Une équation du second degré est une équation de la forme \(ax^2 + bx + c = 0\), où \(a \neq 0\). Le nombre de ses racines est déterminé par le discriminant \(D = b^2 - 4ac\), et les racines elles-mêmes sont trouvées à l'aide de la formule \(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\). Cette page rassemble tout sur le sujet : forme standard et coefficients, trois types d'équations incomplètes, discriminant et ses trois cas, formule des racines et sa variante « paire », équation réduite et théorème de Viète, factorisation et équations bicarrées — avec des exemples pas à pas, l'analyse des erreurs fréquentes et un simulateur interactif.
Qu'est-ce qu'une équation du second degré
Une équation du second degré est une équation de la forme
où \(x\) est l'inconnue, et \(a\), \(b\), \(c\) sont des nombres (coefficients), avec \(a \neq 0\). Cette écriture est appelée forme standard de l'équation du second degré : à gauche, les termes sont classés par degré décroissant, à droite, il y a zéro.
La condition \(a \neq 0\) n'est pas une formalité. C'est le terme \(ax^2\) qui rend l'équation du second degré : si \(a = 0\), il reste \(bx + c = 0\), c'est-à-dire une équation linéaire classique avec une seule racine. C'est pourquoi, dans les problèmes avec paramètres, on vérifie d'abord si le coefficient principal ne s'annule pas.
On peut presque toujours ramener une équation à sa forme standard : développer les parenthèses, déplacer tous les termes vers la gauche et réduire les termes semblables. Par exemple, \(5x^2 = 3x - 2\) devient \(5x^2 - 3x + 2 = 0\) après déplacement, d'où \(a = 5\), \(b = -3\), \(c = 2\). Le terme « équation quadratique » signifie exactement la même chose — c'est juste une autre appellation.
Équations du second degré complètes et incomplètes
Si les trois coefficients sont non nuls, l'équation est dite complète. Si \(b\) ou \(c\) (ou les deux) sont égaux à zéro, elle est incomplète. Il existe exactement trois types d'équations incomplètes, et aucune ne nécessite le discriminant : chacune se résout en une ou deux lignes, ce qui est le moyen le plus rapide d'économiser du temps lors d'un contrôle.
L'idée clé pour \(ax^2 + bx = 0\) est la factorisation par le facteur commun. Le produit \(x(ax + b)\) est nul si et seulement si au moins l'un des facteurs est nul, ce qui donne immédiatement deux racines. Pour \(ax^2 + c = 0\), l'idée est différente : isoler \(x^2\) et examiner le signe du nombre obtenu — le carré d'un nombre réel ne peut pas être négatif.
| Type d'équation | Comment résoudre |
|---|---|
| ax2 + c = 02x2 − 50 = 0 | Déplacer c vers la droite et diviser par a : x2 = −c/a. Extraire la racine sans oublier le second signe.x = 5 et x = −5 |
| ax2 + bx = 0x2 + 7x = 0 | Factoriser par x : x(ax + b) = 0. Le produit est nul quand l'un des facteurs est nul.x = 0 et x = −7 |
| ax2 = 09x2 = 0 | Diviser par a et extraire la racine de zéro. Il n'y a toujours qu'une seule racine.x = 0 |
Discriminant : comment le trouver et combien de racines
Le discriminant est un nombre calculé à partir des coefficients d'une équation complète :
Le mot lui-même signifie « ce qui distingue » : le discriminant ne résout rien, il distingue simplement trois situations — deux racines, une racine ou aucune racine. Par conséquent, la question « combien de racines possède l'équation » se résout sans trouver les racines elles-mêmes.
Il faut calculer \(D\) avec soin : \(b^2\) est toujours positif, même si \(b\) lui-même est négatif, et les signes de \(a\) et \(c\) sont inclus dans le produit \(4ac\) tels quels. Prenons \(x^2 + 4x - 5 = 0\) : ici \(a = 1\), \(b = 4\), \(c = -5\), donc \(D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36\). Le discriminant est positif, il y aura donc deux racines.
