משפט הקוסינוסים: נוסחה, הוכחה ותרגילים

Name: Homiwork
Rating: 4.92 (18437 reviews)
Author: Homiwork

דמות גיאומטרית ליד משולש גדול, אחת הזוויות מסומנת בקשת

משפט הקוסינוסים מקשר בין שלוש צלעות המשולש ואחת מזוויותיו: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$. הוא פועל בכל משולש, ולכן בכיתה ט' הוא מחליף את משפט פיתגורס במקרים שבהם אין זווית ישרה. בעזרתו מוצאים את הצלע השלישית אם ידועות שתי צלעות והזווית ביניהן, ובעזרת המסקנה $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$ — מוצאים כל זווית לפי שלוש צלעות וקובעים את סוג המשולש. בעמוד - הניסוח ושלוש הצורות של הנוסחה, הוכחה, טבלת קוסינוסים, תזכורת «סינוסים או קוסינוסים», ניתוח בעיות OGE ומדמה לבדיקה עצמית.

משפט הקוסינוסים: ניסוח ונוסחה

משפט הקוסינוסים פועל בכל משולש — אין צורך בזווית ישרה. הוא מקשר בין שלוש צלעות וזווית אחת, ולכן בעזרתו מוצאים צלע אם ידועות שתי צלעות אחרות והזווית ביניהן.

ניסוח. ריבוע צלע במשולש שווה לסכום ריבועי שתי הצלעות האחרות פחות פעמיים מכפלתן בקוסינוס הזווית שביניהן.

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\]

כאן $a$, $b$, $c$ הן צלעות המשולש, ו-$C$ היא הזווית בין הצלעות $a$ ו-$b$; הצלע $c$ נמצאת מול זווית זו. ניתן להשתמש באותיות כלשהן — הנוסחה סימטרית, ולכן יש לה שלוש צורות שוות מעמד:

\[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A\]

\[b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B\]

כלל ההצבה העיקרי: ניקח את הזווית הכלואה בין שתי הצלעות במכפלה, ונמצא את הצלע הניצבת לה. אם ניקח זווית «סמוכה», כל המספרים יהיו מהנתונים, והתשובה — שגויה.

c² = a² + b² − 2ab · cos C a² = b² + c² − 2bc · cos A b² = a² + c² − 2ac · cos B

לוקחים את הזווית הכלואה בין הצלעות שבמכפלה, ומוצאים את הצלע שמולה: זווית C — בין a ל-b, צלע c — מולה.

מדוע משפט פיתגורס הוא מקרה פרטי של משפט הקוסינוסים

נציב בנוסחה זווית ישרה, כלומר $C = 90°$. קוסינוס זווית ישרה הוא אפס, ולכן האיבר השלישי מתאפס כולו:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos 90° = a^2 + b^2 - 2ab \cdot 0 = a^2 + b^2.\]

קיבלנו בדיוק את משפט פיתגורס, המוכר מכיתה ח'. לכן משפט הקוסינוסים נקרא הכללה שלו: פיתגורס הוא «מקרה פרטי עבור 90°», ומשפט הקוסינוסים פועל עבור כל הזוויות בבת אחת.

את האיבר $-2ab\cos C$ נוח להבין כתיקון לאי-ישרות הזווית:

הזווית חדה, $\cos C > 0$ — התיקון מופחת, הצלע $c$ מתקבלת קצרה יותר ממה שהיה נותן פיתגורס;
הזווית ישרה, $\cos C = 0$ — אין תיקון, נשאר $c^2 = a^2 + b^2$;
הזווית קהה, $\cos C < 0$ — התיקון מתווסף, הצלע $c$ מתקבלת ארוכה יותר.

ניקח את משפט הקוסינוסיםc² = a² + b² − 2ab · cos C

נהפוך את הזווית לישרהC = 90°, cos 90° = 0 → 2ab · 0 = 0

נשאר עם משפט פיתגורסc² = a² + b²

הוכחת משפט הקוסינוסים

ההוכחה הקצרה ביותר בבית הספר היא באמצעות קואורדינטות. נמקם את קודקוד $C$ בראשית הצירים, ואת הצלע $b = CA$ לאורך ציר ה-x. אז הקואורדינטות של הקודקודים הן:

$C(0;\ 0)$ — ראשית הצירים;
$A(b;\ 0)$ — נקודה על ציר ה-x במרחק $b$ מהראשית;
$B(a\cos C;\ a\sin C)$ — קודקוד במרחק $a$ מהראשית בזווית $C$ לציר ה-x.

