Le théorème du cosinus relie les trois côtés d'un triangle et l'un de ses angles : \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\). Il s'applique à n'importe quel triangle, c'est pourquoi en 9e année, il remplace le théorème de Pythagore là où il n'y a pas d'angle droit. Il permet de trouver le troisième côté si deux autres côtés et l'angle entre eux sont connus, et grâce au corollaire \(\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\), on peut trouver n'importe quel angle à partir de trois côtés et déterminer le type de triangle. Sur cette page, vous trouverez l'énoncé et les trois formes de la formule, la démonstration, un tableau des cosinus, un aide-mémoire « sinus ou cosinus », des analyses d'exercices de l'examen OGE et un entraînement pour l'auto-évaluation.
Théorème du cosinus : énoncé et formule
Le théorème du cosinus s'applique à n'importe quel triangle — il n'a pas besoin d'un angle droit. Il relie trois côtés et un angle, ce qui permet de trouver un côté si deux autres côtés et l'angle entre eux sont connus.
Énoncé. Le carré d'un côté d'un triangle est égal à la somme des carrés des deux autres côtés moins le double produit de ces côtés par le cosinus de l'angle entre eux.
Ici, \(a\), \(b\), \(c\) sont les côtés du triangle, et \(C\) est l'angle entre les côtés \(a\) et \(b\); le côté \(c\) est opposé à cet angle. Les lettres peuvent être quelconques — la formule est symétrique, elle a donc trois formes équivalentes :
La règle principale de substitution est : prendre l'angle qui est compris entre les deux côtés du produit, et trouver le côté qui lui est opposé. Si l'on prend un angle « voisin », tous les nombres proviendront de l'énoncé, et la réponse sera incorrecte.
Pourquoi le théorème de Pythagore est un cas particulier du théorème du cosinus
Si nous substituons un angle droit dans la formule, c'est-à-dire \(C = 90°\). Le cosinus d'un angle droit est égal à zéro, donc le troisième terme s'annule entièrement :
Nous obtenons exactement le théorème de Pythagore, connu depuis la 8e année. C'est pourquoi le théorème du cosinus est appelé son généralisation : Pythagore est un « cas particulier pour 90° », tandis que le théorème du cosinus s'applique à tous les angles.
Le terme \(-2ab\cos C\) peut être utilement compris comme une correction pour l'angle non droit :
- l'angle est aigu, \(\cos C > 0\) — la correction est soustraite, le côté \(c\) est plus court que ce que donnerait Pythagore ;
- l'angle est droit, \(\cos C = 0\) — pas de correction, il reste \(c^2 = a^2 + b^2\) ;
- l'angle est obtus, \(\cos C < 0\) — la correction est ajoutée, le côté \(c\) est plus long.
Démonstration du théorème du cosinus
La démonstration la plus courte en classe utilise les coordonnées. Plaçons le sommet \(C\) à l'origine et le côté \(b = CA\) le long de l'axe des x. Les coordonnées des sommets sont alors :
- \(C(0;\ 0)\) — l'origine ;
- \(A(b;\ 0)\) — un point sur l'axe des x à une distance \(b\) de l'origine ;
- \(B(a\cos C;\ a\sin C)\) — le sommet à une distance \(a\) de l'origine, formant un angle \(C\) avec l'axe des x.
Le côté \(c\) est la longueur du segment \(AB\). Calculons-la en utilisant la formule de distance entre deux points :
Développons les parenthèses :
Regroupons les termes en \(a^2\) et appliquons l'identité trigonométrique fondamentale \(\sin^2 C + \cos^2 C = 1\) :
Ce qu'il fallait démontrer. Remarquez : il n'a jamais été nécessaire que l'angle \(C\) soit aigu. S'il est obtus, le cosinus est négatif, la coordonnée \(a\cos C\) se décale vers la gauche de l'axe des y, mais tous les calculs restent les mêmes — c'est pourquoi le théorème est valable pour n'importe quel triangle.