Formule des racines de l'équation du second degré
Lorsque \(D \ge 0\), on trouve les racines à l'aide de la formule principale du sujet :
Le signe \(\pm\) signifie deux calculs : une fois avec l'addition, une fois avec la soustraction. Si \(D = 0\), les deux calculs donnent le même nombre \(x = -\dfrac{b}{2a}\) — cette racine est appelée racine double.
Deux endroits où l'on se trompe le plus souvent : au numérateur, il y a moins \(b\) (pour \(b = -7\), cela donne \(+7\)), et au dénominateur, il y a \(2a\), et non simplement \(2\). Si \(a = 1\), la différence n'est pas visible, c'est pourquoi l'erreur apparaît précisément là où le coefficient principal est différent de un.
Résolvons \(2x^2 - 9x - 5 = 0\) : \(D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 81 + 40 = 121\), \(\sqrt{D} = 11\), donc \(x_1 = \dfrac{9 + 11}{4} = 5\) et \(x_2 = \dfrac{9 - 11}{4} = -0{,}5\).
Second coefficient pair : formule avec D₁
Si \(b\) est un nombre pair, il est pratique de l'écrire sous la forme \(b = 2k\) et de calculer le discriminant « réduit » :
Les nombres dans les calculs deviennent quatre fois plus petits (\(D = 4D_1\)), et le signe de \(D_1\) est le même que celui de \(D\) — donc la conclusion sur le nombre de racines ne change pas.
Exemple : \(3x^2 + 8x - 3 = 0\). Ici \(b = 8\), donc \(k = 4\), et \(D_1 = 4^2 - 3 \cdot (-3) = 16 + 9 = 25\), \(\sqrt{D_1} = 5\). Alors \(x_1 = \dfrac{-4 + 5}{3} = \dfrac{1}{3}\) et \(x_2 = \dfrac{-4 - 5}{3} = -3\). Avec la formule classique, il aurait fallu travailler avec \(D = 100\) — le résultat est le même, mais il y a plus de calculs.
Équation réduite et théorème de Viète
Une équation avec \(a = 1\) est appelée réduite et s'écrit \(x^2 + px + q = 0\). Toute équation du second degré peut être ramenée à cette forme en divisant par \(a\) : par exemple, \(4x^2 - 12x + 8 = 0\) devient \(x^2 - 3x + 2 = 0\) après division par 4.
La forme réduite est précieuse car le théorème de Viète s'y applique : la somme des racines est égale à \(-p\), et leur produit est égal à \(q\). Pour \(x^2 - 7x + 10 = 0\), il faut deux nombres dont la somme est 7 et le produit 10 — ce sont 2 et 5, et il n'a pas été nécessaire de calculer le discriminant.
La recherche par Viète aide quand les racines sont entières et petites, et elle permet aussi de vérifier gratuitement la réponse trouvée par le discriminant : la somme doit donner \(-p\), le produit — \(q\). Les formules pour le cas général, la réciproque du théorème et l'algorithme de recherche sont détaillés dans un autre article — théorème de Viète.
Factorisation d'un trinôme du second degré
Si les racines \(x_1\) et \(x_2\) sont trouvées, le trinôme du second degré se factorise ainsi :
Il ne faut pas oublier le facteur \(a\) — sans lui, l'égalité n'est plus vraie. Il est toujours facile de vérifier la factorisation : développer les parenthèses et comparer avec le trinôme initial. Par exemple, pour \(x^2 + 2x - 8\), les racines sont 2 et \(-4\), donc \(x^2 + 2x - 8 = (x - 2)(x + 4)\).
La méthode inverse fonctionne aussi : si le trinôme peut être factorisé mentalement, les racines sont immédiatement visibles et le discriminant n'est pas nécessaire. Ici, les identités remarquables aident — par exemple, \(x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)\) donne les racines \(4\) et \(-4\) instantanément.
Une troisième méthode pour se passer de la formule des racines est la mise sous forme canonique. Dans \(x^2 + 6x + 5 = 0\), les deux premiers termes complètent le carré d'une somme : \((x + 3)^2 - 9 + 5 = 0\), c'est-à-dire \((x + 3)^2 = 4\), d'où \(x + 3 = \pm 2\) et \(x = -1\) ou \(x = -5\). C'est précisément par cette méthode que la formule des racines est démontrée dans le cas général.
