Risoluzione di equazioni frazionarie con verifica
Certamente! Risolverò i problemi da te indicati, fornendo spiegazioni dettagliate e la verifica quando richiesta.
Задание 301
Equazione:
$$ \frac{100}{2} + \frac{3x+5}{5} (x-1) + \frac{1}{4} (x-9) = 0 $$
Svolgimento:
-
Semplificare il primo termine:
$ 50 + \frac{3x+5}{5} (x-1) + \frac{1}{4} (x-9) = 0 $ -
Moltiplicare i termini tra parentesi:
$ 50 + \frac{(3x+5)(x-1)}{5} + \frac{x-9}{4} = 0 $
$ 50 + \frac{3x^2 - 3x + 5x - 5}{5} + \frac{x-9}{4} = 0 $
$ 50 + \frac{3x^2 + 2x - 5}{5} + \frac{x-9}{4} = 0 $ -
Trovare il minimo comune multiplo (mcm) dei denominatori (5 e 4), che è 20. Moltiplicare ogni termine per 20 per eliminare le frazioni:
$ 20 \cdot 50 + 20 \cdot \frac{3x^2 + 2x - 5}{5} + 20 \cdot \frac{x-9}{4} = 20 \cdot 0 $
$ 1000 + 4(3x^2 + 2x - 5) + 5(x-9) = 0 $ -
Distribuire i coefficienti:
$ 1000 + 12x^2 + 8x - 20 + 5x - 45 = 0 $ -
Raggruppare i termini simili:
$ 12x^2 + (8x + 5x) + (1000 - 20 - 45) = 0 $
$ 12x^2 + 13x + 935 = 0 $ -
Verificare la natura dell'equazione: Questa è un'equazione quadratica della forma $ ax^2 + bx + c = 0 $. Calcoliamo il discriminante $ \Delta = b^2 - 4ac $.
$ a = 12 $, $ b = 13 $, $ c = 935 $
$ \Delta = 13^2 - 4 \cdot 12 \cdot 935 $
$ \Delta = 169 - 48 \cdot 935 $
$ \Delta = 169 - 44880 $
$ \Delta = -44711 $
Poiché il discriminante $ \Delta < 0 $, l'equazione non ha soluzioni reali.
Risposta: L'equazione non ammette soluzioni reali.
Задание 293
Equazione:
$$ \frac{7(3x-2)}{5} = \frac{3}{4}x - \frac{9-3x}{3x} $$
Svolgimento:
-
Semplificare il termine a destra: Il termine $ \frac{9-3x}{3x} $ può essere semplificato dividendo numeratore e denominatore per 3: $ \frac{3(3-x)}{3x} = \frac{3-x}{x} $.
L'equazione diventa:
$$ \frac{7(3x-2)}{5} = \frac{3}{4}x - \frac{3-x}{x} $$ -
Trovare il minimo comune multiplo (mcm) dei denominatori (5, 4, x), che è $ 20x $. Moltiplicare ogni termine per $ 20x $ per eliminare le frazioni. Assicurarsi che $ x \neq 0 $.
$ 20x \cdot \frac{7(3x-2)}{5} = 20x \cdot \frac{3}{4}x - 20x \cdot \frac{3-x}{x} $
$ 4x \cdot 7(3x-2) = 5x \cdot 3x - 20(3-x) $
$ 28x(3x-2) = 15x^2 - 20(3-x) $ -
Distribuire i coefficienti:
$ 84x^2 - 56x = 15x^2 - 60 + 20x $ -
Portare tutti i termini a sinistra per ottenere un'equazione quadratica:
$ 84x^2 - 15x^2 - 56x - 20x + 60 = 0 $
$ 69x^2 - 76x + 60 = 0 $ -
Calcolare il discriminante $ \Delta = b^2 - 4ac $:
$ a = 69 $, $ b = -76 $, $ c = 60 $
$ \Delta = (-76)^2 - 4 \cdot 69 \cdot 60 $
$ \Delta = 5776 - 276 \cdot 60 $
$ \Delta = 5776 - 16560 $
$ \Delta = -10784 $
Poiché il discriminante $ \Delta < 0 $, l'equazione non ha soluzioni reali.
Risposta: L'equazione non ammette soluzioni reali.
