कोसाइन प्रमेय: सूत्र, प्रमाण और समस्याएं

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Author: Homiwork

एक बड़े त्रिभुज के पास ज्यामिति शुभंकर, एक कोण चाप से चिह्नित है

कोसाइन प्रमेय किसी भी त्रिभुज में काम करता है — इसे समकोण की आवश्यकता नहीं है। यह तीन भुजाओं और एक कोण को जोड़ता है, इसलिए इसका उपयोग तब किया जाता है जब दो अन्य भुजाएँ और उनके बीच का कोण ज्ञात हो।

कथन। त्रिभुज की एक भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग से उन भुजाओं के दोगुने गुणनफल को उनके बीच के कोण के कोसाइन से गुणा करके घटाने पर प्राप्त होता है।

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\]

यहाँ $a$, $b$, $c$ त्रिभुज की भुजाएँ हैं, और $C$ भुजाओं $a$ और $b$ के बीच का कोण है; भुजा $c$ इस कोण के विपरीत स्थित है। अक्षर कोई भी लिए जा सकते हैं — सूत्र सममित है, इसलिए इसके तीन समतुल्य रूप हैं:

\[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A\]

\[b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B\]

प्रतिस्थापन का मुख्य नियम: वह कोण लें जो गुणनफल में दो भुजाओं के बीच स्थित हो, और उसके विपरीत स्थित भुजा ज्ञात करें। यदि आप 'निकटवर्ती' कोण लेते हैं, तो सभी संख्याएँ समस्या से होंगी, और उत्तर — गलत।

कोसाइन प्रमेय: कथन और सूत्र

कोसाइन प्रमेय किसी भी त्रिभुज में काम करता है — इसे समकोण की आवश्यकता नहीं है। यह तीन भुजाओं और एक कोण को जोड़ता है, इसलिए इसका उपयोग तब किया जाता है जब दो अन्य भुजाएँ और उनके बीच का कोण ज्ञात हो।

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\]

\[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A\]

\[b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B\]

c² = a² + b² − 2ab · cos C a² = b² + c² − 2bc · cos A b² = a² + c² − 2ac · cos B

हम वह कोण लेते हैं जो गुणनफल की भुजाओं के बीच स्थित है, और उसके विपरीत भुजा ज्ञात करते हैं: कोण C — a और b के बीच, भुजा c — विपरीत।

पाइथागोरस प्रमेय कोसाइन प्रमेय का एक विशेष मामला क्यों है

सूत्र में एक समकोण, यानी $C = 90°$ रखें। समकोण का कोसाइन शून्य होता है, इसलिए तीसरा पद पूरी तरह से शून्य हो जाता है:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos 90° = a^2 + b^2 - 2ab \cdot 0 = a^2 + b^2.\]

यह बिल्कुल पाइथागोरस प्रमेय है, जो 8वीं कक्षा से परिचित है। इसलिए कोसाइन प्रमेय को इसका सामान्यीकरण कहा जाता है: पाइथागोरस '90° पर एक विशेष मामला' है, और कोसाइन प्रमेय सभी कोणों के लिए एक साथ काम करता है।

पद $-2ab\cos C$ को कोण की गैर-सीधेपन के लिए सुधार के रूप में समझना सुविधाजनक है:

कोण न्यून है, $\cos C > 0$ — सुधार घटाया जाता है, भुजा $c$ पाइथागोरस द्वारा दी गई तुलना में छोटी होती है;
कोण समकोण है, $\cos C = 0$ — कोई सुधार नहीं, $c^2 = a^2 + b^2$ बचता है;
कोण अधिक कोण है, $\cos C < 0$ — सुधार जोड़ा जाता है, भुजा $c$ लंबी होती है।

कोसाइन प्रमेय लेंc² = a² + b² − 2ab · cos C

कोण को समकोण बनाएंC = 90°, cos 90° = 0 → 2ab · 0 = 0

पाइथागोरस प्रमेय बचता हैc² = a² + b²

कोसाइन प्रमेय का प्रमाण

सबसे छोटा स्कूली प्रमाण — निर्देशांक विधि है। शीर्ष $C$ को मूल बिंदु पर रखें, और भुजा $b = CA$ को x-अक्ष की दिशा में रखें। तब शीर्षों के निर्देशांक इस प्रकार होंगे:

