דמיון משולשים: סימנים ומקדם דמיון

Name: Homiwork
Rating: 4.92 (18437 reviews)
Author: Homiwork

דמות גיאומטרית עם מחוגה ליד שני משולשים בעלי צורה זהה, אך גודל שונה

משולשים דומים הם משולשים בעלי צורה זהה, אך גודל שונה: זוויותיהם שוות בהתאמה, וצלעות מתאימות פרופורציונליות. המספר המציין פי כמה משולש אחד גדול מהשני נקרא מקדם הדמיון $k$. שלושה סימנים עוזרים להוכיח דמיון, ויחסי היקפים ושטחים מצייתים לכלל פשוט: היקפים מתייחסים כמו $k$, שטחים — כמו $k^2$. בדף זה — הגדרה ורישום דמיון עם סדר קודקודי נכון, כל שלושת הסימנים, דמיון משולשים ישרי זווית וגובה מצלע היתר, פתרונות לבעיות בגרות «מצא צלע» ומתרגל אינטראקטיבי.

מהם משולשים דומים ומהו מקדם הדמיון

שני משולשים נקראים דומים, אם מתקיימים שני תנאים בו-זמנית:

זוויותיהם שוות בהתאמה — לכל זווית במשולש הראשון מתאימה זווית שווה לו במשולש השני;
צלעותיהם המתאימות פרופורציונליות — כל שלושת היחסים נותנים את אותו המספר.

צלעות מתאימות (מתחלפות) — אלו צלעות הנמצאות מול זוויות שוות. הן יוצרות זוגות, ביניהם מחשבים את היחס.

דמיון נרשם בסימן $\sim$:

\[\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\]

מקדם הדמיון $k$ — אותו יחס קבוע של צלעות מתאימות:

\[k = \frac{A_1B_1}{AB} = \frac{B_1C_1}{BC} = \frac{A_1C_1}{AC}\]

אם $k > 1$, המשולש השני גדול מהראשון; אם $k < 1$ — קטן יותר; כאשר $k = 1$ המשולשים שווים, שכן שוויון הוא מקרה פרטי של דמיון.

סדר הקודקודים ברישום — אינו פורמליות

הרישום $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$ נקרא בקפדנות לפי מיקומים: $A$ מתאים ל-$A_1$, $B$ — ל-$B_1$, $C$ — ל-$C_1$. מכאן נובע מיד אילו זוויות שוות ($\angle A = \angle A_1$) ואילו צלעות מתאימות ($AB$ ו-$A_1B_1$, $BC$ ו-$B_1C_1$, $AC$ ו-$A_1C_1$).

אם נחליף אותיות ונכתוב $\triangle ABC \sim \triangle B_1A_1C_1$, נקבל טענה אחרת: כעת $\angle A = \angle B_1$, וצלע $B_1A_1$ תהיה מתאימה ל-$AB$. אסור להרכיב פרופורציה לפי צלעות «הנמצאות באופן דומה» — רק לפי מיקומים ברישום. לכן, הדבר הראשון שעושים הוא לרשום זוגות זוויות שוות, ורק אז להתאים את סדר האותיות.

6 : 4 = 1.5 9 : 6 = 1.5 12 : 8 = 1.5 k = 1.5

△ABC ∼ △A₁B₁C₁: קודקודים מתאימים מסומנים באותו צבע — A ו-A₁, B ו-B₁, C ו-C₁. כל שלושת יחסי הצלעות המתאימות נתנו את אותו המספר.

שלושה סימני דמיון משולשים

אין צורך לבדוק את כל ששת התנאים מההגדרה: מוכיחים דמיון לפי אחד מתוך שלושת הסימנים. כל אחד מהם הוא סט מינימלי של נתונים, שממנו נובע אוטומטית גם שוויון כל הזוויות וגם פרופורציונליות של כל הצלעות.

איך לבחור סימן. הסתכל מה נתון בבעיה: אם על זוויות — הסימן הראשון, אם על שתי צלעות וזווית — הסימן השני, אם על שלוש צלעות — הסימן השלישי.

