A hasonló háromszögek azonos alakúak, de különböző méretűek: szögeik rendre egyenlők, megfelelő oldalaik pedig arányosak. Azt a számot, amely megmutatja, hányszor nagyobb az egyik háromszög a másiknál, \(k\) hasonlósági aránynak nevezzük. A hasonlóság bizonyításában három alapeset segít, a kerületek és területek aránya pedig egyszerű szabályt követ: a kerületek \(k\) arányban, a területek pedig \(k^2\) arányban viszonyulnak egymáshoz. Ezen az oldalon megtalálod a hasonlóság definícióját és jelölését a csúcsok helyes sorrendjével, mindhárom alapesetet, a derékszögű háromszögek hasonlóságát és a derékszögű csúcsból húzott magasságot, OKTV-feladatok megoldását és egy interaktív gyakorlót.
Mik azok a hasonló háromszögek és a hasonlósági arány
Két háromszöget akkor nevezünk hasonlónak, ha két feltétel egyszerre teljesül:
- szögeik rendre egyenlők — az első háromszög minden szögének megfelel az első háromszög egyenlő szöge;
- megfelelő oldalaik arányosak — mindhárom arány ugyanazt a számot adja.
Megfelelő oldalak — azok az oldalak, amelyek egyenlő szögekkel szemben fekszenek. Ezek alkotják azokat a párokat, amelyek között az arányt számítjuk.
A hasonlóságot a \(\sim\) jellel jelöljük:
A \(k\) hasonlósági arány — a megfelelő oldalak ugyanazon aránya:
Ha \(k > 1\), a második háromszög nagyobb az elsőnél; ha \(k < 1\) — kisebb; ha \(k = 1\), a háromszögek egybevágók, hiszen az egybevágóság a hasonlóság speciális esete.
A csúcsok sorrendje a jelölésben nem formalitás
A \(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\) jelölést szigorúan pozíciók szerint olvassuk: \(A\) megfelel \(A_1\)-nek, \(B\) — \(B_1\)-nek, \(C\) — \(C_1\)-nek. Ebből azonnal következik, mely szögek egyenlők (\(\angle A = \angle A_1\)) és melyek a megfelelő oldalak (\(AB\) és \(A_1B_1\), \(BC\) és \(B_1C_1\), \(AC\) és \(A_1C_1\)).
Ha felcseréljük a betűket és azt írjuk, hogy \(\triangle ABC \sim \triangle B_1A_1C_1\), más állítást kapunk: most \(\angle A = \angle B_1\), és az \(AB\) oldalnak megfelelő oldal a \(B_1A_1\) lesz. Nem szabad aránypárt alkotni a „hasonlóan elhelyezkedő” oldalak alapján — csak a jelölésben szereplő pozíciók szerint. Ezért először az egyenlő szögek párjait írjuk fel, és azokhoz igazítjuk a betűk sorrendjét.
A háromszögek hasonlóságának három alapesete
Nem kell a definíció mind a hat feltételét ellenőrizni: a hasonlóságot a három alapeset egyikével bizonyítjuk. Mindegyik egy minimális adathalmaz, amelyből automatikusan következik az összes szög egyenlősége és az összes oldal arányossága.
Hogyan válasszunk alapesetet? Nézd meg, mi adott a feladatban: ha szögekről van szó — az első, ha két oldalról és a közbezárt szögről — a második, ha mindhárom oldalról — a harmadik.
- Első alapeset (két szög alapján) — az iskolai tananyag igáslova: szinte minden OKTV-feladat ezzel oldható meg. A harmadik szöget nem kell ellenőrizni, az automatikusan egyenlő: a háromszög szögeinek összege mindig \(180°\). Keress kész egyenlő szögpárokat — két háromszög közös szöge, csúcs-szögek, váltószögek és egyállású szögek párhuzamos egyeneseknél, két derékszög.