הצלע $c$ היא אורך הקטע $AB$. נחשב אותה לפי נוסחת המרחק בין שתי נקודות:

\[c^2 = (a\cos C - b)^2 + (a\sin C)^2\]

נפתח סוגריים:

\[c^2 = a^2\cos^2 C - 2ab\cos C + b^2 + a^2\sin^2 C\]

נקבץ את האיברים עם $a^2$ ונשתמש בזהות הטריגונומטרית הבסיסית $\sin^2 C + \cos^2 C = 1$:

\[c^2 = a^2(\cos^2 C + \sin^2 C) + b^2 - 2ab\cos C = a^2 + b^2 - 2ab\cos C.\]

מה שנדרש להוכיח. שימו לב: בשום שלב לא נדרש שהזווית $C$ תהיה חדה. אם היא קהה, הקוסינוס שלילי, קואורדינטת $a\cos C$ עוברת שמאלה מציר ה-y, אך כל החישובים נשארים זהים — ולכן המשפט נכון לכל משולש.

קודקוד C — בראשית הצירים, צלע b מונחת על ציר ה-x. אז קואורדינטות קודקוד B מבוטאות באמצעות צלע a וזווית C.

מסקנה: איך למצוא זווית לפי שלוש צלעות

ממשפט הקוסינוסים מבטאים את הקוסינוס עצמו — זוהי המסקנה העיקרית שלו. בעזרתה מוצאים את הזווית כאשר ידועות כל שלוש הצלעות:

\[\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\]

במונה — סכום ריבועי שתי הצלעות הסמוכות לזווית, פחות ריבוע הצלע הניצבת לה. במכנה — פעמיים מכפלת הצלעות הסמוכות. עבור זוויות אחרות הנוסחאות זהות:

\[\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}, \qquad \cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}\]

סדר הפתרון:

בוחרים את הזווית המבוקשת ומזהים איזו צלע ניצבת לה — ריבועה נכנס למונה עם סימן מינוס;
מחשבים את השבר (המכנה תמיד חיובי, הסימן נקבע רק על ידי המונה);
לפי טבלת ערכים או באמצעות ארכקוסינוס מוצאים את הזווית עצמה.

טריק שימושי: מתחילים מהצלע הגדולה ביותר. מולה נמצאת הזווית הגדולה ביותר, ורק היא יכולה להיות ישרה או קהה — שתי הזוויות האחרות במשולש הן תמיד חדות.

קוסינוסים של זוויות קהות שליליים: טבלת ערכים

בבעיות בית ספר הזוויות הן כמעט תמיד «מהטבלה»: 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°. לזוויות חדות הקוסינוס חיובי, לזווית ישרה הוא אפס, ולזוויות קהות — שלילי. ערכים עבור זוויות קהות מתקבלים מערכים של זוויות חדות לפי כלל המעבר $\cos(180° - \alpha) = -\cos\alpha$: למשל, $\cos 120° = -\cos 60° = -0{,}5$.

מה זה אומר בפועל: בזווית קהה הביטוי $-2ab\cos C$ הופך לפלוס — מינוס כפול מינוס. עבור זווית $120°$ הנוסחה נראית כך:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot (-0{,}5) = a^2 + b^2 + ab.\]

בדיוק כאן מאבדים נקודות הכי הרבה: מציבים $0{,}5$ במקום $-0{,}5$ ומקבלים צלע קצרה משתי הצלעות הנתונות. זה בלתי אפשרי בוודאות — מול זווית קהה נמצאת הצלע הארוכה ביותר במשולש.

זווית	קוסינוס
30°	√3/2 ≈ 0,87
45°	√2/2 ≈ 0,71
60°	1/2 = 0,5
90°	0
120°	−1/2 = −0,5
135°	−√2/2 ≈ −0,71
150°	−√3/2 ≈ −0,87

כלל המעבר: cos(180° − α) = −cos α. ערכים ירוקים נותנים זווית חדה, ורודים — קהה.