סימן ראשון (לפי שתי זוויות) — סוס העבודה של תוכנית הלימודים: כמעט כל בעיות הבגרות נפתרות באמצעותו. אין צורך לבדוק את הזווית השלישית, היא שווה אוטומטית: סכום זוויות במשולש תמיד $180°$. חפש זוגות מוכנים של זוויות שוות — זווית משותפת לשני משולשים, זוויות קודקודיות, זוויות מתחלפות ומתאימות בין ישרים מקבילים, שתי זוויות ישרות.
סימן שני (לפי שתי צלעות והזווית ביניהן) דורש שהזווית תהיה בדיוק בין שתי הצלעות הללו. אם הזווית השווה נמצאת מול אחת מהן, הסימן אינו תקף והדמיון לא הוכח.
סימן שלישי (לפי שלוש צלעות) — כאשר אין כלל זוויות בתנאי, ויש רק אורכים. רשום את צלעות כל משולש בסדר עולה, וחילק את הקטנה בקטנה, הבינונית בבינונית, הגדולה בגדולה: כך לא תתבלבל בזוגות. דמיון קיים רק אם כל שלושת היחסים זהים.

כדי לא לבלבל בין סימני דמיון לסימני שוויון, זכור את ההבדל: בשוויון הצלעות צריכות להתלכד, בדמיון — להיות פרופורציונליות.

סימן 1 לפי שתי זוויות ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁
→ △ABC ∼ △A₁B₁C₁

סימן 2 לפי שתי צלעות והזווית ביניהן A₁B₁ : AB = A₁C₁ : AC, ∠A = ∠A₁

סימן 3 לפי שלוש צלעות A₁B₁ : AB = B₁C₁ : BC = A₁C₁ : AC

יחס היקפים ושטחים של משולשים דומים

לדמיון יש שתי מסקנות שנשאלות לעיתים קרובות, ואחת מהן היא המלכודת העיקרית של הנושא.

היקפים מתייחסים כמו $k$. כל צלע במשולש השני גדולה פי $k$ מהצלע המתאימה במשולש הראשון, ולכן גם סכום הצלעות גדל בדיוק פי $k$:

\[\frac{P_2}{P_1} = k\]

כך, «פי $k$», מתנהגות כל המידות הלינאריות: גבהים, תיכונים, חוצי זוויות, רדיוסים של מעגלים חסומים וחוסמים, קטעים אמצעיים.

שטחים מתייחסים כמו $k^2$. שטח תלוי בשני ממדים בו-זמנית: גם הבסיס וגם הגובה גדלים פי $k$, והמכפלה — פי $k \cdot k$:

\[\frac{S_2}{S_1} = k^2\]

נניח $k = 5$. אז ההיקף גדול פי 5 (למשל, היה 14 ס"מ — הפך ל-70 ס"מ), והשטח — כבר פי 25 (היה 6 סמ"ר — הפך ל-150 סמ"ר). ההבדל עצום, והצבת $k$ במקום $k^2$ היא השגיאה הנפוצה ביותר במבחן.

הכיוון ההפוך. אם נתון יחס שטחים, מוצאים את מקדם הדמיון על ידי הוצאת שורש: $k = \sqrt{S_2 : S_1}$. לדוגמה, אם השטחים מתייחסים כמו 16:1, אז הצלעות — כמו 4:1.

קווי אמצע מחלקים משולש ל-4 משולשים זהים. צלע המשולש הגדול גדולה פי 2, והשטח — פי 4: 2² = 4.

k	היקפים P₂ : P₁	שטחים S₂ : S₁
2	2 : 1	4 : 1
3	3 : 1	9 : 1
1.5	1.5 : 1	2.25 : 1
כלשהו	k : 1	k² : 1

דמיון משולשים ישרי זווית וגובה מצלע היתר

עבור משולשים ישרי זווית, הסימן הראשון מפשט: זוויות ישרות שוות בהם מראש, לכן מספיק שוויון של זווית חדה אחת כדי שהמשולשים יהיו דומים. מכך נובע גם הסימן לפי שני ניצבים: אם הניצבים של משולש אחד פרופורציונליים לניצבים של משולש אחר, המשולשים דומים (זהו הסימן השני, מכיוון שהזווית בין הניצבים — ישרה).

הקונפיגורציה השימושית ביותר בכל הנושא — גובה המורד מקודקוד הזווית הישרה. הוא מחלק את המשולש לשניים, וכל שלושת המשולשים המתקבלים דומים זה לזה.

מדוע כך: במשולש $AHC$ יש זווית ישרה ב-$H$ וזווית משותפת עם המשולש הגדול $A$, לכן $\triangle AHC \sim \triangle ACB$. במשולש $CHB$ יש זווית ישרה ב-$H$ וזווית משותפת $B$, לכן $\triangle CHB \sim \triangle ACB$. מכאן שגם שני המשולשים הקטנים דומים זה לזה.