$C(0;\ 0)$ — मूल बिंदु;
$A(b;\ 0)$ — x-अक्ष पर मूल बिंदु से $b$ दूरी पर एक बिंदु;
$B(a\cos C;\ a\sin C)$ — मूल बिंदु से $a$ दूरी पर एक बिंदु, x-अक्ष के साथ $C$ कोण पर।

भुजा $c$ दो बिंदुओं के बीच की दूरी के सूत्र द्वारा गणना की गई रेखा खंड $AB$ की लंबाई है:

\[c^2 = (a\cos C - b)^2 + (a\sin C)^2\]

कोष्ठकों को खोलें:

\[c^2 = a^2\cos^2 C - 2ab\cos C + b^2 + a^2\sin^2 C\]

$a^2$ वाले पदों को समूहित करें और त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin^2 C + \cos^2 C = 1$ लागू करें:

\[c^2 = a^2(\cos^2 C + \sin^2 C) + b^2 - 2ab\cos C = a^2 + b^2 - 2ab\cos C.\]

जो सिद्ध करना था। ध्यान दें: कहीं भी यह आवश्यक नहीं था कि कोण $C$ न्यून हो। यदि यह अधिक कोण है, तो कोसाइन ऋणात्मक है, $a\cos C$ निर्देशांक y-अक्ष के बाईं ओर चला जाता है, लेकिन सभी गणनाएँ समान रहती हैं — इसलिए प्रमेय किसी भी त्रिभुज के लिए मान्य है।

शीर्ष C — मूल बिंदु पर, भुजा b x-अक्ष पर स्थित है। तब शीर्ष B के निर्देशांक भुजा a और कोण C के पदों में व्यक्त किए जाते हैं।

व्युत्पत्ति: तीन भुजाओं द्वारा कोण कैसे ज्ञात करें

कोसाइन प्रमेय से कोसाइन को ही व्यक्त किया जाता है — यह इसका मुख्य व्युत्पत्ति है। इसका उपयोग तब कोण ज्ञात करने के लिए किया जाता है जब सभी तीन भुजाएँ ज्ञात हों:

\[\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\]

अंश में — कोण से समीपस्थ दो भुजाओं के वर्गों का योग, उसके विपरीत स्थित भुजा के वर्ग को घटाकर। हर में — समीपस्थ भुजाओं के दोगुने गुणनफल। अन्य कोणों के लिए सूत्र समान हैं:

\[\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}, \qquad \cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}\]

समाधान का क्रम:

वांछित कोण चुनें और निर्धारित करें कि कौन सी भुजा उसके विपरीत स्थित है — उसका वर्ग ऋणात्मक चिह्न के साथ अंश में जाता है;
भिन्न की गणना करें (हर हमेशा धनात्मक होता है, चिह्न केवल अंश द्वारा निर्धारित होता है);
मानों की तालिका या आर्ककोसाइन के माध्यम से स्वयं कोण ज्ञात करें।

एक उपयोगी चाल: सबसे बड़ी भुजा से शुरू करें। उसके विपरीत सबसे बड़ा कोण स्थित होता है, और केवल वही समकोण या अधिक कोण हो सकता है — त्रिभुज में अन्य दो कोण हमेशा न्यून कोण होते हैं।

अधिक कोणों के कोसाइन: मानों की तालिका

स्कूल की समस्याओं में, कोण लगभग हमेशा 'तालिका वाले' होते हैं: 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°। न्यून कोणों का कोसाइन धनात्मक होता है, समकोण का शून्य होता है, और अधिक कोणों का — ऋणात्मक। अधिक कोणों के मान '180° - α = -cos α' के रूपांतरण नियम का उपयोग करके न्यून कोणों के मानों से प्राप्त किए जाते हैं: उदाहरण के लिए, $\cos 120° = -\cos 60° = -0{,}5$।