- Második alapeset (két oldal és a közbezárt szög alapján) megköveteli, hogy a szög éppen a két oldal között legyen. Ha az egyenlő szög az egyik oldallal szemben fekszik, az alapeset nem működik, és a hasonlóság nem bizonyított.
- Harmadik alapeset (három oldal alapján) — amikor a feladatban egyáltalán nincsenek szögek, csak hosszúságok. Írd fel mindkét háromszög oldalait növekvő sorrendben, és oszd el a legkisebbet a legkisebbel, a középsőt a középsővel, a nagyot a naggyal: így a párok biztosan nem keverednek össze. Hasonlóság csak akkor áll fenn, ha mindhárom arány megegyezik.
Ahhoz, hogy ne keverd össze a hasonlósági alapeseteket az egybevágósági alapesetekkel, tartsd észben a különbséget: egybevágóságnál az oldalaknak egyenlőknek kell lenniük, hasonlóságnál pedig arányosaknak.
→ △ABC ∼ △A1B1C1
Hasonló háromszögek kerületének és területének aránya
A hasonlóságnak két következménye van, amelyekről a leggyakrabban kérdeznek, és az egyik a téma fő csapdája.
A kerületek \(k\) arányban viszonyulnak egymáshoz. A második háromszög minden oldala \(k\)-szor nagyobb az első háromszög megfelelő oldalánál, ezért az oldalak összege is pontosan \(k\)-szor nő:
Ugyanígy — „\(k\)-szor” — viselkedik minden lineáris mennyiség: magasságok, súlyvonalak, szögfelezők, beírt és köréírt körök sugarai, középvonalak.
A területek \(k^2\) arányban viszonyulnak egymáshoz. A terület egyszerre két dimenziótól függ: az alap és a magasság is \(k\)-szor nő, a szorzatuk pedig \(k \cdot k\)-szor:
Legyen \(k = 5\). Akkor a kerület 5-ször nagyobb (például 14 cm volt — 70 cm lett), a terület pedig már 25-ször (6 cm² volt — 150 cm² lett). A különbség hatalmas, és a \(k^2\) helyett \(k\)-t behelyettesíteni a leggyakoribb hiba a vizsgán.
Fordított irány. Ha a feladatban a területek aránya adott, a hasonlósági arányt gyökvonással kapjuk meg: \(k = \sqrt{S_2 : S_1}\). Például, ha a területek aránya \(16 : 1\), akkor az oldalak aránya \(4 : 1\).
| k | Kerületek P₂ : P₁ | Területek S₂ : S₁ |
|---|---|---|
| 2 | 2 : 1 | 4 : 1 |
| 3 | 3 : 1 | 9 : 1 |
| 1,5 | 1,5 : 1 | 2,25 : 1 |
| bármilyen | k : 1 | k² : 1 |
Derékszögű háromszögek hasonlósága és a magasság a derékszögű csúcsból
Derékszögű háromszögeknél az első alapeset egyszerűsödik: a derékszögek eleve egyenlők, ezért elég egy hegyesszög egyenlősége, hogy a háromszögek hasonlók legyenek. Ebből következik a két befogó szerinti alapeset is: ha az egyik háromszög befogói arányosak a másikéval, a háromszögek hasonlók (ez a második alapeset, hiszen a befogók közötti szög derékszög).
A téma leghasznosabb konfigurációja — a derékszögű csúcsból húzott magasság. Ez két részre osztja a háromszöget, és mindhárom keletkező háromszög hasonló egymáshoz.
Miért van ez így: az \(AHC\) háromszögnek derékszöge van \(H\)-nál és közös szöge \(A\) a nagy háromszöggel, tehát \(\triangle AHC \sim \triangle ACB\). A \(CHB\) háromszögnek derékszöge van \(H\)-nál és közös szöge \(B\), tehát \(\triangle CHB \sim \triangle ACB\). Ebből következik, hogy a két kis háromszög is hasonló egymáshoz.
