Slični trokuti su trokuti istog oblika, ali različite veličine: njihovi kutovi su redom jednaki, a odgovarajuće stranice proporcionalne. Broj koji pokazuje koliko je puta jedan trokut veći od drugog naziva se koeficijent sličnosti \(k\). Sličnost se dokazuje pomoću tri poučka, a omjeri opsega i površina slijede jednostavno pravilo: opsezi se odnose kao \(k\), a površine — kao \(k^2\). Na ovoj stranici nalazi se definicija i zapis sličnosti s pravilnim redoslijedom vrhova, sva tri poučka, sličnost pravokutnih trokuta i visina iz pravog kuta, analiza zadataka OGE „pronađite stranicu” i interaktivni trenažer.
Što su slični trokuti i koeficijent sličnosti
Dva trokuta nazivamo sličnima, ako su ispunjena odjednom dva uvjeta:
- njihovi kutovi su redom jednaki — svakom kutu prvog trokuta odgovara njemu jednak kut drugog;
- njihove odgovarajuće stranice su proporcionalne — sva tri omjera daju isti broj.
Odgovarajuće (sukladne po položaju) stranice su stranice koje leže nasuprot jednakih kutova. Upravo one čine parove između kojih se računa omjer.
Sličnost se zapisuje znakom \(\sim\):
Koeficijent sličnosti \(k\) je upravo taj isti omjer odgovarajućih stranica:
Ako je \(k > 1\), drugi trokut je veći od prvog; ako je \(k < 1\) — manji; kod \(k = 1\) trokuti su jednostavno sukladni, jer je sukladnost poseban slučaj sličnosti.
Redoslijed vrhova u zapisu nije formalnost
Zapis \(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\) čita se strogo prema pozicijama: \(A\) odgovara \(A_1\), \(B\) — \(B_1\), \(C\) — \(C_1\). Odatle odmah slijedi koji su kutovi jednaki (\(\angle A = \angle A_1\)) i koje su stranice odgovarajuće (\(AB\) i \(A_1B_1\), \(BC\) i \(B_1C_1\), \(AC\) i \(A_1C_1\)).
Ako se slova zamijene i napiše \(\triangle ABC \sim \triangle B_1A_1C_1\), dobiva se druga tvrdnja: sada je \(\angle A = \angle B_1\), a odgovarajuća stranica za \(AB\) postaje \(B_1A_1\). Proporciju nije dopušteno sastavljati prema „slično smještenim” stranicama — samo prema pozicijama u zapisu. Zato se prvo ispisuju parovi jednakih kutova, a tek onda se prema njima prilagođava redoslijed slova.
Tri poučka o sličnosti trokuta
Nije potrebno provjeravati svih šest uvjeta iz definicije: sličnost se dokazuje prema jednom od tri poučka. Svaki od njih minimalan je skup podataka iz kojeg automatski slijedi i jednakost svih kutova, i proporcionalnost svih stranica.
Kako odabrati poučak. Pogledaj što je dano u zadatku: ako su to kutovi — prvi, ako su dvije stranice i kut — drugi, ako su sve tri stranice — treći.
- Prvi poučak (K-K, po dva kuta) — radni konj školskog gradiva: gotovo svi zadaci OGE rješavaju se upravo njime. Treći kut nije potrebno provjeravati, on je jednak automatski: zbroj kutova trokuta uvijek je \(180°\). Traži gotove parove jednakih kutova — zajednički kut dvaju trokuta, vršni kutovi, kutovi na transverzali kod paralelnih pravaca (naizmjenični i odgovarajući), dva prava kuta.
- Drugi poučak (S-K-S, po dvije stranice i kutu među njima) zahtijeva da kut bude upravo između te dvije stranice. Ako jednaki kut leži nasuprot jedne od njih, poučak ne vrijedi i sličnost nije dokazana.
- Treći poučak (S-S-S, po tri stranice) — kada u zadatku uopće nema kutova, nego samo duljine. Ispiši stranice svakog trokuta po rastućem redoslijedu i podijeli najmanju s najmanjom, srednju sa srednjom, najveću s najvećom: tako se parovi sigurno neće pobrkati. Sličnost postoji samo ako su se sva tri omjera podudarila.
Da se poučci o sličnosti ne bi pobrkali s poučcima o sukladnosti, zapamti razliku: kod sukladnosti stranice moraju biti jednake, kod sličnosti — proporcionalne.
