Esercizi di Insiemistica: Intersezione e Unione

Certamente! Analizziamo e risolviamo gli esercizi proposti.

Esercizio 1

Testo: Rappresenta per elencazione \(A \cap B\), essendo \(A = \{\text{acqua; vino; aceto}\}\) e \(B = \{\text{aceto; olio}\}\).

Spiegazione:
L'operazione \(A \cap B\) rappresenta l'intersezione tra i due insiemi \(A\) e \(B\). L'intersezione di due insiemi è un nuovo insieme che contiene tutti e soli gli elementi che sono comuni ad entrambi gli insiemi.

1. Identifichiamo gli elementi dell'insieme \(A\): \(\{\text{acqua, vino, aceto}\}\).
2. Identifichiamo gli elementi dell'insieme \(B\): \(\{\text{aceto, olio}\}\).
3. Cerchiamo gli elementi che appaiono sia in \(A\) che in \(B\). L'unico elemento comune è "aceto".

Risposta:
\(A \cap B = \{\text{aceto}\}\)

Esercizio 2

Testo: Rappresenta per caratteristica \(A \cap B\), essendo \(A = \{x | x \text{ è un numero maggiore di 9 e minore di 15}\}\) e \(B = \{x | x \text{ è un numero maggiore di 10 e minore di 20}\}\).

Spiegazione:
In questo esercizio, gli insiemi sono definiti per caratteristica. Dobbiamo prima rappresentarli per elencazione (se possibile o utile) per poi trovare l'intersezione.

1. Insieme A: \(A = \{x | x \text{ è un numero maggiore di 9 e minore di 15}\}\).
   Questo significa che \(x\) deve essere un numero intero tale che \(9 < x < 15\).
   Gli elementi di \(A\) sono: \(\{10, 11, 12, 13, 14\}\).

2. Insieme B: \(B = \{x | x \text{ è un numero maggiore di 10 e minore di 20}\}\).
   Questo significa che \(x\) deve essere un numero intero tale che \(10 < x < 20\).
   Gli elementi di \(B\) sono: \(\{11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19\}\).

3. Intersezione \(A \cap B\): Cerchiamo gli elementi comuni ad entrambi gli insiemi.
   Elementi di \(A\): \(\{10, 11, 12, 13, 14\}\)
   Elementi di \(B\): \(\{11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19\}\)
   Gli elementi comuni sono: \(\{11, 12, 13, 14\}\).

4. Rappresentazione per caratteristica di \(A \cap B\):
   L'insieme risultante \(A \cap B = \{11, 12, 13, 14\}\) può essere descritto come "i numeri maggiori di 10 e minori di 15".

Risposta:
\(A \cap B = \{x | x \text{ è un numero maggiore di 10 e minore di 15}\}\)
(Nota: il testo dell'esercizio chiede \(A \cup B\), ma il simbolo nel campo di risposta è \(A \cap B\). Assumo che la richiesta sia per \(A \cap B\) come indicato nel testo della domanda, ma il simbolo nel campo di risposta è \(A \cup B\). Se la richiesta fosse stata \(A \cup B\), la risposta sarebbe stata \(\{10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19\}\), ovvero i numeri maggiori di 9 e minori di 20. Mi atterrò alla richiesta esplicita del testo "Rappresenta per caratteristica \(A \cap B\)").

Correzione basata sul simbolo nel campo di risposta:
Il campo di risposta mostra \(A \cup B = \{ \quad \}\). Se la richiesta fosse stata per l'unione:
1. \(A = \{10, 11, 12, 13, 14\}\)
2. \(B = \{11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19\}\)
3. L'unione \(A \cup B\) contiene tutti gli elementi che appartengono ad \(A\), a \(B\), o ad entrambi, senza ripetizioni.
\(A \cup B = \{10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19\}\).
Questo insieme può essere descritto come "i numeri maggiori di 9 e minori di 20".

Risposta (assumendo che il simbolo \(A \cup B\) nel campo di risposta sia corretto e prevalga sul testo "A intersecato B"):
\(A \cup B = \{x | x \text{ è un numero maggiore di 9 e minore di 20}\}\)

Esercizio 3

Testo: Rappresenta per elencazione l'insieme \(A \cup B\), essendo \(A = \{x | x \text{ è una vocale della parola "denaro"}\}\) e \(B = \{x | x \text{ è una vocale della parola "raro"}\}\).

Spiegazione:
Anche qui, gli insiemi sono definiti per caratteristica. Dobbiamo prima elencarli.

1. Insieme A: \(A = \{x | x \text{ è una vocale della parola "denaro"}\}\).
   Le vocali nella parola "denaro" sono: e, a, o.
   Quindi, \(A = \{\text{e, a, o}\}\).

2. Insieme B: \(B = \{x | x \text{ è una vocale della parola "raro"}\}\).
   Le vocali nella parola "raro" sono: a, o.
   Quindi, \(B = \{\text{a, o}\}\).

3. Unione \(A \cup B\): L'unione di due insiemi è un nuovo insieme che contiene tutti gli elementi che appartengono ad \(A\), a \(B\), o ad entrambi, senza ripetizioni.
   Elementi di \(A\): \(\{\text{e, a, o}\}\)
   Elementi di \(B\): \(\{\text{a, o}\}\)
   Unendo questi elementi e rimuovendo i duplicati otteniamo: \(\{\text{e, a, o}\}\).

Risposta:
\(A \cup B = \{\text{e, a, o}\}\)