A koszinusztétel háromszög három oldalát és egy szögét köti össze: \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\). Ez bármelyik háromszögben érvényes, ezért a 9. osztályban ez helyettesíti a Pitagorasz-tételt ott, ahol nincs derékszög. Segítségével megkereshető a harmadik oldal, ha ismert a másik kettő és a köztük lévő szög, a következménye alapján pedig \(\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\) – bármelyik szög megkereshető három oldal alapján, valamint a háromszög típusa. Az oldalon – a megfogalmazás és a képlet mindhárom alakja, bizonyítás, koszinusztáblázat, „szinusz vagy koszinusz” emlékeztető, OKR feladatok elemzése és önellenőrző gyakorló található.
Kosinusztétel: megfogalmazás és képlet
A koszinusztétel bármelyik háromszögben érvényes – nincs szüksége derékszögre. Három oldalt és egy szöget kapcsol össze, ezért segítségével megkereshető egy oldal, ha ismert a másik kettő és a köztük lévő szög.
Megfogalmazás. A háromszög egyik oldalának négyzete megegyezik a másik két oldal négyzetének összegével, mínusz e két oldal szorzatának kétszerese, szorozva a köztük lévő szög koszinuszával.
Itt \(a\), \(b\), \(c\) a háromszög oldalai, \(C\) pedig az \(a\) és \(b\) oldalak közötti szög; a \(c\) oldal ezzel a szöggel szemben fekszik. A betűk bármilyenek lehetnek – a képlet szimmetrikus, ezért három egyenrangú alakja van:
A behelyettesítés fő szabálya: azt a szöget vegyük, amely a szorzatban szereplő két oldal közé esik, és a vele szemben fekvő oldalt keressük. Ha a „szomszédos” szöget vesszük, minden szám a feltételből származik, a válasz pedig – téves lesz.
Miért a Pitagorasz-tétel a koszinusztétel speciális esete
Helyettesítsünk be a képletbe egy derékszöget, azaz \(C = 90°\). A derékszög koszinusza nulla, ezért a harmadik tag teljesen eltűnik:
Pontosan a 8. osztályból ismert Pitagorasz-tételt kaptuk. Ezért nevezik a koszinusztételt annak általánosításának: a Pitagorasz-tétel a „speciális eset 90°-nál”, a koszinusztétel pedig minden szögre érvényes egyszerre.
A \(-2ab\cos C\) tagot kényelmesen úgy érthetjük, mint korrekciót a szög nem derékszögűségére:
- a szög hegyesszög, \(\cos C > 0\) – a korrekciót levonjuk, a \(c\) oldal rövidebb lesz, mint amit a Pitagorasz-tétel adna;
- a szög derékszög, \(\cos C = 0\) – nincs korrekció, marad \(c^2 = a^2 + b^2\);
- a szög tompaszög, \(\cos C < 0\) – a korrekciót hozzáadjuk, a \(c\) oldal hosszabb lesz.
A koszinusztétel bizonyítása
A legrövidebb iskolai bizonyítás a koordinátás módszer. Helyezzük el a \(C\) csúcsot a koordinátarendszer origójában, az \(b = CA\) oldalt pedig az x-tengelyre. Ekkor a csúcsok koordinátái a következők:
- \(C(0;\ 0)\) – az origó;
- \(A(b;\ 0)\) – egy pont az x-tengelyen, \(b\) távolságra az origótól;
- \(B(a\cos C;\ a\sin C)\) – egy csúcs, amely \(a\) távolságra van az origótól, \(C\) szöget zárva be az x-tengellyel.
A \(c\) oldal az \(AB\) szakasz hossza. Számítsuk ki a két pont közötti távolság képletével:
Bontsuk fel a zárójeleket:
Csoportosítsuk az \(a^2\)-es tagokat, és alkalmazzuk a fő trigonometriai azonosságot \(\sin^2 C + \cos^2 C = 1\):
Amit bizonyítani kellett. Figyelj: sehol sem volt szükség arra, hogy a \(C\) szög hegyesszög legyen. Ha tompaszög, a koszinusz negatív, az \(a\cos C\) koordináta az y-tengelytől balra esik, de minden számítás ugyanaz marad – ezért a tétel minden háromszögre érvényes.
