त्रिभुजों की समरूपता: कसौटियाँ और समरूपता का गुणांक

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Author: Homiwork

एक कम्पास के साथ एक ज्यामितीय शुभंकर दो समान आकार के त्रिभुजों के बगल में, लेकिन अलग-अलग आकार के

समरूप त्रिभुज ऐसे त्रिभुज होते हैं जिनका आकार समान होता है, लेकिन आकार भिन्न होता है: उनके कोण क्रमशः बराबर होते हैं, और समरूप भुजाएँ आनुपातिक होती हैं। वह संख्या जो बताती है कि एक त्रिभुज दूसरे से कितना बड़ा है, समरूपता गुणांक $k$ कहलाती है। तीन लक्षण समरूपता को सिद्ध करने में मदद करते हैं, और परिमापों और क्षेत्रों का अनुपात एक सरल नियम का पालन करता है: परिमाप $k$ के अनुपात में होते हैं, और क्षेत्र $k²$ के अनुपात में। इस पृष्ठ पर - परिभाषा और शीर्षों के सही क्रम के साथ समरूपता का रिकॉर्ड, सभी तीन लक्षण, समकोण त्रिभुजों की समरूपता और समकोण से ऊंचाई, ओजीई (OGE) समस्याओं का विश्लेषण 'भुजा ज्ञात करें' और एक इंटरैक्टिव ट्रेनर।

समरूप त्रिभुज और समरूपता गुणांक क्या हैं

दो त्रिभुजों को समरूप कहा जाता है यदि दो शर्तें पूरी होती हैं:

उनके कोण क्रमशः बराबर होते हैं — पहले त्रिभुज के प्रत्येक कोण के लिए दूसरे त्रिभुज में एक बराबर कोण होता है;
उनकी समरूप भुजाएँ आनुपातिक होती हैं — सभी तीन अनुपात एक ही संख्या देते हैं।

समरूप (संगत) भुजाएँ वे भुजाएँ होती हैं जो बराबर कोणों के विपरीत स्थित होती हैं। वे जोड़े बनाते हैं जिनके बीच अनुपात की गणना की जाती है।

समरूपता को $\sim$ चिह्न से दर्शाया जाता है:

\[\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\]

समरूपता गुणांक $k$ — समरूप भुजाओं का वही समान अनुपात है:

\[k = \frac{A_1B_1}{AB} = \frac{B_1C_1}{BC} = \frac{A_1C_1}{AC}\]

यदि $k > 1$, तो दूसरा त्रिभुज पहले से बड़ा होता है; यदि $k < 1$ — छोटा; $k = 1$ पर त्रिभुज बस बराबर होते हैं, क्योंकि समानता समरूपता का एक विशेष मामला है।

रिकॉर्ड में शीर्षों का क्रम — औपचारिकता नहीं

$\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$ का रिकॉर्ड स्थिति के अनुसार कड़ाई से पढ़ा जाता है: $A$ का संगत $A_1$ है, $B$ का $B_1$ है, $C$ का $C_1$ है। इससे तुरंत पता चलता है कि कौन से कोण बराबर हैं ($\angle A = \angle A_1$) और कौन सी भुजाएँ समरूप हैं ($AB$ और $A_1B_1$, $BC$ और $B_1C_1$, $AC$ और $A_1C_1$)।

यदि आप अक्षरों को बदलते हैं और $\triangle ABC \sim \triangle B_1A_1C_1$ लिखते हैं, तो यह एक अलग कथन बन जाता है: अब $\angle A = \angle B_1$, और $AB$ के समरूप $B_1A_1$ भुजा होगी। 'समान रूप से स्थित' भुजाओं के अनुसार अनुपात बनाना संभव नहीं है — केवल रिकॉर्ड में स्थिति के अनुसार। इसलिए, सबसे पहले बराबर कोणों के जोड़े लिखे जाते हैं और फिर उनके अनुसार अक्षरों का क्रम समायोजित किया जाता है।

