Esercizio di microeconomia: Calcolo delle funzioni di eccesso di domanda

Certamente, risolviamo gli esercizi uno per uno.

Задание 1

Esercizio 7.7, Punto 1

Calcolare le funzioni di eccesso di domanda individuali.

Definizione: La funzione di eccesso di domanda per un bene è la differenza tra la quantità domandata e la dotazione iniziale di quel bene.

Dati:
* Funzione di utilità: \(U(x, y) = \ln x + 2 \ln y\)
* Dotazioni iniziali: \(\bar{x}_A = 9\), \(\bar{y}_A = 3\), \(\bar{x}_B = 12\), \(\bar{y}_B = 6\)

Passo 1: Impostare il problema di massimizzazione dell'utilità

Ogni individuo massimizza la propria utilità sotto il vincolo di bilancio. Il vincolo di bilancio per l'individuo A è:

\(p_x x_A + p_y y_A = p_x \bar{x}_A + p_y \bar{y}_A\)

Dove \(p_x\) e \(p_y\) sono i prezzi dei beni x e y, rispettivamente.

Passo 2: Risolvere per le funzioni di domanda marshalliane

Per risolvere il problema di massimizzazione, possiamo usare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange o semplicemente impostare il saggio marginale di sostituzione (MRS) uguale al rapporto dei prezzi.

\(MRS_{xy} = \frac{MU_x}{MU_y} = \frac{p_x}{p_y}\)

Dove \(MU_x\) e \(MU_y\) sono le utilità marginali di x e y, rispettivamente.

\(MU_x = \frac{\partial U}{\partial x} = \frac{1}{x}\)

\(MU_y = \frac{\partial U}{\partial y} = \frac{2}{y}\)

Quindi,

\(\frac{1/x}{2/y} = \frac{y}{2x} = \frac{p_x}{p_y}\)

\(y = 2x \frac{p_x}{p_y}\)

Sostituiamo questo nel vincolo di bilancio:

\(p_x x + p_y (2x \frac{p_x}{p_y}) = p_x \bar{x} + p_y \bar{y}\)

\(p_x x + 2x p_x = p_x \bar{x} + p_y \bar{y}\)

\(3x p_x = p_x \bar{x} + p_y \bar{y}\)

\(x = \frac{p_x \bar{x} + p_y \bar{y}}{3p_x}\)

\(y = \frac{2(p_x \bar{x} + p_y \bar{y})}{3p_y}\)

Passo 3: Calcolare le funzioni di domanda per l'individuo A

\(x_A = \frac{p_x \bar{x}_A + p_y \bar{y}_A}{3p_x} = \frac{9p_x + 3p_y}{3p_x} = 3 + \frac{p_y}{p_x}\)

\(y_A = \frac{2(p_x \bar{x}_A + p_y \bar{y}_A)}{3p_y} = \frac{2(9p_x + 3p_y)}{3p_y} = \frac{6p_x}{p_y} + 2\)

Passo 4: Calcolare le funzioni di domanda per l'individuo B

\(x_B = \frac{p_x \bar{x}_B + p_y \bar{y}_B}{3p_x} = \frac{12p_x + 6p_y}{3p_x} = 4 + \frac{2p_y}{p_x}\)

\(y_B = \frac{2(p_x \bar{x}_B + p_y \bar{y}_B)}{3p_y} = \frac{2(12p_x + 6p_y)}{3p_y} = \frac{8p_x}{p_y} + 4\)

Passo 5: Calcolare le funzioni di eccesso di domanda

Le funzioni di eccesso di domanda sono:

\(e_x^A = x_A - \bar{x}_A = (3 + \frac{p_y}{p_x}) - 9 = \frac{p_y}{p_x} - 6\)

\(e_y^A = y_A - \bar{y}_A = (\frac{6p_x}{p_y} + 2) - 3 = \frac{6p_x}{p_y} - 1\)

\(e_x^B = x_B - \bar{x}_B = (4 + \frac{2p_y}{p_x}) - 12 = \frac{2p_y}{p_x} - 8\)

