Certamente, risolviamo gli esercizi uno per uno.

Задание 1

Esercizio 7.7, Punto 1

Calcolare le funzioni di eccesso di domanda individuali.

Definizione: La funzione di eccesso di domanda per un bene è la differenza tra la quantità domandata e la dotazione iniziale di quel bene.

Dati:
* Funzione di utilità: $U(x, y) = \ln x + 2 \ln y$
* Dotazioni iniziali: $\bar{x}_A = 9$, $\bar{y}_A = 3$, $\bar{x}_B = 12$, $\bar{y}_B = 6$

Passo 1: Impostare il problema di massimizzazione dell'utilità

Ogni individuo massimizza la propria utilità sotto il vincolo di bilancio. Il vincolo di bilancio per l'individuo A è:

$p_x x_A + p_y y_A = p_x \bar{x}_A + p_y \bar{y}_A$

Dove $p_x$ e $p_y$ sono i prezzi dei beni x e y, rispettivamente.

Passo 2: Risolvere per le funzioni di domanda marshalliane

Per risolvere il problema di massimizzazione, possiamo usare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange o semplicemente impostare il saggio marginale di sostituzione (MRS) uguale al rapporto dei prezzi.

$MRS_{xy} = \frac{MU_x}{MU_y} = \frac{p_x}{p_y}$

Dove $MU_x$ e $MU_y$ sono le utilità marginali di x e y, rispettivamente.

$MU_x = \frac{\partial U}{\partial x} = \frac{1}{x}$

$MU_y = \frac{\partial U}{\partial y} = \frac{2}{y}$

Quindi,

$\frac{1/x}{2/y} = \frac{y}{2x} = \frac{p_x}{p_y}$

$y = 2x \frac{p_x}{p_y}$

Sostituiamo questo nel vincolo di bilancio:

$p_x x + p_y (2x \frac{p_x}{p_y}) = p_x \bar{x} + p_y \bar{y}$

$p_x x + 2x p_x = p_x \bar{x} + p_y \bar{y}$

$3x p_x = p_x \bar{x} + p_y \bar{y}$

$x = \frac{p_x \bar{x} + p_y \bar{y}}{3p_x}$

$y = \frac{2(p_x \bar{x} + p_y \bar{y})}{3p_y}$

Passo 3: Calcolare le funzioni di domanda per l'individuo A

$x_A = \frac{p_x \bar{x}_A + p_y \bar{y}_A}{3p_x} = \frac{9p_x + 3p_y}{3p_x} = 3 + \frac{p_y}{p_x}$

$y_A = \frac{2(p_x \bar{x}_A + p_y \bar{y}_A)}{3p_y} = \frac{2(9p_x + 3p_y)}{3p_y} = \frac{6p_x}{p_y} + 2$

Passo 4: Calcolare le funzioni di domanda per l'individuo B

$x_B = \frac{p_x \bar{x}_B + p_y \bar{y}_B}{3p_x} = \frac{12p_x + 6p_y}{3p_x} = 4 + \frac{2p_y}{p_x}$

$y_B = \frac{2(p_x \bar{x}_B + p_y \bar{y}_B)}{3p_y} = \frac{2(12p_x + 6p_y)}{3p_y} = \frac{8p_x}{p_y} + 4$

Passo 5: Calcolare le funzioni di eccesso di domanda

Le funzioni di eccesso di domanda sono:

$e_x^A = x_A - \bar{x}_A = (3 + \frac{p_y}{p_x}) - 9 = \frac{p_y}{p_x} - 6$

$e_y^A = y_A - \bar{y}_A = (\frac{6p_x}{p_y} + 2) - 3 = \frac{6p_x}{p_y} - 1$

$e_x^B = x_B - \bar{x}_B = (4 + \frac{2p_y}{p_x}) - 12 = \frac{2p_y}{p_x} - 8$

$e_y^B = y_B - \bar{y}_B = (\frac{8p_x}{p_y} + 4) - 6 = \frac{8p_x}{p_y} - 2$

Risposta:

Le funzioni di eccesso di domanda individuali sono:

• $e_x^A = \frac{p_y}{p_x} - 6$
• $e_y^A = \frac{6p_x}{p_y} - 1$
• $e_x^B = \frac{2p_y}{p_x} - 8$
• $e_y^B = \frac{8p_x}{p_y} - 2$

Certamente, continuiamo con gli esercizi.

Задание 2

Esercizio 7.7, Punto 2

Stabilire se gli individui intraprenderanno degli scambi.