6 : 4 = 1,5 9 : 6 = 1,5 12 : 8 = 1,5 k = 1,5

△ABC ∼ △A₁B₁C₁: संगत शीर्ष एक ही रंग से चिह्नित हैं — A और A₁, B और B₁, C और C₁। समरूप भुजाओं के सभी तीन अनुपात एक ही संख्या देते हैं।

त्रिभुजों की समरूपता के तीन लक्षण

परिभाषा की सभी छह शर्तों की जाँच करना आवश्यक नहीं है: समरूपता तीन लक्षणों में से एक के अनुसार सिद्ध की जाती है। प्रत्येक एक न्यूनतम डेटा सेट है, जिससे सभी कोणों की समानता और सभी भुजाओं की आनुपातिकता स्वतः सिद्ध होती है।

लक्षण कैसे चुनें। देखें कि समस्या में क्या दिया गया है: यदि कोणों के बारे में — पहला, यदि दो भुजाओं और कोण के बारे में — दूसरा, यदि तीनों भुजाओं के बारे में — तीसरा।

पहला लक्षण (दो कोणों द्वारा) — स्कूल पाठ्यक्रम का कार्यशील घोड़ा: लगभग सभी ओजीई (OGE) समस्याएं इसी से हल होती हैं। तीसरा कोण जांचने की आवश्यकता नहीं है, यह स्वचालित रूप से बराबर होता है: त्रिभुज के कोणों का योग हमेशा $180°$ होता है। बराबर कोणों के तैयार जोड़े खोजें — दो त्रिभुजों का सामान्य कोण, ऊर्ध्वाधर कोण, समानांतर रेखाओं पर एकांतर और संगत कोण, दो समकोण।
दूसरा लक्षण (दो भुजाओं और उनके बीच के कोण द्वारा) — यह आवश्यक है कि कोण इन दो भुजाओं के ठीक बीच में हो। यदि बराबर कोण उनमें से एक के विपरीत स्थित है, तो लक्षण काम नहीं करता है और समरूपता सिद्ध नहीं होती है।
तीसरा लक्षण (तीन भुजाओं द्वारा) — जब शर्त में कोई कोण न हो, और केवल लंबाई हो। प्रत्येक त्रिभुज की भुजाओं को आरोही क्रम में लिखें और सबसे छोटी को सबसे छोटी से, मध्य को मध्य से, सबसे बड़ी को सबसे बड़ी से विभाजित करें: इस तरह जोड़े निश्चित रूप से भ्रमित नहीं होंगे। समरूपता तभी होती है जब तीनों अनुपात मेल खाते हैं।

समानता के लक्षणों को समरूपता के लक्षणों से भ्रमित न करने के लिए, अंतर को ध्यान में रखें: समानता में भुजाएँ मेल खानी चाहिए, समरूपता में — आनुपातिक होनी चाहिए।

लक्षण 1 दो कोणों द्वारा ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁
→ △ABC ∼ △A₁B₁C₁

लक्षण 2 दो भुजाओं और उनके बीच के कोण द्वारा A₁B₁ : AB = A₁C₁ : AC, ∠A = ∠A₁

लक्षण 3 तीन भुजाओं द्वारा A₁B₁ : AB = B₁C₁ : BC = A₁C₁ : AC

समरूप त्रिभुजों के परिमापों और क्षेत्रों का अनुपात

समरूपता के दो परिणाम हैं जो अक्सर पूछे जाते हैं, और उनमें से एक विषय का मुख्य जाल है।

परिमाप $k$ के अनुपात में होते हैं। दूसरे त्रिभुज की प्रत्येक भुजा पहले त्रिभुज की समरूप भुजा से $k$ गुना बड़ी होती है, इसलिए भुजाओं का योग भी ठीक $k$ गुना बढ़ जाता है:

\[\frac{P_2}{P_1} = k\]

