A körben két fő szögtípust különböztetünk meg: a középponti szöget, amelynek csúcsa a kör középpontjában van, és a kerületi szöget, amelynek csúcsa a körvonalon helyezkedik el. A kapcsolat köztük egyszerű: a középponti szög megegyezik azzal az ívvel, amelyre támaszkodik, a kerületi szög pedig annak a fele. Ezen az oldalon definíciókat, a kerületi szögre vonatkozó tételt és annak minden következményét, szemléltető ábrákat, feladatok lépésről lépésre történő megoldását és egy interaktív trénert találsz, amellyel azonnal tesztelheted tudásodat.
Szögek típusai a körben: középponti és kerületi szög
Ha egy körben egy pontból két szakaszt húzunk, egy szöget kapunk. Attól függően, hogy hol helyezkedik el a csúcsa, két fő szögtípust különböztetünk meg a körben:
- Középponti szög – olyan szög, amelynek csúcsa a kör \(O\) középpontjában van. A szárai sugarak.
- Kerületi szög – olyan szög, amelynek csúcsa a körvonalon van, és a szárai metszik azt (tehát húrok).
Mindkét szög egy ívre támaszkodik – a kör azon részére, amely a szög belsejében fekszik. Pontosan az ív köti össze a középponti és a kerületi szöget: mindkettő az ív fokmértékén keresztül fejezhető ki.
Ha a szög csúcsa a kör belsejében (de nem a középpontban) vagy azon kívül van, akkor az már nem kerületi és nem középponti szög: az ilyen szögekre saját képletek vonatkoznak, ezekről az oldal végén lesz szó.
∠AOC = AC ív = 120°
∠ABC = ½ AC ív = 60°
A kerületi szög tétele és nagysága
A középponti szög egyenlő azzal az ívvel, amelyre támaszkodik – így vezetjük be az ív fokmértékét. Ha \(\angle AOC = 120°\), akkor az \(AC\) ív is \(120°\).
A kerületi szög tétele: a kerületi szög az általa befogott ív felével egyenlő:
Ebből következik a kerületi és középponti szögek legfontosabb összefüggése: a kerületi szög feleakkora, mint az ugyanazon íven nyugvó középponti szög:
A kerületi szög nagysága nem függ attól, hogy a csúcsa pontosan hol helyezkedik el a körvonalon – csak az számít, hogy melyik ívre támaszkodik. Ezért érdemes az alábbi ábrát megjegyezni, mint a téma „munkaábráját”: a zöld ív és a rá néző két szög.
Kerületi és középponti szögek: tulajdonságok és következmények
A kerületi szögre vonatkozó tételből közvetlenül következnek azok a tulajdonságok, amelyekre a legtöbb iskolai feladat épül:
- Az azonos íven nyugvó kerületi szögek egyenlők. Mindegyikük ugyanannak az ívnek a felével egyenlő – tehát egymással is egyenlők, bárhol is legyenek a csúcsaik.
- Az átmérőre támaszkodó kerületi szög derékszög. Az átmérő a kört két \(180°\)-os félkörre osztja, ezért az ilyen szög \(180° : 2 = 90°\). A fordítottja is igaz: ha egy kerületi szög derékszög, akkor az átmérőre támaszkodik.
- A kerületi szög lehet tompaszög. Ha az ív nagyobb, mint \(180°\), a szög nagyobb, mint \(90°\) – az „ív fele” képlet kivétel nélkül működik.
Ezek a tulajdonságok „visszafelé” is működnek: például az egy szakaszra támaszkodó szögek egyenlőségével bizonyítható, hogy négy pont egy körön fekszik.
Húrnégyszögek és a kör szögei
Ha egy négyszög mind a négy csúcsa egy körvonalon fekszik, akkor azt húrnégyszögnek nevezzük (a kört pedig a négyszög köré írt körnek). Egy ilyen négyszög szögei kerületi szögek, ezért rájuk is érvényes ugyanaz a tétel.
- A húrnégyszög szemközti szögeinek összege \(180°\). Az \(A\) és \(C\) szögek két olyan ívre támaszkodnak, amelyek együtt a teljes kört (\(360°\)) teszik ki, ezért \(\angle A + \angle C = 360° : 2 = 180°\).
- A húrnégyszög külső szöge egyenlő a szemközti belső szöggel. A külső szög a saját belső szögét \(180°\)-ra egészíti ki – éppúgy, mint a szemközti szög.
- A szögek összegére vonatkozó tulajdonság egyben feltétel is: ha egy négyszög szemközti szögeinek összege \(180°\), akkor köré írható kör. Ezért minden téglalap húrnégyszög, de egy rombusz (a négyzet kivételével) nem az.
A feladatokban a kerületi szögek mellett előfordulnak a két érintő által bezárt szögek is, amelyeket egy körön kívüli pontból húzott két érintő alkot. Ez a szög a körből kimetszett ívek különbségének a felével egyenlő.
Példák kerületi és középponti szögekkel kapcsolatos feladatok megoldására
1. példa: Kerületi szög kiszámítása ívből
Feladat. Az \(ABC\) kerületi szög a \(120°\)-os \(AC\) ívre támaszkodik. Határozza meg az \(\angle ABC\) szöget.
1. lépés. Idézzük fel a tételt: a kerületi szög feleakkora, mint az ív, amelyre támaszkodik.
2. lépés. Behelyettesítünk: \(\angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 120° = 60°\).
Válasz: \(60°\).
2. példa: Középponti szög kiszámítása kerületi szögből
Feladat. Az \(ABC\) kerületi szög \(40°\). Határozza meg az ugyanarra az \(AC\) ívre támaszkodó \(AOC\) középponti szöget.
