Soluzione esercizi di algebra

Assolutamente! Ecco la soluzione dettagliata degli esercizi 344 e 351.

Задание 344

Il compito è semplificare l'espressione:
\((5x^3 - y)(y^3 + 1) - (5y^3 + 1)(x^3 + y) + 2y(3y^3 + 1)\)

Passaggio 1: Espandere i primi due termini.

Utilizziamo la proprietà distributiva (moltiplicazione di polinomi):

• Primo termine: \((5x^3 - y)(y^3 + 1) = 5x^3(y^3 + 1) - y(y^3 + 1)\)
  \(= 5x^3y^3 + 5x^3 - y^4 - y\)

• Secondo termine: \((5y^3 + 1)(x^3 + y) = 5y^3(x^3 + y) + 1(x^3 + y)\)
  \(= 5y^3x^3 + 5y^4 + x^3 + y\)

Passaggio 2: Sostituire i termini espansi nell'espressione originale.

L'espressione diventa:
\((5x^3y^3 + 5x^3 - y^4 - y) - (5x^3y^3 + 5y^4 + x^3 + y) + 2y(3y^3 + 1)\)

Passaggio 3: Semplificare l'espressione, prestando attenzione ai segni negativi.

Rimuoviamo le parentesi del secondo termine, cambiando il segno di ogni suo elemento:
\(5x^3y^3 + 5x^3 - y^4 - y - 5x^3y^3 - 5y^4 - x^3 - y + 2y(3y^3 + 1)\)

Combiniamo i termini simili:
\((5x^3y^3 - 5x^3y^3) + (5x^3 - x^3) + (-y^4 - 5y^4) + (-y - y) + 2y(3y^3 + 1)\)
\(0 + 4x^3 - 6y^4 - 2y + 2y(3y^3 + 1)\)

Passaggio 4: Espandere l'ultimo termine.

\(2y(3y^3 + 1) = 2y \cdot 3y^3 + 2y \cdot 1 = 6y^4 + 2y\)

Passaggio 5: Sostituire l'ultimo termine espanso e semplificare ulteriormente.

L'espressione diventa:
\(4x^3 - 6y^4 - 2y + (6y^4 + 2y)\)
\(4x^3 - 6y^4 - 2y + 6y^4 + 2y\)

Combiniamo nuovamente i termini simili:
\(4x^3 + (-6y^4 + 6y^4) + (-2y + 2y)\)
\(4x^3 + 0 + 0\)

Risposta finale per il Задание 344:
\(4x^3\)

Задание 351

Il compito è semplificare l'espressione:
\((a+b) - \left[ \frac{7}{4}a - \left( \frac{3}{4}a - \frac{10}{3}b \right) - \frac{1}{2}b \right] - \left( \frac{1}{2}b - \frac{1}{3}a \right)\)

Passaggio 1: Semplificare le parentesi quadre interne.

Concentriamoci sulla parte dentro le parentesi quadre:
\(\frac{7}{4}a - \left( \frac{3}{4}a - \frac{10}{3}b \right) - \frac{1}{2}b\)

Rimuoviamo le parentesi tonde interne, cambiando il segno di ogni suo elemento:
\(\frac{7}{4}a - \frac{3}{4}a + \frac{10}{3}b - \frac{1}{2}b\)

Combiniamo i termini con 'a' e i termini con 'b':
* Termini con 'a': \(\frac{7}{4}a - \frac{3}{4}a = \frac{7-3}{4}a = \frac{4}{4}a = a\)
* Termini con 'b': \(\frac{10}{3}b - \frac{1}{2}b\)
Per sottrarre, troviamo un denominatore comune, che è 6:
\(\frac{10 \cdot 2}{3 \cdot 2}b - \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3}b = \frac{20}{6}b - \frac{3}{6}b = \frac{20-3}{6}b = \frac{17}{6}b\)

Quindi, la parte tra parentesi quadre semplificata è: \(a + \frac{17}{6}b\)

Passaggio 2: Sostituire il risultato semplificato nell'espressione originale.

L'espressione diventa:
\((a+b) - \left[ a + \frac{17}{6}b \right] - \left( \frac{1}{2}b - \frac{1}{3}a \right)\)

Passaggio 3: Rimuovere le parentesi rimaste.

Rimuoviamo le parentesi quadre, cambiando il segno di ogni elemento al loro interno:
\(a+b - a - \frac{17}{6}b - \left( \frac{1}{2}b - \frac{1}{3}a \right)\)

Rimuoviamo le parentesi tonde, cambiando il segno di ogni elemento al loro interno:
\(a+b - a - \frac{17}{6}b - \frac{1}{2}b + \frac{1}{3}a\)

Passaggio 4: Combinare i termini simili.

