ភាពដូចគ្នានៃត្រីកោណ៖ លក្ខខណ្ឌ និងមេគុណភាពដូចគ្នា

Name: Homiwork
Rating: 4.92 (18437 reviews)
Author: Homiwork

ម៉ាស្កូតធរណីមាត្រជាមួយរង្វង់មូលនៅក្បែរត្រីកោណពីរដែលមានរាងដូចគ្នា ប៉ុន្តែមានទំហំខុសគ្នា

ត្រីកោណដូចគ្នា គឺជាត្រីកោណដែលមានរាងដូចគ្នា ប៉ុន្តែមានទំហំខុសគ្នា៖ មុំរបស់វាស្មើគ្នាជាលំដាប់ ហើយជ្រុងដែលត្រូវគ្នាមានសមាមាត្រនឹងគ្នា។ ចំនួនដែលបង្ហាញថាត្រីកោណមួយធំជាងត្រីកោណមួយទៀតប៉ុន្មានដង ត្រូវបានគេហៅថា មេគុណភាពដូចគ្នា $k$។ លក្ខខណ្ឌទាំងបីជួយក្នុងការបញ្ជាក់ពីភាពដូចគ្នា ហើយផលធៀបនៃបរិមាត្រ និងផ្ទៃក្រឡាគោរពតាមច្បាប់សាមញ្ញមួយ៖ បរិមាត្រមានផលធៀបជា $k$ ហើយផ្ទៃក្រឡាមានផលធៀបជា $k^2$។ នៅលើទំព័រនេះ អ្នកនឹងឃើញនិយមន័យ និងការសរសេរភាពដូចគ្នាជាមួយនឹងលំដាប់កំពូលត្រឹមត្រូវ លក្ខខណ្ឌទាំងបី ភាពដូចគ្នានៃត្រីកោណកែង និងកម្ពស់ចេញពីមុំកែង ការដោះស្រាយលំហាត់ OGE «រកជ្រុង» និងកម្មវិធីហ្វឹកហាត់អន្តរកម្ម។

តើអ្វីទៅជាត្រីកោណដូចគ្នា និងមេគុណភាពដូចគ្នា

ត្រីកោណពីរត្រូវបានគេហៅថា ដូចគ្នា ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌពីរត្រូវបានបំពេញ៖

មុំរបស់វា ស្មើគ្នាជាលំដាប់ — មុំនីមួយៗនៃត្រីកោណទីមួយត្រូវនឹងមុំស្មើគ្នានៃត្រីកោណទីពីរ។
ជ្រុងដែលត្រូវគ្នាមានសមាមាត្រ — ផលធៀបនៃជ្រុងទាំងបីផ្តល់នូវចំនួនតែមួយ។

ជ្រុងដែលត្រូវគ្នា (សមស្រប) — គឺជាជ្រុងដែលស្ថិតនៅទល់នឹងមុំស្មើគ្នា។ ពួកវាបង្កើតជាគូដែលយើងគណនាផលធៀប។

ភាពដូចគ្នាត្រូវបានសរសេរដោយសញ្ញា $\sim$៖

\[\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\]

មេគុណភាពដូចគ្នា $k$ — គឺជាផលធៀបដូចគ្នានៃជ្រុងដែលត្រូវគ្នា៖

\[k = \frac{A_1B_1}{AB} = \frac{B_1C_1}{BC} = \frac{A_1C_1}{AC}\]

ប្រសិនបើ $k > 1$ ត្រីកោណទីពីរធំជាងទីមួយ; ប្រសិនបើ $k < 1$ គឺតូចជាង; នៅពេល $k = 1$ ត្រីកោណទាំងពីរស្មើគ្នា ព្រោះភាពស្មើគ្នាគឺជាករណីពិសេសនៃភាពដូចគ្នា។

លំដាប់នៃកំពូលក្នុងការសរសេរមិនមែនជារឿងធម្មតាទេ

ការសរសេរ $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$ ត្រូវបានអានយ៉ាងតឹងរ៉ឹងតាមទីតាំង៖ $A$ ត្រូវនឹង $A_1$, $B$ ត្រូវនឹង $B_1$, $C$ ត្រូវនឹង $C_1$។ ពីនេះយើងដឹងភ្លាមថា មុំណាខ្លះស្មើគ្នា ($\angle A = \angle A_1$) និងជ្រុងណាខ្លះជាជ្រុងដែលត្រូវគ្នា ($AB$ និង $A_1B_1$, $BC$ និង $B_1C_1$, $AC$ និង $A_1C_1$)។

ប្រសិនបើប្តូរអក្សរហើយសរសេរ $\triangle ABC \sim \triangle B_1A_1C_1$ នោះនឹងទទួលបាន ការអះអាងផ្សេង៖ ឥឡូវនេះ $\angle A = \angle B_1$ ហើយជ្រុងដែលត្រូវនឹង $AB$ នឹងក្លាយជាជ្រុង $B_1A_1$។ ការបង្កើតសមាមាត្រតាម «ទីតាំងដែលមើលទៅស្រដៀង» មិនអាចធ្វើបានទេ គឺត្រូវធ្វើតាមទីតាំងក្នុងការសរសេរតែប៉ុណ្ណោះ។ ដូច្នេះ ជាដំបូងត្រូវសរសេរគូនៃមុំស្មើគ្នា ហើយទើបតម្រៀបលំដាប់អក្សរតាមនោះ។