व्यवहार में इसका क्या मतलब है: अधिक कोण के लिए, पद $-2ab\cos C$ एक प्लस बन जाता है — माइनस गुणा माइनस। कोण $120°$ के लिए सूत्र इस प्रकार दिखता है:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot (-0{,}5) = a^2 + b^2 + ab.\]

यहीं पर सबसे अधिक अंक खो जाते हैं: वे $-0{,}5$ के बजाय $0{,}5$ प्रतिस्थापित करते हैं और एक भुजा प्राप्त करते हैं जो दोनों दी गई भुजाओं से छोटी होती है। यह स्पष्ट रूप से असंभव है — अधिक कोण के विपरीत त्रिभुज की सबसे लंबी भुजा स्थित होती है।

कोण	कोसाइन
30°	√3/2 ≈ 0,87
45°	√2/2 ≈ 0,71
60°	1/2 = 0,5
90°	0
120°	−1/2 = −0,5
135°	−√2/2 ≈ −0,71
150°	−√3/2 ≈ −0,87

रूपांतरण नियम: cos(180° − α) = −cos α। हरे मान न्यून कोण देते हैं, गुलाबी — अधिक कोण।

तीन भुजाओं द्वारा त्रिभुज का प्रकार कैसे निर्धारित करें

कोसाइन प्रमेय त्रिभुज के कोणों को मापे बिना उसके प्रकार का पता लगाने की अनुमति देता है। भिन्न $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$ का चिह्न केवल अंश पर निर्भर करता है: हर $2ab$ हमेशा धनात्मक होता है। इसका मतलब है कि सबसे बड़ी भुजा के वर्ग की तुलना अन्य दो के वर्गों के योग से करना पर्याप्त है।

मान लीजिए $c$ सबसे बड़ी भुजा है, तो उसके विपरीत सबसे बड़ा कोण $C$ स्थित है:

$a^2 + b^2 > c^2$ → $\cos C > 0$ → कोण $C$ न्यून है। अन्य कोण इससे छोटे हैं, जिसका अर्थ है कि तीनों कोण न्यून हैं — त्रिभुज न्यूनकोण है;
$a^2 + b^2 = c^2$ → $\cos C = 0$ → $C = 90°$ — त्रिभुज समकोण है (यह पाइथागोरस प्रमेय का विपरीत है);
$a^2 + b^2 < c^2$ → $\cos C < 0$ → कोण $C$ अधिक कोण है — त्रिभुज अधिककोण है।

अन्य कोणों की जाँच करने की आवश्यकता नहीं है: त्रिभुज में एक समकोण या अधिक कोण केवल एक ही हो सकता है। और त्रिभुज असमानता को न भूलें — यदि सबसे बड़ी भुजा अन्य दो के योग से कम नहीं है, तो ऐसी भुजाओं वाला त्रिभुज मौजूद ही नहीं है।

a² + b² > c²cos C > 0, कोण C न्यून हैन्यूनकोणउदाहरण: 5, 6, 7

a² + b² = c²cos C = 0, कोण C समकोण हैसमकोणउदाहरण: 8, 15, 17

a² + b² < c²cos C < 0, कोण C अधिक कोण हैअधिककोणउदाहरण: 4, 7, 9

सभी तीन पंक्तियों में c — त्रिभुज की सबसे बड़ी भुजा है: केवल उसके विपरीत ही समकोण या अधिक कोण हो सकता है।

साइन प्रमेय या कोसाइन प्रमेय: कैसे चुनें

दोनों प्रमेय एक ही समस्या हल करते हैं — त्रिभुज की अज्ञात भुजाओं और कोणों को ज्ञात करते हैं — लेकिन वे डेटा के विभिन्न सेटों से शुरू होते हैं। साइन प्रमेय भुजा और उसके विपरीत कोण को जोड़ता है:

\[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R\]

इसलिए चयन का नियम: यदि समस्या में पहले से ही 'भुजा और उसके विपरीत कोण' का एक जोड़ा है — तो साइन प्रमेय काम करता है; यदि ऐसा कोई जोड़ा नहीं है — तो कोसाइन प्रमेय से शुरू करें। चार स्कूली डेटा सेट के लिए एक स्मृति-सहायता तालिका में है।

