Анализ электрических цепей и управление двигателями: Задачи по электротехнике
Esercizio 1
Questo esercizio si articola in 5 punti e riguarda l'analisi di un carico trifase con diverse caratteristiche elettriche.
Dati del problema:
- Tensione nominale (\(V_n\)): 400 V
- Frequenza (\(f\)): 50 Hz
- Potenza attiva (P): 23 kW
- Cosφ: 0.85
- Lunghezza della linea (L): 200 m
- Cavi unipolari in rame con sezione (\(S\)): 17,5 mm²
- Resistività del rame (\(\rho\)): 0,0213 \(\Omega\)mm²/m
- Reattanza per unità di lunghezza (\(x_l\)): 0,1 x 10⁻³ \(\Omega\)/m
- Resistenza di terra (R): 35 \(\Omega\) (per il punto 5)
Punto 1: Calcolo della Corrente di Impiego (Ib)
Per calcolare la corrente di impiego (\(I_b\)), utilizziamo la formula della potenza attiva per un sistema trifase:
\(P = \sqrt{3} \cdot V_n \cdot I_b \cdot \cos\varphi\)
Risolvendo per \(I_b\):
\(I_b = \frac{P}{\sqrt{3} \cdot V_n \cdot \cos\varphi}\)
Sostituendo i valori dati:
\(I_b = \frac{23000 \, \text{W}}{\sqrt{3} \cdot 400 \, \text{V} \cdot 0.85}\)
\(I_b \approx \frac{23000}{1.732 \cdot 400 \cdot 0.85} \approx \frac{23000}{588.88} \approx 39.06 \, \text{A}\)
Risposta: La corrente di impiego (\(I_b\)) è approssimativamente 39.06 A.
Punto 2: Verifica della Caduta di Tensione
La caduta di tensione lungo la linea è data dalla somma della caduta di tensione resistiva e reattiva.
Resistenza totale della linea (R_linea):
\(R_{linea} = \rho \cdot \frac{L}{S}\)
\(R_{linea} = 0.0213 \, \frac{\Omega \text{mm}^2}{\text{m}} \cdot \frac{200 \, \text{m}}{17.5 \, \text{mm}^2} \approx 0.2434 \, \Omega\)
Reattanza totale della linea (X_linea):
\(X_{linea} = x_l \cdot L\)
\(X_{linea} = 0.1 \times 10^{-3} \, \frac{\Omega}{\text{m}} \cdot 200 \, \text{m} = 0.02 \, \Omega\)
La caduta di tensione totale (\(\Delta V\)) può essere calcolata approssimativamente come:
\(\Delta V \approx I_b \cdot (R_{linea} \cdot \cos\varphi + X_{linea} \cdot \sin\varphi)\)
Innanzitutto, calcoliamo \(\sin\varphi\):
\(\sin\varphi = \sqrt{1 - \cos^2\varphi} = \sqrt{1 - 0.85^2} = \sqrt{1 - 0.7225} = \sqrt{0.2775} \approx 0.5268\)
Ora calcoliamo \(\Delta V\):
\(\Delta V \approx 39.06 \, \text{A} \cdot (0.2434 \, \Omega \cdot 0.85 + 0.02 \, \Omega \cdot 0.5268)\)
\(\Delta V \approx 39.06 \cdot (0.20689 + 0.010536) \approx 39.06 \cdot 0.217426 \approx 8.49 \, \text{V}\)
La caduta di tensione percentuale è:
\(\% \Delta V = \frac{\Delta V}{V_n} \cdot 100 = \frac{8.49 \, \text{V}}{400 \, \text{V}} \cdot 100 \approx 2.12\%\)
Risposta: La caduta di tensione calcolata è approssimativamente 8.49 V, che corrisponde a circa il 2.12% della tensione nominale.
Punto 3: Valutazione della Portata (Iz)
La portata (\(I_z\)) è la corrente massima sopportabile dal cavo in condizioni operative specificate. Supponendo che il cavo sia posato in tubo protettivo in aria, con temperatura ambiente di 20°C e considerando un fattore di correzione \(k_2=1\).
Per determinare \(I_z\), dovremmo consultare delle tabelle specifiche (come la "Tabella B" menzionata nel punto 4, ma che dovrebbe contenere valori di \(I_n\) e non \(I_z\) per la portata). In assenza di tabelle esatte per la portata del cavo specifico (17.5 mm²), possiamo fare una stima basata su valori standard o su tabelle generiche.
Tuttavia, il testo del problema si riferisce a "consultando le tabelle allegate". Se la "Tabella B" fosse una tabella di portate normalizzate per sezione del cavo, dovremmo cercare il valore corrispondente a 17.5 mm².
Assumendo che le tabelle forniscano una portata per un cavo di sezione simile o che la sezione di 17.5 mm² possa essere approssimata a una sezione standard (es. 16 mm²), potremmo estrarre un valore.