6 : 4 = 1,5 9 : 6 = 1,5 12 : 8 = 1,5 k = 1,5

△ABC ∼ △A₁B₁C₁: កំពូលដែលត្រូវគ្នាត្រូវបានសម្គាល់ដោយពណ៌តែមួយ — A និង A₁, B និង B₁, C និង C₁។ ផលធៀបទាំងបីនៃជ្រុងដែលត្រូវគ្នាផ្តល់នូវចំនួនតែមួយ។

លក្ខខណ្ឌទាំងបីនៃភាពដូចគ្នានៃត្រីកោណ

មិនចាំបាច់ពិនិត្យលក្ខខណ្ឌទាំងប្រាំមួយពីនិយមន័យនោះទេ៖ ភាពដូចគ្នាត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយ លក្ខខណ្ឌមួយក្នុងចំណោមលក្ខខណ្ឌទាំងបី។ លក្ខខណ្ឌនីមួយៗគឺជាសំណុំទិន្នន័យអប្បបរមា ដែលពីនោះមុំទាំងអស់ស្មើគ្នា និងជ្រុងទាំងអស់មានសមាមាត្រនឹងគ្នាដោយស្វ័យប្រវត្តិ។

របៀបជ្រើសរើសលក្ខខណ្ឌ៖ មើលអ្វីដែលបានផ្តល់ឱ្យក្នុងលំហាត់៖ ប្រសិនបើនិយាយអំពីមុំ ប្រើលក្ខខណ្ឌទីមួយ ប្រសិនបើនិយាយអំពីជ្រុងពីរ និងមុំរវាងជ្រុងទាំងពីរ ប្រើលក្ខខណ្ឌទីពីរ ប្រសិនបើនិយាយអំពីជ្រុងទាំងបី ប្រើលក្ខខណ្ឌទីបី។

លក្ខខណ្ឌទីមួយ (តាមមុំពីរ) — គឺជាឧបករណ៍សំខាន់ក្នុងកម្មវិធីសិក្សា៖ លំហាត់ OGE ស្ទើរតែទាំងអស់ត្រូវបានដោះស្រាយដោយលក្ខខណ្ឌនេះ។ មិនចាំបាច់ពិនិត្យមុំទីបីទេ វាស្មើគ្នាដោយស្វ័យប្រវត្តិ៖ ផលបូកមុំក្នុងត្រីកោណគឺ $180°$ ជានិច្ច។ រកគូនៃមុំស្មើគ្នាដែលត្រៀមរួចជាស្រេច — មុំរួមនៃត្រីកោណពីរ មុំទល់កំពូល មុំឆ្លាស់ក្នុង និងមុំសមស្របនៅពេលមានបន្ទាត់ស្របគ្នា មុំកែងពីរ។
លក្ខខណ្ឌទីពីរ (តាមជ្រុងពីរ និងមុំរវាងជ្រុងទាំងពីរ) តម្រូវឱ្យមុំស្ថិតនៅ ចន្លោះ ជ្រុងទាំងពីរនោះ។ ប្រសិនបើមុំស្មើគ្នានៅទល់នឹងជ្រុងមួយក្នុងចំណោមជ្រុងទាំងនោះ លក្ខខណ្ឌនេះមិនដំណើរការទេ ហើយភាពដូចគ្នាមិនត្រូវបានបញ្ជាក់ទេ។
លក្ខខណ្ឌទីបី (តាមជ្រុងទាំងបី) — នៅពេលដែលមិនមានមុំនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌទាល់តែសោះ មានតែប្រវែងជ្រុងប៉ុណ្ណោះ។ សរសេរជ្រុងនៃត្រីកោណនីមួយៗតាមលំដាប់កើនឡើង ហើយចែកជ្រុងតូចបំផុតនឹងតូចបំផុត មធ្យមនឹងមធ្យម ធំបំផុតនឹងធំបំផុត៖ តាមរបៀបនេះគូនឹងមិនច្រឡំឡើយ។ ភាពដូចគ្នាកើតឡើងលុះត្រាតែផលធៀបទាំងបីស្មើគ្នា។

ដើម្បីកុំឱ្យច្រឡំលក្ខខណ្ឌនៃភាពដូចគ្នាជាមួយលក្ខខណ្ឌនៃភាពស្មើគ្នា សូមចងចាំភាពខុសគ្នា៖ ក្នុងភាពស្មើគ្នា ជ្រុងត្រូវតែ ស្មើគ្នា ក្នុងភាពដូចគ្នា ជ្រុងត្រូវតែ មានសមាមាត្រ។

លក្ខខណ្ឌទី ១ តាមមុំពីរ ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁
→ △ABC ∼ △A₁B₁C₁

លក្ខខណ្ឌទី ២ តាមជ្រុងពីរ និងមុំរវាងជ្រុងទាំងពីរ A₁B₁ : AB = A₁C₁ : AC, ∠A = ∠A₁

លក្ខខណ្ឌទី ៣ តាមជ្រុងទាំងបី A₁B₁ : AB = B₁C₁ : BC = A₁C₁ : AC

ផលធៀបនៃបរិមាត្រ និងផ្ទៃក្រឡានៃត្រីកោណដូចគ្នា

ភាពដូចគ្នាមានផលវិបាកពីរដែលគេសួរញឹកញាប់បំផុត ហើយមួយក្នុងចំណោមនោះគឺជាអន្ទាក់ដ៏សំខាន់នៃប្រធានបទនេះ។

បរិមាត្រមានផលធៀបជា $k$។ ជ្រុងនីមួយៗនៃត្រីកោណទីពីរធំជាងជ្រុងដែលត្រូវគ្នានៃត្រីកោណទីមួយចំនួន $k$ ដង ដូច្នេះផលបូកនៃជ្រុងក៏កើនឡើងចំនួន $k$ ដងដែរ៖

\[\frac{P_2}{P_1} = k\]