→ △ABC ∼ △A1B1C1
Omjer opsega i površina sličnih trokuta
Sličnost ima dvije posljedice koje se najčešće pitaju, a jedna od njih je glavna zamka teme.
Opsezi se odnose kao \(k\). Svaka stranica drugog trokuta \(k\) puta je veća od odgovarajuće stranice prvog, pa i zbroj stranica raste točno \(k\) puta:
Isto tako — „\(k\) puta” — ponašaju se sve linearne veličine: visine, težišnice, simetrale kutova, polumjeri upisane i opisane kružnice, srednjice.
Površine se odnose kao \(k^2\). Površina ovisi o dvije dimenzije istovremeno: i osnovica i visina povećavaju se \(k\) puta, pa se umnožak povećava \(k \cdot k\) puta:
Neka je \(k = 5\). Tada je opseg veći 5 puta (na primjer, bilo je 14 cm — postalo je 70 cm), a površina već 25 puta (bilo je 6 cm² — postalo je 150 cm²). Razlika je golema, i uvrštavanje \(k\) umjesto \(k^2\) najčešća je pogreška na ispitu.
Obrnuti postupak. Ako je u zadatku dan omjer površina, koeficijent sličnosti dobiva se korijenom: \(k = \sqrt{S_2 : S_1}\). Na primjer, površine se odnose kao \(16 : 1\), znači stranice se odnose kao \(4 : 1\).
| k | Opsezi P₂ : P₁ | Površine S₂ : S₁ |
|---|---|---|
| 2 | 2 : 1 | 4 : 1 |
| 3 | 3 : 1 | 9 : 1 |
| 1,5 | 1,5 : 1 | 2,25 : 1 |
| bilo koji | k : 1 | k² : 1 |
Sličnost pravokutnih trokuta i visina iz pravog kuta
Za pravokutne trokute prvi poučak se pojednostavljuje: pravi kutovi su im unaprijed jednaki, stoga je dovoljna jednakost jednog šiljastog kuta da bi trokuti bili slični. Iz istoga proizlazi i poučak po dvjema katetama: ako su katete jednog proporcionalne katetama drugog, trokuti su slični (to je drugi poučak, jer je kut između kateta pravi).
Najkorisnija konfiguracija cijele teme je visina povučena iz vrha pravog kuta. Ona dijeli trokut na dva, a sva tri nastala trokuta međusobno su slična.
Zašto je tako: trokut \(AHC\) ima pravi kut kod \(H\) i zajednički kut \(A\) s velikim trokutom, dakle \(\triangle AHC \sim \triangle ACB\). Trokut \(CHB\) ima pravi kut kod \(H\) i zajednički kut \(B\), dakle \(\triangle CHB \sim \triangle ACB\). Odatle su slična i dva mala trokuta međusobno.
Iz tih sličnosti proizlaze formule geometrijske sredine (nazivaju se proporcionalnim dužinama u pravokutnom trokutu):
- \(CH^2 = AH \cdot HB\) — visina je geometrijska sredina dužina na koje dijeli hipotenuzu;
- \(AC^2 = AH \cdot AB\) i \(BC^2 = HB \cdot AB\) — kateta je geometrijska sredina cijele hipotenuze i svoje projekcije na nju.
Najvažnije je ne pobrkati koja je dužina „svoja”: kateta \(AC\) ima projekciju \(AH\), kateta \(BC\) ima projekciju \(HB\). Projekcija se uvijek naslanja na isti kraj hipotenuze kao i kateta.
Zadaci OGE o sličnosti: kako pronaći stranicu
Gotovo svi zadaci o sličnosti rješavaju se po jednom algoritmu:
- Pronaći par jednakih kutova — zajednički kut, vršni kutovi, kutovi na transverzali kod paralelnih pravaca ili dva prava kuta.
- Zapisati sličnost u pravilnom redoslijedu vrhova — tako da jednaki kutovi stoje na istim pozicijama.
- Sastaviti proporciju od odgovarajućih stranica (uzimamo stranice koje stoje na istim mjestima u zapisu).
- Izraziti nepoznanicu i izračunati; na kraju provjeriti odgovor po smislu — stranica manjeg trokuta mora ispasti manja.