\(e_y^B = y_B - \bar{y}_B = (\frac{8p_x}{p_y} + 4) - 6 = \frac{8p_x}{p_y} - 2\)

Risposta:

Le funzioni di eccesso di domanda individuali sono:

• \(e_x^A = \frac{p_y}{p_x} - 6\)
• \(e_y^A = \frac{6p_x}{p_y} - 1\)
• \(e_x^B = \frac{2p_y}{p_x} - 8\)
• \(e_y^B = \frac{8p_x}{p_y} - 2\)

Certamente, continuiamo con gli esercizi.

Задание 2

Esercizio 7.7, Punto 2

Stabilire se gli individui intraprenderanno degli scambi.

Per stabilire se gli individui intraprenderanno degli scambi, dobbiamo confrontare i loro saggi marginali di sostituzione (MRS) alle dotazioni iniziali. Se i MRS sono diversi, allora ci sarà spazio per gli scambi mutuamente vantaggiosi.

Passo 1: Calcolare il MRS per l'individuo A alle dotazioni iniziali

\(MRS_{xy}^A = \frac{MU_x^A}{MU_y^A} = \frac{1/x_A}{2/y_A} = \frac{y_A}{2x_A}\)

Valutato alle dotazioni iniziali \((\bar{x}_A, \bar{y}_A) = (9, 3)\):

\(MRS_{xy}^A = \frac{3}{2 \cdot 9} = \frac{3}{18} = \frac{1}{6}\)

Passo 2: Calcolare il MRS per l'individuo B alle dotazioni iniziali

\(MRS_{xy}^B = \frac{MU_x^B}{MU_y^B} = \frac{1/x_B}{2/y_B} = \frac{y_B}{2x_B}\)

Valutato alle dotazioni iniziali \((\bar{x}_B, \bar{y}_B) = (12, 6)\):

\(MRS_{xy}^B = \frac{6}{2 \cdot 12} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}\)

Passo 3: Confrontare i MRS

\(MRS_{xy}^A = \frac{1}{6}\) e \(MRS_{xy}^B = \frac{1}{4}\)

Poiché \(MRS_{xy}^A \neq MRS_{xy}^B\), gli individui intraprenderanno degli scambi.

Risposta:

Sì, gli individui intraprenderanno degli scambi perché i loro saggi marginali di sostituzione alle dotazioni iniziali sono diversi.

Ассистент: Certo, approfondiamo il passaggio 2.

Задание 2 (Spiegazione Dettagliata del Passo 2)

Passo 2: Calcolare il MRS per l'individuo B alle dotazioni iniziali

Il saggio marginale di sostituzione (MRS) indica la quantità di un bene (y) che un individuo è disposto a cedere per ottenere un'unità aggiuntiva di un altro bene (x), mantenendo costante il livello di utilità. Matematicamente, è il rapporto tra le utilità marginali dei due beni:

\(MRS_{xy}^B = \frac{MU_x^B}{MU_y^B}\)

Dove:
* \(MU_x^B\) è l'utilità marginale del bene x per l'individuo B.
* \(MU_y^B\) è l'utilità marginale del bene y per l'individuo B.

Calcolo delle Utilità Marginali

Dalla funzione di utilità \(U(x, y) = \ln x + 2 \ln y\), calcoliamo le utilità marginali:

\(MU_x^B = \frac{\partial U}{\partial x} = \frac{1}{x}\)

\(MU_y^B = \frac{\partial U}{\partial y} = \frac{2}{y}\)

Calcolo del MRS

Sostituiamo le utilità marginali nella formula del MRS:

\(MRS_{xy}^B = \frac{1/x}{2/y} = \frac{y}{2x}\)

Valutazione alle Dotazioni Iniziali

Le dotazioni iniziali dell'individuo B sono \((\bar{x}_B, \bar{y}_B) = (12, 6)\). Sostituiamo questi valori nella formula del MRS:

\(MRS_{xy}^B = \frac{6}{2 \cdot 12} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}\)

Quindi, il MRS dell'individuo B alle dotazioni iniziali è \(\frac{1}{4}\). Questo significa che l'individuo B è disposto a cedere \(\frac{1}{4}\) unità del bene y per ottenere un'unità aggiuntiva del bene x, mantenendo lo stesso livello di utilità, partendo dalle sue dotazioni iniziali.

