Teorem kosinusâ povezuje tri stranice trokuta i jedan njegov kut: \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\). Djeluje u bilo kojem trokutu, stoga u 9. razredu upravo on zamjenjuje Pitagorin poučak tamo gdje nema pravog kuta. Njime se pronalazi treća stranica ako su poznate druge dvije i kut između njih, a prema posljedici \(\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\) — bilo koji kut prema trima stranicama i vrsta trokuta. Na stranici — formulacija i sva tri zapisa formule, dokaz, tablica kosinusa, podsjetnik „sinusa ili kosinusa“, analize zadataka OGE i trenažer za samoprovjeru.
Teorem kosinusâ: formulacija i formula
Teorem kosinusâ djeluje u bilo kojem trokutu — pravi kut mu nije potreban. Povezuje tri stranice i jedan kut, stoga njime pronalazimo stranicu ako su poznate druge dvije stranice i kut između njih.
Formulacija. Kvadrat stranice trokuta jednak je zbroju kvadrata dviju drugih stranica umanjenom za dvostruki umnožak tih stranica s kosinusom kuta između njih.
Ovdje su \(a\), \(b\), \(c\) — stranice trokuta, a \(C\) — kut između stranica \(a\) i \(b\); stranica \(c\) leži nasuprot tom kutu. Slova se mogu uzeti bilo koja — formula je simetrična, stoga ima tri ravnopravna zapisa:
Glavno pravilo podudaranja: kut uzimamo onaj koji je sadržan između dviju stranica iz umnoška, a pronalazimo stranicu koja leži nasuprot njega. Ako uzmemo „susjedni“ kut, svi će brojevi biti iz uvjeta, a odgovor — netočan.
Zašto je Pitagorin poučak poseban slučaj teorema kosinusâ
Uvrstimo u formulu pravi kut, tj. \(C = 90°\). Kosinus pravog kuta jednak je nuli, stoga se treći član potpuno poništava:
Dobivamo upravo Pitagorin poučak, poznat iz 8. razreda. Stoga se teorem kosinusâ naziva njegovim uopćenjem: Pitagora — to je „poseban slučaj pri 90°“, a teorem kosinusâ djeluje za sve kutove odjednom.
Član \(-2ab\cos C\) zgodno je shvatiti kao korekciju na nepravilnost kuta:
- kut je oštar, \(\cos C > 0\) — korekcija se oduzima, stranica \(c\) ispada kraća nego što bi dao Pitagora;
- kut je pravi, \(\cos C = 0\) — nema korekcije, ostaje \(c^2 = a^2 + b^2\);
- kut je tup, \(\cos C < 0\) — korekcija se pribraja, stranica \(c\) ispada dulja.
Dokaz teorema kosinusâ
Najkraći školski dokaz je koordinatni. Postavimo vrh \(C\) u početak koordinata, a stranicu \(b = CA\) usmjerimo po osi x. Tada su koordinate vrhova sljedeće:
- \(C(0;\ 0)\) — početak koordinata;
- \(A(b;\ 0)\) — točka na osi x na udaljenosti \(b\) od početka;
- \(B(a\cos C;\ a\sin C)\) — vrh na udaljenosti \(a\) od početka pod kutom \(C\) prema osi x.
Stranica \(c\) — to je duljina odsječka \(AB\). Izračunavamo je formulom udaljenosti između dvije točke:
Otvaramo zagrade:
Grupira se članovi s \(a^2\) i primjenjuje se osnovni trigonometrijski identitet \(\sin^2 C + \cos^2 C = 1\):
Što je i trebalo dokazati. Obratite pozornost: nigdje nije bilo potrebno da kut \(C\) bude oštar. Ako je tup, kosinus je negativan, koordinata \(a\cos C\) odlazi lijevo od osi y, ali svi izračuni ostaju isti — stoga je teorem točan za bilo koji trokut.