Corollaire : comment trouver un angle à partir de trois côtés
Le théorème du cosinus permet d'exprimer le cosinus lui-même — c'est son corollaire principal. Il est utilisé pour trouver un angle lorsque les trois côtés sont connus :
Au numérateur, on trouve la somme des carrés des deux côtés adjacents à l'angle, moins le carré du côté qui lui est opposé. Au dénominateur, on trouve le double produit des côtés adjacents. Pour les autres angles, les formules sont les mêmes :
Ordre de résolution :
- choisir l'angle recherché et déterminer quel côté lui est opposé — son carré va au numérateur avec un signe moins ;
- calculer la fraction (le dénominateur est toujours positif, le signe est déterminé uniquement par le numérateur) ;
- trouver l'angle lui-même à l'aide d'un tableau de valeurs ou de la fonction arc cosinus.
Astuce utile : commencer par le plus grand côté. L'angle le plus grand lui est opposé, et seul cet angle peut être droit ou obtus — les deux autres angles d'un triangle sont toujours aigus.
Cosinus des angles obtus : tableau des valeurs
Dans les exercices de classe, les angles sont presque toujours « du tableau » : 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°. Les angles aigus ont un cosinus positif, l'angle droit a un cosinus nul, et les angles obtus ont un cosinus négatif. Les valeurs pour les angles obtus sont obtenues à partir des valeurs pour les angles aigus selon la règle de réduction \(\cos(180° - \alpha) = -\cos\alpha\) : par exemple, \(\cos 120° = -\cos 60° = -0{,}5\).
Ce que cela signifie en pratique : pour un angle obtus, l'expression \(-2ab\cos C\) devient un plus — moins par moins. Pour un angle de \(120°\), la formule ressemble à ceci :
C'est précisément ici que l'on perd le plus de points : on substitue \(0{,}5\) au lieu de \(-0{,}5\) et on obtient un côté plus court que les deux côtés donnés. C'est manifestement impossible — le côté opposé à un angle obtus est le plus long côté du triangle.
| Angle | Cosinus |
|---|---|
| 30° | √3/2 ≈ 0,87 |
| 45° | √2/2 ≈ 0,71 |
| 60° | 1/2 = 0,5 |
| 90° | 0 |
| 120° | −1/2 = −0,5 |
| 135° | −√2/2 ≈ −0,71 |
| 150° | −√3/2 ≈ −0,87 |
Comment déterminer le type de triangle à partir de trois côtés
Le théorème du cosinus permet de connaître le type de triangle sans mesurer les angles au rapporteur. Le signe de la fraction \(\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\) dépend uniquement du numérateur : le dénominateur \(2ab\) est toujours positif. Il suffit donc de comparer le carré du plus grand côté à la somme des carrés des deux autres.
Soit \(c\) le plus grand côté, alors l'angle \(C\) qui lui est opposé est le plus grand angle :
- \(a^2 + b^2 > c^2\) → \(\cos C > 0\) → l'angle \(C\) est aigu. Les autres angles sont plus petits que lui, donc les trois angles sont aigus — le triangle est acutangle ;
- \(a^2 + b^2 = c^2\) → \(\cos C = 0\) → \(C = 90°\) — le triangle est rectangle (c'est le théorème de Pythagore réciproque) ;
- \(a^2 + b^2 < c^2\) → \(\cos C < 0\) → l'angle \(C\) est obtus — le triangle est obtusangle.
Il n'est pas nécessaire de vérifier les autres angles : il ne peut y avoir qu'un seul angle droit ou obtus dans un triangle. Et n'oubliez pas l'inégalité triangulaire — si le plus grand côté n'est pas inférieur à la somme des deux autres, un triangle avec ces côtés n'existe pas du tout.
Théorème des sinus ou des cosinus : comment choisir
Les deux théorèmes résolvent le même problème — trouver les côtés et angles inconnus d'un triangle — mais s'appliquent à différents ensembles de données. Le théorème des sinus relie un côté et l'angle qui lui est opposé :
D'où la règle de choix : si l'énoncé contient déjà une paire « côté et angle opposé » — le théorème des sinus s'applique ; si une telle paire n'existe pas — on commence par le théorème du cosinus. L'aide-mémoire pour les quatre ensembles de données scolaires se trouve dans le tableau.
