מעגל יוצר שני סוגים עיקריים של זוויות: מרכזית — שקודקודה במרכז המעגל, והיקפית — שקודקודה על היקף המעגל. הקשר ביניהן פשוט: זווית מרכזית שווה לקשת עליה היא נשענת, וזווית היקפית שווה למחציתה. בדף זה תמצאו הגדרות, את משפט הזווית ההיקפית על כל מסקנותיו, שרטוטים להמחשה, פתרונות מפורטים לבעיות וסימולטור אינטראקטיבי לבדיקה עצמית.
סוגי זוויות במעגל: מרכזית והיקפית
אם נמתח שני קטעים מנקודה אחת במעגל, נקבל זווית. בהתאם למיקום הקודקוד, נבחין בשני סוגים עיקריים של זוויות במעגל:
- זווית מרכזית — זווית שקודקודה במרכז המעגל \(O\). שוקי הזווית הן רדיוסים.
- זווית היקפית — זווית שקודקודה על היקף המעגל, ושוקיה חותכות את המעגל (כלומר הן מיתרים).
כל אחת מהזוויות הללו נשענת על קשת — חלק מהמעגל שנמצא בתוך הזווית. הקשת היא שמקשרת בין הזווית המרכזית להיקפית: שתיהן מוגדרות על פי המידה שלה.
אם קודקוד הזווית נמצא בתוך המעגל (אך לא במרכז) או מחוצה לו — זו אינה זווית היקפית או מרכזית: לזוויות כאלה יש נוסחאות משלהן, עליהן נדבר בסוף הדף.
∠AOC = קשת AC = 120°
∠ABC = ½ קשת AC = 60°
משפט הזווית ההיקפית וגודלה
זווית מרכזית שווה לקשת עליה היא נשענת — כך מוגדרת המידה במעלות של קשת. אם \(\angle AOC = 120°\), אז גם קשת \(AC\) שווה \(120°\).
משפט הזווית ההיקפית: זווית היקפית שווה למחצית הקשת עליה היא נשענת:
מכאן נובע הקשר העיקרי בין זוויות היקפיות למרכזיות: זווית היקפית קטנה פי 2 מזווית מרכזית הנשענת על אותה קשת:
גודל הזווית ההיקפית אינו תלוי במיקום המדויק של הקודקוד על המעגל — חשובה רק הקשת עליה היא נשענת. לכן כדאי לזכור את השרטוט למטה כ"איור עבודה" בסיסי לנושא: הקשת הירוקה ושתי זוויות המביטות עליה.
זוויות היקפיות ומרכזיות: תכונות ומסקנות
מהמשפט על הזווית ההיקפית נובעות ישירות תכונות שעליהן מבוססות רוב הבעיות בבית הספר:
- זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות זו לזו. כל אחת מהן שווה למחצית אותה קשת — ולכן הן שוות גם זו לזו, ללא קשר למיקום הקודקוד.
- זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה. קוטר מחלק את המעגל לשתי חצי-מעגלים של \(180°\), לכן זווית כזו שווה \(180° : 2 = 90°\). ההפך גם נכון: אם זווית היקפית היא ישרה, היא נשענת על קוטר.
- זווית היקפית יכולה להיות קהה. אם הקשת גדולה מ-\(180°\), הזווית גדולה מ-\(90°\) — הנוסחה "מחצית הקשת" עובדת ללא יוצא מן הכלל.
תכונות אלו עובדות גם "בכיוון ההפוך": למשל, לפי שוויון זוויות הנשענות על קטע אחד, ניתן להוכיח שארבע נקודות נמצאות על מעגל אחד.
זוויות היקפיות ומרכזיות: מרובע חסום במעגל
אם כל ארבעת קודקודי המרובע נמצאים על המעגל, הוא נקרא מרובע חסום (והמעגל נקרא חוסם את המרובע). זוויות מרובע כזה הן זוויות היקפיות, לכן המשפט עליהן תקף גם כאן.
- סכום זוויות נגדיות במרובע חסום הוא \(180°\). זוויות \(A\) ו-\(C\) נשענות על שתי קשתות שביחד מהוות את כל המעגל (\(360°\)), לכן \(\angle A + \angle C = 360° : 2 = 180°\).
- זווית חיצונית למרובע חסום שווה לזווית הפנימית הנגדית לה. זווית חיצונית משלימה את הזווית הפנימית הצמודה לה ל-\(180°\) — בדיוק כמו הזווית הנגדית.
- תכונת סכום הזוויות היא גם סימן זיהוי: אם במרובע סכום הזוויות הנגדיות הוא \(180°\), ניתן לחסום אותו במעגל. לכן כל מלבן ניתן לחסום במעגל, אך מעוין (שאינו ריבוע) — לא.
לצד זוויות היקפיות, בבעיות פוגשים גם זוויות חיצוניות למעגל — זוויות בין שני משיקים היוצאים מנקודה אחת מחוץ למעגל. זווית כזו שווה למחצית הפרש הקשתות שהיא חותכת במעגל.
דוגמאות לפתרון בעיות בזוויות היקפיות ומרכזיות
דוגמה 1. זווית היקפית לפי קשת
בעיה. זווית היקפית \(ABC\) נשענת על קשת \(AC\) שגודלה \(120°\). מצא את \(\angle ABC\).
שלב 1. נזכור את המשפט: זווית היקפית שווה למחצית הקשת עליה היא נשענת.
שלב 2. נציב: \(\angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 120° = 60°\).
תשובה: \(60°\).
דוגמה 2. זווית מרכזית לפי היקפית
בעיה. זווית היקפית \(ABC\) שווה \(40°\). מצא את הזווית המרכזית \(AOC\) הנשענת על אותה קשת \(AC\).