Équations réductibles au second degré : équations bicarrées
Une équation bicarrée est de la forme \(ax^4 + bx^2 + c = 0\) : seules les puissances paires sont présentes. Elle se résout par le changement de variable \(t = x^2\), avec la condition obligatoire \(t \ge 0\) — le carré d'un nombre réel ne peut pas être négatif.
Après le changement, on obtient une équation du second degré classique \(at^2 + bt + c = 0\). On la résout avec le discriminant, puis pour chaque racine \(t\) positive ou nulle, on revient à \(x = \pm\sqrt{t}\). D'où le nombre de racines : jusqu'à quatre.
Par exemple, \(x^4 - 5x^2 + 4 = 0\) donne après changement \(t^2 - 5t + 4 = 0\) avec les racines \(t = 1\) et \(t = 4\). Les deux sont positives, donc \(x = \pm 1\) et \(x = \pm 2\) — soit quatre racines au total. Si l'une des valeurs de \(t\) avait été négative, on l'aurait simplement rejetée.
Le même procédé permet de résoudre des équations rationnelles (après réduction au même dénominateur et exclusion des valeurs interdites) et des équations avec un changement de variable du type \(t = x^2 + 3x\).
Exemples de résolution d'équations du second degré
Exemple 1. Équation complète, D > 0
Résoudre \(3x^2 - 7x + 2 = 0\).
Étape 1. L'équation est déjà sous forme standard : \(a = 3\), \(b = -7\), \(c = 2\).
Étape 2. \(D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25 > 0\) — deux racines.
Étape 3. \(\sqrt{D} = 5\), donc \(x_{1,2} = \dfrac{7 \pm 5}{6}\) : \(x_1 = \dfrac{12}{6} = 2\), \(x_2 = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}\).
Étape 4. Vérification par substitution. \(3 \cdot 2^2 - 7 \cdot 2 + 2 = 12 - 14 + 2 = 0\) ; \(3 \cdot \left(\tfrac{1}{3}\right)^2 - 7 \cdot \tfrac{1}{3} + 2 = \tfrac{1}{3} - \tfrac{7}{3} + 2 = 0\).
Réponse : \(x_1 = 2\), \(x_2 = \dfrac{1}{3}\).
Exemple 2. Discriminant égal à zéro
Résoudre \(4x^2 - 12x + 9 = 0\).
Étape 1. \(a = 4\), \(b = -12\), \(c = 9\).
Étape 2. \(D = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 144 - 144 = 0\) — une seule racine.
Étape 3. \(x = -\dfrac{b}{2a} = \dfrac{12}{8} = 1{,}5\).
Étape 4. Vérification. \(4 \cdot 1{,}5^2 - 12 \cdot 1{,}5 + 9 = 9 - 18 + 9 = 0\).
Réponse : \(x = 1{,}5\). Notez : le membre de gauche est un carré parfait \((2x - 3)^2\), c'est pourquoi il n'y a qu'une seule racine.
Exemple 3. Discriminant négatif
Résoudre \(2x^2 + 3x + 5 = 0\).
Étape 1. \(a = 2\), \(b = 3\), \(c = 5\).
Étape 2. \(D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 9 - 40 = -31 < 0\).
Étape 3. Le discriminant est négatif, donc on ne peut pas extraire \(\sqrt{D}\) parmi les nombres réels. Il n'est pas nécessaire d'appliquer la formule des racines — la résolution s'arrête ici.
Réponse : aucune racine réelle. C'est une réponse complète, et non un signe d'erreur : le graphique de la fonction \(y = 2x^2 + 3x + 5\) ne coupe tout simplement pas l'axe des \(x\).
Exemple 4. Équation incomplète de type ax² + c = 0
Résoudre \(3x^2 - 27 = 0\).
Étape 1. On déplace le terme constant : \(3x^2 = 27\).
Étape 2. On divise par 3 : \(x^2 = 9\).