Per stabilire se gli individui intraprenderanno degli scambi, dobbiamo confrontare i loro saggi marginali di sostituzione (MRS) alle dotazioni iniziali. Se i MRS sono diversi, allora ci sarà spazio per gli scambi mutuamente vantaggiosi.

Passo 1: Calcolare il MRS per l'individuo A alle dotazioni iniziali

$MRS_{xy}^A = \frac{MU_x^A}{MU_y^A} = \frac{1/x_A}{2/y_A} = \frac{y_A}{2x_A}$

Valutato alle dotazioni iniziali $(\bar{x}_A, \bar{y}_A) = (9, 3)$:

$MRS_{xy}^A = \frac{3}{2 \cdot 9} = \frac{3}{18} = \frac{1}{6}$

Passo 2: Calcolare il MRS per l'individuo B alle dotazioni iniziali

$MRS_{xy}^B = \frac{MU_x^B}{MU_y^B} = \frac{1/x_B}{2/y_B} = \frac{y_B}{2x_B}$

Valutato alle dotazioni iniziali $(\bar{x}_B, \bar{y}_B) = (12, 6)$:

$MRS_{xy}^B = \frac{6}{2 \cdot 12} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}$

Passo 3: Confrontare i MRS

$MRS_{xy}^A = \frac{1}{6}$ e $MRS_{xy}^B = \frac{1}{4}$

Poiché $MRS_{xy}^A \neq MRS_{xy}^B$, gli individui intraprenderanno degli scambi.

Risposta:

Sì, gli individui intraprenderanno degli scambi perché i loro saggi marginali di sostituzione alle dotazioni iniziali sono diversi.

Ассистент: Certo, approfondiamo il passaggio 2.

Задание 2 (Spiegazione Dettagliata del Passo 2)

Passo 2: Calcolare il MRS per l'individuo B alle dotazioni iniziali

Il saggio marginale di sostituzione (MRS) indica la quantità di un bene (y) che un individuo è disposto a cedere per ottenere un'unità aggiuntiva di un altro bene (x), mantenendo costante il livello di utilità. Matematicamente, è il rapporto tra le utilità marginali dei due beni:

$MRS_{xy}^B = \frac{MU_x^B}{MU_y^B}$

Dove:
* $MU_x^B$ è l'utilità marginale del bene x per l'individuo B.
* $MU_y^B$ è l'utilità marginale del bene y per l'individuo B.

Calcolo delle Utilità Marginali

Dalla funzione di utilità $U(x, y) = \ln x + 2 \ln y$, calcoliamo le utilità marginali:

$MU_x^B = \frac{\partial U}{\partial x} = \frac{1}{x}$

$MU_y^B = \frac{\partial U}{\partial y} = \frac{2}{y}$

Calcolo del MRS

Sostituiamo le utilità marginali nella formula del MRS:

$MRS_{xy}^B = \frac{1/x}{2/y} = \frac{y}{2x}$

Valutazione alle Dotazioni Iniziali

Le dotazioni iniziali dell'individuo B sono $(\bar{x}_B, \bar{y}_B) = (12, 6)$. Sostituiamo questi valori nella formula del MRS:

$MRS_{xy}^B = \frac{6}{2 \cdot 12} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}$

Quindi, il MRS dell'individuo B alle dotazioni iniziali è $\frac{1}{4}$. Questo significa che l'individuo B è disposto a cedere $\frac{1}{4}$ unità del bene y per ottenere un'unità aggiuntiva del bene x, mantenendo lo stesso livello di utilità, partendo dalle sue dotazioni iniziali.

Ассистент: Certamente, continuiamo con gli esercizi.

Задание 3

Esercizio 7.7, Punto 2 (Calcolo del Prezzo Relativo)

Calcolare il prezzo relativo $\frac{p_x}{p_y}$ che annulla l'eccesso di domanda per il bene x.

Passo 1: Definire l'eccesso di domanda aggregato per il bene x

L'eccesso di domanda aggregato per il bene x è la somma degli eccessi di domanda individuali:

$e_x = e_x^A + e_x^B = (\frac{p_y}{p_x} - 6) + (\frac{2p_y}{p_x} - 8)$

Passo 2: Impostare l'equazione per l'equilibrio

Per trovare il prezzo relativo che annulla l'eccesso di domanda, impostiamo $e_x = 0$:

$\frac{p_y}{p_x} - 6 + \frac{2p_y}{p_x} - 8 = 0$

Passo 3: Risolvere per il prezzo relativo

Combinando i termini, otteniamo:

$\frac{3p_y}{p_x} - 14 = 0$

$\frac{3p_y}{p_x} = 14$

$\frac{p_y}{p_x} = \frac{14}{3}$

Invertendo per trovare $\frac{p_x}{p_y}$:

$\frac{p_x}{p_y} = \frac{3}{14}$

Risposta:

Il prezzo relativo $\frac{p_x}{p_y}$ che annulla l'eccesso di domanda per il bene x è $\frac{3}{14}$.