Tipičnih konfiguracija u OGE nema mnogo, i vrijedi ih prepoznati na prvi pogled:
- Pravac paralelan sa stranicom. Pravac odsijeca od trokuta mali trokut sličan izvornome. Ključna suptilnost: u proporciju ide omjer cijelih stranica od zajedničkog vrha (\(BM : BA\)), a ne dužina (\(BM : MA\)).
- „Leptir”. Dvije se dužine sijeku, a njihovi krajevi povezani su paralelnim pravcima — dobivaju se dva slična trokuta okrenuta jedan prema drugome.
- Visina iz pravog kuta — konfiguracija iz prethodnog odjeljka; u OGE se po njoj traži visina, kateta ili dio hipotenuze.
- Sjena i visina predmeta. Sunčeve zrake su paralelne, pa predmet sa svojom sjenom i drvo sa svojom sjenom daju slične pravokutne trokute.
- Srednjica — poseban slučaj s \(k = 2\): paralelna je sa stranicom i dvostruko kraća od nje.
kut B je zajednički, kutovi kod M i A su odgovarajući
kutovi kod O su vršni, kutovi A i C su naizmjenični
Primjeri rješavanja zadataka o sličnosti trokuta
Primjer 1. Pronaći stranice prema koeficijentu sličnosti
Zadatak. \(\triangle MNK \sim \triangle PQR\). Poznato je da je \(MN = 7\), \(NK = 11\), \(MK = 9\) i \(PQ = 21\). Pronađite \(QR\) i \(PR\).
Korak 1. Analiziramo zapis prema pozicijama: \(M \leftrightarrow P\), \(N \leftrightarrow Q\), \(K \leftrightarrow R\). Znači odgovarajući parovi su: \(MN\) i \(PQ\), \(NK\) i \(QR\), \(MK\) i \(PR\).
Korak 2. Računamo koeficijent prema jedinom paru u kojem su poznate obje stranice:
Korak 3. Ostale stranice drugog trokuta 3 su puta veće od odgovarajućih:
Odgovor: \(QR = 33\), \(PR = 27\). Provjera: \(33 : 11 = 27 : 9 = 3\) — svi omjeri su se podudarili.
Primjer 2. Dokazati sličnost prema drugom poučku
Zadatak. U trokutima \(ABC\) i \(DEF\) poznato je: \(AB = 5\), \(AC = 9\), \(DE = 15\), \(DF = 27\), a kutovi \(A\) i \(D\) su jednaki. Dokažite da su trokuti slični.
Korak 1. Provjeravamo glavni uvjet drugog poučka: kut \(A\) nalazi se između stranica \(AB\) i \(AC\), kut \(D\) — između \(DE\) i \(DF\). Kutovi su između danih stranica — poučak je primjenjiv.
Korak 2. Računamo omjere odgovarajućih stranica:
Korak 3. Dva para stranica proporcionalna su s istim koeficijentom \(k = 3\), kutovi među njima su jednaki — prema drugom poučku \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\).
Odgovor: trokuti su slični, \(k = 3\). Zapazi: da su jednaki bili kutovi \(B\) i \(D\), poučak ne bi vrijedio — kut \(B\) ne nalazi se između \(AB\) i \(AC\).
Primjer 3. Pravac paralelan sa stranicom (zadatak OGE)
Zadatak. U trokutu \(ABC\) točka \(M\) leži na stranici \(AB\), točka \(N\) — na stranici \(BC\), pri čemu je \(MN \parallel AC\). Poznato je da je \(BM = 4\), \(MA = 12\), \(MN = 5\). Pronađite \(AC\).
Korak 1. Budući da je \(MN \parallel AC\), kutovi \(BMN\) i \(BAC\) jednaki su kao odgovarajući, a kut \(B\) je zajednički. Prema prvom poučku \(\triangle BMN \sim \triangle BAC\) (redoslijed vrhova: \(M \leftrightarrow A\), \(N \leftrightarrow C\)).
Korak 2. Nalazimo cijelu stranicu od zajedničkog vrha: \(BA = BM + MA = 4 + 12 = 16\). To je i glavna suptilnost — u proporciju ide \(BA\), a ne \(MA\).
Korak 3. Sastavljamo proporciju od odgovarajućih stranica:
Korak 4. Odatle je \(AC = 5 \cdot 4 = 20\).
Odgovor: \(AC = 20\). Koeficijent sličnosti ovdje je jednak 4: veliki trokut je četiri puta veći od odsječenog.