Ezekből a hasonlóságokból származnak a mértani közép képletei (ezeket arányos szakaszoknak nevezik a derékszögű háromszögben):
- \(CH^2 = AH \cdot HB\) — a magasság az átfogó azon szakaszainak mértani közepe, amelyekre a magasság osztja az átfogót;
- \(AC^2 = AH \cdot AB\) és \(BC^2 = HB \cdot AB\) — a befogó a teljes átfogó és az átfogóra eső vetületének mértani közepe.
A legfontosabb, hogy ne keverd össze, melyik szakasz a „sajátja”: az \(AC\) befogó vetülete \(AH\), a \(BC\) befogóé \(HB\). A vetület mindig ahhoz az átfogó-végponthoz csatlakozik, amelyhez a befogó is.
OKTV-feladatok hasonlóságról: hogyan találjuk meg az oldalt
Szinte minden hasonlósági feladat egy algoritmus szerint oldható meg:
- Keress egyenlő szögpárt — közös szög, csúcs-szögek, váltószögek párhuzamos egyeneseknél vagy két derékszög.
- Írd fel a hasonlóságot a csúcsok helyes sorrendjében — úgy, hogy az egyenlő szögek azonos pozícióban legyenek.
- Alkoss aránypárt a megfelelő oldalakból (vedd a jelölésben azonos helyen álló oldalakat).
- Fejezd ki az ismeretlent és számold ki; a végén ellenőrizd a választ értelem szerint — a kisebb háromszög oldalának kisebbnek kell lennie.
Az OKTV-ben kevés a tipikus konfiguráció, és érdemes őket első pillantásra felismerni:
- Oldallal párhuzamos egyenes. Az egyenes levág a háromszögből egy kis háromszöget, amely hasonló az eredetihez. Kulcsfontosságú finomság: az aránypárba a teljes oldalak aránya kerül a közös csúcstól (\(BM : BA\)), nem a szakaszoké (\(BM : MA\)).
- „Pillangó”. Két szakasz metszi egymást, a végpontjaikat pedig párhuzamos egyenesek kötik össze — két hasonló háromszög keletkezik, egymáshoz képest elforgatva.
- Magasság a derékszögű csúcsból — az előző fejezet konfigurációja; az OKTV-ben ezzel keresik a magasságot, a befogót vagy az átfogó egy szakaszát.
- Árnyék és tárgy magassága. A napsugarak párhuzamosak, ezért a tárgy az árnyékával és a fa az árnyékával hasonló derékszögű háromszögeket alkot.
- Középvonal — speciális eset \(k = 2\)-vel: párhuzamos az oldallal és feleakkora.
a B szög közös, az M és A szögek egyállásúak
az O-nál lévő szögek csúcs-szögek, az A és C szögek váltószögek
Példák háromszögek hasonlóságával kapcsolatos feladatok megoldására
1. példa. Oldalak keresése a hasonlósági arány alapján
Feladat. \(\triangle MNK \sim \triangle PQR\). Ismert, hogy \(MN = 7\), \(NK = 11\), \(MK = 9\) és \(PQ = 21\). Keresd meg \(QR\)-t és \(PR\)-t.
1. lépés. Elemezzük a jelölést pozíciók szerint: \(M \leftrightarrow P\), \(N \leftrightarrow Q\), \(K \leftrightarrow R\). Tehát a megfelelő párok a következők: \(MN\) és \(PQ\), \(NK\) és \(QR\), \(MK\) és \(PR\).
2. lépés. Kiszámoljuk az arányt az egyetlen pár alapján, ahol mindkét oldal ismert:
3. lépés. A második háromszög többi oldala 3-szor nagyobb a megfelelő oldalaknál:
Válasz: \(QR = 33\), \(PR = 27\). Ellenőrzés: \(33 : 11 = 27 : 9 = 3\) — minden arány megegyezett.