מדמיון זה מתקבלות נוסחאות הממוצע הגיאומטרי (הן נקראות קטעים פרופורציונליים במשולש ישר זווית):

$CH^2 = AH \cdot HB$ — הגובה הוא ממוצע גיאומטרי של הקטעים שאליהם הוא מחלק את היתר;
$AC^2 = AH \cdot AB$ ו-$BC^2 = HB \cdot AB$ — ניצב הוא ממוצע גיאומטרי של כל היתר וההיטל שלו עליו.

העיקר הוא לא לבלבל איזה קטע «שייך» לאיזה: לניצב $AC$ יש היטל $AH$, לניצב $BC$ יש היטל $HB$. היטל תמיד צמוד לאותו קצה של היתר כמו הניצב.

△AHC ∼ △CHB ∼ △ACB

CH² = AH · HB AC² = AH · AB BC² = HB · AB

בדיקה על המספרים בשרטוט: 12² = 9 · 16, 15² = 9 · 25, 20² = 16 · 25.

בעיות בגרות על דמיון: איך למצוא צלע

כמעט כל הבעיות על דמיון נפתרות לפי אלגוריתם אחד:

מצא זוג זוויות שוות — זווית משותפת, זוויות קודקודיות, זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים או שתי זוויות ישרות.
רשום את הדמיון בסדר קודקודים נכון — כך שזוויות שוות יעמדו במיקומים זהים.
הרכב פרופורציה מצלעות מתאימות (קח צלעות הנמצאות במיקומים זהים ברישום).
בודד את הנעלם וחשב; בסוף בדוק את התשובה לפי ההיגיון — צלע של משולש קטן יותר חייבת להתקבל כקטנה יותר.

קונפיגורציות טיפוסיות בבגרות מעטות, וכדאי לזהות אותן ממבט ראשון:

ישר המקביל לצלע. ישר חותך מהמשולש משולש קטן, הדומה למשולש המקורי. דקויות מפתח: בפרופורציה נכנס יחס של כל הצלעות מהקודקוד המשותף ($BM : BA$), ולא של הקטעים ($BM : MA$).
«פרפר». שני קטעים נחתכים, וקצותיהם מחוברים בישרים מקבילים — נוצרים שני משולשים דומים, הפוכים זה לזה.
גובה מקודקוד זווית ישרה — קונפיגורציה מהסעיף הקודם; בבגרות משתמשים בה למציאת גובה, ניצב או קטע יתר.
צל וגובה של חפץ. קרני השמש מקבילות, לכן חפץ עם צלו ועץ עם צלו יוצרים משולשים ישרי זווית דומים.
קו אמצע — מקרה פרטי עם $k = 2$: הוא מקביל לצלע וקטן ממנה פי שניים.

MN ∥ AC → △BMN ∼ △BAC
זווית B משותפת, זוויות ב-M וב-A מתאימות

AB ∥ CD → △AOB ∼ △COD
זוויות ב-O קודקודיות, זוויות A ו-C מתחלפות

דוגמאות לפתרון בעיות על דמיון משולשים

דוגמה 1. מציאת צלעות לפי מקדם דמיון

בעיה. $\triangle MNK \sim \triangle PQR$. ידוע כי $MN = 7$, $NK = 11$, $MK = 9$ ו-$PQ = 21$. מצא את $QR$ ו-$PR$.

שלב 1. מפרשים את הרישום לפי מיקומים: $M \leftrightarrow P$, $N \leftrightarrow Q$, $K \leftrightarrow R$. לכן זוגות מתאימים הם: $MN$ ו-$PQ$, $NK$ ו-$QR$, $MK$ ו-$PR$.

שלב 2. מחשבים את המקדם לפי הזוג היחיד שבו שתי הצלעות ידועות:

\[k = \frac{PQ}{MN} = \frac{21}{7} = 3.\]

שלב 3. שאר הצלעות במשולש השני גדולות פי 3 מהצלעות המתאימות להן:

\[QR = 3 \cdot NK = 3 \cdot 11 = 33, \qquad PR = 3 \cdot MK = 3 \cdot 9 = 27.\]

תשובה: $QR = 33$, $PR = 27$. בדיקה: $33 : 11 = 27 : 9 = 3$ — כל היחסים זהים.

