Kružnica stvara dvije glavne vrste kutova: središnji – s vrhom u središtu, i upisani – s vrhom na samoj kružnici. Veza između njih je jednostavna: središnji kut jednak je luku nad kojim se nalazi, a upisani kut je jednak polovici tog luka. Na ovoj stranici pronaći ćete definicije, teorem o upisanom kutu sa svim posljedicama, zorne crteže, detaljna rješenja zadataka i interaktivni simulator na kojem se možete odmah provjeriti.
Vrste kutova u kružnici: središnji i upisani
Nacrtajmo u kružnici dva pravca iz jedne točke – dobit ćemo kut. Ovisno o tome gdje se nalazi njegov vrh, razlikujemo dvije osnovne vrste kutova u kružnici:
- Središnji kut – kut s vrhom u središtu kružnice \(O\). Njegovi krakovi su polumjeri.
- Upisani kut – kut čiji vrh leži na kružnici, a krakovi je sijeku (to jest, krakovi su tetive).
Svaki od ovih kutova pripada luku – dijelu kružnice koji se nalazi unutar kuta. Upravo luk povezuje središnji i upisani kut: oba se izražavaju preko njegove kutne mjere.
Ako se vrh kuta nalazi unutar kruga (ali ne u središtu) ili izvan njega – to više nije ni upisani ni središnji kut: za takve kutove postoje posebne formule, o kojima ćemo govoriti na kraju stranice.
∠AOC = luku AC = 120°
∠ABC = ½ luka AC = 60°
Teorem o upisanom kutu i veličina upisanog kuta
Središnji kut jednak je luku nad kojim se nalazi – tako se uvodi kutna mjera luka. Ako je \(\angle AOC = 120°\), onda je i luk \(AC\) jednak \(120°\).
Teorem o upisanom kutu: upisani kut jednak je polovici luka nad kojim se nalazi:
Odavde slijedi glavni odnos između upisanih i središnjih kutova: upisani kut je dvostruko manji od središnjeg kuta nad istim lukom:
Veličina upisanog kuta ne ovisi o tome gdje se točno na kružnici nalazi vrh – važan je samo luk nad kojim se nalazi. Stoga, crtež ispod vrijedi zapamtiti kao 'radnu sliku' cijele teme: zeleni luk i dva kuta koja gledaju na njega.
Upisani i središnji kutovi: svojstva i posljedice
Iz teorema o upisanom kutu izravno proizlaze svojstva na kojima se temelji većina školskih zadataka:
- Upisani kutovi nad istim lukom su jednaki. Svaki od njih jednak je polovici istog luka – što znači da su i međusobno jednaki, bez obzira gdje se nalazili njihovi vrhovi.
- Upisani kut nad promjerom je pravi kut. Promjer dijeli kružnicu na dvije polukružnice od po \(180°\), stoga je takav kut jednak \(180° : 2 = 90°\). Vrijedi i obratno: ako je upisani kut pravi, onda se nalazi nad promjerom. (Ovo je Talesov poučak).
- Upisani kut može biti tupi. Ako je luk veći od \(180°\), kut je veći od \(90°\) – formula 'polovica luka' vrijedi bez iznimke.
Ova svojstva vrijede i 'u suprotnom smjeru': na primjer, na temelju jednakosti kutova nad istom dužinom dokazuje se da četiri točke leže na istoj kružnici.
Upisani kutovi i tetivni četverokut
Ako sva četiri vrha četverokuta leže na kružnici, on se naziva tetivni četverokut (a kružnica je opisana tom četverokutu). Kutovi takvog četverokuta su upisani, pa za njih vrijedi isti teorem.
- Zbroj nasuprotnih kutova tetivnog četverokuta iznosi \(180°\). Kutovi \(A\) i \(C\) nalaze se nad dva luka koja zajedno čine cijelu kružnicu (\(360°\)), stoga je \(\angle A + \angle C = 360° : 2 = 180°\).
- Vanjski kut tetivnog četverokuta jednak je unutarnjem kutu kod nasuprotnog vrha. Vanjski kut nadopunjuje svoj unutarnji kut do \(180°\) – baš kao i nasuprotni kut.
- Svojstvo zbroja kutova je ujedno i uvjet: ako u četverokutu zbroj nasuprotnih kutova iznosi \(180°\), oko njega se može opisati kružnica. Zato se svakom pravokutniku može opisati kružnica, a rombu (osim kvadrata) ne može.
Uz upisane kutove, u zadacima se ponekad spominje i kut između dviju tangenata povučenih iz jedne točke izvan kružnice. Taj kut jednak je polurazlici lukova koje odsijeca na kružnici.
Primjeri rješavanja zadataka s upisanim i središnjim kutovima
Primjer 1. Upisani kut i luk
Zadatak. Upisani kut \(ABC\) nalazi se nad lukom \(AC\) koji iznosi \(120°\). Nađi \(\angle ABC\).
Korak 1. Prisjetimo se teorema: upisani kut jednak je polovici luka nad kojim se nalazi.
Korak 2. Uvrštavamo: \(\angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 120° = 60°\).
Odgovor: \(60°\).
Primjer 2. Središnji kut i upisani kut
Zadatak. Upisani kut \(ABC\) iznosi \(40°\). Nađi središnji kut \(AOC\) nad istim lukom \(AC\).