2. példa. Hasonlóság bizonyítása a második alapeset szerint
Feladat. Az \(ABC\) és \(DEF\) háromszögekben ismert: \(AB = 5\), \(AC = 9\), \(DE = 15\), \(DF = 27\), és az \(A\) és \(D\) szögek egyenlők. Bizonyítsd be, hogy a háromszögek hasonlók.
1. lépés. Ellenőrizzük a második alapeset fő feltételét: az \(A\) szög az \(AB\) és \(AC\) oldalak között fekszik, a \(D\) szög a \(DE\) és \(DF\) között. A szögek az adott oldalak között vannak — az alapeset alkalmazható.
2. lépés. Kiszámoljuk a megfelelő oldalak arányát:
3. lépés. Két oldal párja arányos ugyanazzal a \(k = 3\) aránnyal, a közbezárt szögek egyenlők — a második alapeset szerint \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\).
Válasz: a háromszögek hasonlók, \(k = 3\). Figyelem: ha a \(B\) és \(D\) szögek lettek volna egyenlők, az alapeset nem működött volna — a \(B\) szög nem fekszik az \(AB\) és \(AC\) között.
3. példa. Oldallal párhuzamos egyenes (OKTV-feladat)
Feladat. Az \(ABC\) háromszögben az \(M\) pont az \(AB\) oldalon, az \(N\) pont a \(BC\) oldalon fekszik, ráadásul \(MN \parallel AC\). Ismert, hogy \(BM = 4\), \(MA = 12\), \(MN = 5\). Keresd meg \(AC\)-t.
1. lépés. Mivel \(MN \parallel AC\), a \(BMN\) és \(BAC\) szögek egyállásúak, a \(B\) szög pedig közös. Az első alapeset szerint \(\triangle BMN \sim \triangle BAC\) (csúcsok sorrendje: \(M \leftrightarrow A\), \(N \leftrightarrow C\)).
2. lépés. Megkeressük a teljes oldalt a közös csúcstól: \(BA = BM + MA = 4 + 12 = 16\). Ez a fő finomság — az aránypárba \(BA\) kerül, nem \(MA\).
3. lépés. Felírjuk az aránypárt a megfelelő oldalak szerint:
4. lépés. Innen \(AC = 5 \cdot 4 = 20\).
Válasz: \(AC = 20\). A hasonlósági arány itt 4: a nagy háromszög négyszer akkora, mint a levágott.
4. példa. Kerületek és területek
Feladat. Hasonló háromszögek kerülete 18 cm és 45 cm. A kisebb háromszög területe 16 cm². Keresd meg a nagyobb háromszög területét.
1. lépés. A kerületek a hasonlósági arány szerint viszonyulnak egymáshoz:
2. lépés. A területek az arány négyzetével viszonyulnak egymáshoz: \(k^2 = 2{,}5^2 = 6{,}25\).
3. lépés. Megszorozzuk a kisebb háromszög területét \(k^2\)-tel:
Válasz: 100 cm². Ha \(k = 2{,}5\)-tel szoroztunk volna, 40 cm²-t kaptunk volna — tipikus hiba, ami miatt az egész pontot elveszítheted.
5. példa. Magasság a derékszögű csúcsból
Feladat. Az \(ABC\) derékszögű háromszögben, amelynek derékszöge a \(C\) csúcsnál van, \(CH\) magasságot húztunk az átfogóhoz. Ismert, hogy \(AH = 4\) cm, \(HB = 9\) cm. Keresd meg a \(CH\) magasságot és a háromszög területét.
1. lépés. A derékszögű csúcsból húzott magasság az átfogó szakaszainak mértani közepe, mert \(\triangle AHC \sim \triangle CHB\):
2. lépés. Gyököt vonunk: \(CH = 6\) cm.
3. lépés. Az átfogó \(AB = AH + HB = 4 + 9 = 13\) cm. A területet az átfogó és a hozzá húzott magasság segítségével számoljuk:
Válasz: \(CH = 6\) cm, \(S = 39\) cm².