דוגמה 2. הוכחת דמיון לפי הסימן השני

בעיה. במשולשים $ABC$ ו-$DEF$ ידוע: $AB = 5$, $AC = 9$, $DE = 15$, $DF = 27$, והזוויות $A$ ו-$D$ שוות. הוכח שהמשולשים דומים.

שלב 1. בודקים את התנאי העיקרי של הסימן השני: זווית $A$ נמצאת בין הצלעות $AB$ ו-$AC$, זווית $D$ — בין $DE$ ו-$DF$. הזוויות בין הצלעות הנתונות — הסימן ייתכן.

שלב 2. מחשבים את יחסי הצלעות המתאימות:

\[\frac{DE}{AB} = \frac{15}{5} = 3, \qquad \frac{DF}{AC} = \frac{27}{9} = 3.\]

שלב 3. שני זוגות צלעות פרופורציונליים עם מקדם זהה $k = 3$, והזוויות ביניהן שוות — לפי הסימן השני $\triangle ABC \sim \triangle DEF$.

תשובה: המשולשים דומים, $k = 3$. שים לב: אם הזוויות השוות היו $B$ ו-$D$, הסימן לא היה תקף — זווית $B$ אינה נמצאת בין $AB$ ו-$AC$.

דוגמה 3. ישר המקביל לצלע (בעיית בגרות)

בעיה. במשולש $ABC$ נקודה $M$ נמצאת על צלע $AB$, נקודה $N$ — על צלע $BC$, כך ש-$MN \parallel AC$. ידוע כי $BM = 4$, $MA = 12$, $MN = 5$. מצא את $AC$.

שלב 1. מכיוון ש-$MN \parallel AC$, זוויות $BMN$ ו-$BAC$ שוות כמתאימות, וזווית $B$ — משותפת. לפי הסימן הראשון $\triangle BMN \sim \triangle BAC$ (סדר קודקודים: $M \leftrightarrow A$, $N \leftrightarrow C$).

שלב 2. מוצאים את הצלע השלמה מהקודקוד המשותף: $BA = BM + MA = 4 + 12 = 16$. זוהי הדקויות המרכזית — בפרופורציה נכנסת $BA$, לא $MA$.

שלב 3. מרכיבים פרופורציה מצלעות מתאימות:

\[\frac{BM}{BA} = \frac{MN}{AC} \quad \Rightarrow \quad \frac{4}{16} = \frac{5}{AC}.\]

שלב 4. מכאן $AC = 5 \cdot 4 = 20$.

תשובה: $AC = 20$. מקדם הדמיון כאן הוא 4: המשולש הגדול גדול פי ארבעה מהמשולש החתוך.

דוגמה 4. היקפים ושטחים

בעיה. היקפים של משולשים דומים הם 18 ס"מ ו-45 ס"מ. שטח המשולש הקטן הוא 16 סמ"ר. מצא את שטח המשולש הגדול.

שלב 1. היקפים מתייחסים כמו מקדם הדמיון:

\[k = \frac{45}{18} = 2.5.\]

שלב 2. שטחים מתייחסים כמו ריבוע מקדם הדמיון: $k^2 = 2.5^2 = 6.25$.

שלב 3. מכפילים את שטח המשולש הקטן ב-$k^2$:

\[S = 16 \cdot 6.25 = 100 \text{ סמ"ר}.\]

תשובה: 100 סמ"ר. אם היינו מכפילים ב-$k = 2.5$, היינו מקבלים 40 סמ"ר — שגיאה טיפוסית שגורמת לאיבוד כל הנקודות.

דוגמה 5. גובה מקודקוד זווית ישרה

בעיה. במשולש ישר זווית $ABC$ עם זווית ישרה בקודקוד $C$, מורד גובה $CH$ ליתר. ידוע כי $AH = 4$ ס"מ, $HB = 9$ ס"מ. מצא את הגובה $CH$ ואת שטח המשולש.

שלב 1. גובה מקודקוד זווית ישרה הוא ממוצע גיאומטרי של קטעי היתר, מכיוון ש-$\triangle AHC \sim \triangle CHB$:

\[CH^2 = AH \cdot HB = 4 \cdot 9 = 36.\]

שלב 2. מוציאים שורש: $CH = 6$ ס"מ.

שלב 3. היתר $AB = AH + HB = 4 + 9 = 13$ ס"מ. מחשבים את השטח דרך היתר והגובה המורד אליו:

\[S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot 6 = 39 \text{ סמ"ר}.\]

תשובה: $CH = 6$ ס"מ, $S = 39$ סמ"ר.