Ассистент: Certamente, continuiamo con gli esercizi.

Задание 3

Esercizio 7.7, Punto 2 (Calcolo del Prezzo Relativo)

Calcolare il prezzo relativo \(\frac{p_x}{p_y}\) che annulla l'eccesso di domanda per il bene x.

Passo 1: Definire l'eccesso di domanda aggregato per il bene x

L'eccesso di domanda aggregato per il bene x è la somma degli eccessi di domanda individuali:

\(e_x = e_x^A + e_x^B = (\frac{p_y}{p_x} - 6) + (\frac{2p_y}{p_x} - 8)\)

Passo 2: Impostare l'equazione per l'equilibrio

Per trovare il prezzo relativo che annulla l'eccesso di domanda, impostiamo \(e_x = 0\):

\(\frac{p_y}{p_x} - 6 + \frac{2p_y}{p_x} - 8 = 0\)

Passo 3: Risolvere per il prezzo relativo

Combinando i termini, otteniamo:

\(\frac{3p_y}{p_x} - 14 = 0\)

\(\frac{3p_y}{p_x} = 14\)

\(\frac{p_y}{p_x} = \frac{14}{3}\)

Invertendo per trovare \(\frac{p_x}{p_y}\):

\(\frac{p_x}{p_y} = \frac{3}{14}\)

Risposta:

Il prezzo relativo \(\frac{p_x}{p_y}\) che annulla l'eccesso di domanda per il bene x è \(\frac{3}{14}\).

Ассистент: Certamente, risolviamo gli esercizi uno per uno.

Задание 1

Esercizio 7.8, Punto 1

Calcolare le funzioni di eccesso di domanda individuali.

Definizione: La funzione di eccesso di domanda per un bene è la differenza tra la quantità domandata e la dotazione iniziale di quel bene.

Dati:
* Funzione di utilità: \(U(x, y) = xy\)
* Dotazioni iniziali: \(\bar{x}_A = 100\), \(\bar{y}_A = 300\), \(\bar{x}_B = 300\), \(\bar{y}_B = 100\)

Passo 1: Impostare il problema di massimizzazione dell'utilità

Ogni individuo massimizza la propria utilità sotto il vincolo di bilancio. Il vincolo di bilancio per l'individuo A è:

\(p_x x_A + p_y y_A = p_x \bar{x}_A + p_y \bar{y}_A\)

Dove \(p_x\) e \(p_y\) sono i prezzi dei beni x e y, rispettivamente.

Passo 2: Risolvere per le funzioni di domanda marshalliane

Per risolvere il problema di massimizzazione, possiamo usare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange o semplicemente impostare il saggio marginale di sostituzione (MRS) uguale al rapporto dei prezzi.

\(MRS_{xy} = \frac{MU_x}{MU_y} = \frac{p_x}{p_y}\)

Dove \(MU_x\) e \(MU_y\) sono le utilità marginali di x e y, rispettivamente.

\(MU_x = \frac{\partial U}{\partial x} = y\)

\(MU_y = \frac{\partial U}{\partial y} = x\)

Quindi,

\(\frac{y}{x} = \frac{p_x}{p_y}\)

\(y = x \frac{p_x}{p_y}\)

Sostituiamo questo nel vincolo di bilancio:

\(p_x x + p_y (x \frac{p_x}{p_y}) = p_x \bar{x} + p_y \bar{y}\)

\(p_x x + x p_x = p_x \bar{x} + p_y \bar{y}\)

\(2x p_x = p_x \bar{x} + p_y \bar{y}\)