Következmény: hogyan keressünk szöget három oldal alapján
A koszinusztételből kifejezzük magát a koszinuszt – ez a fő következménye. Segítségével megkereshető a szög, ha ismert mindhárom oldal:
A számlálóban – a szöghöz szomszédos két oldal négyzetének összege, mínusz a vele szemben fekvő oldal négyzetének különbsége. A nevezőben – a szomszédos oldalak szorzatának kétszerese. Más szögekre is hasonló képletek érvényesek:
A megoldás menete:
- válasszuk ki a keresett szöget, és határozzuk meg, melyik oldal fekszik vele szemben – annak négyzete kerül a számlálóba mínusz előjellel;
- számítsuk ki a törtet (a nevező mindig pozitív, az előjelet csak a számláló határozza meg);
- az értékek táblázata vagy az arkuszkoszinusz segítségével keressük meg magát a szöget.
Hasznos tipp: kezdjük a legnagyobb oldallal. Azzal szemben fekszik a legnagyobb szög, és csak ez lehet derékszög vagy tompaszög – a háromszög másik két szöge mindig hegyesszög.
Tompaszögek koszinusza: értéktáblázat
Az iskolai feladatokban a szögek szinte mindig „táblázatosak”: 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°. A hegyesszögek koszinusza pozitív, a derékszögé nulla, a tompaszögeké pedig negatív. A tompaszögek értékeit a hegyesszögek értékeiből kapjuk az átviteli szabály segítségével: \(\cos(180° - \alpha) = -\cos\alpha\): például, \(\cos 120° = -\cos 60° = -0{,}5\).
Mit jelent ez a gyakorlatban: tompaszög esetén a \(-2ab\cos C\) kifejezés plusz előjelűvé válik – mínusz és mínusz. A \(120°\)-os szög esetén a képlet így néz ki:
Pontosan itt veszítenek pontot a legtöbben: \(-0{,}5\) helyett \(0{,}5\)-öt helyettesítenek be, és rövidebb oldalt kapnak, mint amit a Pitagorasz-tétel adna. Ez eleve lehetetlen – a tompaszöggel szemben a háromszög leghosszabb oldala fekszik.
| Szög | Koszinusz |
|---|---|
| 30° | √3/2 ≈ 0,87 |
| 45° | √2/2 ≈ 0,71 |
| 60° | 1/2 = 0,5 |
| 90° | 0 |
| 120° | −1/2 = −0,5 |
| 135° | −√2/2 ≈ −0,71 |
| 150° | −√3/2 ≈ −0,87 |
Hogyan határozzuk meg a háromszög típusát három oldal alapján
A koszinusztétel lehetővé teszi a háromszög típusának meghatározását szögmérő használata nélkül. A \(\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\) tört előjele csak a számlálótól függ: a nevező \(2ab\) mindig pozitív. Tehát elegendő összehasonlítani a leghosszabb oldal négyzetét a másik két oldal négyzetének összegével.
Legyen \(c\) a leghosszabb oldal, ekkor vele szemben fekszik a legnagyobb \(C\) szög:
- \(a^2 + b^2 > c^2\) → \(\cos C > 0\) → \(C\) szög hegyesszög. A többi szög nála kisebb, tehát mindhárom szög hegyesszög – a háromszög hegyesszögű;
- \(a^2 + b^2 = c^2\) → \(\cos C = 0\) → \(C = 90°\) – a háromszög derékszögű (ez a Pitagorasz-tétel megfordítása);
- \(a^2 + b^2 < c^2\) → \(\cos C < 0\) → \(C\) szög tompaszög – a háromszög tompaszögű.
Nem kell a többi szöget vizsgálni: a háromszögben csak egy derékszög vagy tompaszög lehet. És ne feledkezz meg a háromszög-egyenlőtlenségről – ha a leghosszabb oldal nem kisebb, mint a másik kettő összege, akkor ilyen oldalakkal rendelkező háromszög egyáltalán nem létezik.
Szinusztétel vagy koszinusztétel: hogyan válasszunk
Mindkét tétel ugyanazt a feladatot oldja meg – a háromszög ismeretlen oldalait és szögeit keresi –, de különböző adathalmazok alapján. A szinusztétel az oldalt és a vele szemben fekvő szöget kapcsolja össze:
Innen az választási szabály: ha a feltételben már szerepel egy „oldal és vele szemközti szög” pár – akkor a szinusztétel működik; ha ilyen pár nincs – akkor a koszinusztétellel kezdjük. A négy iskolai adathalmazra vonatkozó emlékeztető – a táblázatban.