इसी तरह — «$k$ गुना» — सभी रैखिक मात्राएँ व्यवहार करती हैं: ऊँचाई, माध्यिकाएँ, कोण समद्विभाजक, अंतःवृत्त और परवृत्त की त्रिज्याएँ, मध्य रेखाएँ।

क्षेत्र $k²$ के अनुपात में होते हैं। क्षेत्र एक साथ दो मापों पर निर्भर करता है: आधार और ऊँचाई दोनों $k$ गुना बढ़ जाते हैं, और गुणनफल $k \cdot k$ गुना बढ़ जाता है:

\[\frac{S_2}{S_1} = k^2\]

मान लीजिए $k = 5$ है। तब परिमाप 5 गुना बड़ा होता है (उदाहरण के लिए, 14 सेमी था — 70 सेमी हो गया), और क्षेत्र — पहले से ही 25 गुना (6 सेमी² था — 150 सेमी² हो गया)। अंतर बहुत बड़ा है, और $k²$ के बजाय यहाँ $k$ डालना परीक्षा में सबसे आम गलती है।

विपरीत दिशा। यदि शर्त में क्षेत्रों का अनुपात दिया गया है, तो समरूपता गुणांक वर्गमूल द्वारा प्राप्त किया जाता है: $k = \sqrt{S_2 : S_1}$। उदाहरण के लिए, क्षेत्रों का अनुपात 16:1 है, तो भुजाएँ — 4:1 हैं।

मध्य रेखाएँ त्रिभुज को 4 समान भागों में विभाजित करती हैं। बड़े त्रिभुज की भुजा दोगुनी होती है, और क्षेत्र — 4 गुना: 2² = 4।

k	परिमाप P₂ : P₁	क्षेत्र S₂ : S₁
2	2 : 1	4 : 1
3	3 : 1	9 : 1
1,5	1,5 : 1	2,25 : 1
कोई भी	k : 1	k² : 1

समकोण त्रिभुजों की समरूपता और समकोण से ऊंचाई

समकोण त्रिभुजों के लिए, पहला लक्षण सरल हो जाता है: उनके समकोण पहले से ही बराबर होते हैं, इसलिए एक न्यून कोण की समानता पर्याप्त है ताकि त्रिभुज समरूप हों। इससे दो लम्बिकाओं के अनुपात का लक्षण भी निकलता है: यदि एक त्रिभुज की लम्बिकाएँ दूसरे त्रिभुज की लम्बिकाओं के आनुपातिक हैं, तो त्रिभुज समरूप होते हैं (यह दूसरा लक्षण है, क्योंकि लम्बिकाओं के बीच का कोण समकोण है)।

पूरे विषय का सबसे उपयोगी विन्यास — समकोण शीर्ष से खींची गई ऊँचाई। यह त्रिभुज को दो भागों में विभाजित करती है, और परिणामी तीनों त्रिभुज एक दूसरे के समरूप होते हैं।

ऐसा क्यों है: त्रिभुज $AHC$ में $H$ पर एक समकोण है और बड़े त्रिभुज के साथ एक सामान्य कोण $A$ है, इसलिए $\triangle AHC \sim \triangle ACB$। त्रिभुज $CHB$ में $H$ पर एक समकोण है और एक सामान्य कोण $B$ है, इसलिए $\triangle CHB \sim \triangle ACB$। इससे दो छोटे त्रिभुज भी एक दूसरे के समरूप होते हैं।

इन समरूपताओं से ज्यामितीय माध्य के सूत्र प्राप्त होते हैं (उन्हें समकोण त्रिभुज में आनुपातिक रेखाखंड कहा जाता है):

$CH^2 = AH \cdot HB$ — ऊँचाई वह रेखाखंडों का ज्यामितीय माध्य है जिन पर वह कर्ण को विभाजित करती है;
$AC^2 = AH \cdot AB$ और $BC^2 = HB \cdot AB$ — लम्बिका कर्ण और उस पर उसके प्रक्षेपण का ज्यामितीय माध्य है।