अक्सर समस्या दो चरणों में हल होती है: पहले कोसाइन प्रमेय तीसरी भुजा देता है, और फिर साइन प्रमेय शेष कोणों को जल्दी से ज्ञात करता है।

क्या ज्ञात है	क्या लागू करें
SASदो भुजाएँ और उनके बीच का कोण	कोसाइन प्रमेयतीसरी भुजा ज्ञात करें
SSSतीनों भुजाएँ	कोसाइन प्रमेयकोई भी कोण और त्रिभुज का प्रकार ज्ञात करें
ASAएक भुजा और दो कोण	साइन प्रमेयअन्य दो भुजाएँ ज्ञात करें
SSAदो भुजाएँ और एक के विपरीत कोण	साइन प्रमेयविपरीत कोण ज्ञात करें

SSA मामले में दो समाधान हो सकते हैं: साइन न्यून और अधिक कोण के बीच अंतर नहीं करता है, इसलिए दोनों संभावनाओं को समस्या की स्थिति के अनुसार जांचना आवश्यक है।

OGE समस्याओं में कोसाइन प्रमेय

गणित के OGE में, कोसाइन प्रमेय समतल ज्यामिति के कार्यों में पाया जाता है — दोनों पहले भाग में और विस्तृत उत्तर वाले कार्यों में। विशिष्ट स्थितियाँ इस प्रकार हैं:

दो भुजाओं और उनके बीच के कोण से भुजा ज्ञात करना — सूत्र का सीधा अनुप्रयोग, अक्सर 60° या 120° के कोणों के साथ।
तीन भुजाओं से कोण या उसके कोसाइन को ज्ञात करना — कोसाइन प्रमेय का व्युत्पत्ति $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$। यदि कार्य में '$\cos\angle A$ ज्ञात करें' लिखा है, तो आर्ककोसाइन लेने की आवश्यकता नहीं है: उत्तर वही भिन्न है, उसे ही लिखें।
समांतर चतुर्भुज के विकर्ण। विकर्ण दो भुजाओं और उनके बीच के कोण से एक त्रिभुज को काटता है। समांतर चतुर्भुज के आसन्न कोणों का योग 180° होता है, इसलिए उनके कोसाइन विपरीत होते हैं: न्यून कोण के विपरीत छोटी विकर्ण होती है, अधिक कोण के विपरीत — बड़ी।
तीन संख्याओं से त्रिभुज का प्रकार — $a^2 + b^2$ की $c^2$ से तुलना।
त्रिभुज का माध्यिका। सूत्र $m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}$ आधार पर दो आसन्न कोणों पर कोसाइन प्रमेय के दोहरे अनुप्रयोग से प्राप्त होता है।

परीक्षा के लिए सलाह: गणना करने से पहले, चित्र पर उस कोण को चिह्नित करें जो ज्ञात भुजाओं के बीच 'फंसा' हुआ है। यदि ऐसा कोई कोण नहीं है — तो कोसाइन प्रमेय अभी लागू नहीं किया जा सकता है, आपको एक अलग रास्ता खोजना होगा।

कोसाइन प्रमेय पर समस्याओं को हल करने के उदाहरण

उदाहरण 1. दो भुजाओं और 60° कोण से भुजा ज्ञात करना

समस्या। त्रिभुज $ABC$ में, भुजाएँ $a = 7$ और $b = 15$ हैं, उनके बीच का कोण $C = 60°$ है। भुजा $c$ ज्ञात करें।

चरण 1। कोण $C$ भुजाओं $a$ और $b$ के बीच स्थित है — यह ठीक वही मामला है जिसके लिए प्रमेय बनाया गया था:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C.\]

चरण 2। संख्याओं को प्रतिस्थापित करें, $\cos 60° = 0{,}5$:

\[c^2 = 7^2 + 15^2 - 2 \cdot 7 \cdot 15 \cdot 0{,}5 = 49 + 225 - 105 = 169.\]