Posljedica: kako pronaći kut prema trima stranicama
Iz teorema kosinusâ izražava se sam kosinus — to je njegova glavna posljedica. Njime se pronalazi kut kada su poznate sve tri stranice:
U brojniku — zbroj kvadrata dviju stranica, pripadnih kutu, umanjen za kvadrat stranice koja leži nasuprot njega. U nazivniku — dvostruki umnožak pripadnih stranica. Za druge kutove formule su iste:
Redoslijed rješavanja:
- odabrati kut koji se traži i odrediti koja stranica leži nasuprot njega — njezin kvadrat ide u brojnik sa znakom minus;
- izračunati razlomak (nazivnik je uvijek pozitivan, znak zadaje samo brojnik);
- prema tablici vrijednosti ili preko arkus kosinusa pronaći sam kut.
Korisna metoda: započeti s najvećom stranicom. Nasuprot nje leži najveći kut, i samo on može biti pravi ili tupi — ostala dva kuta u trokutu uvijek su oštra.
Kosinusi tupih kutova su negativni: tablica vrijednosti
U školskim zadacima kutovi su gotovo uvijek „tablični“: 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°. Oštri kutovi imaju pozitivan kosinus, pravi ima nulu, a tupi — negativan. Vrijednosti za tupe kutove dobivaju se iz vrijednosti za oštre prema pravilu svodenja \(\cos(180° - \alpha) = -\cos\alpha\): na primjer, \(\cos 120° = -\cos 60° = -0{,}5\).
Što to znači u praksi: pri tupom kutu izraz \(-2ab\cos C\) pretvara se u plus — minus puta minus. Za kut \(120°\) formula izgleda ovako:
Upravo ovdje se najčešće gube bodovi: uvrštavaju \(0{,}5\) umjesto \(-0{,}5\) i dobivaju stranicu kraću od obje zadane. To je unaprijed nemoguće — nasuprot tupog kuta leži najdulja stranica trokuta.
| Kut | Kosinus |
|---|---|
| 30° | √3/2 ≈ 0,87 |
| 45° | √2/2 ≈ 0,71 |
| 60° | 1/2 = 0,5 |
| 90° | 0 |
| 120° | −1/2 = −0,5 |
| 135° | −√2/2 ≈ −0,71 |
| 150° | −√3/2 ≈ −0,87 |
Kako odrediti vrstu trokuta prema trima stranicama
Teorem kosinusâ omogućuje upoznavanje vrste trokuta, a da se kutovi ne mjere kutomjerom. Znak razlomka \(\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\) ovisi samo o brojniku: nazivnik \(2ab\) uvijek je pozitivan. Dakle, dovoljno je usporediti kvadrat najveće stranice sa zbrojem kvadrata dviju drugih.
Neka je \(c\) najveća stranica, tada nasuprot nje leži najveći kut \(C\):
- \(a^2 + b^2 > c^2\) → \(\cos C > 0\) → kut \(C\) je oštar. Ostali kutovi manji su od njega, stoga su sva tri kuta oštra — trokut je oštrokutni;
- \(a^2 + b^2 = c^2\) → \(\cos C = 0\) → \(C = 90°\) — trokut je pravokutni (to je i obrnuti Pitagorin poučak);
- \(a^2 + b^2 < c^2\) → \(\cos C < 0\) → kut \(C\) je tup — trokut je tupokutni.
Provjeravati ostale kutove nije potrebno: pravi ili tupi kut u trokutu postoji samo jedan. I ne zaboravite na nejednakost trokuta — ako najveća stranica nije manja od zbroja dviju drugih, trokuta s takvim stranicama uopće nema.
Teorem sinusa ili kosinusa: kako odabrati
Oba teorema rješavaju jedan zadatak — pronalaze nepoznate stranice i kutove trokuta — ali se pokreću iz različitih skupova podataka. Teorem sinusa povezuje stranicu i njoj nasuprotni kut:
Odatle i pravilo izbora: ako u uvjetu već postoji par „stranica i kut nasuprot njoj“ — radi teorem sinusa; ako takvog para nema — započinjemo s teoremom kosinusâ. Podsjetnik za četiri školska skupa podataka — u tablici.