Raggruppiamo i termini con 'a' e i termini con 'b':

• Termini con 'a': \(a - a + \frac{1}{3}a = (1 - 1 + \frac{1}{3})a = \frac{1}{3}a\)

• Termini con 'b': \(b - \frac{17}{6}b - \frac{1}{2}b\)
  Troviamo un denominatore comune per 6 e 2, che è 6:
  \(\frac{6}{6}b - \frac{17}{6}b - \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3}b = \frac{6}{6}b - \frac{17}{6}b - \frac{3}{6}b\)
  \(= \frac{6 - 17 - 3}{6}b = \frac{-11 - 3}{6}b = \frac{-14}{6}b\)

  Semplifichiamo la frazione \(\frac{-14}{6}\) dividendo numeratore e denominatore per 2:
  \(\frac{-7}{3}b\)

Risposta finale per il Задание 351:
\(\frac{1}{3}a - \frac{7}{3}b\)

Capisco. Ecco le soluzioni concise per gli esercizi 344 e 351.

Задание 344

Задание 351

Va bene, procedo con la presentazione dei passaggi e del risultato finale per ogni esercizio, mantenendo la concisione.

Задание 344

Passaggi:
1. Espandi \((5x^3 - y)(y^3 + 1) = 5x^3y^3 + 5x^3 - y^4 - y\).
2. Espandi \((5y^3 + 1)(x^3 + y) = 5x^3y^3 + 5y^4 + x^3 + y\).
3. Espandi \(2y(3y^3 + 1) = 6y^4 + 2y\).
4. Sostituisci e semplifica:
\((5x^3y^3 + 5x^3 - y^4 - y) - (5x^3y^3 + 5y^4 + x^3 + y) + (6y^4 + 2y)\)
\(= 5x^3y^3 + 5x^3 - y^4 - y - 5x^3y^3 - 5y^4 - x^3 - y + 6y^4 + 2y\)
\(= (5x^3 - x^3) + (-y^4 - 5y^4 + 6y^4) + (-y - y + 2y) + (5x^3y^3 - 5x^3y^3)\)
\(= 4x^3 + 0 + 0 + 0\)

Risultato: \(4x^3\)

Задание 351

Passaggi:
1. Semplifica la parte tra parentesi quadre:
\(\frac{7}{4}a - \left( \frac{3}{4}a - \frac{10}{3}b \right) - \frac{1}{2}b = \frac{7}{4}a - \frac{3}{4}a + \frac{10}{3}b - \frac{1}{2}b = a + \frac{17}{6}b\).
2. Riscrivi l'espressione con la parte semplificata:
\((a+b) - \left( a + \frac{17}{6}b \right) - \left( \frac{1}{2}b - \frac{1}{3}a \right)\).
3. Rimuovi le parentesi:
\(a+b - a - \frac{17}{6}b - \frac{1}{2}b + \frac{1}{3}a\).
4. Combina i termini simili:
\((a - a + \frac{1}{3}a) + (b - \frac{17}{6}b - \frac{1}{2}b)\)
\(= \frac{1}{3}a + (\frac{6}{6}b - \frac{17}{6}b - \frac{3}{6}b)\)
\(= \frac{1}{3}a + \frac{6-17-3}{6}b\)
\(= \frac{1}{3}a + \frac{-14}{6}b\)
\(= \frac{1}{3}a - \frac{7}{3}b\).

Risultato: \(\frac{1}{3}a - \frac{7}{3}b\)

Certo, ecco i passaggi per risolvere l'esercizio 5, come richiesto.

Задание 5

Il compito è calcolare il valore delle seguenti espressioni. Sono disponibili due sotto-esercizi, a) e b).

Задание 5a)

L'espressione da semplificare è:
\((3a + 2c) \cdot (3a - 2c) + a^2 + c^2 =\)

Passaggi:

1. Riconoscere la differenza di quadrati: Il termine \((3a + 2c) \cdot (3a - 2c)\) è della forma \((x+y)(x-y)\), che si espande come \(x^2 - y^2\).
   In questo caso, \(x = 3a\) e \(y = 2c\).
   Quindi, \((3a + 2c) \cdot (3a - 2c) = (3a)^2 - (2c)^2\).

2. Calcolare i quadrati:
   \((3a)^2 = 3^2 \cdot a^2 = 9a^2\).
   \((2c)^2 = 2^2 \cdot c^2 = 4c^2\).
   Dunque, \((3a + 2c) \cdot (3a - 2c) = 9a^2 - 4c^2\).

3. Sostituire nell'espressione originale:
   L'espressione diventa: \((9a^2 - 4c^2) + a^2 + c^2\).

4. Combinare i termini simili:
   Raggruppa i termini con \(a^2\) e i termini con \(c^2\):
   \((9a^2 + a^2) + (-4c^2 + c^2)\)
   \(= 10a^2 - 3c^2\).