चरण 3। वर्गमूल निकालें: $c = \sqrt{169} = 13$।

उत्तर: $13$। अर्थ के अनुसार जाँच: कोण $60°$ न्यून है, इसलिए इसके विपरीत भुजा सबसे लंबी नहीं है — और वास्तव में, $13 < 15$।

उदाहरण 2. अधिक कोण: माइनस गुणा माइनस

समस्या। त्रिभुज $ABC$ में, $AB = 6$, $BC = 10$, कोण $B = 120°$ ज्ञात है। भुजा $AC$ ज्ञात करें।

चरण 1। कोण $B$ भुजाओं $AB$ और $BC$ के बीच स्थित है, और भुजा $AC$ उसके विपरीत स्थित है:

\[AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B.\]

चरण 2। कोण अधिक कोण है, इसलिए $\cos 120° = -0{,}5$। गुणनफल से पहले का माइनस और कोसाइन का माइनस प्लस बन जाता है:

\[AC^2 = 36 + 100 - 2 \cdot 6 \cdot 10 \cdot (-0{,}5) = 136 + 60 = 196.\]

चरण 3। $AC = \sqrt{196} = 14$।

उत्तर: $14$। जाँच: अधिक कोण के विपरीत सबसे लंबी भुजा स्थित होती है — $14$, $6$ और $10$ दोनों से बड़ी है।

उदाहरण 3. तीन भुजाओं से कोण ज्ञात करना

समस्या। त्रिभुज की भुजाएँ $3$, $5$ और $7$ हैं। इसका सबसे बड़ा कोण ज्ञात करें।

चरण 1। सबसे बड़ा कोण सबसे बड़ी भुजा, यानी भुजा $7$ के विपरीत स्थित होता है। इसे $C$ से निरूपित करें, तो $c = 7$, और समीपस्थ भुजाएँ $a = 3$ और $b = 5$ हैं।

चरण 2। व्युत्पत्ति लागू करें:

\[\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{9 + 25 - 49}{2 \cdot 3 \cdot 5} = \frac{-15}{30} = -0{,}5.\]

चरण 3। कोसाइन ऋणात्मक है — कोण अधिक कोण है। मानों की तालिका के अनुसार $\cos 120° = -0{,}5$, इसलिए $C = 120°$।

उत्तर: $120°$। साथ ही यह भी पता चला कि त्रिभुज अधिककोण है।

उदाहरण 4. त्रिभुज का प्रकार निर्धारित करना

समस्या। 6, 7 और 10 भुजाओं वाले त्रिभुज का प्रकार निर्धारित करें।

चरण 1। त्रिभुज असमानता की जाँच करें: $6 + 7 = 13 > 10$ — त्रिभुज मौजूद है। सबसे बड़ी भुजा — $10$।

चरण 2। दो छोटी भुजाओं के वर्गों के योग की तुलना सबसे बड़ी भुजा के वर्ग से करें:

\[6^2 + 7^2 = 36 + 49 = 85, \qquad 10^2 = 100.\]

चरण 3। $85 < 100$, इसलिए भिन्न का अंश ऋणात्मक है और $\cos C < 0$ — भुजा $10$ के विपरीत कोण अधिक कोण है। यदि चाहें तो स्वयं कोण भी ज्ञात किया जा सकता है:

\[\cos C = \frac{85 - 100}{2 \cdot 6 \cdot 7} = \frac{-15}{84} \approx -0{,}18 \Rightarrow C \approx 100°.\]

उत्तर: त्रिभुज अधिककोण है। ध्यान दें: यह 'आँख से' दिखाई नहीं देता है — भुजाएँ लगभग बराबर हैं, और कोण पहले ही $90°$ पार कर चुका है।

उदाहरण 5. OGE स्तर की समस्या: समांतर चतुर्भुज का विकर्ण

समस्या। समांतर चतुर्भुज की भुजाएँ 5 और 8 हैं, न्यून कोण 60° है। छोटी विकर्ण ज्ञात करें।