1. lépés. A középponti szög kétszer akkora, mint az ugyanazon íven nyugvó kerületi szög: \(\angle AOC = 2 \cdot \angle ABC\).
2. lépés. Számolunk: \(\angle AOC = 2 \cdot 40° = 80°\). Ezzel megismertük az ívet is: \(AC = 80°\).
Válasz: \(80°\).
3. példa: Átmérőre támaszkodó szög
Feladat. Az \(AC\) a kör átmérője, a \(B\) pont a körvonalon van, \(\angle BAC = 35°\). Határozza meg a \(\angle BCA\) szöget.
1. lépés. Az \(ABC\) szög az \(AC\) átmérőre támaszkodik, tehát \(\angle ABC = 90°\) – az \(ABC\) háromszög derékszögű.
2. lépés. A háromszög belső szögeinek összege \(180°\): \(\angle BCA = 180° - 90° - 35° = 55°\).
Válasz: \(55°\).
4. példa: Húrnégyszög
Feladat. Az \(ABCD\) négyszög húrnégyszög, \(\angle A = 70°\), \(\angle B = 80°\). Határozza meg a \(C\) és \(D\) szögeket.
1. lépés. A húrnégyszög szemközti szögeinek összege \(180°\): \(\angle C = 180° - \angle A = 180° - 70° = 110°\).
2. lépés. Hasonlóan \(\angle D = 180° - \angle B = 180° - 80° = 100°\).
Ellenőrzés. \(70° + 80° + 110° + 100° = 360°\) – a négyszög belső szögeinek összege stimmel.
Válasz: \(\angle C = 110°\), \(\angle D = 100°\).
Gyakori hibák a kör szögeivel kapcsolatos feladatokban
-
Összekeverik a kerületi szöget a középpontival: a középponti csúcsú szög esetén veszik az ív felét (vagy fordítva).
Először nézze meg a csúcsot. Ha a csúcs az \(O\) középpontban van, az egy középponti szög, ami egyenlő a teljes ívvel. Ha a csúcs a körvonalon van, az egy kerületi szög, ami az ív felével egyenlő.
-
Rossz ívet vesznek figyelembe: a kerületi szög esetén azt az ívet számolják, amelyen a csúcsa fekszik.
A kerületi szög arra az ívre támaszkodik, amely a szög „belsejében” van – a csúcs mindig a másik íven található. Az \(\angle ABC\) jelölésben a szög az \(AC\) ívre támaszkodik, amely nem tartalmazza a \(B\) pontot.
-
A 2-vel való szorzást és osztást „rossz irányba” végzik: a kerületi szögből a középponti felé osztanak, nem pedig szoroznak.
Jegyezze meg: a kerületi a „kicsi” (az ív fele), a középponti a „nagy” (a teljes ív). Kerületi szögből középpontiba való áttéréskor szorozni kell 2-vel, középpontiból kerületibe pedig osztani.
-
Bármilyen szöget kerületi szögnek tekintenek, amelynek szárai metszik a kört – például a kör belsejében metsződő húrok közötti szöget.
A kerületi szög csúcsának kötelezően a körvonalon kell lennie. A kör belsejében lévő csúcsú szög a kimetszett ívek összegének felével, a körön kívüli csúcsú szög pedig a különbségük felével egyenlő: ezek más képletek.
-
A húrnégyszögben a szomszédos szögek összegét teszik egyenlővé $180°$-kal a szemköztiek helyett.
A tulajdonság csak a szemközti csúcsokra érvényes: \(\angle A + \angle C = 180°\) és \(\angle B + \angle D = 180°\). A húrnégyszög szomszédos szögei bármekkorák lehetnek.
Kérdések és válaszok
Mekkora a kerületi szög?
A kerületi szög feleakkora, mint az ív, amelyre támaszkodik. Például, ha az ív 120°, a kerületi szög 60°. Ez a kerületi szögekről szóló tétel – a téma legfontosabb képlete.
Milyen kapcsolat van az azonos íven nyugvó kerületi és középponti szögek között?
A középponti szög kétszer akkora, mint a kerületi szög: ∠AOC = 2·∠ABC. A középponti szög magával az ívvel egyenlő, míg a kerületi szög annak a felével.
Miért 90° az átmérőre támaszkodó kerületi szög?
Az átmérő egy félkört fog közre, ami egy 180°-os ív. A kerületi szög az ív felével egyenlő: 180° : 2 = 90°. Ezért minden olyan háromszög, amelynek egyik oldala a köré írt kör átmérője, derékszögű. Ezt Thalész-tételének nevezzük.
Lehet-e a kerületi szög tompaszög?
Igen. Ha az ív, amelyre a szög támaszkodik, nagyobb 180°-nál, a szög tompaszög: például egy 210°-os ívhez 105°-os kerületi szög tartozik. Ugyanakkor a kerületi szög mindig kisebb, mint 180°.
Mi az a körhöz húzott két érintő által bezárt szög, és miben különbözik a kerületi szögtől?
A körhöz húzott két érintő által bezárt szöget két, egy külső pontból a körhöz húzott érintő alkotja. A csúcsa a körön kívül van, és a nagysága a kimetszett ívek különbségének a fele. A kerületi szög csúcsa a körvonalon van, és a nagysága egyetlen ív felével egyenlő.
Milyen más típusú szögek léteznek a körben?
A középponti és kerületi szögeken kívül vizsgáljuk még a húrok metszéspontjában keletkező szöget (csúcs a kör belsejében – az ívek összegének fele), a szelők által bezárt szöget egy külső pontból (az ívek különbségének fele), valamint az érintő és a húr által bezárt szöget (a bezárt ív felével egyenlő). Mindegyikük a kör ívein keresztül fejezhető ki.