Često zadatak rješava u dva koraka: prvo teorem kosinusâ daje treću stranicu, a zatim teorem sinusa brzo pronalazi preostale kutove.
| Što je poznato | Što primjenjujemo |
|---|---|
| SUSDvije stranice i kut između njih | Teorem kosinusâpronalazimo treću stranicu |
| SSSSve tri stranice | Teorem kosinusâpronalazimo bilo koji kut i vrstu trokuta |
| USUStranica i dva kuta | Teorem sinusapronalazimo dvije druge stranice |
| SSUDvije stranice i kut nasuprot jednoj od njih | Teorem sinusapronalazimo nasuprotni kut |
Teorem kosinusâ u zadacima OGE
Na OGE iz matematike teorem kosinusâ susreće se u planimetrijskim zadacima — i u prvom dijelu, i u zadacima s detaljnim odgovorom. Tipični zapleti su ovakvi:
- Pronaći stranicu prema dvjema stranicama i kutu između njih — izravna primjena formule, najčešće s kutovima od 60° ili 120°.
- Pronaći kut ili njegov kosinus prema trima stranicama — posljedica \(\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\). Ako u zadatku piše „pronađite \(\cos\angle A\)“, arkus kosinus ne treba uzimati: odgovor je upravo taj razlomak, njega i zapisujemo.
- Dijagonale paralelograma. Dijagonala odsijeca trokut od dviju stranica i kuta između njih. Susjedni kutovi paralelograma daju u zbroju 180°, stoga su njihovi kosinusi suprotni: nasuprot oštrog kuta leži manja dijagonala, nasuprot tupog — veća.
- Vrsta trokuta prema trima brojevima — usporedba \(a^2 + b^2\) s \(c^2\).
- Medijan trokuta. Formula \(m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}\) izvodi se dvostrukom primjenom teorema kosinusâ na dva susjedna kuta uz osnovicu.
Savjet na ispitu: prije nego što izračunate, označite na crtežu kut koji je „stisnut“ između poznatih stranica. Ako takvog kuta nema — teorem kosinusâ još nije primjenjiv, treba tražiti drugi put.
Primjeri rješavanja zadataka na teorem kosinusâ
Primjer 1. Pronađi stranicu prema dvjema stranicama i kutu od 60°
Zadatak. U trokutu \(ABC\) stranice \(a = 7\) i \(b = 15\), kut između njih \(C = 60°\). Pronađite stranicu \(c\).
Korak 1. Kut \(C\) sadržan je između stranica \(a\) i \(b\) — to je upravo slučaj za koji je teorem i osmišljen:
Korak 2. Uvrštavamo brojeve, \(\cos 60° = 0{,}5\):
Korak 3. Izvodimo korijen: \(c = \sqrt{169} = 13\).
Odgovor: \(13\). Provjera po smislu: kut \(60°\) je oštar, stoga stranica nasuprot njemu nije najdulja — i doista, \(13 < 15\).
Primjer 2. Tup kut: minus na minus
Zadatak. U trokutu \(ABC\) poznato je: \(AB = 6\), \(BC = 10\), kut \(B = 120°\). Pronađite stranicu \(AC\).
Korak 1. Kut \(B\) sadržan je između stranica \(AB\) i \(BC\), a stranica \(AC\) leži nasuprot njega:
Korak 2. Kut je tup, stoga \(\cos 120° = -0{,}5\). Minus ispred umnoška i minus kod kosinusa daju plus:
Korak 3. \(AC = \sqrt{196} = 14\).
Odgovor: \(14\). Provjera: nasuprot tupog kuta leži najdulja stranica — \(14\) je veće i od \(6\) i od \(10\).
Primjer 3. Pronađi kut prema trima stranicama
Zadatak. Stranice trokuta su \(3\), \(5\) i \(7\). Pronađite njegov najveći kut.
