एक वृत्त दो मुख्य प्रकार के कोण बनाता है: केंद्रीय कोण — जिसका शीर्ष केंद्र में होता है, और अंकित कोण — जिसका शीर्ष वृत्त पर ही होता है। उनके बीच का संबंध सरल है: केंद्रीय कोण उस चाप के बराबर होता है जिस पर वह आधारित होता है, और अंकित कोण उसके आधे के बराबर होता है। इस पृष्ठ पर परिभाषाएँ, अंकित कोण प्रमेय और उसके सभी परिणाम, स्पष्ट चित्र, समस्याओं का चरण-दर-चरण विश्लेषण और एक इंटरैक्टिव ट्रेनर है, जिस पर आप तुरंत खुद को परख सकते हैं।
वृत्त में कोणों के प्रकार: केंद्रीय और अंकित
यदि हम वृत्त में एक ही बिंदु से दो रेखाखंड खींचते हैं, तो एक कोण बनता है। इसका शीर्ष कहाँ स्थित है, इसके आधार पर वृत्त में दो मुख्य प्रकार के कोण होते हैं:
- केंद्रीय कोण — वृत्त के केंद्र \(O\) पर शीर्ष वाला कोण। इसकी भुजाएँ त्रिज्याएँ होती हैं।
- अंकित कोण — एक कोण जिसका शीर्ष वृत्त पर स्थित होता है और जिसकी भुजाएँ वृत्त को प्रतिच्छेद करती हैं (अर्थात, वे जीवाएँ होती हैं)।
इनमें से प्रत्येक कोण एक चाप पर आधारित होता है — वृत्त का वह हिस्सा जो कोण के अंदर स्थित होता है। यह चाप ही केंद्रीय और अंकित कोणों को जोड़ता है: दोनों को इसके डिग्री माप के माध्यम से व्यक्त किया जाता है।
यदि कोण का शीर्ष वृत्त के अंदर (लेकिन केंद्र में नहीं) या उसके बाहर होता है — तो यह न तो अंकित है और न ही केंद्रीय कोण: ऐसे कोणों के लिए अपने सूत्र होते हैं, जिनके बारे में पृष्ठ के अंत में बताया गया है।
∠AOC = चाप AC = 120°
∠ABC = ½ चाप AC = 60°
अंकित कोण प्रमेय और अंकित कोण का माप
केंद्रीय कोण उस चाप के बराबर होता है जिस पर वह आधारित होता है — इस प्रकार चाप का डिग्री माप परिभाषित किया जाता है। यदि \(\angle AOC = 120°\) है, तो चाप \(AC\) भी \(120°\) के बराबर है।
अंकित कोण प्रमेय: अंकित कोण उस चाप के आधे के बराबर होता है जिस पर वह आधारित होता है:
यहाँ से अंकित और केंद्रीय कोणों का मुख्य संबंध आता है: अंकित कोण उसी चाप पर आधारित केंद्रीय कोण का आधा होता है:
अंकित कोण का माप इस बात पर निर्भर नहीं करता है कि उसका शीर्ष वृत्त पर कहाँ स्थित है — केवल वह चाप महत्वपूर्ण है जिस पर वह आधारित है। इसलिए, नीचे दिए गए चित्र को इस पूरे विषय की 'कार्यरत तस्वीर' के रूप में याद रखना चाहिए: एक हरा चाप और उस पर देखने वाले दो कोण।
अंकित और केंद्रीय कोण: गुण और परिणाम
अंकित कोण प्रमेय से सीधे वे गुण निकलते हैं जिन पर अधिकांश स्कूली समस्याएँ आधारित होती हैं:
- एक ही चाप पर आधारित अंकित कोण बराबर होते हैं। उनमें से प्रत्येक एक ही चाप के आधे के बराबर होता है — और इसलिए, वे एक दूसरे के बराबर होते हैं, चाहे उनके शीर्ष कहीं भी हों।
- व्यास पर आधारित अंकित कोण समकोण होता है। व्यास वृत्त को \(180°\) के दो अर्धवृत्तों में विभाजित करता है, इसलिए ऐसा कोण \(180° : 2 = 90°\) के बराबर होता है। इसका विलोम भी सत्य है: यदि कोई अंकित कोण समकोण है, तो वह व्यास पर आधारित होता है।
- अंकित कोण अधिक कोण हो सकता है। यदि चाप \(180°\) से बड़ा है, तो कोण \(90°\) से बड़ा होगा — 'चाप का आधा' सूत्र बिना किसी अपवाद के काम करता है।
ये गुण 'विपरीत दिशा' में भी काम करते हैं: उदाहरण के लिए, एक ही रेखाखंड पर आधारित कोणों की समानता से यह साबित होता है कि चार बिंदु एक ही वृत्त पर स्थित हैं।
अंकित और परिगत कोण: वृत्त में चतुर्भुज