דוגמה 6. גובה עץ לפי צלו

בעיה. מוט אנכי בגובה 2 מ' מטיל צל באורך 1.5 מ'. באותו רגע, צל העץ הוא 9 מ'. מה גובה העץ?

שלב 1. קרני השמש מקבילות, לכן זווית הפגיעה של הקרן עבור המוט ועבור העץ זהה. המוט עם צלו והעץ עם צלו יוצרים משולשים ישרי זווית עם זווית חדה שווה — לכן הם דומים.

שלב 2. מרכיבים פרופורציה «גובה לצלו»:

\[\frac{h}{9} = \frac{2}{1.5}.\]

שלב 3. מבודדים את הגובה הנעלם:

\[h = \frac{2 \cdot 9}{1.5} = \frac{18}{1.5} = 12 \text{ מ'.}\]

תשובה: 12 מ'. בדיקה לפי ההיגיון: צל העץ ארוך פי 6 מצל המוט, לכן גם העץ גבוה פי 6: $2 \cdot 6 = 12$ מ'.

שגיאות נפוצות בבעיות דמיון משולשים

חושבים שיחסי שטחים של משולשים דומים הם כמו $k$: כאשר $k = 3$ מגדילים את השטח פי שלושה.

שטחים מתייחסים כמו ריבוע מקדם הדמיון: כאשר $k = 3$ השטח גדול פי $3^2 = 9$. כמו $k$ מתייחסים רק גדלים לינאריים — צלעות, היקף, גבהים, תיכונים. כלל-רמז: שטח נמדד ביחידות ריבועיות, לכן גם המקדם נכנס אליו בריבוע.
מתעלמים מסדר הקודקודים: מהרישום $\triangle ABC \sim \triangle KLM$ מרכיבים פרופורציה $AB : LM$.

התאמת הקודקודים נקבעת לפי המיקומים ברישום: $A \leftrightarrow K$, $B \leftrightarrow L$, $C \leftrightarrow M$. ל-$AB$ מתאימה $KL$, ול-$BC$ — $LM$. לפני כתיבת פרופורציה, רשום זוגות קודקודים בעמודה — זה לוקח חמש שניות ומסיר את רוב השגיאות.
מוכיחים דמיון לפי זווית שווה אחת או לפי שתי צלעות פרופורציונליות ללא זווית.

זווית שווה אחת אינה מספיקה: לשני משולשים יכולה להיות זווית זהה בצורה שונה לחלוטין. נדרש סימן מלא — שתי זוויות, או שתי צלעות והזווית ביניהן, או שלוש צלעות.
בסימן השני לוקחים זווית שאינה נמצאת בין הצלעות הנתונות.

הסימן השני פועל רק עם הזווית בין שתי הצלעות הנתונות. אם ידועים $AB$, $AC$ והזווית $B$ שווה, הסימן אינו ישים — חפש דרך אחרת: זוג זוויות שוות או צלע שלישית.
הופכים את מקדם הדמיון: מוצאים $k$ כ«צלע קטנה לצלע גדולה», ואז מכפילים בו כדי לקבל צלע של המשולש הגדול.

הסכם עם עצמך על כיוון: אם $k$ הוא יחס צלעות המשולש השני לראשון, אז צלעות הראשונה מכפילים ב-$k$, וצלעות השני — מחלקים ב-$k$. בדיקה סופית לפי ההיגיון: צלע של משולש קטן חייבת להתקבל כקטנה יותר.
בבעיה עם ישר המקביל לצלע, מרכיבים פרופורציה מקטעים: $BM : MA = MN : AC$.

המשולשים $BMN$ ו-$BAC$ דומים, וצלעותיהם המתאימות הן $BM$ ו-$BA$ (צלע שלמה מהקודקוד המשותף), ולא הקטע $MA$. תחילה מצא את $BA = BM + MA$, ורק אז הרכב את הפרופורציה.
מבלבלים דמיון עם שוויון ובטעות רושמים שהצלעות פשוט שוות.

שוויון הוא מקרה פרטי של דמיון כאשר $k = 1$. אם $k \ne 1$, במשולשים שוות רק הזוויות, והצלעות שונות פי $k$. גם הסימנים שונים: בשוויון אלו צ.ז.צ, ז.צ.ז, צ.צ.צ עם צלעות מתלכדות, בדמיון — צלעות פרופורציונליות.