6. példa. Fa magassága az árnyéka alapján
Feladat. Egy 2 m magas függőleges rúd 1,5 m hosszú árnyékot vet. Ugyanebben a pillanatban a fa árnyéka 9 m. Mekkora a fa magassága?
1. lépés. A napsugarak párhuzamosak, ezért a sugár beesési szöge a rúdra és a fára ugyanaz. A rúd az árnyékával és a fa az árnyékával egyenlő hegyesszögű derékszögű háromszögeket alkot — tehát hasonlók.
2. lépés. Felírjuk a „magasság az árnyékához” aránypárt:
3. lépés. Kifejezzük az ismeretlen magasságot:
Válasz: 12 m. Értelem szerinti ellenőrzés: a fa árnyéka 6-szor hosszabb a rúd árnyékánál, tehát a fa is 6-szor magasabb: \(2 \cdot 6 = 12\) m.
Gyakori hibák a háromszögek hasonlóságával kapcsolatos feladatokban
-
Azt hiszik, hogy a hasonló háromszögek területe $k$ arányban viszonyul egymáshoz: $k = 3$ esetén háromszorosára növelik a területet.
A területek a hasonlósági arány négyzetével viszonyulnak egymáshoz: \(k = 3\) esetén a terület \(3^2 = 9\)-szer nagyobb. Csak a lineáris mennyiségek — oldalak, kerület, magasságok, súlyvonalak — viszonyulnak \(k\) arányban. Segítő szabály: a területet négyzetes egységekben mérjük, tehát az arány is négyzetesen szerepel benne.
-
Figyelmen kívül hagyják a csúcsok sorrendjét: a $\triangle ABC \sim \triangle KLM$ jelölésből $AB : LM$ aránypárt alkotnak.
A csúcsok megfelelése a jelölésben lévő pozíciók által adott: \(A \leftrightarrow K\), \(B \leftrightarrow L\), \(C \leftrightarrow M\). Az \(AB\)-nek megfelelő oldal a \(KL\) lesz, a \(BC\)-nek pedig az \(LM\). Mielőtt aránypárt írnál, írd fel a csúcsok párjait oszlopba — ez öt másodpercet vesz igénybe és kiküszöböli a legtöbb hibát.
-
Egy egyenlő szög vagy két arányos oldal alapján bizonyítják a hasonlóságot szög nélkül.
Egy egyenlő szög kevés: két háromszögnek lehet egyenlő szöge teljesen különböző alak mellett. Teljes alapeset szükséges — két szög, vagy két oldal és a közbezárt szög, vagy mindhárom oldal.
-
A második alapesetnél olyan szöget vesznek, amely nem az adott oldalak között fekszik.
A második alapeset csak a két adott oldal közötti szöggel működik. Ha ismert \(AB\), \(AC\) és egyenlő a \(B\) szög, az alapeset nem alkalmazható — keress más utat: egyenlő szögpárt vagy a harmadik oldalt.
-
Megfordítják az arányt: a $k$-t „kisebb oldal a nagyobbal” arányként találják meg, majd megszorozzák vele, hogy megkapják a nagyobb háromszög oldalát.
Egyeztesd magaddal az irányt: ha \(k\) a második háromszög oldalainak aránya az elsőhöz, akkor az első oldalait megszorozzuk \(k\)-val, a második oldalait pedig eljük \(k\)-val. Végső ellenőrzés értelem szerint: a kisebb háromszög oldalának kisebbnek kell lennie.
-
Az oldallal párhuzamos egyeneses feladatban a szakaszokból alkotnak aránypárt: $BM : MA = MN : AC$.
A \(BMN\) és \(BAC\) háromszögek hasonlók, a megfelelő oldalaik pedig \(BM\) és \(BA\) (a teljes oldal a közös csúcstól), nem az \(MA\) szakasz. Először keresd meg \(BA = BM + MA\)-t, és csak azután alkoss aránypárt.
-
Összekeverik a hasonlóságot az egybevágósággal, és a válaszban azt írják, hogy az oldalak egyszerűen egyenlők.
