Ok, ecco le soluzioni degli esercizi.

Esercizio 1

$$[(+3)^2]^{-4} =$$
Quando si ha una potenza di una potenza, si moltiplicano gli esponenti:
$$(+3)^{2 \cdot (-4)} = (+3)^{-8}$$
Un esponente negativo significa che dobbiamo prendere il reciproco della base elevata all'esponente positivo:
$$(+3)^{-8} = \frac{1}{(+3)^8} = \frac{1}{6561}$$

Risultato:
$$\frac{1}{6561}$$

Esercizio 2

$$\left[\left(-\frac{3}{2}\right)^{-2}\right]^2 =$$
Applichiamo la regola della potenza di una potenza:
$$\left(-\frac{3}{2}\right)^{-2 \cdot 2} = \left(-\frac{3}{2}\right)^{-4}$$
Un esponente negativo significa che dobbiamo prendere il reciproco della base elevata all'esponente positivo:
$$\left(-\frac{3}{2}\right)^{-4} = \left(-\frac{2}{3}\right)^{4}$$
Ora eleviamo sia il numeratore che il denominatore alla quarta potenza:
$$\left(-\frac{2}{3}\right)^{4} = \frac{(-2)^4}{3^4} = \frac{16}{81}$$

Risultato:
$$\frac{16}{81}$$

Esercizio 3

$$\left[\left(\frac{-2}{5}\right)^{-3}\right]^4 =$$
Applichiamo la regola della potenza di una potenza:
$$\left(\frac{-2}{5}\right)^{-3 \cdot 4} = \left(\frac{-2}{5}\right)^{-12}$$
Un esponente negativo significa che dobbiamo prendere il reciproco della base elevata all'esponente positivo:
$$\left(\frac{-2}{5}\right)^{-12} = \left(\frac{5}{-2}\right)^{12} = \left(-\frac{5}{2}\right)^{12}$$
Ora eleviamo sia il numeratore che il denominatore alla dodicesima potenza:
$$\left(-\frac{5}{2}\right)^{12} = \frac{(-5)^{12}}{2^{12}} = \frac{244140625}{4096}$$

Risultato:
$$\frac{244140625}{4096}$$

Certamente! Risolverò i primi tre esercizi dalla foto che hai inviato.

Esercizio 1

$$[(+10)^5 \div (+10)^7]^{-3} =$$

Prima risolviamo la divisione all'interno delle parentesi quadre. Quando si dividono potenze con la stessa base, si sottraggono gli esponenti:
$$(+10)^{5-7} = (+10)^{-2}$$

Ora abbiamo:
$$[(+10)^{-2}]^{-3}$$

Applichiamo la regola della potenza di una potenza, moltiplicando gli esponenti:
$$(+10)^{(-2) \cdot (-3)} = (+10)^{6}$$

Calcoliamo la potenza:
$$(+10)^{6} = 1000000$$

Risultato:
$$1000000$$

Esercizio 2

$$[(-8)^{-8} \div (-8)^{10}]^{2} =$$

Prima risolviamo la divisione all'interno delle parentesi quadre. Quando si dividono potenze con la stessa base, si sottraggono gli esponenti:
$$(-8)^{-8-10} = (-8)^{-18}$$

Ora abbiamo:
$$[(-8)^{-18}]^{2}$$

Applichiamo la regola della potenza di una potenza, moltiplicando gli esponenti:
$$(-8)^{(-18) \cdot (2)} = (-8)^{-36}$$

Un esponente negativo significa che dobbiamo prendere il reciproco della base elevata all'esponente positivo:
$$(-8)^{-36} = \frac{1}{(-8)^{36}}$$

Poiché l'esponente è pari, il risultato sarà positivo:
$$\frac{1}{(-8)^{36}} = \frac{1}{8^{36}}$$

Risultato:
$$\frac{1}{8^{36}}$$

Esercizio 3

$$[(-5)^{4} \div (-5)^{7}]^{-1} =$$

Prima risolviamo la divisione all'interno delle parentesi quadre. Quando si dividono potenze con la stessa base, si sottraggono gli esponenti:
$$(-5)^{4-7} = (-5)^{-3}$$

Ora abbiamo:
$$[(-5)^{-3}]^{-1}$$

Applichiamo la regola della potenza di una potenza, moltiplicando gli esponenti:
$$(-5)^{(-3) \cdot (-1)} = (-5)^{3}$$

Calcoliamo la potenza:
$$(-5)^{3} = -125$$

Risultato:
$$-125$$

Ассистент: Ok, ecco la soluzione dell'ultimo esercizio.