שאלות ותשובות

אילו משולשים נקראים דומים?

דומים נקראים משולשים שזוויותיהם שוות בהתאמה, וצלעותיהם המתאימות פרופורציונליות. במילים פשוטות, אלו משולשים בעלי צורה זהה, אך גודל שונה. דמיון נרשם בסימן ∼: △ABC ∼ △A₁B₁C₁.

מהו מקדם הדמיון של משולשים?

מקדם הדמיון k הוא מספר השווה ליחס צלעות מתאימות של משולשים דומים: k = A₁B₁ : AB = B₁C₁ : BC = A₁C₁ : AC. הוא מראה פי כמה משולש אחד גדול מהשני. כאשר k = 1 המשולשים שווים.

כמה סימני דמיון למשולשים ומהם?

ישנם שלושה סימנים. הראשון — לפי שתי זוויות: שתי זוויות של משולש אחד שוות לשתי זוויות של משולש אחר. השני — לפי שתי צלעות והזווית ביניהן: שתי צלעות פרופורציונליות והזוויות ביניהן שוות. השלישי — לפי שלוש צלעות: כל שלושת זוגות הצלעות המתאימות פרופורציונליות.

כיצד מתייחסים שטחים של משולשים דומים?

שטחים של משולשים דומים מתייחסים כמו ריבוע מקדם הדמיון: S₂ : S₁ = k². לדוגמה, כאשר k = 4 השטח גדול פי 16. ולהיפך: אם שטחים מתייחסים כמו 25 : 1, אז צלעות מתייחסות כמו 5 : 1.

כיצד מתייחסים היקפים של משולשים דומים?

היקפים מתייחסים כמו מקדם הדמיון: P₂ : P₁ = k. כך מתנהגים כל האלמנטים הלינאריים — גבהים, תיכונים, חוצי זוויות, קווי אמצע, רדיוסים של מעגלים חסומים וחוסמים.

במה דמיון משולשים שונה משוויון?

במשולשים שווים מתלכדות גם זוויות וגם צלעות, לכן ניתן להניח צורה על צורה. במשולשים דומים מתלכדות רק זוויות, והצלעות פרופורציונליות עם מקדם k. שוויון הוא מקרה פרטי של דמיון כאשר k = 1.

כיצד מוכיחים דמיון של משולשים ישרי זווית?

מספיק שוויון של זווית חדה אחת: זוויות ישרות כבר שוות, לכן הסימן הראשון תקף. דרך שנייה — פרופורציונליות של ניצבים: הזווית בין הניצבים ישרה, לכן הסימן השני לדמיון ייתכן.

מדוע גובה מקודקוד זווית ישרה נותן שלושה משולשים דומים?

גובה CH מקודקוד זווית ישרה C מחלק את משולש ABC למשולשים AHC ו-CHB. ל-AHC יש זווית ישרה ב-H וזווית משותפת עם ABC — זווית A, ל-CHB — זווית ישרה ב-H וזווית משותפת B, לכן שניהם דומים למשולש המקורי, ובהתאם גם זה לזה. מכאן מתקבלות הנוסחאות CH² = AH · HB, AC² = AH · AB ו-BC² = HB · AB.

באיזו כיתה לומדים דמיון משולשים?

בכיתה ח' בשיעורי גיאומטריה — מיד לאחר הנושא על קטעים פרופורציונליים. שם לומדים גם את שלושת סימני הדמיון, יחס שטחים ושימוש בדמיון במשולש ישר זווית. בהמשך הנושא משמש בכיתה ט' ובבעיות בגרות.

נותרו שאלות? המשך בצ'אט

פתור את הבעיה שלי בדוק את הפתרון שלי הוכח דמיון מצא מקדם דמיון שטחים או היקפים? תן בעיות לתרגול

משתמש #4365351

אהבתי מאוד את עורך הטקסט על התמונה — התוצאה יצאה יצירת מופת של ממש.

Web · מאי 2026

משתמש #4383661

תודה, העבודה של הבינה המלאכותית באמת הרשימה אותי. מושלם!

משתמש #4279467

אני מאוד אוהב את זה — יהיה נהדר לקבל עוד כמה ניסיונות בחינם.

Google Play · מאי 2026

משתמש #4160129

אפליקציה נפלאה עם מחירים נוחים.

דמיון משולשים: סימנים ומקדם דמיון