Korak 1. Najveći kut leži nasuprot najveće stranice, tj. nasuprot stranice \(7\). Označimo ga \(C\), tada je \(c = 7\), a pripadne stranice \(a = 3\) i \(b = 5\).
Korak 2. Primjenjujemo posljedicu:
Korak 3. Kosinus je negativan — kut je tup. Prema tablici vrijednosti \(\cos 120° = -0{,}5\), stoga \(C = 120°\).
Odgovor: \(120°\). Ujedno se pokazalo da je trokut tupokutni.
Primjer 4. Odredi vrstu trokuta
Zadatak. Odredite vrstu trokuta sa stranicama \(6\), \(7\) i \(10\).
Korak 1. Provjeravamo nejednakost trokuta: \(6 + 7 = 13 > 10\) — trokut postoji. Najveća stranica — \(10\).
Korak 2. Uspoređujemo zbroj kvadrata dviju manjih stranica s kvadratom najveće:
Korak 3. \(85 < 100\), stoga je brojnik razlomka negativan i \(\cos C < 0\) — kut nasuprot stranici \(10\) je tup. Po želji se može pronaći i sam kut:
Odgovor: trokut je tupokutni. Obratite pozornost: „na oko“ se to ne vidi — stranice su gotovo jednake, a kut je već prešao \(90°\).
Primjer 5. Zadatak razine OGE: dijagonala paralelograma
Zadatak. Stranice paralelograma su \(5\) i \(8\), oštar kut je \(60°\). Pronađite manju dijagonalu.
Korak 1. Dijagonala odsijeca trokut za koji su poznate dvije stranice (\(5\) i \(8\)) i kut između njih. Manja dijagonala leži nasuprot oštrog kuta od \(60°\).
Korak 2. Računamo:
Korak 3. Provjera. Druga dijagonala leži nasuprot kuta od \(120°\) (susjedni kutovi paralelograma u zbroju daju \(180°\)): \(D^2 = 89 + 40 = 129\), tj. \(D = \sqrt{129} \approx 11{,}4\). Zbroj kvadrata dijagonala jednak je \(49 + 129 = 178\), a dvostruki zbroj kvadrata stranica — \(2(25 + 64) = 178\). Poklopilo se, stoga je račun točan.
Odgovor: \(7\).
Česte pogreške u zadacima na teorem kosinusâ
-
Uzimaju kosinus tupog kuta sa znakom plus. Za stranice $4$ i $9$ s kutom od $120°$ između njih pišu $c^2 = 16 + 81 - 2 \cdot 4 \cdot 9 \cdot 0{,}5 = 61$ i dobivaju $c \approx 7{,}8$.
\(\cos 120° = -0{,}5\), a minus puta minus daje plus: \(c^2 = 97 + 36 = 133\), tj. \(c = \sqrt{133} \approx 11{,}5\). Brza provjera: nasuprot tupog kuta leži najdulja stranica, stoga odgovor mora biti veći od \(9\).
-
Uvrštavaju kut koji nije sadržan između zadanih stranica: u uvjetu je dan jedan kut, i uzimaju ga „kako jest“, ne gledajući crtež.
U zapisu \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\) stranice \(a\) i \(b\) tvore kut \(C\), a stranica \(c\) leži nasuprot njega. Ako je poznati kut susjedni traženoj stranici, ovaj zapis ne odgovara — potreban je drugi od tri ili teorem sinusa.
-
Zaboravljaju izvući korijen i zapisuju u odgovor kvadrat stranice: dobili su $c^2 = 225$ i pišu „stranica je jednaka 225“.
Formula uvijek daje upravo kvadrat stranice. Posljednji korak je obvezan: \(c = \sqrt{225} = 15\). Ponovno pročitaj pitanje zadatka prije nego što ga upišeš u odgovor.
-
Miješaju redoslijed članova u posljedici i pišu $\cos C = \dfrac{c^2 - a^2 - b^2}{2ab}$.