Gyakran a feladat két lépésben oldható meg: először a koszinusztétel adja meg a harmadik oldalt, majd a szinusztétel gyorsan megtalálja a többi szöget.
| Mi ismert | Mit alkalmazunk |
|---|---|
| KÉSZKét oldal és a közbezárt szög | Kosinusztétela harmadik oldalt keressük meg |
| SSSMindhárom oldal | Kosinusztételbármelyik szöget és a háromszög típusát keressük meg |
| SZSZSZEgy oldal és két szög | Szinusztétela másik két oldalt keressük meg |
| SSZSZKét oldal és az egyikkel szemközti szög | Szinusztétela vele szemközti szöget keressük meg |
Kosinusztétel az OKR feladatokban
A matematika OKR vizsgán a koszinusztétel a síkgeometriai feladatokban fordul elő – mind az első részben, mind a kifejtendő válaszú feladatokban. Tipikus történetek a következők:
- Oldal keresése két oldal és a közbezárt szög alapján – a képlet közvetlen alkalmazása, leggyakrabban 60° vagy 120° szögekkel.
- Szög vagy koszinuszának keresése három oldal alapján – a következmény \(\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\). Ha a feladatban az áll: „keressétek meg \(\cos\angle A\)-t”, akkor nem kell arkuszkoszinuszt venni: a válasz maga a tört, azt kell beírni.
- Paralelogramma átlói. Az átló egy háromszöget vág le két oldalából és a közbezárt szögből. A paralelogramma szomszédos szögei 180°-ot adnak össze, ezért koszinuszaik ellentétesek: a hegyesszöggel szemben kisebb átló, a tompaszöggel szemben nagyobb átló fekszik.
- Három szám alapján a háromszög típusa – az \(a^2 + b^2\) és \(c^2\) összehasonlítása.
- Háromszög súlyvonala. Az \(m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}\) képlet a koszinusztétel kétszeri alkalmazásával vezethető le két szomszédos alapon fekvő szög esetén.
Tanács a vizsgán: mielőtt számolnál, jelöld be a rajzon azt a szöget, amelyik az ismert oldalak közé „van zárva”. Ha ilyen szög nincs – a koszinusztétel még nem alkalmazható, más utat kell keresni.
Példák a koszinusztételes feladatok megoldására
1. példa. Oldal keresése két oldal és 60°-os szög alapján
Feladat. Egy \(ABC\) háromszögben az \(a = 7\) és \(b = 15\) oldalak, a közbezárt \(C = 60°\) szög. Keressétek meg a \(c\) oldalt.
1. lépés. A \(C\) szög az \(a\) és \(b\) oldalak közé esik – ez pontosan az az eset, amire a tételt kitalálták:
2. lépés. Helyettesítsük be a számokat, \(\cos 60° = 0{,}5\):
3. lépés. Vonjunk gyököt: \(c = \sqrt{169} = 13\).
Válasz: \(13\). Ellenőrzés a tartalom szerint: a \(60°\)-os szög hegyesszög, ezért a vele szemközti oldal nem a leghosszabb – valóban, \(13 < 15\).
2. példa. Tompaszög: mínusz és mínusz
Feladat. Egy \(ABC\) háromszögben ismert: \(AB = 6\), \(BC = 10\), \(B = 120°\). Keressétek meg az \(AC\) oldalt.
1. lépés. A \(B\) szög az \(AB\) és \(BC\) oldalak közé esik, az \(AC\) oldal pedig vele szemben fekszik:
2. lépés. A szög tompaszög, ezért \(\cos 120° = -0{,}5\). A szorzat előtti mínusz és a koszinusz mínusza pluszt ad:
3. lépés. \(AC = \sqrt{196} = 14\).
Válasz: \(14\). Ellenőrzés: a tompaszöggel szemben a leghosszabb oldal fekszik – \(14\) nagyobb, mint \(6\) és \(10\) is.