שלב 1. זווית מרכזית גדולה פי 2 מזווית היקפית הנשענת על אותה קשת: \(\angle AOC = 2 \cdot \angle ABC\).
שלב 2. נחשב: \(\angle AOC = 2 \cdot 40° = 80°\). על הדרך גילינו את הקשת: \(AC = 80°\).
תשובה: \(80°\).
דוגמה 3. זווית הנשענת על קוטר
בעיה. \(AC\) הוא קוטר המעגל, נקודה \(B\) נמצאת על המעגל, \(\angle BAC = 35°\). מצא את \(\angle BCA\).
שלב 1. זווית \(ABC\) נשענת על הקוטר \(AC\), לכן \(\angle ABC = 90°\) — משולש \(ABC\) הוא ישר-זווית.
שלב 2. סכום הזוויות במשולש הוא \(180°\): \(\angle BCA = 180° - 90° - 35° = 55°\).
תשובה: \(55°\).
דוגמה 4. מרובע חסום במעגל
בעיה. מרובע \(ABCD\) חסום במעגל, \(\angle A = 70°\), \(\angle B = 80°\). מצא את זוויות \(C\) ו-\(D\).
שלב 1. סכום זוויות נגדיות במרובע חסום הוא \(180°\): \(\angle C = 180° - \angle A = 180° - 70° = 110°\).
שלב 2. באופן דומה \(\angle D = 180° - \angle B = 180° - 80° = 100°\).
בדיקה. \(70° + 80° + 110° + 100° = 360°\) — סכום זוויות המרובע מסתדר.
תשובה: \(\angle C = 110°\), \(\angle D = 100°\).
טעויות נפוצות בבעיות זוויות במעגל
-
מבלבלים בין זווית היקפית למרכזית: בזווית עם קודקוד במרכז לוקחים מחצית מהקשת (או להפך).
תחילה הסתכלו על הקודקוד. קודקוד במרכז \(O\) — זווית מרכזית, היא שווה לקשת כולה. קודקוד על המעגל — היקפית, היא שווה למחצית הקשת.
-
לוקחים את הקשת הלא נכונה: עבור זווית היקפית מחשבים את הקשת שעליה נמצא הקודקוד שלה.
זווית היקפית נשענת על הקשת שנמצאת "בתוך" הזווית — הקודקוד תמיד נמצא על הקשת השנייה. בכתיב \(\angle ABC\) הזווית נשענת על קשת \(AC\) שאינה מכילה את נקודה \(B\).
-
מכפילים ומחלקים ב-2 "לכיוון הלא נכון": מהיקפית למרכזית מחלקים במקום להכפיל.
זכרו: היקפית היא "קטנה" (מחצית הקשת), מרכזית היא "גדולה" (קשת שלמה). מהיקפית למרכזית — להכפיל ב-2, ממרכזית להיקפית — לחלק ב-2.
-
מחשיבים כהיקפית כל זווית ששוקיה חותכות את המעגל — למשל זווית בין מיתרים הנחתכים בתוך המעגל.
בזווית היקפית הקודקוד חייב להיות על המעגל עצמו. זווית עם קודקוד בתוך המעגל שווה למחצית סכום הקשתות הכלואות, עם קודקוד מחוץ למעגל — למחצית ההפרש: אלו נוסחאות אחרות.
-
במרובע חסום משווים ל-$180°$ את סכום הזוויות הסמוכות במקום הנגדיות.
התכונה עובדת רק עבור קודקודים נגדיים: \(\angle A + \angle C = 180°\) ו-\(\angle B + \angle D = 180°\). זוויות סמוכות במרובע חסום יכולות להיות בכל גודל.
שאלות ותשובות
למה שווה זווית היקפית?
זווית היקפית שווה למחצית הקשת עליה היא נשענת. למשל, אם הקשת שווה 120°, הזווית ההיקפית שווה 60°. זהו משפט הזווית ההיקפית — הנוסחה העיקרית בנושא.
איך קשורות זווית היקפית ומרכזית הנשענות על אותה קשת?
זווית מרכזית גדולה פי 2 מזווית היקפית: ∠AOC = 2·∠ABC. זווית מרכזית שווה לקשת עצמה, והיקפית — למחציתה.
מדוע זווית היקפית הנשענת על קוטר שווה 90°?
קוטר מותח חצי-מעגל — קשת של 180°. זווית היקפית שווה למחצית הקשת: 180° : 2 = 90°. לכן כל משולש שצלע אחת שלו היא קוטר המעגל החוסם הוא ישר-זווית.
האם זווית היקפית יכולה להיות קהה?
כן. אם הקשת עליה נשענת הזווית גדולה מ-180°, הזווית קהה: למשל, לקשת של 210° מתאימה זווית היקפית של 105°. עם זאת, זווית היקפית תמיד קטנה מ-180°.
מהי זווית חיצונית למעגל ובמה היא שונה מהיקפית?
זווית חיצונית נוצרת על ידי שני משיקים למעגל מנקודה חיצונית אחת. הקודקוד שלה נמצא מחוץ למעגל, והיא שווה למחצית הפרש הקשתות הכלואות. בזווית היקפית הקודקוד על המעגל, והיא שווה למחצית קשת אחת.
אילו עוד סוגי זוויות במעגל קיימים?
מלבד מרכזית והיקפית, בוחנים זווית בין מיתרים (קודקוד בתוך המעגל — מחצית סכום הקשתות), זווית בין חותכים מנקודה חיצונית (מחצית הפרש הקשתות) וזווית בין משיק למיתר (מחצית הקשת הכלואה). כולן מוגדרות על פי קשתות המעגל.