Ассистент: Certamente, risolviamo gli esercizi uno per uno.

Задание 1

Esercizio 7.8, Punto 1

Calcolare le funzioni di eccesso di domanda individuali.

Definizione: La funzione di eccesso di domanda per un bene è la differenza tra la quantità domandata e la dotazione iniziale di quel bene.

Dati:
* Funzione di utilità: $U(x, y) = xy$
* Dotazioni iniziali: $\bar{x}_A = 100$, $\bar{y}_A = 300$, $\bar{x}_B = 300$, $\bar{y}_B = 100$

Passo 1: Impostare il problema di massimizzazione dell'utilità

Ogni individuo massimizza la propria utilità sotto il vincolo di bilancio. Il vincolo di bilancio per l'individuo A è:

$p_x x_A + p_y y_A = p_x \bar{x}_A + p_y \bar{y}_A$

Dove $p_x$ e $p_y$ sono i prezzi dei beni x e y, rispettivamente.

Passo 2: Risolvere per le funzioni di domanda marshalliane

Per risolvere il problema di massimizzazione, possiamo usare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange o semplicemente impostare il saggio marginale di sostituzione (MRS) uguale al rapporto dei prezzi.

$MRS_{xy} = \frac{MU_x}{MU_y} = \frac{p_x}{p_y}$

Dove $MU_x$ e $MU_y$ sono le utilità marginali di x e y, rispettivamente.

$MU_x = \frac{\partial U}{\partial x} = y$

$MU_y = \frac{\partial U}{\partial y} = x$

Quindi,

$\frac{y}{x} = \frac{p_x}{p_y}$

$y = x \frac{p_x}{p_y}$

Sostituiamo questo nel vincolo di bilancio:

$p_x x + p_y (x \frac{p_x}{p_y}) = p_x \bar{x} + p_y \bar{y}$

$p_x x + x p_x = p_x \bar{x} + p_y \bar{y}$

$2x p_x = p_x \bar{x} + p_y \bar{y}$

$x = \frac{p_x \bar{x} + p_y \bar{y}}{2p_x}$

$y = \frac{p_x \bar{x} + p_y \bar{y}}{2p_y}$

Passo 3: Calcolare le funzioni di domanda per l'individuo A

$x_A = \frac{p_x \bar{x}_A + p_y \bar{y}_A}{2p_x} = \frac{100p_x + 300p_y}{2p_x} = 50 + 150\frac{p_y}{p_x}$

$y_A = \frac{p_x \bar{x}_A + p_y \bar{y}_A}{2p_y} = \frac{100p_x + 300p_y}{2p_y} = 50\frac{p_x}{p_y} + 150$

Passo 4: Calcolare le funzioni di domanda per l'individuo B

$x_B = \frac{p_x \bar{x}_B + p_y \bar{y}_B}{2p_x} = \frac{300p_x + 100p_y}{2p_x} = 150 + 50\frac{p_y}{p_x}$

$y_B = \frac{p_x \bar{x}_B + p_y \bar{y}_B}{2p_y} = \frac{300p_x + 100p_y}{2p_y} = 150\frac{p_x}{p_y} + 50$

Passo 5: Calcolare le funzioni di eccesso di domanda

Le funzioni di eccesso di domanda sono:

$e_x^A = x_A - \bar{x}_A = (50 + 150\frac{p_y}{p_x}) - 100 = 150\frac{p_y}{p_x} - 50$

$e_y^A = y_A - \bar{y}_A = (50\frac{p_x}{p_y} + 150) - 300 = 50\frac{p_x}{p_y} - 150$

$e_x^B = x_B - \bar{x}_B = (150 + 50\frac{p_y}{p_x}) - 300 = 50\frac{p_y}{p_x} - 150$

$e_y^B = y_B - \bar{y}_B = (150\frac{p_x}{p_y} + 50) - 100 = 150\frac{p_x}{p_y} - 50$

Risposta:

Le funzioni di eccesso di domanda individuali sono:

• $e_x^A = 150\frac{p_y}{p_x} - 50$
• $e_y^A = 50\frac{p_x}{p_y} - 150$
• $e_x^B = 50\frac{p_y}{p_x} - 150$
• $e_y^B = 150\frac{p_x}{p_y} - 50$

Ассистент: Ассистент: Cerchiamo di capire meglio la tua domanda.