3. példa. Szög keresése három oldal alapján
Feladat. A háromszög oldalai \(3\), \(5\) és \(7\). Keressétek meg a legnagyobb szögét.
1. lépés. A legnagyobb szög a leghosszabb oldal, azaz a \(7\)-es oldal szemben fekszik. Jelöljük \(C\)-vel, ekkor \(c = 7\), a szomszédos oldalak pedig \(a = 3\) és \(b = 5\).
2. lépés. Alkalmazzuk a következményt:
3. lépés. A koszinusz negatív – a szög tompaszög. Az értékek táblázata szerint \(\cos 120° = -0{,}5\), tehát \(C = 120°\).
Válasz: \(120°\). Mellékesen kiderült, hogy a háromszög tompaszögű.
4. példa. A háromszög típusának meghatározása
Feladat. Határozzátok meg a \(6\), \(7\) és \(10\) oldalú háromszög típusát.
1. lépés. Ellenőrizzük a háromszög-egyenlőtlenséget: \(6 + 7 = 13 > 10\) – a háromszög létezik. A leghosszabb oldal – \(10\).
2. lépés. Hasonlítsuk össze a két rövidebb oldal négyzetének összegét a leghosszabb oldal négyzetével:
3. lépés. \(85 < 100\), tehát a tört számlálója negatív, és \(\cos C < 0\) – a \(10\)-es oldal szemközti szöge tompaszög. Ha szükséges, megkereshetjük magát a szöget is:
Válasz: a háromszög tompaszögű. Figyelj: „szemmel” ez nem látszik – az oldalak szinte egyenlők, a szög pedig már \(90°\) fölé ment.
5. példa. OKR szintű feladat: paralelogramma átlója
Feladat. A paralelogramma oldalai \(5\) és \(8\), a hegyesszöge \(60°\). Keressétek meg a rövidebb átlót.
1. lépés. Az átló egy háromszöget vág le, amelynek ismert két oldala (\(5\) és \(8\)) és a közbezárt szöge. A rövidebb átló a hegyesszög, \(60°\) szemben fekszik.
2. lépés. Számítsunk:
3. lépés. Ellenőrzés. A másik átló a \(120°\)-os szög szemben fekszik (a paralelogramma szomszédos szögei \(180°\)-ot adnak össze): \(D^2 = 89 + 40 = 129\), tehát \(D = \sqrt{129} \approx 11{,}4\). Az átlók négyzetének összege \(49 + 129 = 178\), a paralelogramma oldalai négyzetének kétszerese pedig \(2(25 + 64) = 178\). Egyezik, tehát a számítás helyes.
Válasz: \(7\).
Gyakori hibák a koszinusztételes feladatokban
-
A tompaszög koszinuszát pozitív előjellel veszik. A $4$ és $9$ oldalú, $120°$-os közbezárt szöggel rendelkező háromszögnél $c^2 = 16 + 81 - 2 \cdot 4 \cdot 9 \cdot 0{,}5 = 61$-et írnak, és $c \approx 7{,}8$-at kapnak.
\(\cos 120° = -0{,}5\), a mínusz és mínusz pluszt ad: \(c^2 = 97 + 36 = 133\), tehát \(c = \sqrt{133} \approx 11{,}5\). Gyors ellenőrzés: a tompaszöggel szemben a leghosszabb oldal fekszik, ezért a válasznak \(9\)-nél nagyobbnak kell lennie.
-
A megadott oldalak közé nem eső szöget helyettesítenek be: a feltételben meg van adva egy szög, és azt „ahogy van” veszik, a rajzot nem nézve.
A \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\) képletben az \(a\) és \(b\) oldalak a \(C\) szöget alkotják, a \(c\) oldal pedig vele szemben fekszik. Ha az ismert szög a keresett oldalhoz kapcsolódik, ez a képlet nem megfelelő – másikat kell használni a három közül, vagy a szinusztételt.
-
Elfelejtik kivonni a gyököt, és a oldal négyzetét írják válaszként: $c^2 = 225$-öt kaptak, és azt írják: „az oldal 225”.
A képlet mindig az oldal négyzetét adja meg. Az utolsó lépés kötelező: \(c = \sqrt{225} = 15\). A feladat kérdését olvasd el figyelmesen, mielőtt válaszolsz.