मुख्य बात यह है कि यह भ्रमित न करें कि कौन सा रेखाखंड 'अपना' है: लम्बिका $AC$ का प्रक्षेपण $AH$ है, लम्बिका $BC$ का प्रक्षेपण $HB$ है। प्रक्षेपण हमेशा कर्ण के उसी सिरे से सटा होता है जिस सिरे से लम्बिका जुड़ी होती है।

△AHC ∼ △CHB ∼ △ACB

CH² = AH · HB AC² = AH · AB BC² = HB · AB

संख्याओं की जाँच: 12² = 9 · 16, 15² = 9 · 25, 20² = 16 · 25।

ओजीई (OGE) समरूपता समस्याएं: भुजा कैसे ज्ञात करें

समरूपता पर लगभग सभी समस्याएं एक ही एल्गोरिथम से हल होती हैं:

बराबर कोणों का एक जोड़ा ज्ञात करें — सामान्य कोण, ऊर्ध्वाधर, समानांतर रेखाओं पर एकांतर या दो समकोण।
शीर्षों के सही क्रम में समरूपता लिखें — ताकि बराबर कोण समान स्थिति में हों।
समरूप भुजाओं से एक अनुपात बनाएं (समान स्थानों पर स्थित भुजाएँ लें)।
अज्ञात को व्यक्त करें और गणना करें; अंत में उत्तर की जाँच करें — छोटी त्रिभुज की भुजा छोटी होनी चाहिए।

ओजीई (OGE) में विशिष्ट विन्यास बहुत कम हैं, और उन्हें पहली नज़र में पहचानना चाहिए:

भुजा के समानांतर रेखा। रेखा त्रिभुज से एक छोटा त्रिभुज काटती है, जो मूल त्रिभुज के समरूप होता है। मुख्य बारीकी: अनुपात में सामान्य शीर्ष से पूर्ण भुजाओं का अनुपात जाता है ($BM : BA$), न कि रेखाखंडों का ($BM : MA$)।
«तितली»। दो रेखाखंड प्रतिच्छेद करते हैं, और उनके सिरे समानांतर रेखाओं से जुड़े होते हैं — दो समरूप त्रिभुज बनते हैं, जो एक दूसरे के सापेक्ष उन्मुख होते हैं।
समकोण से ऊँचाई — पिछले अनुभाग का विन्यास; ओजीई (OGE) में इसका उपयोग ऊँचाई, लम्बिका या कर्ण के रेखाखंड को खोजने के लिए किया जाता है।
वस्तु की छाया और ऊँचाई। सूर्य की किरणें समानांतर होती हैं, इसलिए वस्तु अपनी छाया के साथ और पेड़ अपनी छाया के साथ समरूप समकोण त्रिभुज बनाते हैं।
मध्य रेखा — $k = 2$ के साथ एक विशेष मामला: यह भुजा के समानांतर होती है और उससे दोगुनी छोटी होती है।

MN ∥ AC → △BMN ∼ △BAC
कोण B सामान्य है, M और A पर कोण संगत हैं

AB ∥ CD → △AOB ∼ △COD
कोण O पर ऊर्ध्वाधर हैं, कोण A और C एकांतर हैं

समरूपता समस्याओं के समाधान के उदाहरण

उदाहरण 1. समरूपता गुणांक द्वारा भुजाएँ ज्ञात करना

समस्या। $\triangle MNK \sim \triangle PQR$। ज्ञात है कि $MN = 7$, $NK = 11$, $MK = 9$ और $PQ = 21$। $QR$ और $PR$ ज्ञात करें।

चरण 1। रिकॉर्ड को स्थिति के अनुसार विश्लेषण करें: $M \leftrightarrow P$, $N \leftrightarrow Q$, $K \leftrightarrow R$। इसका मतलब है कि समरूप जोड़े इस प्रकार हैं: $MN$ और $PQ$, $NK$ और $QR$, $MK$ और $PR$।