איך לקבוע את סוג המשולש לפי שלוש צלעות

משפט הקוסינוסים מאפשר לדעת את סוג המשולש מבלי למדוד זוויות עם מד זווית. סימן השבר $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$ תלוי רק במונה: המכנה $2ab$ תמיד חיובי. לכן, די להשוות את ריבוע הצלע הגדולה ביותר לסכום ריבועי שתי הצלעות האחרות.

נניח ש-$c$ היא הצלע הגדולה ביותר, אז מולה נמצאת הזווית הגדולה ביותר $C$:

$a^2 + b^2 > c^2$ → $\cos C > 0$ → זווית $C$ חדה. שאר הזוויות קטנות ממנה, כלומר כל שלוש הזוויות חדות — המשולש חד-זווית;
$a^2 + b^2 = c^2$ → $\cos C = 0$ → $C = 90°$ — המשולש ישר-זווית (זוהי בדיוק המשפט ההפוך של פיתגורס);
$a^2 + b^2 < c^2$ → $\cos C < 0$ → זווית $C$ קהה — המשולש קהה-זווית.

אין צורך לבדוק את שאר הזוויות: זווית ישרה או קהה במשולש יכולה להיות רק אחת. ואל תשכחו את אי-שוויון המשולש — אם הצלע הגדולה ביותר אינה קטנה מסכום שתי האחרות, משולש כזה כלל אינו קיים.

a² + b² > c²cos C > 0, זווית C חדהחד-זוויתדוגמה: 5, 6, 7

a² + b² = c²cos C = 0, זווית C ישרהישר-זוויתדוגמה: 8, 15, 17

a² + b² < c²cos C < 0, זווית C קההקהה-זוויתדוגמה: 4, 7, 9

בכל שלושת השורות c היא הצלע הגדולה ביותר במשולש: רק מולה יכולה להימצא זווית ישרה או קהה.

משפט הסינוסים או הקוסינוסים: איך לבחור

שני המשפטים פותרים בעיה אחת — מציאת צלעות וזוויות לא ידועות במשולש — אך מופעלים על ידי קבוצות נתונים שונות. משפט הסינוסים מקשר בין צלע לזווית הניצבת לה:

\[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R\]

מכאן כלל הבחירה: אם בתנאי הבעיה כבר קיימת זוג «צלע וזווית מולה» — פועל משפט הסינוסים; אם זוג כזה אינו קיים — מתחילים ממשפט הקוסינוסים. תזכורת לארבע קבוצות הנתונים הנפוצות בבית הספר — בטבלה.

לעתים קרובות הבעיה נפתרת בשני שלבים: תחילה משפט הקוסינוסים נותן את הצלע השלישית, ואז משפט הסינוסים מוצא במהירות את הזוויות הנותרות.

מה ידוע	מה מיישמים
צלע-זווית-צלע (SAS)שתי צלעות וזווית ביניהן	משפט הקוסינוסיםמוצאים את הצלע השלישית
צלע-צלע-צלע (SSS)כל שלוש הצלעות	משפט הקוסינוסיםמוצאים כל זווית וסוג משולש
זווית-צלע-זווית (ASA)צלע ושתי זוויות	משפט הסינוסיםמוצאים שתי צלעות אחרות
צלע-צלע-זווית (SSA)שתי צלעות וזווית מול אחת מהן	משפט הסינוסיםמוצאים את הזווית הניצבת

במקרה SSA יש שני פתרונות אפשריים: סינוס אינו מבחין בין זווית חדה לקודרת, ולכן יש לבדוק את שני המקרים לפי תנאי הבעיה.

משפט הקוסינוסים בבעיות OGE

ב-OGE במתמטיקה משפט הקוסינוסים מופיע במשימות פלנימטריה — הן בחלק הראשון והן בבעיות עם תשובה מפורטת. נושאים טיפוסיים הם:

מציאת צלע לפי שתי צלעות וזווית ביניהן — יישום ישיר של הנוסחה, לרוב עם זוויות 60° או 120°.
מציאת זווית או הקוסינוס שלה לפי שלוש צלעות — מסקנה $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$. אם בבעיה כתוב «מצאו את $\cos\angle A$», אין צורך לחשב ארכקוסינוס: התשובה היא אותו שבר בדיוק, אותו רושמים.
אלכסוני מקבילית. אלכסון יוצר משולש משתי צלעות וזווית ביניהן. זוויות סמוכות במקבילית מסתכמות ל-180°, ולכן הקוסינוסים שלהן מנוגדים: מול זווית חדה נמצא אלכסון קצר יותר, מול זווית קהה — אלכסון ארוך יותר.
סוג משולש לפי שלוש מספרים — השוואה של $a^2 + b^2$ עם $c^2$.
תיכון במשולש. הנוסחה $m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}$ נגזרת מיישום כפול של משפט הקוסינוסים לשתי זוויות סמוכות בבסיס.