\(x = \frac{p_x \bar{x} + p_y \bar{y}}{2p_x}\)

\(y = \frac{p_x \bar{x} + p_y \bar{y}}{2p_y}\)

Passo 3: Calcolare le funzioni di domanda per l'individuo A

\(x_A = \frac{p_x \bar{x}_A + p_y \bar{y}_A}{2p_x} = \frac{100p_x + 300p_y}{2p_x} = 50 + 150\frac{p_y}{p_x}\)

\(y_A = \frac{p_x \bar{x}_A + p_y \bar{y}_A}{2p_y} = \frac{100p_x + 300p_y}{2p_y} = 50\frac{p_x}{p_y} + 150\)

Passo 4: Calcolare le funzioni di domanda per l'individuo B

\(x_B = \frac{p_x \bar{x}_B + p_y \bar{y}_B}{2p_x} = \frac{300p_x + 100p_y}{2p_x} = 150 + 50\frac{p_y}{p_x}\)

\(y_B = \frac{p_x \bar{x}_B + p_y \bar{y}_B}{2p_y} = \frac{300p_x + 100p_y}{2p_y} = 150\frac{p_x}{p_y} + 50\)

Passo 5: Calcolare le funzioni di eccesso di domanda

Le funzioni di eccesso di domanda sono:

\(e_x^A = x_A - \bar{x}_A = (50 + 150\frac{p_y}{p_x}) - 100 = 150\frac{p_y}{p_x} - 50\)

\(e_y^A = y_A - \bar{y}_A = (50\frac{p_x}{p_y} + 150) - 300 = 50\frac{p_x}{p_y} - 150\)

\(e_x^B = x_B - \bar{x}_B = (150 + 50\frac{p_y}{p_x}) - 300 = 50\frac{p_y}{p_x} - 150\)

\(e_y^B = y_B - \bar{y}_B = (150\frac{p_x}{p_y} + 50) - 100 = 150\frac{p_x}{p_y} - 50\)

Risposta:

Le funzioni di eccesso di domanda individuali sono:

• \(e_x^A = 150\frac{p_y}{p_x} - 50\)
• \(e_y^A = 50\frac{p_x}{p_y} - 150\)
• \(e_x^B = 50\frac{p_y}{p_x} - 150\)
• \(e_y^B = 150\frac{p_x}{p_y} - 50\)

Ассистент: Ассистент: Cerchiamo di capire meglio la tua domanda.

L'espressione \(p_x x + p_x 2x\) può essere semplificata combinando i termini simili.

\(p_x x + p_x 2x = p_x (x + 2x) = p_x (3x) = 3p_x x\)

Quindi, \(p_x x + p_x 2x = 3p_x x\).

Ассистент: Ассистент: Certo, procediamo con l'esercizio 7.9.

Задание 1

Esercizio 7.9, Punto 1

Calcolare le funzioni di eccesso di domanda individuali.

Dati:

• Funzioni di utilità:
  • \(U_A(x, y) = xy^2\)
  • \(U_B(x, y) = 3\ln x + \ln y\)
• Dotazioni iniziali:
  • \(\bar{x}_A = 90\), \(\bar{y}_A = 0\)
  • \(\bar{x}_B = 0\), \(\bar{y}_B = 40\)

Passo 1: Impostare il problema di massimizzazione dell'utilità per l'individuo A

L'individuo A massimizza la sua utilità \(U_A(x, y) = xy^2\) sotto il vincolo di bilancio:

\(p_x x_A + p_y y_A = p_x \bar{x}_A + p_y \bar{y}_A\)

\(p_x x_A + p_y y_A = 90p_x + 0p_y = 90p_x\)

Passo 2: Calcolare le utilità marginali per l'individuo A

\(MU_{xA} = \frac{\partial U_A}{\partial x} = y^2\)

\(MU_{yA} = \frac{\partial U_A}{\partial y} = 2xy\)

Passo 3: Impostare la condizione di ottimo per l'individuo A

\(\frac{MU_{xA}}{MU_{yA}} = \frac{p_x}{p_y}\)