चरण 2। केवल उस जोड़े के लिए गुणांक की गणना करें जहाँ दोनों भुजाएँ ज्ञात हैं:

\[k = \frac{PQ}{MN} = \frac{21}{7} = 3.\]

चरण 3। दूसरे त्रिभुज की शेष भुजाएँ समरूप भुजाओं से 3 गुना बड़ी हैं:

\[QR = 3 \cdot NK = 3 \cdot 11 = 33, \qquad PR = 3 \cdot MK = 3 \cdot 9 = 27.\]

उत्तर: $QR = 33$, $PR = 27$। जाँच: $33 : 11 = 27 : 9 = 3$ — सभी अनुपात मेल खाते हैं।

उदाहरण 2. दूसरे लक्षण द्वारा समरूपता सिद्ध करना

समस्या। त्रिभुजों $ABC$ और $DEF$ में, यह ज्ञात है: $AB = 5$, $AC = 9$, $DE = 15$, $DF = 27$, और कोण $A$ और $D$ बराबर हैं। सिद्ध करें कि त्रिभुज समरूप हैं।

चरण 1। दूसरे लक्षण की मुख्य शर्त की जाँच करें: कोण $A$ भुजाओं $AB$ और $AC$ के बीच स्थित है, कोण $D$ — $DE$ और $DF$ के बीच। दी गई भुजाओं के बीच कोण — लक्षण लागू होता है।

चरण 2। समरूप भुजाओं के अनुपात की गणना करें:

\[\frac{DE}{AB} = \frac{15}{5} = 3, \qquad \frac{DF}{AC} = \frac{27}{9} = 3.\]

चरण 3। भुजाओं के दो जोड़े एक ही गुणांक $k = 3$ के साथ आनुपातिक हैं, उनके बीच के कोण बराबर हैं — दूसरे लक्षण के अनुसार $\triangle ABC \sim \triangle DEF$।

उत्तर: त्रिभुज समरूप हैं, $k = 3$। ध्यान दें: यदि कोण $B$ और $D$ बराबर होते, तो लक्षण लागू नहीं होता — कोण $B$ $AB$ और $AC$ के बीच स्थित नहीं है।

उदाहरण 3. भुजा के समानांतर रेखा (ओजीई (OGE) समस्या)

समस्या। त्रिभुज $ABC$ में, बिंदु $M$ भुजा $AB$ पर स्थित है, बिंदु $N$ — भुजा $BC$ पर, जहाँ $MN \parallel AC$। ज्ञात है कि $BM = 4$, $MA = 12$, $MN = 5$। $AC$ ज्ञात करें।

चरण 1। चूँकि $MN \parallel AC$, कोण $BMN$ और $BAC$ संगत कोणों के रूप में बराबर हैं, और कोण $B$ सामान्य है। पहले लक्षण के अनुसार $\triangle BMN \sim \triangle BAC$ (शीर्षों का क्रम: $M \leftrightarrow A$, $N \leftrightarrow C$)।

चरण 2। सामान्य शीर्ष से पूर्ण भुजा ज्ञात करें: $BA = BM + MA = 4 + 12 = 16$। यह मुख्य बारीकी है — अनुपात में $BA$ जाता है, $MA$ नहीं।

चरण 3। समरूप भुजाओं के अनुसार अनुपात बनाएं:

\[\frac{BM}{BA} = \frac{MN}{AC} \quad \Rightarrow \quad \frac{4}{16} = \frac{5}{AC}.\]

चरण 4। इससे $AC = 5 \cdot 4 = 20$ प्राप्त होता है।

उत्तर: $AC = 20$। यहाँ समरूपता गुणांक 4 है: बड़ा त्रिभुज काटे गए त्रिभुज से चार गुना बड़ा है।

उदाहरण 4. परिमाप और क्षेत्र

समस्या। समरूप त्रिभुजों के परिमाप 18 सेमी और 45 सेमी हैं। छोटे त्रिभुज का क्षेत्रफल 16 सेमी² है। बड़े का क्षेत्रफल ज्ञात करें।