चरण 1। विकर्ण एक त्रिभुज को काटता है जिसके लिए दो भुजाएँ (5 और 8) और उनके बीच का कोण ज्ञात है। छोटी विकर्ण न्यून कोण 60° के विपरीत स्थित है।

चरण 2। गणना करें:

\[d^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos 60° = 25 + 64 - 40 = 49 \Rightarrow d = 7.\]

चरण 3। जाँच। दूसरी विकर्ण कोण 120° (समांतर चतुर्भुज के आसन्न कोणों का योग 180° होता है) के विपरीत स्थित है: $D^2 = 89 + 40 = 129$, यानी $D = \sqrt{129} \approx 11{,}4$। विकर्णों के वर्गों का योग $49 + 129 = 178$ है, और भुजाओं के वर्गों के दोगुने योग — $2(25 + 64) = 178$। मेल खाता है, इसलिए गणना सही है।

उत्तर: $7$।

कोसाइन प्रमेय पर समस्याओं में सामान्य त्रुटियाँ

अधिक कोण के कोसाइन को धनात्मक चिह्न के साथ लेते हैं। 4 और 9 भुजाओं और उनके बीच 120° के कोण के लिए, वे $c^2 = 16 + 81 - 2 \cdot 4 \cdot 9 \cdot 0{,}5 = 61$ लिखते हैं और $c \approx 7{,}8$ प्राप्त करते हैं।

$\cos 120° = -0{,}5$, और माइनस गुणा माइनस प्लस देता है: $c^2 = 97 + 36 = 133$, यानी $c = \sqrt{133} \approx 11{,}5$। त्वरित जाँच: अधिक कोण के विपरीत सबसे लंबी भुजा स्थित होती है, इसलिए उत्तर 9 से बड़ा होना चाहिए।
ज्ञात भुजाओं के बीच स्थित नहीं कोण को प्रतिस्थापित करते हैं: समस्या में एक कोण दिया गया है, और वे उसे 'जैसा है' लेते हैं, चित्र को देखे बिना।

सूत्र $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$ में, भुजाएँ $a$ और $b$ कोण $C$ बनाती हैं, और भुजा $c$ उसके विपरीत स्थित होती है। यदि दिया गया कोण वांछित भुजा से सटा हुआ है, तो यह रूप उपयुक्त नहीं है — आपको तीन में से एक अन्य रूप या साइन प्रमेय का उपयोग करना होगा।
वर्गमूल निकालना भूल जाते हैं और उत्तर में भुजा का वर्ग लिखते हैं: $c^2 = 225$ प्राप्त हुआ और 'भुजा 225 है' लिखते हैं।

सूत्र हमेशा भुजा का वर्ग ही देता है। अंतिम चरण अनिवार्य है: $c = \sqrt{225} = 15$। उत्तर लिखने से पहले समस्या के प्रश्न को फिर से पढ़ें।
व्युत्पत्ति में पदों का क्रम भ्रमित करते हैं और $\cos C = \dfrac{c^2 - a^2 - b^2}{2ab}$ लिखते हैं।

सही अंश $a^2 + b^2 - c^2$ है: समीपस्थ भुजाओं के वर्गों का योग घटाकर विपरीत भुजा का वर्ग। पदों को बदलने पर भिन्न का चिह्न विपरीत हो जाता है, और अधिक कोण $120°$ के बजाय न्यून कोण $60°$ प्राप्त होता है।
कोसाइन के मापांक द्वारा कोण ज्ञात करते हैं: −0.25 प्राप्त हुआ, और उत्तर में न्यून कोण लिखते हैं, जैसे कि कोसाइन +0.25 था।

ऋणात्मक कोसाइन हमेशा एक अधिक कोण होता है। चिह्न नहीं खोना चाहिए: cos 60° = 0.5, और cos 120° = −0.5; ऋणात्मक संख्या का आर्ककोसाइन 90° से अधिक होता है।
साइन प्रमेय का उपयोग करके 'दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण' समस्या को हल करने का प्रयास करते हैं और पहली पंक्ति में अटक जाते हैं।

साइन प्रमेय को 'भुजा और विपरीत कोण' के तैयार जोड़े की आवश्यकता होती है। दो भुजाओं और उनके बीच के कोण के साथ ऐसा कोई जोड़ा नहीं है — पहले कोसाइन प्रमेय तीसरी भुजा देता है, और केवल उसके बाद साइन प्रमेय शामिल होता है।

प्रश्न और उत्तर

कोसाइन प्रमेय क्या कहता है?