Risultato per 5a): \(10a^2 - 3c^2\)

Задание 5b)

L'espressione da semplificare è:
\((3xy + x) \cdot (3xy - x) - 3x^2 =\)

Passaggi:

1. Riconoscere la differenza di quadrati: Anche questo termine \((3xy + x) \cdot (3xy - x)\) è della forma \((x+y)(x-y)\), che si espande come \(x^2 - y^2\).
   In questo caso, \(x = 3xy\) e \(y = x\).
   Quindi, \((3xy + x) \cdot (3xy - x) = (3xy)^2 - x^2\).

2. Calcolare i quadrati:
   \((3xy)^2 = 3^2 \cdot (xy)^2 = 9x^2y^2\).
   L'altro termine è semplicemente \(x^2\).
   Dunque, \((3xy + x) \cdot (3xy - x) = 9x^2y^2 - x^2\).

3. Sostituire nell'espressione originale:
   L'espressione diventa: \((9x^2y^2 - x^2) - 3x^2\).

4. Rimuovere le parentesi e combinare i termini simili:
   \(9x^2y^2 - x^2 - 3x^2\)
   Combina i termini con \(x^2\):
   \(9x^2y^2 + (-x^2 - 3x^2)\)
   \(= 9x^2y^2 - 4x^2\).

Risultato per 5b): \(9x^2y^2 - 4x^2\)

Va bene, ecco solo le soluzioni per l'esercizio 5.

Задание 5

Задание 5a)

Soluzione: \(10a^2 - 3c^2\)

Задание 5b)

Soluzione: \(9x^2y^2 - 4x^2\)

Capisco. Procedo con la soluzione dell'esercizio 344, mostrando tutti i passaggi intermedi senza semplificare ulteriormente i termini finché non è strettamente necessario.

Задание 344

L'espressione da calcolare è:
$\((5x^3 - y)(y^3 + 1) - (5y^3 + 1)(x^3 + y) + 2y(3y^3 + 1)\)$

Passaggi:

1. Espandere il primo prodotto:
   \((5x^3 - y)(y^3 + 1)\)
   Applichiamo la proprietà distributiva (ogni termine del primo binomio moltiplica ogni termine del secondo binomio):
   \(= 5x^3 \cdot y^3 + 5x^3 \cdot 1 - y \cdot y^3 - y \cdot 1\)
   \(= 5x^3y^3 + 5x^3 - y^4 - y\)

2. Espandere il secondo prodotto:
   \((5y^3 + 1)(x^3 + y)\)
   Applichiamo la proprietà distributiva:
   \(= 5y^3 \cdot x^3 + 5y^3 \cdot y + 1 \cdot x^3 + 1 \cdot y\)
   \(= 5x^3y^3 + 5y^4 + x^3 + y\)

3. Espandere il terzo prodotto:
   \(2y(3y^3 + 1)\)
   Applichiamo la proprietà distributiva:
   \(= 2y \cdot 3y^3 + 2y \cdot 1\)
   \(= 6y^4 + 2y\)

4. Sostituire le espressioni espanse nell'espressione originale e gestire i segni:
   L'espressione originale è: \([(5x^3 - y)(y^3 + 1)] - [(5y^3 + 1)(x^3 + y)] + [2y(3y^3 + 1)]\)
   Sostituendo i risultati dei passaggi 1, 2 e 3:
   \(= (5x^3y^3 + 5x^3 - y^4 - y) - (5x^3y^3 + 5y^4 + x^3 + y) + (6y^4 + 2y)\)

5. Rimuovere le parentesi, prestando attenzione al segno meno davanti al secondo gruppo di termini:
   \(= 5x^3y^3 + 5x^3 - y^4 - y - 5x^3y^3 - 5y^4 - x^3 - y + 6y^4 + 2y\)

6. Raggruppare i termini simili:

   • Termini con \(x^3y^3\): \(5x^3y^3 - 5x^3y^3\)
   • Termini con \(x^3\): \(5x^3 - x^3\)
   • Termini con \(y^4\): \(-y^4 - 5y^4 + 6y^4\)
   • Termini con \(y\): \(-y - y + 2y\)

7. Sommare i coefficienti di ciascun gruppo di termini:

   • \(5 - 5 = 0\) (per \(x^3y^3\))
   • \(5 - 1 = 4\) (per \(x^3\))
   • \(-1 - 5 + 6 = 0\) (per \(y^4\))
   • \(-1 - 1 + 2 = 0\) (per \(y\))

8. Scrivere il risultato finale sommando i termini semplificati:
   \(= 0 \cdot x^3y^3 + 4 \cdot x^3 + 0 \cdot y^4 + 0 \cdot y\)
   \(= 4x^3\)

Risultato: \(4x^3\)