यदि किसी चतुर्भुज के चारों शीर्ष एक वृत्त पर स्थित हों, तो उसे चक्रीय चतुर्भुज कहा जाता है (और वृत्त को उसके परिवृत्त कहा जाता है)। ऐसे चतुर्भुज के कोण अंकित कोण होते हैं, इसलिए उन पर वही प्रमेय लागू होता है।
- चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग \(180°\) होता है। कोण \(A\) और \(C\) दो चापों पर आधारित होते हैं, जो मिलकर पूरा वृत्त (\(360°\)) बनाते हैं, इसलिए \(\angle A + \angle C = 360° : 2 = 180°\)।
- चक्रीय चतुर्भुज का बाह्य कोण उसके सम्मुख आंतरिक कोण के बराबर होता है। बाह्य कोण अपने आंतरिक कोण के साथ मिलकर \(180°\) बनाता है — ठीक वैसे ही जैसे सम्मुख कोण।
- कोणों के योग का गुण एक पहचान भी है: यदि किसी चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग \(180°\) है, तो उसके चारों ओर एक वृत्त खींचा जा सकता है। इसलिए, कोई भी आयत एक वृत्त में अंकित किया जा सकता है, लेकिन एक समचतुर्भुज (वर्ग को छोड़कर) नहीं।
समस्याओं में अंकित कोणों के साथ-साथ परिगत कोण भी मिलते हैं — वृत्त के बाहर एक ही बिंदु से खींची गई दो स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण। परिगत कोण उन चापों के आधे अंतर के बराबर होता है जिन्हें वह वृत्त पर काटता है।
अंकित और केंद्रीय कोणों पर समस्याओं के हल के उदाहरण
उदाहरण 1. चाप से अंकित कोण
समस्या: अंकित कोण \(ABC\) चाप \(AC\) पर आधारित है, जिसका माप \(120°\) है। \(\angle ABC\) ज्ञात कीजिए।
चरण 1. प्रमेय याद करें: अंकित कोण उस चाप का आधा होता है जिस पर वह आधारित होता है।
चरण 2. मान रखें: \(\angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 120° = 60°\)।
उत्तर: \(60°\)।
उदाहरण 2. अंकित कोण से केंद्रीय कोण
समस्या: अंकित कोण \(ABC\) का माप \(40°\) है। उसी चाप \(AC\) पर आधारित केंद्रीय कोण \(AOC\) ज्ञात कीजिए।
चरण 1. केंद्रीय कोण उसी चाप पर आधारित अंकित कोण का दोगुना होता है: \(\angle AOC = 2 \cdot \angle ABC\)।
चरण 2. गणना करें: \(\angle AOC = 2 \cdot 40° = 80°\)। इससे हमें चाप का माप भी पता चल गया: \(AC = 80°\)।
उत्तर: \(80°\)।
उदाहरण 3. व्यास पर आधारित कोण
समस्या: \(AC\) वृत्त का व्यास है, बिंदु \(B\) वृत्त पर स्थित है, \(\angle BAC = 35°\)। \(\angle BCA\) ज्ञात कीजिए।
चरण 1. कोण \(ABC\) व्यास \(AC\) पर आधारित है, इसलिए \(\angle ABC = 90°\) — त्रिभुज \(ABC\) एक समकोण त्रिभुज है।
चरण 2. त्रिभुज के कोणों का योग \(180°\) होता है: \(\angle BCA = 180° - 90° - 35° = 55°\)।
उत्तर: \(55°\)।
उदाहरण 4. चक्रीय चतुर्भुज
समस्या: चतुर्भुज \(ABCD\) एक वृत्त में अंकित है, \(\angle A = 70°\), \(\angle B = 80°\)। कोण \(C\) और \(D\) ज्ञात कीजिए।
चरण 1. चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग \(180°\) होता है: \(\angle C = 180° - \angle A = 180° - 70° = 110°\)।
चरण 2. इसी प्रकार, \(\angle D = 180° - \angle B = 180° - 80° = 100°\)।
जाँच: \(70° + 80° + 110° + 100° = 360°\) — चतुर्भुज के कोणों का योग सही है।
उत्तर: \(\angle C = 110°\), \(\angle D = 100°\)।
वृत्त में कोणों से संबंधित समस्याओं में आम गलतियाँ
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अंकित कोण को केंद्रीय कोण के साथ भ्रमित करना: केंद्र में शीर्ष वाले कोण के लिए चाप का आधा लेना (या इसके विपरीत)।
पहले शीर्ष को देखें। यदि शीर्ष केंद्र \(O\) पर है — तो यह केंद्रीय कोण है, और यह पूरे चाप के बराबर है। यदि शीर्ष वृत्त पर है — तो यह अंकित कोण है, और यह चाप के आधे के बराबर है।
