីនុសនៃមុំធំបំផុត។

តើគេរៀនទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុសនៅថ្នាក់ទីប៉ុន្មាន?

នៅថ្នាក់ទី ៩ ក្នុងមេរៀនធរណីមាត្រ ក្នុងប្រធានបទ «ទំនាក់ទំនងរវាងជ្រុង និងមុំនៃត្រីកោណ» — រួមជាមួយទ្រឹស្តីបទស៊ីនុស។ បន្ទាប់មកវាត្រូវបានប្រើប្រាស់ជាបន្តបន្ទាប់ក្នុងលំហាត់ OGE និង ЕГЭ ផ្នែកធរណីមាត្រ និងក្នុងធរណីមាត្រវិមាត្រ។

នៅមានសំណួរទៀតទេ? សូមបន្តក្នុងឆាត

ដោះស្រាយលំហាត់របស់ខ្ញុំ ពិនិត្យដំណោះស្រាយរបស់ខ្ញុំ រកជ្រុងនៃត្រីកោណ រកមុំតាមរយៈជ្រុងទាំងបី ស៊ីនុស ឬកូស៊ីនុស? ផ្តល់លំហាត់សម្រាប់អនុវត្ត

អ្នកប្រើប្រាស់ #4365351

ខ្ញុំពិតជាចូលចិត្តកម្មវិធីកែសម្រួលអត្ថបទលើរូបភាពណាស់ — លទ្ធផលគឺពិតជាអស្ចារ្យខ្លាំងណាស់។

Web · ឧសភា 2026

អ្នកប្រើប្រាស់ #4383661

សូមអរគុណ ការងាររបស់ AI ពិតជាធ្វើឱ្យខ្ញុំចាប់អារម្មណ៍ខ្លាំង។ ល្អឥតខ្ចោះ!

អ្នកប្រើប្រាស់ #4279467

ខ្ញុំពិតជាចូលចិត្តវាណាស់ — ប្រសិនបើអាចបន្ថែមការសាកល្បងដោយឥតគិតថ្លៃទៀតនោះនឹងកាន់តែល្អ។

Google Play · ឧសភា 2026

អ្នកប្រើប្រាស់ #4160129

កម្មវិធីដ៏អស្ចារ្យជាមួយនឹងតម្លៃសមរម្យ។