\(\frac{y^2}{2xy} = \frac{p_x}{p_y}\)

\(\frac{y}{2x} = \frac{p_x}{p_y}\)

\(y_A = 2x_A \frac{p_x}{p_y}\)

Passo 4: Sostituire nel vincolo di bilancio per l'individuo A

\(p_x x_A + p_y (2x_A \frac{p_x}{p_y}) = 90p_x\)

\(p_x x_A + 2x_A p_x = 90p_x\)

\(3x_A p_x = 90p_x\)

\(x_A = \frac{90p_x}{3p_x} = 30\)

\(y_A = 2(30) \frac{p_x}{p_y} = 60 \frac{p_x}{p_y}\)

Passo 5: Impostare il problema di massimizzazione dell'utilità per l'individuo B

L'individuo B massimizza la sua utilità \(U_B(x, y) = 3\ln x + \ln y\) sotto il vincolo di bilancio:

\(p_x x_B + p_y y_B = p_x \bar{x}_B + p_y \bar{y}_B\)

\(p_x x_B + p_y y_B = 0p_x + 40p_y = 40p_y\)

Passo 6: Calcolare le utilità marginali per l'individuo B

\(MU_{xB} = \frac{\partial U_B}{\partial x} = \frac{3}{x}\)

\(MU_{yB} = \frac{\partial U_B}{\partial y} = \frac{1}{y}\)

Passo 7: Impostare la condizione di ottimo per l'individuo B

\(\frac{MU_{xB}}{MU_{yB}} = \frac{p_x}{p_y}\)

\(\frac{3/x}{1/y} = \frac{p_x}{p_y}\)

\(\frac{3y}{x} = \frac{p_x}{p_y}\)

\(3y_B = x_B \frac{p_x}{p_y}\)

\(x_B = 3y_B \frac{p_y}{p_x}\)

Passo 8: Sostituire nel vincolo di bilancio per l'individuo B

\(p_x (3y_B \frac{p_y}{p_x}) + p_y y_B = 40p_y\)

\(3y_B p_y + p_y y_B = 40p_y\)

\(4y_B p_y = 40p_y\)

\(y_B = \frac{40p_y}{4p_y} = 10\)

\(x_B = 3(10) \frac{p_y}{p_x} = 30 \frac{p_y}{p_x}\)

Passo 9: Calcolare le funzioni di eccesso di domanda

\(e_x^A = x_A - \bar{x}_A = 30 - 90 = -60\)

\(e_y^A = y_A - \bar{y}_A = 60 \frac{p_x}{p_y} - 0 = 60 \frac{p_x}{p_y}\)

\(e_x^B = x_B - \bar{x}_B = 30 \frac{p_y}{p_x} - 0 = 30 \frac{p_y}{p_x}\)

\(e_y^B = y_B - \bar{y}_B = 10 - 40 = -30\)

Risposta:

Le funzioni di eccesso di domanda individuali sono:

• \(e_x^A = -60\)
• \(e_y^A = 60 \frac{p_x}{p_y}\)
• \(e_x^B = 30 \frac{p_y}{p_x}\)
• \(e_y^B = -30\)

Ассистент: Ассистент: Ассистент: Certo, rivediamo il passaggio 4 dell'esercizio 7.9 per l'individuo A.

Задание 1

Esercizio 7.9, Chiarimento del Passaggio 4

Nel passo 3, abbiamo trovato che:

\(\frac{y}{2x} = \frac{p_x}{p_y}\)

Da cui ricaviamo:

\(y_A = 2x_A \frac{p_x}{p_y}\)

Questo significa che la quantità di bene y che l'individuo A desidera consumare è il doppio della quantità di bene x, moltiplicata per il rapporto tra i prezzi \(\frac{p_x}{p_y}\).