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गलत चाप लेना: अंकित कोण के लिए उस चाप की गणना करना जिस पर उसका शीर्ष स्थित है।
अंकित कोण उस चाप पर आधारित होता है जो कोण के 'अंदर' होता है — शीर्ष हमेशा दूसरे चाप पर होता है। \(\angle ABC\) में, कोण चाप \(AC\) पर आधारित होता है, जिसमें बिंदु \(B\) नहीं होता है।
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2 से 'गलत दिशा में' गुणा और भाग करना: अंकित कोण से केंद्रीय कोण में जाते समय गुणा करने के बजाय भाग देना।
याद रखें: अंकित कोण 'छोटा' होता है (चाप का आधा), केंद्रीय कोण 'बड़ा' होता है (पूरा चाप)। अंकित से केंद्रीय में जाने के लिए — 2 से गुणा करें, केंद्रीय से अंकित में जाने के लिए — भाग दें।
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किसी भी कोण को अंकित मान लेना जिसकी भुजाएँ वृत्त को प्रतिच्छेद करती हैं — उदाहरण के लिए, वृत्त के अंदर प्रतिच्छेद करने वाली जीवाओं के बीच का कोण।
अंकित कोण का शीर्ष वृत्त पर ही होना चाहिए। वृत्त के अंदर शीर्ष वाले कोण का माप काटे गए चापों के योग का आधा होता है, और वृत्त के बाहर शीर्ष वाले कोण का माप उनके अंतर का आधा होता है: ये अलग सूत्र हैं।
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चक्रीय चतुर्भुज में सम्मुख कोणों के बजाय आसन्न कोणों के योग को $180°$ के बराबर मानना।
यह गुण केवल सम्मुख शीर्षों के लिए काम करता है: \(\angle A + \angle C = 180°\) और \(\angle B + \angle D = 180°\)। चक्रीय चतुर्भुज के आसन्न कोण कुछ भी हो सकते हैं।
प्रश्न और उत्तर
अंकित कोण किसके बराबर होता है?
अंकित कोण उस चाप के आधे के बराबर होता है जिस पर वह आधारित होता है। उदाहरण के लिए, यदि चाप 120° है, तो अंकित कोण 60° होगा। यही अंकित कोण प्रमेय है — इस विषय का मुख्य सूत्र।
एक ही चाप पर आधारित अंकित और केंद्रीय कोण कैसे संबंधित हैं?
केंद्रीय कोण अंकित कोण का दोगुना होता है: ∠AOC = 2·∠ABC। केंद्रीय कोण चाप के बराबर होता है, जबकि अंकित कोण उसके आधे के बराबर होता है।
व्यास पर आधारित अंकित कोण 90° क्यों होता है?
व्यास एक अर्धवृत्त बनाता है — 180° का चाप। अंकित कोण चाप का आधा होता है: 180° : 2 = 90°। इसलिए, कोई भी त्रिभुज जिसकी एक भुजा उसके परिवृत्त का व्यास हो, एक समकोण त्रिभुज होता है।
क्या अंकित कोण अधिक कोण हो सकता है?
हाँ। यदि वह चाप जिस पर कोण आधारित है, 180° से बड़ा है, तो कोण अधिक कोण होगा: उदाहरण के लिए, 210° के चाप के संगत अंकित कोण 105° होता है। हालाँकि, अंकित कोण हमेशा 180° से कम होता है।
परिगत कोण क्या है और यह अंकित कोण से कैसे भिन्न है?
परिगत कोण एक ही बाहरी बिंदु से वृत्त पर खींची गई दो स्पर्श रेखाओं द्वारा बनता है। इसका शीर्ष वृत्त के बाहर स्थित होता है, और यह काटे गए चापों के अंतर के आधे के बराबर होता है। अंकित कोण का शीर्ष वृत्त पर स्थित होता है, और यह एक चाप के आधे के बराबर होता है।
वृत्त में और कौन-कौन से प्रकार के कोण होते हैं?
केंद्रीय और अंकित कोणों के अलावा, जीवाओं के बीच का कोण (शीर्ष वृत्त के अंदर — चापों का आधा योग), बाहरी बिंदु से छेदक रेखाओं के बीच का कोण (चाप का आधा अंतर), और स्पर्श रेखा और जीवा के बीच का कोण (अंदर बने चाप का आधा) भी होते हैं। ये सभी वृत्त के चापों के माध्यम से व्यक्त किए जाते हैं।