Primjer 4. Opsezi i površine
Zadatak. Opsezi sličnih trokuta jednaki su 18 cm i 45 cm. Površina manjeg trokuta jednaka je 16 cm². Pronađite površinu većeg.
Korak 1. Opsezi se odnose kao koeficijent sličnosti:
Korak 2. Površine se odnose kao kvadrat koeficijenta: \(k^2 = 2{,}5^2 = 6{,}25\).
Korak 3. Množimo površinu manjeg trokuta s \(k^2\):
Odgovor: 100 cm². Da smo množili s \(k = 2{,}5\), dobili bismo 40 cm² — tipična pogreška zbog koje se gubi cijeli bod.
Primjer 5. Visina iz vrha pravog kuta
Zadatak. U pravokutnom trokutu \(ABC\) s pravim kutom kod vrha \(C\) povučena je visina \(CH\) na hipotenuzu. Poznato je da je \(AH = 4\) cm, \(HB = 9\) cm. Pronađite visinu \(CH\) i površinu trokuta.
Korak 1. Visina iz pravog kuta geometrijska je sredina dužina hipotenuze, jer je \(\triangle AHC \sim \triangle CHB\):
Korak 2. Izvodimo korijen: \(CH = 6\) cm.
Korak 3. Hipotenuza \(AB = AH + HB = 4 + 9 = 13\) cm. Površinu računamo preko hipotenuze i visine povučene na nju:
Odgovor: \(CH = 6\) cm, \(S = 39\) cm².
Primjer 6. Visina drveta prema sjeni
Zadatak. Okomiti štap visok 2 m baca sjenu duljine 1,5 m. U istom trenutku sjena drveta jednaka je 9 m. Kolika je visina drveta?
Korak 1. Sunčeve zrake su paralelne, pa je kut upada zrake za štap i za drvo jednak. Štap sa sjenom i drvo sa sjenom čine pravokutne trokute s jednakim šiljastim kutom — znači, slični su.
Korak 2. Sastavljamo proporciju „visina prema svojoj sjeni”:
Korak 3. Izražavamo nepoznatu visinu:
Odgovor: 12 m. Provjera po smislu: sjena drveta 6 je puta duža od sjene štapa, znači i drvo je 6 puta više: \(2 \cdot 6 = 12\) m.
Česte pogreške u zadacima o sličnosti trokuta
-
Smatraju da se površine sličnih trokuta odnose kao $k$: kod $k = 3$ povećavaju površinu tri puta.
Površine se odnose kao kvadrat koeficijenta: kod \(k = 3\) površina je veća \(3^2 = 9\) puta. Kao \(k\) odnose se samo linearne veličine — stranice, opseg, visine, težišnice. Pravilo za pamćenje: površina se mjeri u kvadratnim jedinicama, znači i koeficijent u nju ulazi na kvadrat.
-
Zanemaruju redoslijed vrhova: iz zapisa $\triangle ABC \sim \triangle KLM$ sastavljaju proporciju $AB : LM$.
Pridruživanje vrhova određeno je pozicijama u zapisu: \(A \leftrightarrow K\), \(B \leftrightarrow L\), \(C \leftrightarrow M\). Odgovarajuća stranica za \(AB\) bit će \(KL\), a za \(BC\) — \(LM\). Prije nego što napišeš proporciju, ispiši parove vrhova u stupac — to traje pet sekundi i uklanja većinu pogrešaka.
-
Dokazuju sličnost prema jednom jednakom kutu ili prema dvjema proporcionalnim stranicama bez kuta.
Jedan jednak kut nije dovoljan: dva trokuta mogu imati podudaran kut uz potpuno različit oblik. Potreban je potpuni poučak — dva kuta, ili dvije stranice i kut među njima, ili sve tri stranice.
-
U drugom poučku uzimaju kut koji ne leži između danih stranica.
Drugi poučak vrijedi samo s kutom između dviju danih stranica. Ako su poznati \(AB\), \(AC\) i jednak je kut \(B\), poučak nije primjenjiv — traži drugi put: par jednakih kutova ili treću stranicu.
-
Okreću koeficijent: nalaze $k$ kao „manja stranica prema većoj”, a zatim njime množe da bi dobili stranicu većeg trokuta.