चरण 1। परिमाप समरूपता गुणांक के अनुपात में होते हैं:

\[k = \frac{45}{18} = 2{,}5.\]

चरण 2। क्षेत्र समरूपता गुणांक के वर्ग के अनुपात में होते हैं: $k^2 = 2{,}5^2 = 6{,}25$।

चरण 3। छोटे त्रिभुज के क्षेत्रफल को $k^2$ से गुणा करें:

\[S = 16 \cdot 6{,}25 = 100 \text{ सेमी}^2.\]

उत्तर: 100 सेमी²। यदि हमने $k = 2{,}5$ से गुणा किया होता, तो हमें 40 सेमी² मिलता — एक सामान्य गलती, जिसके कारण पूरा अंक खो जाता है।

उदाहरण 5. समकोण शीर्ष से ऊँचाई

समस्या। समकोण त्रिभुज $ABC$ में, जिसका समकोण शीर्ष $C$ पर है, ऊँचाई $CH$ कर्ण पर खींची गई है। ज्ञात है कि $AH = 4$ सेमी, $HB = 9$ सेमी। ऊँचाई $CH$ और त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें।

चरण 1। समकोण से ऊँचाई कर्ण के रेखाखंडों का ज्यामितीय माध्य है, क्योंकि $\triangle AHC \sim \triangle CHB$:

\[CH^2 = AH \cdot HB = 4 \cdot 9 = 36.\]

चरण 2। वर्गमूल निकालें: $CH = 6$ सेमी।

चरण 3। कर्ण $AB = AH + HB = 4 + 9 = 13$ सेमी। क्षेत्रफल की गणना कर्ण और उस पर खींची गई ऊँचाई के माध्यम से करें:

\[S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot 6 = 39 \text{ सेमी}^2.\]

उत्तर: $CH = 6$ सेमी, $S = 39$ सेमी²।

उदाहरण 6. छाया द्वारा पेड़ की ऊँचाई

समस्या। 2 मीटर ऊँचा एक ऊर्ध्वाधर खंभा 1.5 मीटर लंबी छाया डालता है। उसी समय, पेड़ की छाया 9 मीटर है। पेड़ की ऊँचाई क्या है?

चरण 1। सूर्य की किरणें समानांतर होती हैं, इसलिए खंभे और पेड़ के लिए किरण के आपतन कोण समान होते हैं। खंभा अपनी छाया के साथ और पेड़ अपनी छाया के साथ समरूप समकोण त्रिभुज बनाते हैं जिनमें एक न्यून कोण बराबर होता है — इसलिए, वे समरूप हैं।

चरण 2। 'ऊँचाई से अपनी छाया तक' अनुपात बनाएं:

\[\frac{h}{9} = \frac{2}{1{,}5}.\]

चरण 3। अज्ञात ऊँचाई को व्यक्त करें:

\[h = \frac{2 \cdot 9}{1{,}5} = \frac{18}{1{,}5} = 12 \text{ मी}.\]

उत्तर: 12 मीटर। अर्थ के अनुसार जाँच: पेड़ की छाया खंभे की छाया से 6 गुना लंबी है, इसलिए पेड़ भी 6 गुना ऊँचा है: $2 \cdot 6 = 12$ मीटर।

समरूपता समस्याओं में सामान्य गलतियाँ

यह मानना कि समरूप त्रिभुजों के क्षेत्र $k$ के अनुपात में होते हैं: $k = 3$ पर क्षेत्र को तीन गुना बढ़ाना।

क्षेत्रफल समरूपता गुणांक के वर्ग के अनुपात में होते हैं: $k = 3$ पर, क्षेत्र $3^2 = 9$ गुना बड़ा होता है। केवल रैखिक मात्राएँ — भुजाएँ, परिमाप, ऊँचाई, माध्यिकाएँ — $k$ के अनुपात में होती हैं। संकेत नियम: क्षेत्रफल का मापन वर्ग इकाइयों में होता है, इसलिए गुणांक भी इसमें वर्ग के रूप में शामिल होता है।
शीर्षों के क्रम को अनदेखा करना: रिकॉर्ड $\triangle ABC \sim \triangle KLM$ से अनुपात $AB : LM$ बनाना।