Étape 3. Le carré est égal à 9 pour deux nombres : \(x = 3\) et \(x = -3\). On oublie trop souvent le second signe.
Étape 4. Vérification. \(3 \cdot 3^2 - 27 = 0\) ; \(3 \cdot (-3)^2 - 27 = 27 - 27 = 0\).
Réponse : \(x_1 = 3\), \(x_2 = -3\). Comparez avec l'équation \(2x^2 + 8 = 0\) : là, \(x^2 = -4\), et il n'y a pas de racines réelles.
Exemple 5. Équation incomplète de type ax² + bx = 0
Résoudre \(5x^2 - 15x = 0\).
Étape 1. On factorise par le facteur commun : \(5x(x - 3) = 0\).
Étape 2. Le produit est nul quand l'un des facteurs est nul : \(5x = 0\) ou \(x - 3 = 0\).
Étape 3. D'où \(x_1 = 0\), \(x_2 = 3\).
Étape 4. Vérification. \(5 \cdot 0^2 - 15 \cdot 0 = 0\) ; \(5 \cdot 3^2 - 15 \cdot 3 = 45 - 45 = 0\).
Réponse : \(x_1 = 0\), \(x_2 = 3\). Si l'on simplifie l'équation initiale par \(x\), il ne reste que \(x = 3\) — la racine \(x = 0\) disparaît. On ne peut pas diviser par une expression contenant l'inconnue.
Exemple 6. Second coefficient pair
Résoudre \(5x^2 - 22x + 8 = 0\).
Étape 1. \(b = -22\) — pair, donc \(k = -11\), et \(a = 5\), \(c = 8\).
Étape 2. \(D_1 = k^2 - ac = (-11)^2 - 5 \cdot 8 = 121 - 40 = 81\), \(\sqrt{D_1} = 9\).
Étape 3. \(x_{1,2} = \dfrac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a} = \dfrac{11 \pm 9}{5}\) : \(x_1 = 4\), \(x_2 = \dfrac{2}{5} = 0{,}4\).
Étape 4. Vérification. \(5 \cdot 4^2 - 22 \cdot 4 + 8 = 80 - 88 + 8 = 0\) ; \(5 \cdot 0{,}4^2 - 22 \cdot 0{,}4 + 8 = 0{,}8 - 8{,}8 + 8 = 0\).
Réponse : \(x_1 = 4\), \(x_2 = 0{,}4\). Le discriminant classique aurait donné \(D = 324\) — même réponse, mais les calculs auraient été plus longs.
Exemple 7. Ramener d'abord à la forme standard
Résoudre \((x - 3)(x + 5) = 9\).
Étape 1. On développe : \(x^2 + 5x - 3x - 15 = 9\), soit \(x^2 + 2x - 15 = 9\).
Étape 2. On déplace le neuf vers la gauche : \(x^2 + 2x - 24 = 0\). Ce n'est qu'à partir de maintenant qu'on peut noter les coefficients : \(a = 1\), \(b = 2\), \(c = -24\).
Étape 3. \(D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100\), \(\sqrt{D} = 10\), \(x_{1,2} = \dfrac{-2 \pm 10}{2}\) : \(x_1 = 4\), \(x_2 = -6\).
Étape 4. Vérification dans l'équation initiale. \((4 - 3)(4 + 5) = 1 \cdot 9 = 9\) ; \((-6 - 3)(-6 + 5) = (-9) \cdot (-1) = 9\).
Réponse : \(x_1 = 4\), \(x_2 = -6\). Une erreur fréquente ici — égaler chaque parenthèse à 9 : la règle « le produit est nul » ne fonctionne que pour zéro.
Exemple 8. Factorisation d'un trinôme
Factoriser \(2x^2 - 5x - 3\).
Étape 1. On égale le trinôme à zéro et on trouve les racines : \(D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49\), \(\sqrt{D} = 7\), \(x_{1,2} = \dfrac{5 \pm 7}{4}\) : \(x_1 = 3\), \(x_2 = -\dfrac{1}{2}\).
Étape 2. On remplace dans la formule \(a(x - x_1)(x - x_2)\) : \(2(x - 3)\left(x + \tfrac{1}{2}\right)\).