Nota: Senza le tabelle di riferimento menzionate, non è possibile fornire un calcolo preciso. Il valore di \(I_z\) dipende fortemente dalle condizioni di installazione e dalle normative.
Se si fa riferimento a tabelle standard che indicano una corrente ammissibile per cavi in rame da 16 mm² in tubo, il valore tipico è intorno ai 60-70 A, ma questo valore può variare significativamente.
Risposta (ipotetica, in attesa delle tabelle): La portata (\(I_z\)) del cavo dovrebbe essere determinata consultando le tabelle specifiche fornite, in base alla sezione di 17.5 mm² e alle condizioni di posa.
Punto 4: Scelta dell'Interruttore Magnetotermico
In base ai risultati ottenuti, dobbiamo scegliere un interruttore magnetotermico adeguato. La scelta si basa principalmente sulla corrente di impiego (\(I_b\)) e sulla portata del cavo (\(I_z\)). L'interruttore deve proteggere il cavo dal sovraccarico e dai cortocircuiti.
La corrente nominale dell'interruttore (\(I_n\)) deve essere maggiore o uguale alla corrente di impiego (\(I_b\)) e minore o uguale alla portata del cavo (\(I_z\)).
\(I_b \le I_n \le I_z\)
Abbiamo calcolato \(I_b \approx 39.06 \, \text{A}\).
Supponendo che la portata \(I_z\) sia maggiore di 39.06 A (come tipico per un cavo di quella sezione), dobbiamo scegliere il valore standard di \(I_n\) dalla "Tabella B" che sia immediatamente superiore a \(I_b\).
Tabella B: Taglie Interruttori Magnetotermici (\(I_n\))
Valori standard: 16 - 20 - 25 - 32 - 40 - 50 - 63 A
Il valore standard più vicino e superiore a 39.06 A è 50 A.
Risposta: L'interruttore magnetotermico idoneo da scegliere è quello con corrente nominale \(I_n = 50\) A.
Punto 5: Protezione Differenziale
Si vuole garantire la protezione dai contatti indiretti mediante un interruttore differenziale. La condizione per questa protezione è:
\(R_{contatto} \le \frac{V_L}{\Delta I_n}\)
Dove:
* \(R_{contatto}\) è la resistenza dell'anello di guasto (resistenza di terra \(R\) in questo caso).
* \(V_L\) è la tensione di contatto limite, che per la normativa di riferimento (spesso 50V in ambienti normali) è data come \(R \cdot I_{contatto} \le 50V\). Nel problema è dato \(R \cdot I_{\Delta n} \le 50V\).
* \(\Delta I_n\) è la corrente nominale di intervento del differenziale.
Ci viene dato che la corrente di intervento differenziale deve rispettare:
\(R \cdot I_{\Delta n} \le 50 \, \text{V}\)
Con \(R = 35 \, \Omega\), otteniamo:
\(35 \, \Omega \cdot I_{\Delta n} \le 50 \, \text{V}\)
\(I_{\Delta n} \le \frac{50 \, \text{V}}{35 \, \Omega} \approx 1.43 \, \text{A}\)
Ora dobbiamo scegliere un interruttore differenziale con corrente nominale di intervento (\(\Delta I_n\)) inferiore o uguale a 1.43 A. Gli interruttori differenziali hanno correnti di intervento standard come 10 mA (0.01 A), 30 mA (0.03 A), 100 mA (0.1 A), 300 mA (0.3 A), 500 mA (0.5 A), ecc.
Il valore standard più appropriato e inferiore a 1.43 A è 0.3 A (300 mA) o anche 0.03 A (30 mA) se si desidera una maggiore sensibilità e protezione contro i contatti diretti. Tuttavia, la condizione specifica data è legata ai contatti indiretti e al valore \(R \cdot I \le 50V\), che porta a \(I_{\Delta n} \le 1.43A\).
Per la protezione dai contatti indiretti, è comune usare differenziali da 300 mA o 500 mA se la resistenza di terra non è ottimale. Dato il valore calcolato, un differenziale da 300 mA (0.3 A) sarebbe una scelta ragionevole per soddisfare la condizione data. Sebbene un 30 mA offra una protezione superiore, potrebbe non essere strettamente necessario basandosi solo sul vincolo \(R \cdot I_{\Delta n} \le 50V\).
Considerando che \(I_{\Delta n}\) deve essere inferiore o uguale a 1.43 A, un differenziale da 0.3 A è adatto. Se si considerano anche protezioni aggiuntive, si potrebbe optare per 0.03 A.
Risposta: Per garantire la protezione dai contatti indiretti secondo la condizione data (\(R \cdot I_{\Delta n} \le 50 \, \text{V}\)), si dovrebbe scegliere un interruttore differenziale con una corrente nominale di intervento \(\Delta I_n\) pari a 0.3 A (300 mA).