ដូចគ្នានេះដែរ — «ចំនួន $k$ ដង» — គឺសម្រាប់រង្វាស់លីនេអ៊ែរទាំងអស់៖ កម្ពស់ មេដ្យាន កន្លះមុំ រង្វង់ចារឹកក្នុង និងក្រៅត្រីកោណ និងបន្ទាត់មធ្យម។

ផ្ទៃក្រឡាមានផលធៀបជា $k^2$។ ផ្ទៃក្រឡាអាស្រ័យលើវិមាត្រពីរក្នុងពេលតែមួយ៖ ទាំងបាត និងកម្ពស់កើនឡើងចំនួន $k$ ដង ដូច្នេះផលគុណកើនឡើងចំនួន $k \cdot k$ ដង៖

\[\frac{S_2}{S_1} = k^2\]

ឧបមាថា $k = 5$។ នោះបរិមាត្រធំជាង 5 ដង (ឧទាហរណ៍ ពី 14 សង់ទីម៉ែត្រ ក្លាយជា 70 សង់ទីម៉ែត្រ) ហើយផ្ទៃក្រឡាធំជាង 25 ដង (ពី 6 សង់ទីម៉ែត្រការ៉េ ក្លាយជា 150 សង់ទីម៉ែត្រការ៉េ)។ ភាពខុសគ្នាគឺធំធេងណាស់ ហើយការជំនួស $k$ ជំនួសឱ្យ $k^2$ គឺជាកំហុសញឹកញាប់បំផុតក្នុងការប្រឡង។

ដំណើរការបញ្ច្រាស។ ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌផ្តល់ផលធៀបនៃផ្ទៃក្រឡា មេគុណភាពដូចគ្នាត្រូវបានរកឃើញដោយការដកឫស៖ $k = \sqrt{S_2 : S_1}$។ ឧទាហរណ៍ ផ្ទៃក្រឡាមានផលធៀប $16 : 1$ នោះមានន័យថាជ្រុងមានផលធៀប $4 : 1$។

បន្ទាត់មធ្យមបែងចែកត្រីកោណជា 4 ស្មើគ្នា។ ជ្រុងនៃត្រីកោណធំធំជាង 2 ដង ហើយផ្ទៃក្រឡាធំជាង 4 ដង៖ 2² = 4។

k	បរិមាត្រ P₂ : P₁	ផ្ទៃក្រឡា S₂ : S₁
2	2 : 1	4 : 1
3	3 : 1	9 : 1
1,5	1,5 : 1	2,25 : 1
ណាមួយ	k : 1	k² : 1

ភាពដូចគ្នានៃត្រីកោណកែង និងកម្ពស់ចេញពីមុំកែង

សម្រាប់ត្រីកោណកែង លក្ខខណ្ឌទីមួយត្រូវបានសម្រួល៖ មុំកែងរបស់វាស្មើគ្នាជាស្រេច ដូច្នេះ គ្រាន់តែមុំស្រួចមួយស្មើគ្នា ក៏គ្រប់គ្រាន់ដើម្បីឱ្យត្រីកោណទាំងនោះដូចគ្នាដែរ។ ពីនេះក៏មានលក្ខខណ្ឌតាមជ្រុងកែងពីរ៖ ប្រសិនបើជ្រុងកែងនៃត្រីកោណមួយមានសមាមាត្រនឹងជ្រុងកែងនៃត្រីកោណមួយទៀត នោះត្រីកោណទាំងនោះដូចគ្នា (នេះគឺជាលក្ខខណ្ឌទីពីរ ព្រោះមុំរវាងជ្រុងកែងគឺជាមុំកែង)។

ការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធដែលមានប្រយោជន៍បំផុតនៃប្រធានបទទាំងមូលគឺ កម្ពស់ដែលគូសចេញពីកំពូលមុំកែង។ វាបែងចែកត្រីកោណជាពីរ ហើយត្រីកោណទាំងបីដែលទទួលបានគឺដូចគ្នាទៅវិញទៅមក។

ហេតុអ្វីបានជាដូច្នេះ៖ ត្រីកោណ $AHC$ មានមុំកែងនៅ $H$ និងមុំ $A$ រួមជាមួយត្រីកោណធំ ដូច្នេះ $\triangle AHC \sim \triangle ACB$។ ត្រីកោណ $CHB$ មានមុំកែងនៅ $H$ និងមុំ $B$ រួម ដូច្នេះ $\triangle CHB \sim \triangle ACB$។ ពីនេះត្រីកោណតូចទាំងពីរក៏ដូចគ្នាទៅវិញទៅមកដែរ។

ពីភាពដូចគ្នាទាំងនេះ យើងទទួលបានរូបមន្ត មធ្យមធរណីមាត្រ (ហៅថាអង្កត់សមាមាត្រក្នុងត្រីកោណកែង)៖

$CH^2 = AH \cdot HB$ — កម្ពស់គឺជាមធ្យមធរណីមាត្រនៃអង្កត់ដែលវាបែងចែកអ៊ីប៉ូតេនុស;
$AC^2 = AH \cdot AB$ និង $BC^2 = HB \cdot AB$ — ជ្រុងកែងគឺជាមធ្យមធរណីមាត្រនៃអ៊ីប៉ូតេនុសទាំងមូល និងចំណាំងផ្លាតរបស់វាទៅលើអ៊ីប៉ូតេនុស។

អ្វីដែលសំខាន់គឺកុំច្រឡំថាអង្កត់ណាជា «របស់ខ្លួន»៖ សម្រាប់ជ្រុងកែង $AC$ ចំណាំងផ្លាតគឺ $AH$ សម្រាប់ជ្រុងកែង $BC$ ចំណាំងផ្លាតគឺ $HB$។ ចំណាំងផ្លាតតែងតែនៅជាប់នឹងចុងអ៊ីប៉ូតេនុសដូចគ្នាទៅនឹងជ្រុងកែង។

△AHC ∼ △CHB ∼ △ACB

CH² = AH · HB AC² = AH · AB BC² = HB · AB

ការពិនិត្យលើលេខក្នុងគំនូរ៖ 12² = 9 · 16, 15² = 9 · 25, 20² = 16 · 25.