Esercizio 4

$$[(-7)^{8} \cdot (-7)^{10} \div (-7)^{-2} \cdot (-7)^{3}]^{-1} =$$

Prima risolviamo le operazioni all'interno delle parentesi quadre. Quando si moltiplicano potenze con la stessa base, si sommano gli esponenti:
$$(-7)^{8+10} = (-7)^{18}$$

Quando si dividono potenze con la stessa base, si sottraggono gli esponenti:
$$(-7)^{18} \div (-7)^{-2} = (-7)^{18 - (-2)} = (-7)^{18+2} = (-7)^{20}$$

Ora moltiplichiamo per $(-7)^3$:
$$(-7)^{20} \cdot (-7)^{3} = (-7)^{20+3} = (-7)^{23}$$

Quindi abbiamo:
$$[(-7)^{23}]^{-1}$$

Applichiamo la regola della potenza di una potenza, moltiplicando gli esponenti:
$$(-7)^{23 \cdot (-1)} = (-7)^{-23}$$

Un esponente negativo significa che dobbiamo prendere il reciproco della base elevata all'esponente positivo:
$$(-7)^{-23} = \frac{1}{(-7)^{23}}$$

Risultato:
$$\frac{1}{(-7)^{23}}$$

Certo, farò l'analisi del periodo del testo che hai fornito.

Testo:
"Le forme di aggregazione sociale sono state e sono oggetto di studio da parte di più discipline. La sociologia, una scienza molto recente, sostiene che le forme di comportamento sociale, umane e animali, abbiano un'origine biologica anche filosofi e politologi si domandano da secoli perché esistano le società e che cosa induca gli esseri umani a vivere in associazione con altri. È poi noto dai libri di storia il fatto che nell'Ottocento sia nata una disciplina autonoma, la sociologia, che si occupa di studiare quali siano le varie forme di società e le dinamiche dei suoi cambiamenti. Forse non tutti sanno che la parola società deriva dal latino societas che significa «unione», «vincolo con altri», «partecipazione»; è invece risaputo che questa parola viene usata con vari significati in ambiti molto diversi. Parliamo di società, infatti, quando indichiamo persone che mettono insieme i loro capitali e creano un'impresa, ma usiamo la stessa parola per riferirci a una comunità che condivide una medesima cultura oppure all'insieme dei cittadini di uno Stato. Ciò che rende possibile il fatto che si usi la parola società per indicare contesti così diversi è il riferimento comune a una collettività in cui esistono legami e interazioni di vario genere."

Analisi del periodo:

Il testo è composto da diversi periodi, ognuno dei quali contiene una o più proposizioni. Analizziamo i periodi principali e le loro proposizioni subordinate:

1. Periodo 1:
   • Proposizione principale: Le forme di aggregazione sociale sono state e sono oggetto di studio da parte di più discipline.
2. Periodo 2:
   • Proposizione principale: La sociologia, una scienza molto recente, sostiene che le forme di comportamento sociale, umane e animali, abbiano un'origine biologica.
   • Proposizione subordinata: che le forme di comportamento sociale, umane e animali, abbiano un'origine biologica (oggettiva).
   • Proposizione principale coordinata alla principale: anche filosofi e politologi si domandano da secoli perché esistano le società e che cosa induca gli esseri umani a vivere in associazione con altri.
   • Proposizione subordinata: perché esistano le società (interrogativa indiretta).
   • Proposizione subordinata: che cosa induca gli esseri umani a vivere in associazione con altri (interrogativa indiretta).
3. Periodo 3:
   • Proposizione principale: È poi noto dai libri di storia il fatto che nell'Ottocento sia nata una disciplina autonoma, la sociologia.
   • Proposizione subordinata: che nell'Ottocento sia nata una disciplina autonoma, la sociologia (soggettiva).
   • Proposizione principale coordinata alla principale: che si occupa di studiare quali siano le varie forme di società e le dinamiche dei suoi cambiamenti.
   • Proposizione subordinata: quali siano le varie forme di società e le dinamiche dei suoi cambiamenti (interrogativa indiretta).
4. Periodo 4:
   • Proposizione principale: Forse non tutti sanno che la parola società deriva dal latino societas che significa «unione», «vincolo con altri», «partecipazione».
   • Proposizione subordinata: che la parola società deriva dal latino societas che significa «unione», «vincolo con altri», «partecipazione» (oggettiva).
   • Proposizione principale coordinata alla principale: è invece risaputo che questa parola viene usata con vari significati in ambiti molto diversi.
5. Periodo 5:
   • Proposizione principale: Parliamo di società, infatti, quando indichiamo persone che mettono insieme i loro capitali e creano un'impresa.
   • Proposizione subordinata: quando indichiamo persone che mettono insieme i loro capitali e creano un'impresa (temporale).
   • Proposizione principale coordinata alla principale: ma usiamo la stessa parola per riferirci a una comunità che condivide una medesima cultura oppure all'insieme dei cittadini di uno Stato.
6. Periodo 6:
   • Proposizione principale: Ciò che rende possibile il fatto che si usi la parola società per indicare contesti così diversi è il riferimento comune a una collettività in cui esistono legami e interazioni di vario genere.
   • Proposizione subordinata: che rende possibile il fatto che si usi la parola società per indicare contesti così diversi (soggettiva).
   • Proposizione subordinata: in cui esistono legami e interazioni di vario genere (relativa).