Dogovori se sam sa sobom o smjeru: ako je \(k\) omjer stranica drugog trokuta prema prvom, onda se stranice prvog množe s \(k\), a stranice drugog se s \(k\) dijele. Konačna provjera po smislu: stranica manjeg trokuta mora ispasti manja.
-
U zadatku s pravcem paralelnim sa stranicom sastavljaju proporciju od dužina: $BM : MA = MN : AC$.
Slični su trokuti \(BMN\) i \(BAC\), a njihove odgovarajuće stranice su \(BM\) i \(BA\) (cijela stranica od zajedničkog vrha), a ne dužina \(MA\). Prvo pronađi \(BA = BM + MA\), i tek onda sastavljaj proporciju.
-
Miješaju sličnost sa sukladnošću i u odgovoru pišu da su stranice jednostavno jednake.
Sukladnost je poseban slučaj sličnosti kod \(k = 1\). Ako je \(k \ne 1\), trokutima se podudaraju samo kutovi, a stranice se razlikuju \(k\) puta. Poučci su također različiti: kod sukladnosti to su S-K-S, K-S-K, S-S-S s jednakim stranicama, kod sličnosti — proporcionalne stranice.
Pitanja i odgovori
Koji se trokuti nazivaju sličnima?
Sličnim se nazivaju trokuti kojima su kutovi redom jednaki, a odgovarajuće stranice proporcionalne. Jednostavnije rečeno, to su trokuti istog oblika, ali različite veličine. Sličnost se zapisuje znakom ∼: △ABC ∼ △A₁B₁C₁.
Što je koeficijent sličnosti trokuta?
Koeficijent sličnosti k je broj jednak omjeru odgovarajućih stranica sličnih trokuta: k = A₁B₁ : AB = B₁C₁ : BC = A₁C₁ : AC. On pokazuje koliko je puta jedan trokut veći od drugog. Kod k = 1 trokuti su sukladni.
Koliko ima poučaka o sličnosti trokuta i koji su oni?
Poučka su tri. Prvi — po dva kuta: dva kuta jednog trokuta jednaka su dvama kutovima drugog. Drugi — po dvije stranice i kutu među njima: dvije su stranice proporcionalne i kutovi među njima su jednaki. Treći — po tri stranice: sva tri para odgovarajućih stranica su proporcionalna.
Kako se odnose površine sličnih trokuta?
Površine sličnih trokuta odnose se kao kvadrat koeficijenta sličnosti: S₂ : S₁ = k². Na primjer, kod k = 4 površina je veća 16 puta. Obrnuto: ako se površine odnose kao 25 : 1, onda se stranice odnose kao 5 : 1.
Kako se odnose opsezi sličnih trokuta?
Opsezi se odnose kao koeficijent sličnosti: P₂ : P₁ = k. Isto se ponašaju svi linearni elementi — visine, težišnice, simetrale kutova, srednjice, polumjeri upisane i opisane kružnice.
Po čemu se sličnost trokuta razlikuje od sukladnosti?
Kod sukladnih trokuta podudaraju se i kutovi i stranice, pa se likovi mogu preklopiti jedan na drugi. Kod sličnih podudaraju se samo kutovi, a stranice su proporcionalne s koeficijentom k. Sukladnost je poseban slučaj sličnosti kod k = 1.
Kako dokazati sličnost pravokutnih trokuta?
Dovoljna je jednakost jednog šiljastog kuta: pravi kutovi su im već jednaki, znači vrijedi prvi poučak. Drugi način — proporcionalnost kateta: kut između kateta je pravi, stoga je primjenjiv drugi poučak o sličnosti.
Zašto visina iz pravog kuta daje tri slična trokuta?
Visina CH iz vrha pravog kuta C dijeli trokut ABC na trokute AHC i CHB. AHC ima pravi kut kod H i zajednički kut A s ABC, CHB ima pravi kut kod H i zajednički kut B, stoga su oba slična izvornom, a time i jedan drugome. Odatle proizlaze formule CH² = AH · HB, AC² = AH · AB i BC² = HB · AB.
U kojem se razredu obrađuje sličnost trokuta?
U 8. razredu na satovima geometrije — odmah nakon teme o proporcionalnim dužinama. Tada se uče i tri poučka o sličnosti, omjer površina i primjena sličnosti na pravokutni trokut. Dalje se tema koristi u 9. razredu i u zadacima OGE.