Étape 3. Il est pratique d'intégrer le deux dans la seconde parenthèse : \((x - 3)(2x + 1)\).
Étape 4. Vérification par développement. \((x - 3)(2x + 1) = 2x^2 + x - 6x - 3 = 2x^2 - 5x - 3\).
Réponse : \(2x^2 - 5x - 3 = (x - 3)(2x + 1)\).
Exemple 9. Équation bicarrée
Résoudre \(x^4 - 13x^2 + 36 = 0\).
Étape 1. Changement de variable \(t = x^2\), avec \(t \ge 0\). L'équation devient \(t^2 - 13t + 36 = 0\).
Étape 2. \(D = (-13)^2 - 4 \cdot 36 = 169 - 144 = 25\), \(\sqrt{D} = 5\), \(t_{1,2} = \dfrac{13 \pm 5}{2}\) : \(t_1 = 9\), \(t_2 = 4\).
Étape 3. Les deux valeurs sont positives, donc on revient à \(x\) : de \(x^2 = 9\) on obtient \(x = \pm 3\), de \(x^2 = 4\) — \(x = \pm 2\).
Étape 4. Vérification. \(3^4 - 13 \cdot 3^2 + 36 = 81 - 117 + 36 = 0\) ; \(2^4 - 13 \cdot 2^2 + 36 = 16 - 52 + 36 = 0\). Pour les valeurs négatives, les puissances paires donnent les mêmes nombres.
Réponse : \(x = \pm 2\) et \(x = \pm 3\) — quatre racines.
Erreurs fréquentes lors de la résolution d'équations du second degré
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Calculer le discriminant sans ramener l'équation à la forme standard : pour $2x^2 + 3x = x^2 + 5$, on prend directement $a = 2$, $b = 3$, $c = 0$.
D'abord, tout déplacer à gauche et réduire : \(2x^2 + 3x - x^2 - 5 = 0\), soit \(x^2 + 3x - 5 = 0\). Ce n'est qu'à partir de là que \(a = 1\), \(b = 3\), \(c = -5\). La formule des racines ne fonctionne qu'avec la forme standard.
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Oublier le signe lors de l'élévation de $b$ au carré : pour $x^2 - 9x + 14 = 0$, on écrit $D = -81 - 56$.
Le carré de n'importe quel nombre est positif ou nul : \((-9)^2 = 81\), et non \(-81\). Correct : \(D = 81 - 56 = 25\), racines \(x = \dfrac{9 \pm 5}{2}\), soit 7 et 2. Vérification : \(49 - 63 + 14 = 0\) et \(4 - 18 + 14 = 0\).
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Laisser $b$ au lieu de $-b$ au numérateur : pour $x^2 + 5x - 6 = 0$, on calcule $x = \dfrac{5 \pm 7}{2}$.
La formule contient \(-b\), donc pour \(b = 5\), le numérateur contiendra \(-5\) : \(x = \dfrac{-5 \pm 7}{2}\), d'où \(x_1 = 1\), \(x_2 = -6\). La substitution confirme : \(1 + 5 - 6 = 0\) et \(36 - 30 - 6 = 0\).
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Écrire « aucune racine » quand $D = 0$ : pour $x^2 + 14x + 49 = 0$, le discriminant est nul, et on arrête la résolution.
Il n'y a pas de racines seulement si \(D < 0\). Si \(D = 0\), il y a exactement une racine : \(x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{14}{2} = -7\). Vérification : \(49 - 98 + 49 = 0\).
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Simplifier l'équation $4x^2 - 9x = 0$ par $x$ et obtenir la racine unique $x = 2{,}25$.
On ne peut pas diviser par une expression contenant l'inconnue : \(x\) peut être nul, et la racine \(x = 0\) est perdue. Il faut factoriser : \(x(4x - 9) = 0\), d'où \(x_1 = 0\) et \(x_2 = 2{,}25\). Vérification : \(4 \cdot 2{,}25^2 - 9 \cdot 2{,}25 = 20{,}25 - 20{,}25 = 0\).