លំហាត់ OGE ស្តីពីភាពដូចគ្នា៖ របៀបរកជ្រុង

លំហាត់ស្តីពីភាពដូចគ្នាស្ទើរតែទាំងអស់ត្រូវបានដោះស្រាយតាមក្បួនតែមួយ៖

រកគូនៃមុំស្មើគ្នា — មុំរួម មុំទល់កំពូល មុំឆ្លាស់ក្នុងនៅពេលមានបន្ទាត់ស្របគ្នា ឬមុំកែងពីរ។
សរសេរភាពដូចគ្នាក្នុងលំដាប់កំពូលត្រឹមត្រូវ — ដើម្បីឱ្យមុំស្មើគ្នានៅក្នុងទីតាំងដូចគ្នា។
បង្កើតសមាមាត្រ ពីជ្រុងដែលត្រូវគ្នា (យកជ្រុងដែលស្ថិតនៅទីតាំងដូចគ្នាក្នុងការសរសេរ)។
បង្ហាញតម្លៃមិនស្គាល់ ហើយគណនា; នៅចុងបញ្ចប់ពិនិត្យចម្លើយតាមន័យ — ជ្រុងនៃត្រីកោណតូចត្រូវតែតូចជាង។

ការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធធម្មតាក្នុង OGE មានតិចតួច ហើយគួរតែស្គាល់វាភ្លាមៗ៖

បន្ទាត់ស្របនឹងជ្រុង។ បន្ទាត់កាត់ត្រីកោណបង្កើតបានត្រីកោណតូចមួយដែលដូចនឹងត្រីកោណដើម។ ចំណុចសំខាន់៖ ផលធៀបត្រូវយកជ្រុង ទាំងមូល ពីកំពូលរួម ($BM : BA$) មិនមែនអង្កត់ ($BM : MA$) ទេ។
«មេអំបៅ»។ អង្កត់ពីរប្រសព្វគ្នា ហើយចុងរបស់វាត្រូវបានភ្ជាប់ដោយបន្ទាត់ស្របគ្នា — ទទួលបានត្រីកោណដូចគ្នាពីរដែលបង្វិលទល់នឹងគ្នា។
កម្ពស់ចេញពីមុំកែង — ការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធពីផ្នែកមុន; ក្នុង OGE គេប្រើវាដើម្បីរកកម្ពស់ ជ្រុងកែង ឬអង្កត់នៃអ៊ីប៉ូតេនុស។
ស្រមោល និងកម្ពស់វត្ថុ។ កាំរស្មីព្រះអាទិត្យស្របគ្នា ដូច្នេះវត្ថុជាមួយស្រមោលរបស់វា និងដើមឈើជាមួយស្រមោលរបស់វាបង្កើតបានត្រីកោណកែងដូចគ្នា។
បន្ទាត់មធ្យម — ករណីពិសេសជាមួយ $k = 2$៖ វាស្របនឹងជ្រុង ហើយខ្លីជាងជ្រុងនោះពាក់កណ្តាល។

MN ∥ AC → △BMN ∼ △BAC
មុំ B រួម, មុំនៅ M និង A ជាមុំសមស្រប

AB ∥ CD → △AOB ∼ △COD
មុំនៅ O ជាមុំទល់កំពូល, មុំ A និង C ជាមុំឆ្លាស់ក្នុង

ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយលំហាត់ស្តីពីភាពដូចគ្នានៃត្រីកោណ

ឧទាហរណ៍ទី 1. រកជ្រុងតាមមេគុណភាពដូចគ្នា

លំហាត់។ $\triangle MNK \sim \triangle PQR$។ គេដឹងថា $MN = 7$, $NK = 11$, $MK = 9$ និង $PQ = 21$។ រក $QR$ និង $PR$។

ជំហានទី 1. បំបែកការសរសេរតាមទីតាំង៖ $M \leftrightarrow P$, $N \leftrightarrow Q$, $K \leftrightarrow R$។ ដូច្នេះគូដែលត្រូវគ្នាគឺ៖ $MN$ និង $PQ$, $NK$ និង $QR$, $MK$ និង $PR$។

ជំហានទី 2. គណនាមេគុណតាមគូតែមួយដែលគេដឹងជ្រុងទាំងពីរ៖

\[k = \frac{PQ}{MN} = \frac{21}{7} = 3.\]

ជំហានទី 3. ជ្រុងផ្សេងទៀតនៃត្រីកោណទីពីរធំជាងជ្រុងដែលត្រូវគ្នា 3 ដង៖

\[QR = 3 \cdot NK = 3 \cdot 11 = 33, \qquad PR = 3 \cdot MK = 3 \cdot 9 = 27.\]