Задание 304
Equazione:
$$ \frac{9-x}{10} + \frac{3+x}{15} = -\frac{1}{2} \left( \frac{1}{3}x + \frac{1}{5} \right) $$
Svolgimento:
-
Semplificare il termine a destra:
$ -\frac{1}{2} \left( \frac{1}{3}x + \frac{1}{5} \right) = -\frac{x}{6} - \frac{1}{10} $
L'equazione diventa:
$$ \frac{9-x}{10} + \frac{3+x}{15} = -\frac{x}{6} - \frac{1}{10} $$ -
Trovare il minimo comune multiplo (mcm) dei denominatori (10, 15, 6), che è 30. Moltiplicare ogni termine per 30 per eliminare le frazioni:
$ 30 \cdot \frac{9-x}{10} + 30 \cdot \frac{3+x}{15} = 30 \cdot \left(-\frac{x}{6}\right) - 30 \cdot \frac{1}{10} $
$ 3(9-x) + 2(3+x) = -5x - 3 $ -
Distribuire i coefficienti:
$ 27 - 3x + 6 + 2x = -5x - 3 $ -
Raggruppare i termini simili a sinistra:
$ (27 + 6) + (-3x + 2x) = -5x - 3 $
$ 33 - x = -5x - 3 $ -
Portare i termini con la x a sinistra e i termini costanti a destra:
$ -x + 5x = -3 - 33 $
$ 4x = -36 $ -
Risolvere per x:
$ x = \frac{-36}{4} $
$ x = -9 $
Verifica:
Sostituiamo $ x = -9 $ nell'equazione originale:
Membro sinistro:
$ \frac{9 - (-9)}{10} + \frac{3 + (-9)}{15} = \frac{9+9}{10} + \frac{3-9}{15} = \frac{18}{10} + \frac{-6}{15} = \frac{9}{5} - \frac{2}{5} = \frac{7}{5} $
Membro destro:
$ -\frac{1}{2} \left( \frac{1}{3}(-9) + \frac{1}{5} \right) = -\frac{1}{2} \left( -3 + \frac{1}{5} \right) = -\frac{1}{2} \left( -\frac{15}{5} + \frac{1}{5} \right) = -\frac{1}{2} \left( -\frac{14}{5} \right) = \frac{14}{10} = \frac{7}{5} $
Poiché il membro sinistro è uguale al membro destro ($ \frac{7}{5} = \frac{7}{5} $), la soluzione è corretta.
Risposta: $ x = -9 $
Задание 307
Equazione:
$$ \frac{2}{3}x - \frac{1}{2} \left( x - \frac{1}{5} \right) = \frac{1}{4}x - \frac{1}{3} $$
Svolgimento:
-
Distribuire il termine $ -\frac{1}{2} $ nel membro sinistro:
$ \frac{2}{3}x - \frac{1}{2}x + \frac{1}{10} = \frac{1}{4}x - \frac{1}{3} $ -
Trovare il minimo comune multiplo (mcm) dei denominatori (3, 2, 10, 4), che è 60. Moltiplicare ogni termine per 60 per eliminare le frazioni:
$ 60 \cdot \frac{2}{3}x - 60 \cdot \frac{1}{2}x + 60 \cdot \frac{1}{10} = 60 \cdot \frac{1}{4}x - 60 \cdot \frac{1}{3} $
$ 40x - 30x + 6 = 15x - 20 $ -
Raggruppare i termini con la x a sinistra e i termini costanti a destra:
Prima, semplifichiamo i termini con la x a sinistra:
$ (40x - 30x) + 6 = 15x - 20 $
$ 10x + 6 = 15x - 20 $Ora, portiamo i termini con la x a sinistra e i costanti a destra:
$ 10x - 15x = -20 - 6 $
$ -5x = -26 $ -
Risolvere per x:
$ x = \frac{-26}{-5} $
$ x = \frac{26}{5} $
Verifica:
Sostituiamo $ x = \frac{26}{5} $ nell'equazione originale:
Membro sinistro:
$ \frac{2}{3} \left( \frac{26}{5} \right) - \frac{1}{2} \left( \frac{26}{5} - \frac{1}{5} \right) = \frac{52}{15} - \frac{1}{2} \left( \frac{25}{5} \right) = \frac{52}{15} - \frac{1}{2} (5) = \frac{52}{15} - \frac{5}{2} $
Troviamo il mcm tra 15 e 2, che è 30:
$ \frac{52 \cdot 2}{15 \cdot 2} - \frac{5 \cdot 15}{2 \cdot 15} = \frac{104}{30} - \frac{75}{30} = \frac{104 - 75}{30} = \frac{29}{30} $
Membro destro:
$ \frac{1}{4} \left( \frac{26}{5} \right) - \frac{1}{3} = \frac{26}{20} - \frac{1}{3} = \frac{13}{10} - \frac{1}{3} $
Troviamo il mcm tra 10 e 3, che è 30:
$ \frac{13 \cdot 3}{10 \cdot 3} - \frac{1 \cdot 10}{3 \cdot 10} = \frac{39}{30} - \frac{10}{30} = \frac{39 - 10}{30} = \frac{29}{30} $
Poiché il membro sinistro è uguale al membro destro ($ \frac{29}{30} = \frac{29}{30} $), la soluzione è corretta.
Risposta: $ x = \frac{26}{5} $