शीर्षों की संगतता रिकॉर्ड में स्थितियों द्वारा निर्धारित की जाती है: $A \leftrightarrow K$, $B \leftrightarrow L$, $C \leftrightarrow M$। $AB$ के संगत $KL$ होगा, और $BC$ के संगत — $LM$। अनुपात लिखने से पहले, शीर्षों के जोड़े को एक कॉलम में लिखें — इसमें पाँच सेकंड लगते हैं और अधिकांश त्रुटियों को दूर करता है।
एक बराबर कोण या दो आनुपातिक भुजाओं के बिना समरूपता सिद्ध करना।

एक बराबर कोण पर्याप्त नहीं है: दो त्रिभुजों का कोण पूरी तरह से अलग आकार के साथ मेल खा सकता है। एक पूर्ण लक्षण की आवश्यकता है — दो कोण, या दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण, या तीनों भुजाएँ।
दूसरे लक्षण में एक कोण लेना जो दी गई भुजाओं के बीच स्थित नहीं है।

दूसरा लक्षण केवल दो दी गई भुजाओं के बीच के कोण के साथ काम करता है। यदि $AB$, $AC$ ज्ञात हैं और कोण $B$ बराबर है, तो लक्षण लागू नहीं होता है — एक अलग रास्ता खोजें: बराबर कोणों का एक जोड़ा या तीसरी भुजा।
गुणांक को उलटना: $k$ को 'छोटी भुजा से बड़ी भुजा तक' के रूप में खोजना, और फिर बड़े त्रिभुज की भुजा प्राप्त करने के लिए इससे गुणा करना।

अपने साथ दिशा तय करें: यदि $k$ दूसरे त्रिभुज की भुजाओं का पहले त्रिभुज की भुजाओं से अनुपात है, तो पहले त्रिभुज की भुजाओं को $k$ से गुणा करें, और दूसरे त्रिभुज की भुजाओं को $k$ से विभाजित करें। अर्थ के अनुसार अंतिम जाँच: छोटी त्रिभुज की भुजा छोटी होनी चाहिए।
भुजा के समानांतर रेखा वाली समस्या में, रेखाखंडों से अनुपात बनाना: $BM : MA = MN : AC$।

त्रिभुज $BMN$ और $BAC$ समरूप हैं, और उनकी समरूप भुजाएँ — $BM$ और $BA$ (सामान्य शीर्ष से पूरी भुजा), न कि रेखाखंड $MA$। पहले $BA = BM + MA$ ज्ञात करें, और केवल उसके बाद अनुपात बनाएं।
समरूपता को समानता से भ्रमित करना और उत्तर में लिखना कि भुजाएँ बस बराबर हैं।

समानता समरूपता का एक विशेष मामला है जब $k = 1$। यदि $k \ne 1$, तो त्रिभुजों में केवल कोण बराबर होते हैं, और भुजाएँ $k$ गुना भिन्न होती हैं। लक्षण भी अलग होते हैं: समानता के लिए यह SUS, USU, SSS मेल खाती भुजाओं के साथ होता है, समरूपता के लिए — आनुपातिक भुजाएँ।

प्रश्न और उत्तर

किन त्रिभुजों को समरूप कहा जाता है?

समरूप उन त्रिभुजों को कहा जाता है जिनके कोण क्रमशः बराबर होते हैं, और समरूप भुजाएँ आनुपातिक होती हैं। सरल शब्दों में, वे समान आकार के लेकिन अलग-अलग आकार के त्रिभुज होते हैं। समरूपता को ∼ चिह्न से दर्शाया जाता है: △ABC ∼ △A₁B₁C₁।

त्रिभुजों की समरूपता का गुणांक क्या है?