Spero che questa analisi sia utile!

Ассистент: Certo, ecco l'analisi completa del periodo del testo fornito, con una classificazione più dettagliata delle proposizioni subordinate:

Testo:
"Le forme di aggregazione sociale sono state e sono oggetto di studio da parte di più discipline. La sociologia, una scienza molto recente, sostiene che le forme di comportamento sociale, umane e animali, abbiano un'origine biologica anche filosofi e politologi si domandano da secoli perché esistano le società e che cosa induca gli esseri umani a vivere in associazione con altri. È poi noto dai libri di storia il fatto che nell'Ottocento sia nata una disciplina autonoma, la sociologia, che si occupa di studiare quali siano le varie forme di società e le dinamiche dei suoi cambiamenti. Forse non tutti sanno che la parola società deriva dal latino societas che significa «unione», «vincolo con altri», «partecipazione»; è invece risaputo che questa parola viene usata con vari significati in ambiti molto diversi. Parliamo di società, infatti, quando indichiamo persone che mettono insieme i loro capitali e creano un'impresa, ma usiamo la stessa parola per riferirci a una comunità che condivide una medesima cultura oppure all'insieme dei cittadini di uno Stato. Ciò che rende possibile il fatto che si usi la parola società per indicare contesti così diversi è il riferimento comune a una collettività in cui esistono legami e interazioni di vario genere."

Analisi dettagliata del periodo:

1. Periodo 1:
   • Proposizione principale (indipendente): Le forme di aggregazione sociale sono state e sono oggetto di studio da parte di più discipline.
2. Periodo 2:
   • Proposizione principale (indipendente): La sociologia, una scienza molto recente, sostiene...
   • Proposizione subordinata di I grado (oggettiva): ...che le forme di comportamento sociale, umane e animali, abbiano un'origine biologica.
   • Proposizione principale coordinata alla principale: ...anche filosofi e politologi si domandano da secoli...
   • Proposizione subordinata di I grado (interrogativa indiretta): ...perché esistano le società...
   • Proposizione subordinata di I grado (interrogativa indiretta coordinata alla precedente): ...e che cosa induca gli esseri umani a vivere in associazione con altri.
3. Periodo 3:
   • Proposizione principale (indipendente): È poi noto dai libri di storia il fatto...
   • Proposizione subordinata di I grado (soggettiva): ...che nell'Ottocento sia nata una disciplina autonoma, la sociologia...
   • Proposizione subordinata di II grado (relativa): ...che si occupa di studiare quali siano le varie forme di società e le dinamiche dei suoi cambiamenti.
   • Proposizione subordinata di III grado (interrogativa indiretta): ...quali siano le varie forme di società e le dinamiche dei suoi cambiamenti.
4. Periodo 4:
   • Proposizione principale (indipendente): Forse non tutti sanno...
   • Proposizione subordinata di I grado (oggettiva): ...che la parola società deriva dal latino societas che significa «unione», «vincolo con altri», «partecipazione»...
   • Proposizione principale coordinata alla principale: ...è invece risaputo che questa parola viene usata con vari significati in ambiti molto diversi.
5. Periodo 5:
   • Proposizione principale (indipendente): Parliamo di società, infatti...
   • Proposizione subordinata di I grado (temporale): ...quando indichiamo persone che mettono insieme i loro capitali e creano un'impresa...
   • Proposizione principale coordinata alla principale: ...ma usiamo la stessa parola per riferirci a una comunità che condivide una medesima cultura oppure all'insieme dei cittadini di uno Stato.
6. Periodo 6:
   • Proposizione principale (indipendente): Ciò che rende possibile il fatto...è il riferimento comune a una collettività...
   • Proposizione subordinata di I grado (soggettiva): ...che rende possibile il fatto che si usi la parola società per indicare contesti così diversi...
   • Proposizione subordinata di II grado (relativa): ...in cui esistono legami e interazioni di vario genere.

Classificazione delle proposizioni subordinate:

• Proposizioni oggettive: Esprimono il contenuto di un pensiero, un'opinione, un sentimento.
• Proposizioni soggettive: Svolgono la funzione di soggetto rispetto al verbo della proposizione principale.
• Proposizioni interrogative indirette: Esprimono una domanda in forma indiretta.
• Proposizioni temporali: Indicano il momento in cui si verifica l'azione espressa nella proposizione principale.
• Proposizioni relative: Si collegano a un elemento della proposizione principale (antecedente) e lo specificano.