L'espressione $p_x x + p_x 2x$ può essere semplificata combinando i termini simili.

$p_x x + p_x 2x = p_x (x + 2x) = p_x (3x) = 3p_x x$

Quindi, $p_x x + p_x 2x = 3p_x x$.

Ассистент: Ассистент: Certo, procediamo con l'esercizio 7.9.

Задание 1

Esercizio 7.9, Punto 1

Calcolare le funzioni di eccesso di domanda individuali.

Dati:

• Funzioni di utilità:
  • $U_A(x, y) = xy^2$
  • $U_B(x, y) = 3\ln x + \ln y$
• Dotazioni iniziali:
  • $\bar{x}_A = 90$, $\bar{y}_A = 0$
  • $\bar{x}_B = 0$, $\bar{y}_B = 40$

Passo 1: Impostare il problema di massimizzazione dell'utilità per l'individuo A

L'individuo A massimizza la sua utilità $U_A(x, y) = xy^2$ sotto il vincolo di bilancio:

$p_x x_A + p_y y_A = p_x \bar{x}_A + p_y \bar{y}_A$

$p_x x_A + p_y y_A = 90p_x + 0p_y = 90p_x$

Passo 2: Calcolare le utilità marginali per l'individuo A

$MU_{xA} = \frac{\partial U_A}{\partial x} = y^2$

$MU_{yA} = \frac{\partial U_A}{\partial y} = 2xy$

Passo 3: Impostare la condizione di ottimo per l'individuo A

$\frac{MU_{xA}}{MU_{yA}} = \frac{p_x}{p_y}$

$\frac{y^2}{2xy} = \frac{p_x}{p_y}$

$\frac{y}{2x} = \frac{p_x}{p_y}$

$y_A = 2x_A \frac{p_x}{p_y}$

Passo 4: Sostituire nel vincolo di bilancio per l'individuo A

$p_x x_A + p_y (2x_A \frac{p_x}{p_y}) = 90p_x$

$p_x x_A + 2x_A p_x = 90p_x$

$3x_A p_x = 90p_x$

$x_A = \frac{90p_x}{3p_x} = 30$

$y_A = 2(30) \frac{p_x}{p_y} = 60 \frac{p_x}{p_y}$

Passo 5: Impostare il problema di massimizzazione dell'utilità per l'individuo B

L'individuo B massimizza la sua utilità $U_B(x, y) = 3\ln x + \ln y$ sotto il vincolo di bilancio:

$p_x x_B + p_y y_B = p_x \bar{x}_B + p_y \bar{y}_B$

$p_x x_B + p_y y_B = 0p_x + 40p_y = 40p_y$

Passo 6: Calcolare le utilità marginali per l'individuo B

$MU_{xB} = \frac{\partial U_B}{\partial x} = \frac{3}{x}$

$MU_{yB} = \frac{\partial U_B}{\partial y} = \frac{1}{y}$

Passo 7: Impostare la condizione di ottimo per l'individuo B

$\frac{MU_{xB}}{MU_{yB}} = \frac{p_x}{p_y}$

$\frac{3/x}{1/y} = \frac{p_x}{p_y}$

$\frac{3y}{x} = \frac{p_x}{p_y}$

$3y_B = x_B \frac{p_x}{p_y}$

$x_B = 3y_B \frac{p_y}{p_x}$

Passo 8: Sostituire nel vincolo di bilancio per l'individuo B

$p_x (3y_B \frac{p_y}{p_x}) + p_y y_B = 40p_y$

$3y_B p_y + p_y y_B = 40p_y$

$4y_B p_y = 40p_y$

$y_B = \frac{40p_y}{4p_y} = 10$

$x_B = 3(10) \frac{p_y}{p_x} = 30 \frac{p_y}{p_x}$

Passo 9: Calcolare le funzioni di eccesso di domanda

$e_x^A = x_A - \bar{x}_A = 30 - 90 = -60$

$e_y^A = y_A - \bar{y}_A = 60 \frac{p_x}{p_y} - 0 = 60 \frac{p_x}{p_y}$

$e_x^B = x_B - \bar{x}_B = 30 \frac{p_y}{p_x} - 0 = 30 \frac{p_y}{p_x}$

$e_y^B = y_B - \bar{y}_B = 10 - 40 = -30$

Risposta:

Le funzioni di eccesso di domanda individuali sono:

• $e_x^A = -60$
• $e_y^A = 60 \frac{p_x}{p_y}$
• $e_x^B = 30 \frac{p_y}{p_x}$
• $e_y^B = -30$

Ассистент: Ассистент: Ассистент: Certo, rivediamo il passaggio 4 dell'esercizio 7.9 per l'individuo A.