עצה לבחינה: לפני החישוב, סמנו על השרטוט את הזווית ה«כלואה» בין הצלעות הידועות. אם זווית כזו אינה קיימת — משפט הקוסינוסים עדיין אינו ישים, יש לחפש דרך אחרת.

דוגמאות לפתרון בעיות על משפט הקוסינוסים

דוגמה 1. מציאת צלע לפי שתי צלעות וזווית 60°

בעיה. במשולש $ABC$ הצלעות $a = 7$ ו-$b = 15$, הזווית ביניהן $C = 60°$. מצאו את הצלע $c$.

שלב 1. הזווית $C$ כלואה בין הצלעות $a$ ו-$b$ — זה בדיוק המקרה שעבורו המשפט הומצא:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C.\]

שלב 2. נציב מספרים, $\cos 60° = 0{,}5$:

\[c^2 = 7^2 + 15^2 - 2 \cdot 7 \cdot 15 \cdot 0{,}5 = 49 + 225 - 105 = 169.\]

שלב 3. נוציא שורש: $c = \sqrt{169} = 13$.

תשובה: $13$. בדיקה לפי ההיגיון: הזווית 60° חדה, לכן הצלע מולה אינה הצלע הארוכה ביותר — ואכן, $13 < 15$.

דוגמה 2. זווית קהה: מינוס כפול מינוס

בעיה. במשולש $ABC$ ידוע: $AB = 6$, $BC = 10$, זווית $B = 120°$. מצאו את הצלע $AC$.

שלב 1. הזווית $B$ כלואה בין הצלעות $AB$ ו-$BC$, והצלע $AC$ ניצבת לה:

\[AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B.\]

שלב 2. הזווית קהה, לכן $\cos 120° = -0{,}5$. המינוס לפני המכפלה והמינוס של הקוסינוס נותנים פלוס:

\[AC^2 = 36 + 100 - 2 \cdot 6 \cdot 10 \cdot (-0{,}5) = 136 + 60 = 196.\]

שלב 3. $AC = \sqrt{196} = 14$.

תשובה: $14$. בדיקה: מול זווית קהה נמצאת הצלע הארוכה ביותר — $14$ גדול גם מ-6 וגם מ-10.

דוגמה 3. מציאת זווית לפי שלוש צלעות

בעיה. צלעות המשולש הן $3$, $5$ ו-$7$. מצאו את הזווית הגדולה ביותר שלו.

שלב 1. הזווית הגדולה ביותר ניצבת לצלע הגדולה ביותר, כלומר מול הצלע $7$. נסמן אותה $C$, אז $c = 7$, והצלעות הסמוכות $a = 3$ ו-$b = 5$.

שלב 2. נשתמש במסקנה:

\[\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{9 + 25 - 49}{2 \cdot 3 \cdot 5} = \frac{-15}{30} = -0{,}5.\]

שלב 3. הקוסינוס שלילי — הזווית קהה. לפי טבלת הערכים $\cos 120° = -0{,}5$, לכן $C = 120°$.

תשובה: $120°$. בנוסף, התברר שהמשולש קהה-זווית.

דוגמה 4. קביעת סוג המשולש

בעיה. קבעו את סוג המשולש עם צלעות $6$, $7$ ו-$10$.

שלב 1. נבדוק את אי-שוויון המשולש: $6 + 7 = 13 > 10$ — המשולש קיים. הצלע הגדולה ביותר — $10$.

