Ok, analizzerò i compiti e fornirò le soluzioni passo dopo passo.

Esercizio 1

L'esercizio chiede di rispondere a delle domande sulla derivata.

• Definire la derivata di una funzione $y = f(x)$ e tracciare il grafico per vederne il significato geometrico.

La derivata di una funzione $f(x)$ in un punto $x_0$ è il limite del rapporto incrementale al tendere dell'incremento a zero:

$f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$

Geometricamente, la derivata rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione nel punto $(x_0, f(x_0))$.

• In un punto $(x_0, f(x_0))$ dove sia definita la derivata prima, che sia un punto di massimo o minimo, spiegare (anche graficamente) perché la derivata prima è nulla.

In un punto di massimo o minimo locale, la retta tangente al grafico della funzione è orizzontale. Questo significa che il coefficiente angolare della retta tangente è zero. Poiché la derivata rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente, la derivata in un punto di massimo o minimo locale è zero.

Esercizio 2

Calcolare le derivate delle seguenti funzioni applicando la definizione di derivata:

• $y = f(x) = 7x - 5x^2$

Usiamo la definizione di derivata:

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

$f(x+h) = 7(x+h) - 5(x+h)^2 = 7x + 7h - 5(x^2 + 2xh + h^2) = 7x + 7h - 5x^2 - 10xh - 5h^2$

$f(x+h) - f(x) = (7x + 7h - 5x^2 - 10xh - 5h^2) - (7x - 5x^2) = 7h - 10xh - 5h^2$

$\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{7h - 10xh - 5h^2}{h} = 7 - 10x - 5h$

$f'(x) = \lim_{h \to 0} (7 - 10x - 5h) = 7 - 10x$

Quindi, la derivata è:

$f'(x) = 7 - 10x$

• $y = f(x) = \frac{4}{x}$

Usiamo la definizione di derivata:

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

$f(x+h) = \frac{4}{x+h}$

$f(x+h) - f(x) = \frac{4}{x+h} - \frac{4}{x} = \frac{4x - 4(x+h)}{x(x+h)} = \frac{4x - 4x - 4h}{x(x+h)} = \frac{-4h}{x(x+h)}$

$\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{\frac{-4h}{x(x+h)}}{h} = \frac{-4}{x(x+h)}$

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{-4}{x(x+h)} = \frac{-4}{x(x+0)} = \frac{-4}{x^2}$

Quindi, la derivata è:

$f'(x) = -\frac{4}{x^2}$

Esercizio 3

Calcolare la derivata delle seguenti funzioni utilizzando le formule e le proprietà delle derivate:

• $y = f(x) = \frac{3}{\sqrt{x}} - 3x^7 - \frac{2}{x^3}$

Prima di derivare, riscriviamo la funzione per semplificare il calcolo:

$f(x) = 3x^{-\frac{1}{2}} - 3x^7 - 2x^{-3}$

Ora possiamo derivare termine per termine usando la regola della potenza: $\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$

$f'(x) = 3(-\frac{1}{2})x^{-\frac{1}{2} - 1} - 3(7)x^{7-1} - 2(-3)x^{-3-1}$

$f'(x) = -\frac{3}{2}x^{-\frac{3}{2}} - 21x^6 + 6x^{-4}$

Riscriviamo la derivata in forma più leggibile:

$f'(x) = -\frac{3}{2\sqrt{x^3}} - 21x^6 + \frac{6}{x^4}$