ចម្លើយ៖ $QR = 33$, $PR = 27$។ ការពិនិត្យ៖ $33 : 11 = 27 : 9 = 3$ — ផលធៀបទាំងអស់ស្មើគ្នា។

ឧទាហរណ៍ទី 2. បញ្ជាក់ភាពដូចគ្នាដោយលក្ខខណ្ឌទីពីរ

លំហាត់។ ក្នុងត្រីកោណ $ABC$ និង $DEF$ គេដឹងថា៖ $AB = 5$, $AC = 9$, $DE = 15$, $DF = 27$ ហើយមុំ $A$ និង $D$ ស្មើគ្នា។ បញ្ជាក់ថាត្រីកោណទាំងនោះដូចគ្នា។

ជំហានទី 1. ពិនិត្យលក្ខខណ្ឌសំខាន់នៃលក្ខខណ្ឌទីពីរ៖ មុំ $A$ ស្ថិតនៅចន្លោះជ្រុង $AB$ និង $AC$, មុំ $D$ — នៅចន្លោះ $DE$ និង $DF$។ មុំ រវាងជ្រុងដែលបានផ្តល់ឱ្យ — លក្ខខណ្ឌអាចអនុវត្តបាន។

ជំហានទី 2. គណនាផលធៀបនៃជ្រុងដែលត្រូវគ្នា៖

\[\frac{DE}{AB} = \frac{15}{5} = 3, \qquad \frac{DF}{AC} = \frac{27}{9} = 3.\]

ជំហានទី 3. គូនៃជ្រុងពីរមានសមាមាត្រជាមួយមេគុណតែមួយ $k = 3$, មុំរវាងជ្រុងទាំងពីរស្មើគ្នា — ដោយលក្ខខណ្ឌទីពីរ $\triangle ABC \sim \triangle DEF$។

ចម្លើយ៖ ត្រីកោណទាំងនោះដូចគ្នា, $k = 3$។ ចំណាំ៖ ប្រសិនបើមុំ $B$ និង $D$ ស្មើគ្នា លក្ខខណ្ឌនឹងមិនដំណើរការទេ — មុំ $B$ មិនស្ថិតនៅចន្លោះ $AB$ និង $AC$ ទេ។

ឧទាហរណ៍ទី 3. បន្ទាត់ស្របនឹងជ្រុង (លំហាត់ OGE)

លំហាត់។ ក្នុងត្រីកោណ $ABC$ ចំណុច $M$ ស្ថិតនៅលើជ្រុង $AB$, ចំណុច $N$ — នៅលើជ្រុង $BC$, ដោយមាន $MN \parallel AC$។ គេដឹងថា $BM = 4$, $MA = 12$, $MN = 5$។ រក $AC$។

ជំហានទី 1. ដោយសារ $MN \parallel AC$, មុំ $BMN$ និង $BAC$ ស្មើគ្នាជាមុំសមស្រប ហើយមុំ $B$ — ជាមុំរួម។ ដោយលក្ខខណ្ឌទីមួយ $\triangle BMN \sim \triangle BAC$ (លំដាប់កំពូល៖ $M \leftrightarrow A$, $N \leftrightarrow C$)។

ជំហានទី 2. រកជ្រុងទាំងមូលពីកំពូលរួម៖ $BA = BM + MA = 4 + 12 = 16$។ នេះគឺជាចំណុចសំខាន់ — ក្នុងសមាមាត្រត្រូវយក $BA$ មិនមែន $MA$ ទេ។

ជំហានទី 3. បង្កើតសមាមាត្រតាមជ្រុងដែលត្រូវគ្នា៖

\[\frac{BM}{BA} = \frac{MN}{AC} \quad \Rightarrow \quad \frac{4}{16} = \frac{5}{AC}.\]

ជំហានទី 4. ពីនេះ $AC = 5 \cdot 4 = 20$។

ចម្លើយ៖ $AC = 20$។ មេគុណភាពដូចគ្នានៅទីនេះគឺ 4៖ ត្រីកោណធំធំជាងត្រីកោណតូច 4 ដង។

ឧទាហរណ៍ទី 4. បរិមាត្រ និងផ្ទៃក្រឡា

លំហាត់។ បរិមាត្រនៃត្រីកោណដូចគ្នាគឺ 18 សង់ទីម៉ែត្រ និង 45 សង់ទីម៉ែត្រ។ ផ្ទៃក្រឡានៃត្រីកោណតូចគឺ 16 សង់ទីម៉ែត្រការ៉េ។ រកផ្ទៃក្រឡានៃត្រីកោណធំ។

ជំហានទី 1. បរិមាត្រមានផលធៀបជាមេគុណភាពដូចគ្នា៖

\[k = \frac{45}{18} = 2{,}5.\]

ជំហានទី 2. ផ្ទៃក្រឡាមានផលធៀបជាការ៉េនៃមេគុណ៖ $k^2 = 2{,}5^2 = 6{,}25$។

ជំហានទី 3. គុណផ្ទៃក្រឡានៃត្រីកោណតូចនឹង $k^2$៖

\[S = 16 \cdot 6{,}25 = 100 \text{ សង់ទីម៉ែត្រ}^2.\]

ចម្លើយ៖ 100 សង់ទីម៉ែត្រការ៉េ។ ប្រសិនបើយើងគុណនឹង $k = 2{,}5$ យើងនឹងទទួលបាន 40 សង់ទីម៉ែត្រការ៉េ — ជាកំហុសធម្មតាដែលបាត់បង់ពិន្ទុទាំងស្រុង។