Nel passo 4, sostituiamo questa espressione nel vincolo di bilancio dell'individuo A:

\(p_x x_A + p_y y_A = 90p_x\)

Sostituendo \(y_A\) con \(2x_A \frac{p_x}{p_y}\), otteniamo:

\(p_x x_A + p_y (2x_A \frac{p_x}{p_y}) = 90p_x\)

\(p_x x_A + 2x_A p_x = 90p_x\)

\(3x_A p_x = 90p_x\)

Quindi, moltiplichiamo per 2 perché stiamo sostituendo \(y_A\) nel vincolo di bilancio e \(y_A\) è già espresso in termini di \(x_A\) moltiplicato per 2 e il rapporto dei prezzi.

Ассистент: Ассистент: Certo, calcoliamo il prezzo relativo di equilibrio per l'esercizio 7.9.

Задание 1

Esercizio 7.9, Punto 2: Calcolare il prezzo relativo di equilibrio

Definizione: Il prezzo relativo di equilibrio è il rapporto tra i prezzi dei due beni (\(p_x/p_y\)) che eguaglia l'eccesso di domanda aggregata a zero. In altre parole, è il prezzo relativo in cui il mercato di entrambi i beni è in equilibrio.

Passo 1: Usare le funzioni di eccesso di domanda calcolate in precedenza

Abbiamo calcolato le seguenti funzioni di eccesso di domanda:

• \(e_x^A = -60\)
• \(e_y^A = 60 \frac{p_x}{p_y}\)
• \(e_x^B = 30 \frac{p_y}{p_x}\)
• \(e_y^B = -30\)

Passo 2: Impostare l'equilibrio del mercato per il bene x

L'eccesso di domanda aggregata per il bene x deve essere zero:

\(e_x^A + e_x^B = 0\)

\(-60 + 30 \frac{p_y}{p_x} = 0\)

\(30 \frac{p_y}{p_x} = 60\)

\(\frac{p_y}{p_x} = \frac{60}{30} = 2\)

Passo 3: Calcolare il prezzo relativo di equilibrio

Il prezzo relativo di equilibrio è il rapporto tra i prezzi dei beni x e y:

\(\frac{p_x}{p_y} = \frac{1}{\frac{p_y}{p_x}} = \frac{1}{2}\)

Risposta:

Il prezzo relativo di equilibrio è:

\(\frac{p_x}{p_y} = \frac{1}{2}\)

Ассистент: Ассистент: Ассистент: Certo, calcoliamo le allocazioni di equilibrio per l'esercizio 7.9.

Задание 1

Esercizio 7.9, Punto 3: Calcolare le allocazioni di equilibrio

Definizione: Le allocazioni di equilibrio sono le quantità di beni x e y che ogni individuo consuma in equilibrio.

Passo 1: Usare il prezzo relativo di equilibrio calcolato in precedenza

Abbiamo trovato che il prezzo relativo di equilibrio è:

\(\frac{p_x}{p_y} = \frac{1}{2}\)

Passo 2: Calcolare le quantità di equilibrio per l'individuo A

Abbiamo calcolato le funzioni di domanda per l'individuo A:

\(x_A = 30\)

\(y_A = 60 \frac{p_x}{p_y}\)

Sostituiamo il prezzo relativo di equilibrio:

\(y_A = 60 \cdot \frac{1}{2} = 30\)

Quindi, le allocazioni di equilibrio per l'individuo A sono:

\(x_A = 30\)

\(y_A = 30\)

Passo 3: Calcolare le quantità di equilibrio per l'individuo B

Abbiamo calcolato le funzioni di domanda per l'individuo B:

\(x_B = 30 \frac{p_y}{p_x}\)

\(y_B = 10\)

Sostituiamo il prezzo relativo di equilibrio:

\(x_B = 30 \cdot 2 = 60\)

Quindi, le allocazioni di equilibrio per l'individuo B sono:

\(x_B = 60\)

\(y_B = 10\)

Risposta:

Le allocazioni di equilibrio sono:

• Individuo A: \(x_A = 30\), \(y_A = 30\)
• Individuo B: \(x_B = 60\), \(y_B = 10\)