-
Összekeverik a tagok sorrendjét a következményben, és azt írják $\cos C = \dfrac{c^2 - a^2 - b^2}{2ab}$.
A helyes számláló – \(a^2 + b^2 - c^2\): a szomszédos oldalak négyzetének összege mínusz a szemközti oldal négyzetének különbsége. Felcserélés esetén a tört előjele ellentétesre változik, és a \(120°\)-os tompaszög helyett \(60°\)-os hegyesszöget kapunk.
-
A szög koszinuszának modulusza alapján keresik meg a szöget: −0,25-öt kaptak, de a válaszban hegyesszöget írnak, mintha a koszinusz +0,25 lett volna.
A negatív koszinusz mindig tompaszöget jelent. Az előjelet nem szabad elhagyni: cos 60° = 0,5, míg cos 120° = −0,5; a negatív szám arkuszkoszinusza nagyobb, mint 90°.
-
Megpróbálják a „két oldal és a közbezárt szög” feladatot szinusztétellel megoldani, és elakadnak az első sorban.
A szinusztételhez egy kész „oldal és vele szemközti szög” párra van szükség. Két oldal és a közbezárt szög esetén ilyen pár nincs – először a koszinusztétel adja meg a harmadik oldalt, és csak azután kapcsolódik be a szinusztétel.
Kérdések és válaszok
Hogyan hangzik a koszinusztétel?
A háromszög egyik oldalának négyzete megegyezik a másik két oldal négyzetének összegével, mínusz e két oldal szorzatának kétszerese, szorozva a közbezárt szög koszinuszával: c² = a² + b² − 2ab·cos C. A tétel bármelyik háromszögre érvényes, nem csak a derékszögűre.
Hogyan keressünk meg egy háromszög oldalt két oldal és a közbezárt szög alapján?
Helyettesítsük be az adatokat a c² = a² + b² − 2ab·cos C képletbe, és vonjunk gyököt. Például, 4 és 6 oldalakkal és a köztük lévő 60°-os szöggel: c² = 16 + 36 − 2·4·6·0,5 = 28, tehát c = √28 ≈ 5,3.
Hogyan keressünk meg egy háromszög szöget, ha ismert mindhárom oldal?
A koszinusztétel következménye alapján: cos C = (a² + b² − c²) / (2ab), ahol c a keresett szöggel szemközti oldal. Például, 2, 3 és 4 oldalakkal a legnagyobb szög koszinusza (4 + 9 − 16) / (2·2·3) = −0,25, tehát a szög tompaszög, körülbelül 104°.
Miért a Pitagorasz-tétel a koszinusztétel speciális esete?
Mert derékszög esetén cos 90° = 0, és a −2ab·cos C tag nullázódik. A képletből marad c² = a² + b² – ez a Pitagorasz-tétel a derékszögű háromszögre.
Működik-e a koszinusztétel tompaszögű háromszögben?
Igen, és változatlanul működik. A tompaszög koszinusza negatív, ezért a −2ab·cos C tag pozitívvá válik és hozzáadódik a négyzetek összegéhez. Pontosan emiatt a tompaszöggel szemközti oldal a leghosszabb.
Mikor alkalmazzuk a szinusztételt, és mikor a koszinusztételt?
A szinusztétel akkor szükséges, ha a feltételben már szerepel egy „oldal és vele szemközti szög” pár – például, adott egy oldal és két szög. A koszinusztétel akkor, ha ilyen pár nincs: adott két oldal és a közbezárt szög, vagy mindhárom oldal. Gyakran a feladatot két lépésben oldják meg: először koszinusz, majd szinusz.
Hogyan határozzuk meg a háromszög típusát három oldal alapján?
Hasonlítsuk össze a leghosszabb oldal négyzetét c² a másik két oldal négyzetének összegével. Ha a² + b² > c² – a háromszög hegyesszögű, ha a² + b² = c² – derékszögű, ha a² + b² < c² – tompaszögű. Ennek a különbségnek az előjele megegyezik a legnagyobb szög koszinuszának előjelével.
Melyik osztályban tanítják a koszinusztételt?
A 9. osztályban geometria órákon, a „Relációk az oldalak és szögek között” témában – a szinusztétellel együtt. Később folyamatosan használják az OKR és az érettségi feladatokban síkgeometriából és térgeometriából is.