Az egybevágóság a hasonlóság speciális esete \(k = 1\) mellett. Ha \(k \ne 1\), a háromszögeknek csak a szögei egyeznek meg, az oldalaik pedig \(k\) arányban különböznek. Az alapesetek is különbözőek: egybevágóságnál ez az OSO, SOS, OOO egyenlő oldalakkal, hasonlóságnál pedig arányos oldalak.
Kérdések és válaszok
Milyen háromszögeket nevezünk hasonlónak?
Hasonlónak azokat a háromszögeket nevezzük, amelyeknek szögei rendre egyenlők, megfelelő oldalaik pedig arányosak. Egyszerűbben szólva, ezek azonos alakú, de különböző méretű háromszögek. A hasonlóságot a ∼ jellel jelöljük: △ABC ∼ △A₁B₁C₁.
Mi a háromszögek hasonlósági aránya?
A \(k\) hasonlósági arány egy szám, amely a hasonló háromszögek megfelelő oldalainak arányával egyenlő: k = A₁B₁ : AB = B₁C₁ : BC = A₁C₁ : AC. Megmutatja, hányszor nagyobb az egyik háromszög a másiknál. k = 1 esetén a háromszögek egybevágók.
Hány hasonlósági alapeset van és melyek azok?
Három alapeset van. Az első — két szög alapján: az egyik háromszög két szöge egyenlő a másik háromszög két szögével. A második — két oldal és a közbezárt szög alapján: két oldal arányos és a közbezárt szögek egyenlők. A harmadik — három oldal alapján: mindhárom megfelelő oldalpár arányos.
Hogyan viszonyulnak a hasonló háromszögek területei?
A hasonló háromszögek területei a hasonlósági arány négyzetével viszonyulnak egymáshoz: S₂ : S₁ = k². Például k = 4 esetén a terület 16-szor nagyobb. Fordítva: ha a területek 25 : 1 arányban viszonyulnak, akkor az oldalak 5 : 1 arányban viszonyulnak.
Hogyan viszonyulnak a hasonló háromszögek kerületei?
A kerületek a hasonlósági arány szerint viszonyulnak egymáshoz: P₂ : P₁ = k. Ugyanígy viselkedik minden lineáris elem — magasságok, súlyvonalak, szögfelezők, középvonalak, beírt és köréírt körök sugarai.
Miben különbözik a háromszögek hasonlósága az egybevágóságtól?
Az egybevágó háromszögeknek a szögei és az oldalai is megegyeznek, ezért az alakzatok egymásra helyezhetők. A hasonló háromszögeknek csak a szögei egyeznek meg, az oldalaik pedig k arányban arányosak. Az egybevágóság a hasonlóság speciális esete k = 1 mellett.
Hogyan bizonyítsuk derékszögű háromszögek hasonlóságát?
Elég egy hegyesszög egyenlősége: a derékszögek már egyenlők, tehát az első alapeset működik. A második módszer — a befogók arányossága: a befogók közötti szög derékszög, tehát a második hasonlósági alapeset alkalmazható.
Miért ad a derékszögű csúcsból húzott magasság három hasonló háromszöget?
A C derékszögű csúcsból húzott CH magasság az ABC háromszöget AHC és CHB háromszögekre osztja. Az AHC-nek derékszöge van H-nál és közös szöge A az ABC-vel, a CHB-nek derékszöge van H-nál és közös szöge B, ezért mindkettő hasonló az eredetihez, tehát egymáshoz is. Ebből származnak a CH² = AH · HB, AC² = AH · AB és BC² = HB · AB képletek.
Melyik osztályban tanulják a háromszögek hasonlóságát?
- osztályban geometria órákon — közvetlenül az arányos szakaszok témája után. Ott tanulják a három hasonlósági alapesetet, a területek arányát és a hasonlóság alkalmazását derékszögű háromszögre. Később a téma a 9. osztályban és az OKTV-feladatokban használatos.