Задание 1

Esercizio 7.9, Chiarimento del Passaggio 4

Nel passo 3, abbiamo trovato che:

$\frac{y}{2x} = \frac{p_x}{p_y}$

Da cui ricaviamo:

$y_A = 2x_A \frac{p_x}{p_y}$

Questo significa che la quantità di bene y che l'individuo A desidera consumare è il doppio della quantità di bene x, moltiplicata per il rapporto tra i prezzi $\frac{p_x}{p_y}$.

Nel passo 4, sostituiamo questa espressione nel vincolo di bilancio dell'individuo A:

$p_x x_A + p_y y_A = 90p_x$

Sostituendo $y_A$ con $2x_A \frac{p_x}{p_y}$, otteniamo:

$p_x x_A + p_y (2x_A \frac{p_x}{p_y}) = 90p_x$

$p_x x_A + 2x_A p_x = 90p_x$

$3x_A p_x = 90p_x$

Quindi, moltiplichiamo per 2 perché stiamo sostituendo $y_A$ nel vincolo di bilancio e $y_A$ è già espresso in termini di $x_A$ moltiplicato per 2 e il rapporto dei prezzi.

Ассистент: Ассистент: Certo, calcoliamo il prezzo relativo di equilibrio per l'esercizio 7.9.

Задание 1

Esercizio 7.9, Punto 2: Calcolare il prezzo relativo di equilibrio

Definizione: Il prezzo relativo di equilibrio è il rapporto tra i prezzi dei due beni ($p_x/p_y$) che eguaglia l'eccesso di domanda aggregata a zero. In altre parole, è il prezzo relativo in cui il mercato di entrambi i beni è in equilibrio.

Passo 1: Usare le funzioni di eccesso di domanda calcolate in precedenza

Abbiamo calcolato le seguenti funzioni di eccesso di domanda:

• $e_x^A = -60$
• $e_y^A = 60 \frac{p_x}{p_y}$
• $e_x^B = 30 \frac{p_y}{p_x}$
• $e_y^B = -30$

Passo 2: Impostare l'equilibrio del mercato per il bene x

L'eccesso di domanda aggregata per il bene x deve essere zero:

$e_x^A + e_x^B = 0$

$-60 + 30 \frac{p_y}{p_x} = 0$

$30 \frac{p_y}{p_x} = 60$

$\frac{p_y}{p_x} = \frac{60}{30} = 2$

Passo 3: Calcolare il prezzo relativo di equilibrio

Il prezzo relativo di equilibrio è il rapporto tra i prezzi dei beni x e y:

$\frac{p_x}{p_y} = \frac{1}{\frac{p_y}{p_x}} = \frac{1}{2}$

Risposta:

Il prezzo relativo di equilibrio è:

$\frac{p_x}{p_y} = \frac{1}{2}$

Ассистент: Ассистент: Ассистент: Certo, calcoliamo le allocazioni di equilibrio per l'esercizio 7.9.

Задание 1

Esercizio 7.9, Punto 3: Calcolare le allocazioni di equilibrio

Definizione: Le allocazioni di equilibrio sono le quantità di beni x e y che ogni individuo consuma in equilibrio.

Passo 1: Usare il prezzo relativo di equilibrio calcolato in precedenza

Abbiamo trovato che il prezzo relativo di equilibrio è:

$\frac{p_x}{p_y} = \frac{1}{2}$

Passo 2: Calcolare le quantità di equilibrio per l'individuo A

Abbiamo calcolato le funzioni di domanda per l'individuo A:

$x_A = 30$

$y_A = 60 \frac{p_x}{p_y}$

Sostituiamo il prezzo relativo di equilibrio:

$y_A = 60 \cdot \frac{1}{2} = 30$

Quindi, le allocazioni di equilibrio per l'individuo A sono:

$x_A = 30$

$y_A = 30$

Passo 3: Calcolare le quantità di equilibrio per l'individuo B

Abbiamo calcolato le funzioni di domanda per l'individuo B:

$x_B = 30 \frac{p_y}{p_x}$

$y_B = 10$

Sostituiamo il prezzo relativo di equilibrio:

$x_B = 30 \cdot 2 = 60$

Quindi, le allocazioni di equilibrio per l'individuo B sono:

$x_B = 60$

$y_B = 10$

Risposta:

Le allocazioni di equilibrio sono:

• Individuo A: $x_A = 30$, $y_A = 30$
• Individuo B: $x_B = 60$, $y_B = 10$