Souvent, un exercice se résout en deux étapes : d'abord le théorème du cosinus donne le troisième côté, puis le théorème des sinus permet de trouver rapidement les angles restants.
| Ce qui est connu | Ce que l'on applique |
|---|---|
| C.O.C.Deux côtés et l'angle entre eux | Théorème du cosinuson trouve le troisième côté |
| C.C.C.Les trois côtés | Théorème du cosinuson trouve n'importe quel angle et le type de triangle |
| A.C.A.Un côté et deux angles | Théorème des sinuson trouve les deux autres côtés |
| C.C.A.Deux côtés et l'angle opposé à l'un d'eux | Théorème des sinuson trouve l'angle opposé |
Théorème du cosinus dans les exercices de l'examen OGE
À l'examen OGE de mathématiques, le théorème du cosinus apparaît dans les exercices de planimétrie — tant dans la première partie que dans les exercices à réponse développée. Les scénarios typiques sont les suivants :
- Trouver un côté à partir de deux côtés et de l'angle entre eux — application directe de la formule, le plus souvent avec des angles de 60° ou 120°.
- Trouver un angle ou son cosinus à partir de trois côtés — corollaire \(\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\). Si l'énoncé dit « trouvez \(\cos\angle A\) », il ne faut pas calculer l'arc cosinus : la réponse est cette fraction, c'est elle qu'il faut écrire.
- Diagonales d'un parallélogramme. Une diagonale découpe un triangle à partir de deux côtés et de l'angle entre eux. Les angles adjacents d'un parallélogramme totalisent 180°, leurs cosinus sont donc opposés : la diagonale la plus courte est opposée à l'angle aigu, la plus longue à l'angle obtus.
- Type de triangle à partir de trois nombres — comparaison de \(a^2 + b^2\) avec \(c^2\).
- Médiatrice d'un triangle. La formule \(m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}\) est dérivée de l'application répétée du théorème du cosinus aux deux angles adjacents à la base.
Conseil pour l'examen : avant de calculer, marquez sur le schéma l'angle qui est « coincé » entre les côtés connus. S'il n'y a pas un tel angle — le théorème du cosinus n'est pas encore applicable, il faut chercher une autre voie.
Exemples de résolution d'exercices sur le théorème du cosinus
Exemple 1. Trouver un côté à partir de deux côtés et d'un angle de 60°
Exercice. Dans un triangle \(ABC\), les côtés \(a = 7\) et \(b = 15\), l'angle entre eux \(C = 60°\). Trouvez le côté \(c\).
Étape 1. L'angle \(C\) est compris entre les côtés \(a\) et \(b\) — c'est exactement le cas pour lequel le théorème a été conçu :
Étape 2. Substituons les nombres, \(\cos 60° = 0{,}5\) :
Étape 3. Extraire la racine carrée : \(c = \sqrt{169} = 13\).
Réponse : \(13\). Vérification par le sens : l'angle \(60°\) est aigu, donc le côté opposé n'est pas le plus long — en effet, \(13 < 15\).
Exemple 2. Angle obtus : moins par moins
Exercice. Dans un triangle \(ABC\), on sait : \(AB = 6\), \(BC = 10\), angle \(B = 120°\). Trouvez le côté \(AC\).
Étape 1. L'angle \(B\) est compris entre les côtés \(AB\) et \(BC\), et le côté \(AC\) lui est opposé :
Étape 2. L'angle est obtus, donc \(\cos 120° = -0{,}5\). Le signe moins devant le produit et le signe moins du cosinus donnent un plus :
Étape 3. \(AC = \sqrt{196} = 14\).
Réponse : \(14\). Vérification : le côté opposé à l'angle obtus est le plus long — \(14\) est plus grand que \(6\) et \(10\).
Exemple 3. Trouver un angle à partir de trois côtés
Exercice. Les côtés d'un triangle mesurent \(3\), \(5\) et \(7\). Trouvez son plus grand angle.
Étape 1. Le plus grand angle est opposé au plus grand côté, c'est-à-dire au côté \(7\). Appelons-le \(C\), alors \(c = 7\), et les côtés adjacents sont \(a = 3\) et \(b = 5\).
Étape 2. Appliquons le corollaire :
Étape 3. Le cosinus est négatif — l'angle est obtus. D'après le tableau des valeurs, \(\cos 120° = -0{,}5\), donc \(C = 120°\).
Réponse : \(120°\). Par la même occasion, on a découvert que le triangle est obtusangle.
Exemple 4. Déterminer le type de triangle
Exercice. Déterminez le type de triangle avec les côtés \(6\), \(7\) et \(10\).