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Dans l'équation $x^2 = 16$, n'écrire que $x = 4$.
Le carré est égal à 16 aussi pour le nombre \(-4\). Il faut noter les deux racines : \(x = \pm 4\). Il est plus sûr de résoudre via la forme standard \(x^2 - 16 = 0\), soit \((x - 4)(x + 4) = 0\) — alors les deux facteurs sont immédiatement visibles.
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Ne pas vérifier la condition $a \neq 0$ dans une équation avec paramètre : dans $(m - 2)x^2 + 3x - 1 = 0$, on calcule directement le discriminant.
Si \(m = 2\), le coefficient principal s'annule, et l'équation devient linéaire \(3x - 1 = 0\) avec une racine unique \(x = \dfrac{1}{3}\). Le cas \(m = 2\) doit être traité séparément, et la formule des racines ne s'applique que si \(m \neq 2\).
Questions et réponses
Qu'est-ce qu'une équation du second degré ?
C'est une équation de la forme \(ax^2 + bx + c = 0\), où \(a\), \(b\), \(c\) sont des nombres et \(a \neq 0\). L'inconnue y figure au carré, donc il peut y avoir deux, une ou aucune racine.
À quoi ressemble la forme standard d'une équation du second degré ?
La forme standard (générale) est \(ax^2 + bx + c = 0\) : tous les termes sont rassemblés à gauche par degré décroissant, zéro à droite. Toute équation du second degré doit être ramenée à cette forme avant de calculer le discriminant.
Comment trouver le discriminant ?
Avec la formule \(D = b^2 - 4ac\), en remplaçant les coefficients avec leurs signes. Par exemple, pour \(x^2 + 3x - 10 = 0\), on obtient \(D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49\), et les racines sont \(\dfrac{-3 \pm 7}{2}\), soit 2 et \(-5\).
Quelle est la formule des racines d'une équation du second degré ?
\(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), ou plus court \(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\). Elle s'applique si \(D \ge 0\) ; au dénominateur, il y a bien \(2a\), et non 2.
Combien de racines peut avoir une équation du second degré ?
Pas plus de deux. Si \(D > 0\), il y a deux racines, si \(D = 0\) — une (racine double), si \(D < 0\) il n'y a pas de racines réelles.
Qu'est-ce qu'une équation du second degré incomplète ?
C'est une équation où \(b = 0\), \(c = 0\) ou les deux à la fois : \(ax^2 + c = 0\), \(ax^2 + bx = 0\), \(ax^2 = 0\). Les trois se résolvent sans discriminant — en déplaçant le terme ou en factorisant par \(x\).
Comment résoudre des équations du second degré sans discriminant ?
Il y a trois voies : la recherche des racines par le théorème de Viète pour une équation réduite, la factorisation et la mise sous forme canonique. La recherche est la plus rapide quand les racines sont de petits nombres entiers.
Que faire si le discriminant est négatif ?
Noter qu'il n'y a pas de racines réelles et terminer la résolution. Un discriminant négatif est une réponse normale : le graphique de la parabole correspondante ne coupe pas l'axe des \(x\). Dans ce cas, les racines n'existent que parmi les nombres complexes, qui sont étudiés plus tard.
Comment vérifier les racines trouvées ?
Remplacer chaque racine dans l'équation initiale — on doit obtenir une égalité vraie. Pour une équation réduite, il existe aussi une vérification rapide par le théorème de Viète : la somme des racines est égale à \(-p\), le produit est égal à \(q\).
Équation du second degré et équation quadratique, est-ce la même chose ?
Oui, ce sont deux noms pour le même objet \(ax^2 + bx + c = 0\). Ne pas confondre avec la fonction quadratique \(y = ax^2 + bx + c\) : les racines de l'équation sont précisément les abscisses des points où le graphique de la fonction coupe l'axe des \(x\).
En quelle classe étudie-t-on les équations du second degré ?
En 4ème/3ème en algèbre : d'abord les équations incomplètes, puis le discriminant, la formule des racines et le théorème de Viète. Ensuite, le sujet revient avec la fonction quadratique, les inéquations, et les examens.