שלב 2. נשווה את סכום ריבועי שתי הצלעות הקטנות יותר לריבוע הצלע הגדולה ביותר:

\[6^2 + 7^2 = 36 + 49 = 85, \qquad 10^2 = 100.\]

שלב 3. $85 < 100$, לכן המונה של השבר שלילי ו$\cos C < 0$ — הזווית מול הצלע $10$ קהה. אם רוצים, אפשר למצוא גם את הזווית עצמה:

\[\cos C = \frac{85 - 100}{2 \cdot 6 \cdot 7} = \frac{-15}{84} \approx -0{,}18 \Rightarrow C \approx 100°.\]

תשובה: המשולש קהה-זווית. שימו לב: זה לא נראה כך «על העין» — הצלעות כמעט שוות, והזווית כבר עברה את $90°$.

דוגמה 5. בעיית OGE: אלכסון מקבילית

בעיה. צלעות מקבילית הן $5$ ו-$8$, הזווית החדה היא $60°$. מצאו את האלכסון הקצר יותר.

שלב 1. האלכסון יוצר משולש שבו ידועות שתי צלעות (5 ו-8) והזווית ביניהן. האלכסון הקצר יותר ניצב לזווית החדה של 60°.

שלב 2. נחשב:

\[d^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos 60° = 25 + 64 - 40 = 49 \Rightarrow d = 7.\]

שלב 3. בדיקה. האלכסון השני ניצב לזווית 120° (זוויות סמוכות במקבילית מסתכמות ל-180°): $D^2 = 89 + 40 = 129$, כלומר $D = \sqrt{129} \approx 11{,}4$. סכום ריבועי האלכסונים הוא $49 + 129 = 178$, ופעמיים סכום ריבועי הצלעות הוא $2(25 + 64) = 178$. התאמה, לכן החישוב נכון.

תשובה: $7$.

טעויות נפוצות בבעיות על משפט הקוסינוסים

לוקחים קוסינוס של זווית קהה בסימן פלוס. עבור צלעות 4 ו-9 עם זווית 120° ביניהן כותבים $c^2 = 16 + 81 - 2 \cdot 4 \cdot 9 \cdot 0{,}5 = 61$ ומקבלים $c \approx 7{,}8$.

$\cos 120° = -0{,}5$, ומינוס כפול מינוס נותן פלוס: $c^2 = 97 + 36 = 133$, כלומר $c = \sqrt{133} \approx 11{,}5$. בדיקה מהירה: מול זווית קהה נמצאת הצלע הארוכה ביותר, לכן התשובה חייבת להיות גדולה מ-9.
מציבים זווית שאינה כלואה בין הצלעות הנתונות: בתנאי הבעיה נתונה זווית אחת, ולוקחים אותה «כפי שהיא», מבלי להסתכל על השרטוט.

בנוסחה $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$ הצלעות $a$ ו-$b$ יוצרות את הזווית $C$, והצלע $c$ ניצבת לה. אם הזווית הידועה סמוכה לצלע המבוקשת, נוסחה זו אינה מתאימה — יש צורך באחת משלוש הצורות האחרות או במשפט הסינוסים.
שוכחים להוציא שורש ורושמים בתשובה את ריבוע הצלע: קיבלו $c^2 = 225$ וכותבים «הצלע שווה 225».

הנוסחה תמיד נותנת את ריבוע הצלע בדיוק. השלב האחרון חובה: $c = \sqrt{225} = 15$. קראו שוב את שאלת הבעיה לפני שאתם רושמים תשובה.
מתבלבלים בסדר האיברים במסקנה וכותבים $\cos C = \dfrac{c^2 - a^2 - b^2}{2ab}$.

המונה הנכון הוא $a^2 + b^2 - c^2$: סכום ריבועי הצלעות הסמוכות פחות ריבוע הצלע הניצבת. בהחלפת סדר הסימן של השבר משתנה, ובמקום זווית קהה של 120° מקבלים זווית חדה של 60°.
מוצאים זווית לפי ערך מוחלט של הקוסינוס: קיבלו −0,25, ובמקום זאת רושמים זווית חדה, כאילו הקוסינוס היה +0,25.

קוסינוס שלילי הוא תמיד זווית קהה. אסור לאבד את הסימן: cos 60° = 0,5, ו- cos 120° = −0,5; ארכקוסינוס של מספר שלילי גדול מ-90°.
מנסים לפתור בעיה «שתי צלעות וזווית ביניהן» באמצעות משפט הסינוסים ונתקעים בשורה הראשונה.