ឧទាហរណ៍ទី 5. កម្ពស់ចេញពីកំពូលមុំកែង

លំហាត់។ ក្នុងត្រីកោណកែង $ABC$ ដែលមានមុំកែងនៅកំពូល $C$ គេគូសកម្ពស់ $CH$ ទៅអ៊ីប៉ូតេនុស។ គេដឹងថា $AH = 4$ សង់ទីម៉ែត្រ, $HB = 9$ សង់ទីម៉ែត្រ។ រកកម្ពស់ $CH$ និងផ្ទៃក្រឡានៃត្រីកោណ។

ជំហានទី 1. កម្ពស់ចេញពីមុំកែងគឺជាមធ្យមធរណីមាត្រនៃអង្កត់អ៊ីប៉ូតេនុស ព្រោះ $\triangle AHC \sim \triangle CHB$៖

\[CH^2 = AH \cdot HB = 4 \cdot 9 = 36.\]

ជំហានទី 2. ដកឫស៖ $CH = 6$ សង់ទីម៉ែត្រ។

ជំហានទី 3. អ៊ីប៉ូតេនុស $AB = AH + HB = 4 + 9 = 13$ សង់ទីម៉ែត្រ។ ផ្ទៃក្រឡាគណនាតាមអ៊ីប៉ូតេនុស និងកម្ពស់ដែលគូសទៅវា៖

\[S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot 6 = 39 \text{ សង់ទីម៉ែត្រ}^2.\]

ចម្លើយ៖ $CH = 6$ សង់ទីម៉ែត្រ, $S = 39$ សង់ទីម៉ែត្រការ៉េ។

ឧទាហរណ៍ទី 6. កម្ពស់ដើមឈើតាមស្រមោល

លំហាត់។ សសរឈរដែលមានកម្ពស់ 2 ម៉ែត្រ បោះស្រមោលប្រវែង 1,5 ម៉ែត្រ។ នៅពេលជាមួយគ្នានោះ ស្រមោលដើមឈើមានប្រវែង 9 ម៉ែត្រ។ តើដើមឈើនោះមានកម្ពស់ប៉ុន្មាន?

ជំហានទី 1. កាំរស្មីព្រះអាទិត្យស្របគ្នា ដូច្នេះមុំធ្លាក់នៃកាំរស្មីសម្រាប់សសរ និងសម្រាប់ដើមឈើគឺដូចគ្នា។ សសរជាមួយស្រមោល និងដើមឈើជាមួយស្រមោលបង្កើតបានត្រីកោណកែងដែលមានមុំស្រួចស្មើគ្នា — ដូច្នេះពួកវាដូចគ្នា។

ជំហានទី 2. បង្កើតសមាមាត្រ «កម្ពស់ទៅនឹងស្រមោលរបស់វា»៖

\[\frac{h}{9} = \frac{2}{1{,}5}.\]

ជំហានទី 3. បង្ហាញកម្ពស់មិនស្គាល់៖

\[h = \frac{2 \cdot 9}{1{,}5} = \frac{18}{1{,}5} = 12 \text{ ម៉ែត្រ}.\]

ចម្លើយ៖ 12 ម៉ែត្រ។ ការពិនិត្យតាមន័យ៖ ស្រមោលដើមឈើវែងជាងស្រមោលសសរ 6 ដង ដូច្នេះដើមឈើក៏ខ្ពស់ជាង 6 ដងដែរ៖ $2 \cdot 6 = 12$ ម៉ែត្រ។

កំហុសញឹកញាប់ក្នុងលំហាត់ស្តីពីភាពដូចគ្នានៃត្រីកោណ

គិតថាផ្ទៃក្រឡានៃត្រីកោណដូចគ្នាមានផលធៀបជា $k$៖ នៅពេល $k = 3$ គេបង្កើនផ្ទៃក្រឡា 3 ដង។

ផ្ទៃក្រឡាមានផលធៀបជា ការ៉េ នៃមេគុណ៖ នៅពេល $k = 3$ ផ្ទៃក្រឡាធំជាង $3^2 = 9$ ដង។ មានតែរង្វាស់លីនេអ៊ែរទេដែលទាក់ទងនឹង $k$ — ជ្រុង បរិមាត្រ កម្ពស់ មេដ្យាន។ ច្បាប់ជំនួយ៖ ផ្ទៃក្រឡាត្រូវបានវាស់ជាឯកតាក្រឡា ដូច្នេះមេគុណក៏ត្រូវតែជាការ៉េដែរ។
មិនអើពើនឹងលំដាប់កំពូល៖ ពីការសរសេរ $\triangle ABC \sim \triangle KLM$ គេបង្កើតសមាមាត្រ $AB : LM$។

ភាពត្រូវគ្នានៃកំពូលត្រូវបានកំណត់ដោយទីតាំងក្នុងការសរសេរ៖ $A \leftrightarrow K$, $B \leftrightarrow L$, $C \leftrightarrow M$។ ជ្រុងដែលត្រូវនឹង $AB$ គឺ $KL$ ហើយជ្រុងដែលត្រូវនឹង $BC$ គឺ $LM$។ មុននឹងសរសេរសមាមាត្រ សូមសរសេរគូនៃកំពូលជាជួរឈរ — វាចំណាយពេលប្រាំវិនាទី ហើយកាត់បន្ថយកំហុសបានភាគច្រើន។
បញ្ជាក់ភាពដូចគ្នាដោយមុំស្មើគ្នាមួយ ឬជ្រុងមានសមាមាត្រពីរដោយគ្មានមុំ។