Pravilan brojnik je \(a^2 + b^2 - c^2\): zbroj kvadrata pripadnih stranica minus kvadrat nasuprotne. Pri zamjeni znak razlomka mijenja se u suprotan, i umjesto tupog kuta od \(120°\) dobiva se oštar od \(60°\).
-
Pronađu kut prema modulu kosinusa: dobili su −0,25, a u odgovor pišu oštar kut, kao da je kosinus bio +0,25.
Negativan kosinus — to je uvijek tup kut. Znak se ne smije gubiti: cos 60° = 0,5, a cos 120° = −0,5; arkus kosinus negativnog broja veći je od 90°.
-
Pokušavaju riješiti zadatak „dvije stranice i kut između njih“ teoremom sinusa i zapinju na prvoj crti.
Teoremu sinusa potreban je gotov par „stranica i nasuprotni kut“. Pri dvjema stranicama i kutu između njih takvog para nema — prvo teorem kosinusâ daje treću stranicu, i tek onda se uključuje teorem sinusa.
Pitanja i odgovori
Kako glasi teorem kosinusâ?
Kvadrat stranice trokuta jednak je zbroju kvadrata dviju drugih stranica umanjenom za dvostruki umnožak tih stranica s kosinusom kuta između njih: c² = a² + b² − 2ab·cos C. Teorem je točan za bilo koji trokut, a ne samo za pravokutni.
Kako pronaći stranicu trokuta prema dvjema stranicama i kutu između njih?
Uvrstiti podatke u formulu c² = a² + b² − 2ab·cos C i izvući korijen. Na primjer, pri stranicama 4 i 6 i kutu od 60° između njih: c² = 16 + 36 − 2·4·6·0,5 = 28, stoga c = √28 ≈ 5,3.
Kako pronaći kut trokuta ako su poznate tri stranice?
Prema posljedici teorema kosinusâ: cos C = (a² + b² − c²) / (2ab), gdje je c stranica nasuprot traženom kutu. Na primjer, za stranice 2, 3 i 4 kosinus najvećeg kuta iznosi (4 + 9 − 16) / (2·2·3) = −0,25, tj. kut je tup, otprilike 104°.
Zašto je Pitagorin poučak poseban slučaj teorema kosinusâ?
Zato što pri pravom kutu cos 90° = 0, i član −2ab·cos C se poništava. Od formule ostaje c² = a² + b² — to je i Pitagorin poučak za pravokutni trokut.
Djeluje li teorem kosinusâ u tupokutnom trokutu?
Da, i djeluje bez promjena. Tup kut ima negativan kosinus, stoga se član −2ab·cos C postaje pozitivan i pribraja zbroju kvadrata. Upravo zbog toga stranica nasuprot tupom kutu ispada najdulja.
Kada primjenjivati teorem sinusa, a kada teorem kosinusâ?
Teorem sinusa potreban je kada u uvjetu već postoji par „stranica i njoj nasuprotni kut“ — na primjer, zadana je stranica i dva kuta. Teorem kosinusâ — kada takvog para nema: zadane su dvije stranice i kut između njih ili sve tri stranice. Često se zadatak rješava u dva koraka: prvo kosinusi, zatim sinusi.
Kako odrediti vrstu trokuta prema trima stranicama?
Usporediti kvadrat najveće stranice c² sa zbrojem kvadrata dviju drugih. Ako je a² + b² > c² — trokut je oštrokutni, ako je a² + b² = c² — pravokutni, ako je a² + b² < c² — tupokutni. Znak ove razlike podudara se sa znakom kosinusa najvećeg kuta.
U kojem se razredu prolazi teorem kosinusâ?
U 9. razredu na satovima geometrije, u temi „Omjeri između stranica i kutova trokuta“ — zajedno s teoremom sinusa. Dalje se stalno koristi u zadacima OGE i ЕГЭ iz planimetrije i stereometrije.