Spero che questa analisi più dettagliata sia di tuo gradimento!

Certamente! Risolviamo l'esercizio 57.

Esercizio 57

L'esercizio chiede di calcolare la misura incognita (lunghezza dell'arco) conoscendo il raggio e l'angolo al centro. La formula da utilizzare è basata sulla proporzione tra la lunghezza dell'arco, la circonferenza totale, l'angolo al centro e l'angolo giro (360°).

La formula è:

$$\frac{l}{2\pi r} = \frac{\alpha}{360°}$$

Dove:
* $l$ è la lunghezza dell'arco
* $r$ è il raggio
* $\alpha$ è l'angolo al centro in gradi

Risolviamo i tre casi:

1. Caso 1:

   • $r = 9 \text{ cm}$
   • $\alpha = 80°$

   Applichiamo la formula:

   $$\frac{l}{2\pi (9)} = \frac{80}{360}$$

   $$l = \frac{80}{360} \cdot 2\pi (9)$$

   $$l = \frac{2}{9} \cdot 18\pi$$

   $$l = 4\pi \text{ cm}$$

   Quindi, $l = 4\pi \text{ cm} \approx 12.57 \text{ cm}$

2. Caso 2:

   • $l = 25.12 \text{ cm}$
   • $r = 12 \text{ cm}$

   Applichiamo la formula:

   $$\frac{25.12}{2\pi (12)} = \frac{\alpha}{360}$$

   $$\alpha = \frac{25.12}{24\pi} \cdot 360$$

   $$\alpha = \frac{25.12}{24\pi} \cdot 360 \approx \frac{25.12}{75.39} \cdot 360 \approx 0.333 \cdot 360$$

   $$\alpha \approx 120°$$

3. Caso 3:

   • $l = 3.6\pi \text{ cm}$
   • $\alpha = 81°$

   Applichiamo la formula:

   $$\frac{3.6\pi}{2\pi r} = \frac{81}{360}$$

   $$r = \frac{3.6\pi}{2\pi} \cdot \frac{360}{81}$$

   $$r = \frac{3.6}{2} \cdot \frac{360}{81}$$

   $$r = 1.8 \cdot \frac{40}{9}$$

   $$r = 1.8 \cdot \frac{40}{9} = 0.2 \cdot 40$$

   $$r = 8 \text{ cm}$$

Risultati:

1. $l = 4\pi \text{ cm} \approx 12.57 \text{ cm}$
2. $\alpha \approx 120°$
3. $r = 8 \text{ cm}$

Certamente! Risolviamo gli esercizi 92 e 93.

Esercizio 92

L'esercizio chiede di collegare con una freccia la misura del raggio alla corrispondente area del cerchio. Ricordiamo che l'area del cerchio si calcola con la formula:

$A = \pi r^2$

Quindi, dobbiamo calcolare l'area per ogni raggio e collegarla correttamente.

• Raggio 9 cm: $A = \pi (9^2) = 81\pi \text{ cm}^2$
• Raggio 11 cm: $A = \pi (11^2) = 121\pi \text{ cm}^2$
• Raggio 12 cm: $A = \pi (12^2) = 144\pi \text{ cm}^2$

Quindi, i collegamenti corretti sono:

• 9 cm → $81\pi \text{ cm}^2$
• 11 cm → $121\pi \text{ cm}^2$
• 12 cm → $144\pi \text{ cm}^2$

Esercizio 93

L'esercizio chiede di collegare con una freccia ciascuna area del cerchio alla misura del raggio corrispondente. Dobbiamo fare il contrario dell'esercizio precedente, ovvero trovare il raggio a partire dall'area.

Ricordiamo la formula dell'area: $A = \pi r^2$. Per trovare il raggio, usiamo la formula inversa:

$r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}$

Calcoliamo il raggio per ogni area:

• Area $169\pi \text{ cm}^2$: $r = \sqrt{\frac{169\pi}{\pi}} = \sqrt{169} = 13 \text{ cm}$
• Area $225\pi \text{ cm}^2$: $r = \sqrt{\frac{225\pi}{\pi}} = \sqrt{225} = 15 \text{ cm}$
• Area $361\pi \text{ cm}^2$: $r = \sqrt{\frac{361\pi}{\pi}} = \sqrt{361} = 19 \text{ cm}$

Quindi, i collegamenti corretti sono:

• $169\pi \text{ cm}^2$ → 13 cm
• $225\pi \text{ cm}^2$ → 15 cm
• $361\pi \text{ cm}^2$ → 19 cm