មុំស្មើគ្នាមួយមិនគ្រប់គ្រាន់ទេ៖ ត្រីកោណពីរអាចមានមុំស្មើគ្នាមួយ ប៉ុន្តែមានរាងខុសគ្នាទាំងស្រុង។ ត្រូវការលក្ខខណ្ឌពេញលេញ — មុំពីរ ឬជ្រុងពីរ និងមុំរវាងជ្រុងទាំងពីរ ឬជ្រុងទាំងបី។
ក្នុងលក្ខខណ្ឌទីពីរ គេយកមុំដែលមិនស្ថិតនៅចន្លោះជ្រុងដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

លក្ខខណ្ឌទីពីរដំណើរការតែជាមួយមុំ រវាង ជ្រុងពីរដែលបានផ្តល់ឱ្យប៉ុណ្ណោះ។ ប្រសិនបើគេដឹង $AB$, $AC$ ហើយមុំ $B$ ស្មើគ្នា លក្ខខណ្ឌមិនអាចអនុវត្តបានទេ — រកផ្លូវផ្សេង៖ គូនៃមុំស្មើគ្នា ឬជ្រុងទីបី។
បង្វិលមេគុណ៖ រក $k$ ជា «ជ្រុងតូចទៅជ្រុងធំ» ហើយបន្ទាប់មកគុណនឹងវា ដើម្បីទទួលបានជ្រុងនៃត្រីកោណធំ។

កំណត់ទិសដៅដោយខ្លួនឯង៖ ប្រសិនបើ $k$ គឺជាផលធៀបនៃជ្រុងត្រីកោណទីពីរទៅត្រីកោណទីមួយ នោះជ្រុងនៃត្រីកោណទីមួយត្រូវ គុណ នឹង $k$ ហើយជ្រុងនៃត្រីកោណទីពីរត្រូវ ចែក នឹង $k$។ ការពិនិត្យចុងក្រោយតាមន័យ៖ ជ្រុងនៃត្រីកោណតូចត្រូវតែតូចជាង។
ក្នុងលំហាត់ដែលមានបន្ទាត់ស្របនឹងជ្រុង គេបង្កើតសមាមាត្រពីអង្កត់៖ $BM : MA = MN : AC$។

ត្រីកោណ $BMN$ និង $BAC$ ដូចគ្នា ហើយជ្រុងដែលត្រូវគ្នាគឺ $BM$ និង $BA$ (ជ្រុងទាំងមូលពីកំពូលរួម) មិនមែនអង្កត់ $MA$ ទេ។ ជាដំបូងរក $BA = BM + MA$ ហើយទើបបង្កើតសមាមាត្រ។
ច្រឡំភាពដូចគ្នាជាមួយភាពស្មើគ្នា ហើយក្នុងចម្លើយសរសេរថាជ្រុងទាំងនោះស្មើគ្នា។

ភាពស្មើគ្នាគឺជាករណីពិសេសនៃភាពដូចគ្នានៅពេល $k = 1$។ ប្រសិនបើ $k \ne 1$ ត្រីកោណមានតែមុំស្មើគ្នា ហើយជ្រុងខុសគ្នាដោយមេគុណ $k$។ លក្ខខណ្ឌក៏ខុសគ្នាដែរ៖ សម្រាប់ភាពស្មើគ្នាគឺ ស-ម-ស, ម-ស-ម, ស-ស-ស ជាមួយជ្រុង ស្មើគ្នា សម្រាប់ភាពដូចគ្នាគឺ ជ្រុង មានសមាមាត្រ។

សំណួរ និងចម្លើយ

តើត្រីកោណប្រភេទណាដែលហៅថាត្រីកោណដូចគ្នា?

ត្រីកោណដែលហៅថាដូចគ្នា គឺជាត្រីកោណដែលមានមុំស្មើគ្នាជាលំដាប់ ហើយជ្រុងដែលត្រូវគ្នាមានសមាមាត្រ។ និយាយឱ្យសាមញ្ញ វាគឺជាត្រីកោណដែលមានរាងដូចគ្នា ប៉ុន្តែមានទំហំខុសគ្នា។ ភាពដូចគ្នាត្រូវបានសរសេរដោយសញ្ញា ∼៖ △ABC ∼ △A₁B₁C₁។

តើអ្វីទៅជាមេគុណភាពដូចគ្នានៃត្រីកោណ?

មេគុណភាពដូចគ្នា k គឺជាចំនួនស្មើនឹងផលធៀបនៃជ្រុងដែលត្រូវគ្នានៃត្រីកោណដូចគ្នា៖ k = A₁B₁ : AB = B₁C₁ : BC = A₁C₁ : AC។ វាបង្ហាញថាត្រីកោណមួយធំជាងត្រីកោណមួយទៀតប៉ុន្មានដង។ នៅពេល k = 1 ត្រីកោណទាំងពីរស្មើគ្នា។

តើមានលក្ខខណ្ឌនៃភាពដូចគ្នានៃត្រីកោណប៉ុន្មាន ហើយមានអ្វីខ្លះ?

មានលក្ខខណ្ឌបី។ ទីមួយ — តាមមុំពីរ៖ មុំពីរនៃត្រីកោណមួយស្មើនឹងមុំពីរនៃត្រីកោណមួយទៀត។ ទីពីរ — តាមជ្រុងពីរ និងមុំរវាងជ្រុងទាំងពីរ៖ ជ្រុងពីរមានសមាមាត្រ ហើយមុំរវាងជ្រុងទាំងពីរស្មើគ្នា។ ទីបី — តាមជ្រុងទាំងបី៖ គូនៃជ្រុងដែលត្រូវគ្នាទាំងបីមានសមាមាត្រ។

តើផ្ទៃក្រឡានៃត្រីកោណដូចគ្នាមានផលធៀបយ៉ាងដូចម្តេច?