समरूपता गुणांक k समरूप त्रिभुजों की समरूप भुजाओं के अनुपात के बराबर संख्या है: k = A₁B₁ : AB = B₁C₁ : BC = A₁C₁ : AC। यह बताता है कि एक त्रिभुज दूसरे से कितना बड़ा है। k = 1 पर त्रिभुज बराबर होते हैं।

त्रिभुजों की समरूपता के कितने लक्षण हैं और वे क्या हैं?

तीन लक्षण हैं। पहला — दो कोणों द्वारा: एक त्रिभुज के दो कोण दूसरे त्रिभुज के दो कोणों के बराबर होते हैं। दूसरा — दो भुजाओं और उनके बीच के कोण द्वारा: दो भुजाएँ आनुपातिक होती हैं और उनके बीच के कोण बराबर होते हैं। तीसरा — तीन भुजाओं द्वारा: समरूप भुजाओं के तीनों जोड़े आनुपातिक होते हैं।

समरूप त्रिभुजों के क्षेत्र कैसे संबंधित हैं?

समरूप त्रिभुजों के क्षेत्र समरूपता गुणांक के वर्ग के अनुपात में होते हैं: S₂ : S₁ = k²। उदाहरण के लिए, k = 4 पर, क्षेत्र 16 गुना बड़ा होता है। इसके विपरीत: यदि क्षेत्रों का अनुपात 25:1 है, तो भुजाओं का अनुपात 5:1 है।

समरूप त्रिभुजों के परिमाप कैसे संबंधित हैं?

परिमाप समरूपता गुणांक के अनुपात में होते हैं: P₂ : P₁ = k। इसी तरह सभी रैखिक तत्व — ऊँचाई, माध्यिकाएँ, कोण समद्विभाजक, मध्य रेखाएँ, अंतःवृत्त और परवृत्त की त्रिज्याएँ — व्यवहार करती हैं।

त्रिभुजों की समरूपता समानता से कैसे भिन्न होती है?

बराबर त्रिभुजों में कोण और भुजाएँ दोनों मेल खाती हैं, इसलिए आकृतियों को एक दूसरे पर रखा जा सकता है। समरूप त्रिभुजों में केवल कोण बराबर होते हैं, और भुजाएँ गुणांक k के साथ आनुपातिक होती हैं। समानता समरूपता का एक विशेष मामला है जब k = 1।

समकोण त्रिभुजों की समरूपता कैसे सिद्ध करें?

एक न्यून कोण की समानता पर्याप्त है: उनके समकोण पहले से ही बराबर होते हैं, इसलिए पहला लक्षण काम करता है। दूसरा तरीका — लम्बिकाओं की आनुपातिकता: लम्बिकाओं के बीच का कोण समकोण है, इसलिए समरूपता का दूसरा लक्षण लागू होता है।

समकोण शीर्ष से खींची गई ऊँचाई तीन समरूप त्रिभुज क्यों बनाती है?

समकोण C के शीर्ष से ऊँचाई CH त्रिभुज ABC को त्रिभुजों AHC और CHB में विभाजित करती है। AHC में H पर समकोण है और ABC के साथ सामान्य कोण A है, CHB में — H पर समकोण और सामान्य कोण B है, इसलिए दोनों मूल त्रिभुज के समरूप हैं, और इसलिए एक दूसरे के भी। इससे सूत्र CH² = AH · HB, AC² = AH · AB और BC² = HB · AB प्राप्त होते हैं।

त्रिभुजों की समरूपता किस कक्षा में पढ़ाई जाती है?

कक्षा 8 में ज्यामिति के पाठों में — आनुपातिक रेखाखंडों के विषय के तुरंत बाद। वहीं समरूपता के तीन लक्षण, क्षेत्रों का अनुपात और समकोण त्रिभुज पर समरूपता का अनुप्रयोग भी सीखा जाता है। आगे यह विषय कक्षा 9 में और ओजीई (OGE) समस्याओं में उपयोग किया जाता है।

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