Esercizio 2
Questo esercizio riguarda un motore asincrono trifase collegato a un inverter, che muove un nastro trasportatore. Vengono fornite le specifiche del motore a frequenza nominale e poi si chiede di calcolare alcuni parametri quando la frequenza viene ridotta.
Dati del problema:
- Motore asincrono trifase
- Frequenza nominale (\(f_n\)): 50 Hz
- Velocità nominale (\(n_n\)): 1440 giri/min
- Coppia nominale (\(C_n\)): 30 Nm
- La frequenza viene ridotta a 35 Hz.
- Si assume di lavorare a V/f costante.
Punto 1: La nuova velocità di rotazione del motore (\(n_{new}\))
Per i motori asincroni trifase, la velocità di rotazione a vuoto è approssimativamente proporzionale alla frequenza di alimentazione. Se si assume che l'inverter mantenga un rapporto V/f costante, la velocità di sincronismo è proporzionale alla frequenza. La velocità del rotore (velocità effettiva) è leggermente inferiore alla velocità di sincronismo a causa dello scorrimento. Tuttavia, per semplificazione e assumendo che lo scorrimento rimanga relativamente costante o che la domanda si riferisca alla velocità di sincronismo, possiamo usare la proporzionalità diretta.
\(n \propto f\)
Quindi, possiamo impostare una proporzione:
\(\frac{n_{new}}{n_n} = \frac{f_{new}}{f_n}\)
\(n_{new} = n_n \cdot \frac{f_{new}}{f_n}\)
Sostituendo i valori:
\(n_{new} = 1440 \, \text{giri/min} \cdot \frac{35 \, \text{Hz}}{50 \, \text{Hz}}\)
\(n_{new} = 1440 \cdot 0.7 = 1008 \, \text{giri/min}\)
Risposta: La nuova velocità di rotazione del motore (\(n_{new}\)) è 1008 giri/min.
Punto 2: La coppia disponibile a 35 Hz (assumendo di lavorare a V/f costante)
Quando si opera con un rapporto V/f costante, la coppia erogata dal motore è approssimativamente proporzionale al quadrato del rapporto V/f, che a sua volta è costante. Tuttavia, la coppia massima teorica che il motore può erogare è proporzionale al quadrato della tensione applicata.
In regime di V/f costante, la coppia erogabile dal motore è proporzionale al quadrato della frequenza applicata, finché la frequenza non scende troppo. Quando la frequenza scende significativamente, la tensione applicata dall'inverter diminuisce (poiché V/f è costante), e con essa la coppia erogabile.
La relazione tra coppia e frequenza a V/f costante è approssimativamente:
\(C \propto (V/f)^2 \cdot f^2 = V^2\)
o più precisamente, la coppia massima è proporzionale al quadrato della tensione, e la tensione è proporzionale alla frequenza. Quindi:
\(C \propto V^2\) e \(V \propto f\), quindi \(C \propto f^2\).
Considerando la coppia nominale (\(C_n\)) a frequenza nominale (\(f_n\)), e la nuova coppia (\(C_{new}\)) alla nuova frequenza (\(f_{new}\)):
\(\frac{C_{new}}{C_n} = \left(\frac{f_{new}}{f_n}\right)^2\)
\(C_{new} = C_n \cdot \left(\frac{f_{new}}{f_n}\right)^2\)
Sostituendo i valori:
\(C_{new} = 30 \, \text{Nm} \cdot \left(\frac{35 \, \text{Hz}}{50 \, \text{Hz}}\right)^2\)
\(C_{new} = 30 \cdot (0.7)^2 = 30 \cdot 0.49 = 14.7 \, \text{Nm}\)
Risposta: La coppia disponibile a 35 Hz, lavorando a V/f costante, è 14.7 Nm.
Punto 3: La potenza meccanica erogata in questa nuova condizione
La potenza meccanica (\(P_{out}\)) è data dal prodotto della coppia per la velocità angolare. La velocità angolare (\(\omega\)) si ottiene dalla velocità di rotazione in giri/min convertita in radianti al secondo.
\(\omega = n \cdot \frac{2\pi}{60}\)
La nuova velocità di rotazione è \(n_{new} = 1008\) giri/min.
La nuova coppia disponibile è \(C_{new} = 14.7\) Nm.
Calcoliamo la nuova velocità angolare:
\(\omega_{new} = 1008 \, \text{giri/min} \cdot \frac{2\pi}{60 \, \text{giri/s}} \approx 1008 \cdot 0.1047 \, \text{rad/s} \approx 105.53 \, \text{rad/s}\)
Ora calcoliamo la potenza meccanica erogata:
\(P_{out, new} = C_{new} \cdot \omega_{new}\)
\(P_{out, new} = 14.7 \, \text{Nm} \cdot 105.53 \, \text{rad/s} \approx 1551.3 \, \text{W}\)
Per esprimere la potenza in kW:
\(P_{out, new} \approx 1.55 \, \text{kW}\)
Risposta: La potenza meccanica erogata in questa nuova condizione è approssimativamente 1.55 kW.