ផ្ទៃក្រឡានៃត្រីកោណដូចគ្នាមានផលធៀបជាការ៉េនៃមេគុណភាពដូចគ្នា៖ S₂ : S₁ = k²។ ឧទាហរណ៍ នៅពេល k = 4 ផ្ទៃក្រឡាធំជាង 16 ដង។ បញ្ច្រាសមកវិញ៖ ប្រសិនបើផ្ទៃក្រឡាមានផលធៀប 25 : 1 នោះជ្រុងមានផលធៀប 5 : 1។

តើបរិមាត្រនៃត្រីកោណដូចគ្នាមានផលធៀបយ៉ាងដូចម្តេច?

បរិមាត្រមានផលធៀបជាមេគុណភាពដូចគ្នា៖ P₂ : P₁ = k។ ធាតុលីនេអ៊ែរទាំងអស់ក៏មានឥរិយាបថដូចគ្នាដែរ — កម្ពស់ មេដ្យាន កន្លះមុំ បន្ទាត់មធ្យម រង្វង់ចារឹកក្នុង និងក្រៅត្រីកោណ។

តើភាពដូចគ្នានៃត្រីកោណខុសពីភាពស្មើគ្នាយ៉ាងដូចម្តេច?

ក្នុងត្រីកោណស្មើគ្នា មុំ និងជ្រុងសុទ្ធតែស្មើគ្នា ដូច្នេះរូបភាពអាចត្រួតលើគ្នាបាន។ ក្នុងត្រីកោណដូចគ្នា មានតែមុំទេដែលស្មើគ្នា ហើយជ្រុងមានសមាមាត្រជាមួយមេគុណ k។ ភាពស្មើគ្នាគឺជាករណីពិសេសនៃភាពដូចគ្នានៅពេល k = 1។

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីបញ្ជាក់ភាពដូចគ្នានៃត្រីកោណកែង?

គ្រាន់តែមុំស្រួចមួយស្មើគ្នាគឺគ្រប់គ្រាន់៖ មុំកែងរបស់វាស្មើគ្នាជាស្រេច ដូច្នេះលក្ខខណ្ឌទីមួយដំណើរការ។ វិធីទីពីរ — សមាមាត្រនៃជ្រុងកែង៖ មុំរវាងជ្រុងកែងគឺជាមុំកែង ដូច្នេះលក្ខខណ្ឌទីពីរនៃភាពដូចគ្នាអាចអនុវត្តបាន។

ហេតុអ្វីបានជាកម្ពស់ចេញពីមុំកែងផ្តល់ត្រីកោណដូចគ្នាបី?

កម្ពស់ CH ចេញពីកំពូលមុំកែង C បែងចែកត្រីកោណ ABC ជាត្រីកោណ AHC និង CHB។ AHC មានមុំកែងនៅ H និងមុំ A រួមជាមួយ ABC, CHB មានមុំកែងនៅ H និងមុំ B រួម, ដូច្នេះទាំងពីរដូចនឹងត្រីកោណដើម ហើយក៏ដូចគ្នាទៅវិញទៅមកដែរ។ ពីនេះទទួលបានរូបមន្ត CH² = AH · HB, AC² = AH · AB និង BC² = HB · AB។

តើគេរៀនភាពដូចគ្នានៃត្រីកោណនៅថ្នាក់ទីប៉ុន្មាន?

នៅថ្នាក់ទី 8 ក្នុងមេរៀនធរណីមាត្រ — បន្ទាប់ពីប្រធានបទស្តីពីអង្កត់សមាមាត្រ។ នៅទីនោះគេរៀនលក្ខខណ្ឌទាំងបីនៃភាពដូចគ្នា ផលធៀបនៃផ្ទៃក្រឡា និងការអនុវត្តភាពដូចគ្នាចំពោះត្រីកោណកែង។ បន្ទាប់មកប្រធានបទនេះត្រូវបានប្រើនៅថ្នាក់ទី 9 និងក្នុងលំហាត់ OGE។

នៅមានសំណួរទៀតទេ? បន្តក្នុងឆាត

ដោះស្រាយលំហាត់របស់ខ្ញុំ ពិនិត្យដំណោះស្រាយរបស់ខ្ញុំ បញ្ជាក់ភាពដូចគ្នា រកមេគុណភាពដូចគ្នា ផ្ទៃក្រឡា ឬបរិមាត្រ? ផ្តល់លំហាត់សម្រាប់ហ្វឹកហាត់

អ្នកប្រើប្រាស់ #4365351

ខ្ញុំពិតជាចូលចិត្តកម្មវិធីកែសម្រួលអត្ថបទលើរូបភាពណាស់ — លទ្ធផលគឺពិតជាអស្ចារ្យខ្លាំងណាស់។

Web · ឧសភា 2026

អ្នកប្រើប្រាស់ #4383661

សូមអរគុណ ការងាររបស់ AI ពិតជាធ្វើឱ្យខ្ញុំចាប់អារម្មណ៍ខ្លាំង។ ល្អឥតខ្ចោះ!

អ្នកប្រើប្រាស់ #4279467

ខ្ញុំពិតជាចូលចិត្តវាណាស់ — ប្រសិនបើអាចបន្ថែមការសាកល្បងដោយឥតគិតថ្លៃទៀតនោះនឹងកាន់តែល្អ។

Google Play · ឧសភា 2026

អ្នកប្រើប្រាស់ #4160129