משפט הסינוסים דורש זוג מוכן «צלע וזווית ניצבת לה». כאשר נתונות שתי צלעות וזווית ביניהן, זוג כזה אינו קיים — תחילה משפט הקוסינוסים נותן את הצלע השלישית, ורק אז משפט הסינוסים נכנס לפעולה.

שאלות ותשובות

איך נשמע משפט הקוסינוסים?

ריבוע צלע במשולש שווה לסכום ריבועי שתי הצלעות האחרות פחות פעמיים מכפלתן בקוסינוס הזווית שביניהן: c² = a² + b² − 2ab·cos C. המשפט נכון לכל משולש, ולא רק למשולש ישר-זווית.

איך למצוא צלע במשולש לפי שתי צלעות וזווית ביניהן?

להציב את הנתונים בנוסחה c² = a² + b² − 2ab·cos C ולהוציא שורש. לדוגמה, עבור צלעות 4 ו-6 וזווית 60° ביניהן: c² = 16 + 36 − 2·4·6·0,5 = 28, לכן c = √28 ≈ 5,3.

איך למצוא זווית במשולש אם ידועות שלוש צלעות?

לפי המסקנה ממשפט הקוסינוסים: cos C = (a² + b² − c²) / (2ab), כאשר c היא הצלע הניצבת לזווית המבוקשת. לדוגמה, עבור צלעות 2, 3 ו-4, הקוסינוס של הזווית הגדולה ביותר הוא (4 + 9 − 16) / (2·2·3) = −0,25, כלומר הזווית קהה, בערך 104°.

מדוע משפט פיתגורס הוא מקרה פרטי של משפט הקוסינוסים?

מכיוון שעבור זווית ישרה cos 90° = 0, והאיבר −2ab·cos C מתאפס. מהנוסחה נשאר c² = a² + b² — זוהי בדיוק משפט פיתגורס למשולש ישר-זווית.

האם משפט הקוסינוסים פועל במשולש קהה-זווית?

כן, והוא פועל ללא שינויים. לזווית קהה הקוסינוס שלילי, לכן האיבר −2ab·cos C הופך לחיובי ומתווסף לסכום הריבועים. בדיוק בגלל זה הצלע מול הזווית הקהה היא הארוכה ביותר.

מתי ליישם את משפט הסינוסים, ומתי את משפט הקוסינוסים?

משפט הסינוסים נחוץ כאשר בתנאי הבעיה כבר קיים זוג «צלע וזווית ניצבת לה» — למשל, נתונה צלע ושתי זוויות. משפט הקוסינוסים — כאשר זוג כזה אינו קיים: נתונות שתי צלעות והזווית ביניהן, או כל שלוש הצלעות. לעתים קרובות הבעיה נפתרת בשני שלבים: תחילה קוסינוסים, ואז סינוסים.

איך לקבוע את סוג המשולש לפי שלוש צלעות?

להשוות את ריבוע הצלע הגדולה ביותר c² לסכום ריבועי שתי הצלעות האחרות. אם a² + b² > c² — המשולש חד-זווית, אם a² + b² = c² — ישר-זווית, אם a² + b² < c² — קהה-זווית. סימן ההפרש הזה זהה לסימן הקוסינוס של הזווית הגדולה ביותר.

באיזו כיתה לומדים את משפט הקוסינוסים?

בכיתה ט' בשיעורי גיאומטריה, בנושא «יחסים בין צלעות וזוויות במשולש» — יחד עם משפט הסינוסים. בהמשך הוא משמש באופן קבוע בבעיות OGE ו-EGE בגיאומטריה וגם בסטריאומטריה.

נותרו שאלות? המשך בצ'אט

פתור את הבעיה שלי בדוק את הפתרון שלי מצא צלע במשולש מצא זווית לפי שלוש צלעות סינוסים או קוסינוסים? תן בעיות לאימון

משתמש #4365351

אהבתי מאוד את עורך הטקסט על התמונה — התוצאה יצאה יצירת מופת של ממש.

Web · מאי 2026

משתמש #4383661

תודה, העבודה של הבינה המלאכותית באמת הרשימה אותי. מושלם!

משתמש #4279467

אני מאוד אוהב את זה — יהיה נהדר לקבל עוד כמה ניסיונות בחינם.

Google Play · מאי 2026

משתמש #4160129

אפליקציה נפלאה עם מחירים נוחים.