त्रिभुज की एक भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग से उन भुजाओं के दोगुने गुणनफल को उनके बीच के कोण के कोसाइन से गुणा करके घटाने पर प्राप्त होता है: c² = a² + b² − 2ab·cos C। प्रमेय किसी भी त्रिभुज के लिए मान्य है, न कि केवल समकोण त्रिभुज के लिए।

दो भुजाओं और उनके बीच के कोण से त्रिभुज की भुजा कैसे ज्ञात करें?

सूत्र c² = a² + b² − 2ab·cos C में डेटा प्रतिस्थापित करें और वर्गमूल निकालें। उदाहरण के लिए, 4 और 6 भुजाओं और उनके बीच 60° के कोण के साथ: c² = 16 + 36 − 2·4·6·0,5 = 28, इसलिए c = √28 ≈ 5,3।

यदि तीनों भुजाएँ ज्ञात हों तो त्रिभुज का कोण कैसे ज्ञात करें?

कोसाइन प्रमेय के व्युत्पत्ति से: cos C = (a² + b² − c²) / (2ab), जहाँ c उस कोण के विपरीत भुजा है। उदाहरण के लिए, 2, 3 और 4 भुजाओं के लिए सबसे बड़े कोण का कोसाइन (4 + 9 − 16) / (2·2·3) = −0,25 है, जिसका अर्थ है कि कोण अधिक कोण है, लगभग 104°।

पाइथागोरस प्रमेय कोसाइन प्रमेय का एक विशेष मामला क्यों है?

क्योंकि समकोण के लिए cos 90° = 0, और पद −2ab·cos C शून्य हो जाता है। सूत्र से c² = a² + b² बचता है — यह समकोण त्रिभुज के लिए पाइथागोरस प्रमेय है।

क्या कोसाइन प्रमेय अधिककोण त्रिभुज में काम करता है?

हाँ, और यह बिना किसी बदलाव के काम करता है। अधिक कोण का कोसाइन ऋणात्मक होता है, इसलिए पद −2ab·cos C धनात्मक हो जाता है और वर्गों के योग में जुड़ जाता है। इसी कारण से अधिक कोण के विपरीत भुजा सबसे लंबी होती है।

साइन प्रमेय कब लागू करें, और कोसाइन प्रमेय कब?

साइन प्रमेय की आवश्यकता होती है जब समस्या में पहले से ही 'भुजा और विपरीत कोण' का एक जोड़ा हो — उदाहरण के लिए, एक भुजा और दो कोण दिए गए हों। कोसाइन प्रमेय — जब ऐसा कोई जोड़ा न हो: दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण या तीनों भुजाएँ दी गई हों। अक्सर समस्या दो चरणों में हल होती है: पहले कोसाइन, फिर साइन।

तीन भुजाओं से त्रिभुज का प्रकार कैसे निर्धारित करें?

सबसे बड़ी भुजा के वर्ग c² की तुलना अन्य दो के वर्गों के योग से करें। यदि a² + b² > c² — त्रिभुज न्यूनकोण है, यदि a² + b² = c² — समकोण है, यदि a² + b² < c² — अधिककोण है। इस अंतर का चिह्न सबसे बड़े कोण के कोसाइन के चिह्न के समान होता है।

कोसाइन प्रमेय किस कक्षा में पढ़ाया जाता है?

9वीं कक्षा में ज्यामिति के पाठों में, 'त्रिभुज की भुजाओं और कोणों के बीच संबंध' विषय में — साइन प्रमेय के साथ। इसके बाद यह OGE और ЕГЭ की समतल ज्यामिति और त्रिविमीय ज्यामिति की समस्याओं में लगातार उपयोग किया जाता है।

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कोसाइन प्रमेय: सूत्र और प्रमाण