Korak 1. Središnji kut je dvostruko veći od upisanog kuta nad istim lukom: \(\angle AOC = 2 \cdot \angle ABC\).
Korak 2. Računamo: \(\angle AOC = 2 \cdot 40° = 80°\). Usput smo saznali i veličinu luka: \(AC = 80°\).
Odgovor: \(80°\).
Primjer 3. Kut nad promjerom
Zadatak. \(AC\) je promjer kružnice, točka \(B\) leži na kružnici, \(\angle BAC = 35°\). Nađi \(\angle BCA\).
Korak 1. Kut \(ABC\) nalazi se nad promjerom \(AC\), što znači da je \(\angle ABC = 90°\) – trokut \(ABC\) je pravokutan.
Korak 2. Zbroj kutova u trokutu iznosi \(180°\): \(\angle BCA = 180° - 90° - 35° = 55°\).
Odgovor: \(55°\).
Primjer 4. Tetivni četverokut
Zadatak. Četverokut \(ABCD\) je tetivni, \(\angle A = 70°\), \(\angle B = 80°\). Nađi kutove \(C\) i \(D\).
Korak 1. Zbroj nasuprotnih kutova tetivnog četverokuta iznosi \(180°\): \(\angle C = 180° - \angle A = 180° - 70° = 110°\).
Korak 2. Analogno, \(\angle D = 180° - \angle B = 180° - 80° = 100°\).
Provjera. \(70° + 80° + 110° + 100° = 360°\) – zbroj kutova četverokuta je točan.
Odgovor: \(\angle C = 110°\), \(\angle D = 100°\).
Česte pogreške u zadacima s kutovima u kružnici
-
Miješanje upisanog i središnjeg kuta: za kut s vrhom u središtu uzimaju polovicu luka (ili obrnuto).
Prvo pogledajte vrh. Vrh u središtu \(O\) – to je središnji kut, on je jednak cijelom luku. Vrh na kružnici – to je upisani kut, on je jednak polovici luka.
-
Uzimanje pogrešnog luka: za upisani kut računaju s lukom na kojem se nalazi njegov vrh.
Upisani kut nalazi se nad lukom koji je 'unutar' kuta – vrh je uvijek na drugom luku. U zapisu \(\angle ABC\), kut se nalazi nad lukom \(AC\) koji ne sadrži točku \(B\).
-
Množenje i dijeljenje s 2 'u krivom smjeru': pri prijelazu s upisanog na središnji kut dijele umjesto da množe.
Zapamtite: upisani je 'mali' (polovica luka), središnji je 'veliki' (cijeli luk). Od upisanog prema središnjem – pomnožiti s 2, od središnjeg prema upisanom – podijeliti.
-
Smatraju upisanim bilo koji kut čiji krakovi sijeku kružnicu – na primjer, kut između tetiva koje se sijeku unutar kruga.
Vrh upisanog kuta mora ležati na samoj kružnici. Kut s vrhom unutar kruga jednak je poluzbroju odsječenih lukova, a s vrhom izvan kruga – polurazlici: to su druge formule.
-
Kod tetivnog četverokuta zbrajaju susjedne kutove do $180°$ umjesto nasuprotnih.
Svojstvo vrijedi samo za nasuprotne vrhove: \(\angle A + \angle C = 180°\) i \(\angle B + \angle D = 180°\). Susjedni kutovi tetivnog četverokuta mogu biti bilo koje veličine.
Pitanja i odgovori
Koliki je upisani kut?
Upisani kut jednak je polovici luka nad kojim se nalazi. Na primjer, ako luk iznosi 120°, upisani kut iznosi 60°. To je teorem o upisanom kutu – glavna formula ove teme.
Kako su povezani upisani i središnji kut nad istim lukom?
Središnji kut je dvostruko veći od upisanog: ∠AOC = 2·∠ABC. Središnji kut jednak je samom luku, a upisani njegovoj polovici.
Zašto je upisani kut nad promjerom jednak 90°?
Promjer određuje polukružnicu – luk od 180°. Upisani kut jednak je polovici tog luka: 180° : 2 = 90°. Zato je svaki trokut kojemu je jedna stranica promjer opisane kružnice pravokutan (Talesov poučak).
Može li upisani kut biti tupi?
Da. Ako je luk nad kojim se kut nalazi veći od 180°, kut je tupi: na primjer, luku od 210° odgovara upisani kut od 105°. Pritom je upisani kut uvijek manji od 180°.
Što je kut između dviju tangenata i kako se razlikuje od upisanog kuta?
Kut između dviju tangenata čine dvije tangente povučene na kružnicu iz iste točke izvan nje. Njegov vrh leži izvan kružnice, a jednak je polurazlici odsječenih lukova. Vrh upisanog kuta leži na kružnici, a on je jednak polovici jednog luka.
Koje još vrste kutova u kružnici postoje?
Osim središnjeg i upisanog, promatraju se kut između tetiva (vrh unutar kruga – poluzbroj lukova), kut između sekanti iz vanjske točke (polurazlika lukova) i kut između tangente i tetive (polovica pripadajućeg luka). Svi se oni izražavaju pomoću lukova kružnice.