Étape 1. Vérifions l'inégalité triangulaire : \(6 + 7 = 13 > 10\) — le triangle existe. Le plus grand côté est \(10\).
Étape 2. Comparons la somme des carrés des deux plus petits côtés au carré du plus grand côté :
Étape 3. \(85 < 100\), donc le numérateur de la fraction est négatif et \(\cos C < 0\) — l'angle opposé au côté \(10\) est obtus. Si vous le souhaitez, vous pouvez aussi trouver l'angle lui-même :
Réponse : le triangle est obtusangle. Remarque : cela ne se voit pas à l'œil nu — les côtés sont presque égaux, et l'angle dépasse déjà \(90°\).
Exemple 5. Exercice niveau OGE : diagonale d'un parallélogramme
Exercice. Les côtés d'un parallélogramme mesurent \(5\) et \(8\), l'angle aigu est de \(60°\). Trouvez la plus petite diagonale.
Étape 1. La diagonale découpe un triangle dont on connaît deux côtés (\(5\) et \(8\)) et l'angle entre eux. La plus petite diagonale est opposée à l'angle aigu de \(60°\).
Étape 2. Calculons :
Étape 3. Vérification. L'autre diagonale est opposée à l'angle de \(120°\) (les angles adjacents d'un parallélogramme totalisent \(180°\)) : \(D^2 = 89 + 40 = 129\), donc \(D = \sqrt{129} \approx 11{,}4\). La somme des carrés des diagonales est \(49 + 129 = 178\), et le double de la somme des carrés des côtés est \(2(25 + 64) = 178\). Cela correspond, donc le calcul est correct.
Réponse : \(7\).
Erreurs fréquentes dans les exercices sur le théorème du cosinus
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Prendre le cosinus d'un angle obtus avec un signe plus. Pour les côtés $4$ et $9$ avec un angle de $120°$ entre eux, écrire $c^2 = 16 + 81 - 2 \cdot 4 \cdot 9 \cdot 0{,}5 = 61$ et obtenir $c \approx 7{,}8$.
\(\cos 120° = -0{,}5\), et moins par moins donne plus : \(c^2 = 97 + 36 = 133\), donc \(c = \sqrt{133} \approx 11{,}5\). Vérification rapide : le côté opposé à un angle obtus est le plus long côté, donc la réponse doit être supérieure à \(9\).
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Substituer un angle qui n'est pas compris entre les côtés donnés : l'énoncé donne un angle, et on le prend « tel quel », sans regarder le schéma.
Dans la formule \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\), les côtés \(a\) et \(b\) forment l'angle \(C\), et le côté \(c\) lui est opposé. Si l'angle connu est adjacent au côté recherché, cette formule ne convient pas — il faut utiliser une autre des trois formes ou le théorème des sinus.
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Oublier d'extraire la racine carrée et écrire le carré du côté comme réponse : on obtient $c^2 = 225$ et on écrit « le côté mesure 225 ».
La formule donne toujours le carré du côté. La dernière étape est obligatoire : \(c = \sqrt{225} = 15\). Relisez la question de l'exercice avant d'écrire la réponse.
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Confondre l'ordre des termes dans le corollaire et écrire $\cos C = \dfrac{c^2 - a^2 - b^2}{2ab}$.
Le numérateur correct est \(a^2 + b^2 - c^2\) : somme des carrés des côtés adjacents moins le carré du côté opposé. En inversant l'ordre, le signe de la fraction change en son opposé, et au lieu d'un angle obtus de \(120°\), on obtient un angle aigu de \(60°\).
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Trouver l'angle par le module du cosinus : on obtient −0,25, et on écrit dans la réponse un angle aigu, comme si le cosinus était +0,25.
Un cosinus négatif correspond toujours à un angle obtus. Il ne faut pas perdre le signe : cos 60° = 0,5, et cos 120° = −0,5 ; l'arc cosinus d'un nombre négatif est supérieur à 90°.
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Essayer de résoudre un exercice « deux côtés et l'angle entre eux » avec le théorème des sinus et rester bloqué à la première étape.
Le théorème des sinus nécessite une paire prête « côté et angle opposé ». Avec deux côtés et l'angle entre eux, une telle paire n'existe pas — d'abord le théorème du cosinus donne le troisième côté, et seulement ensuite le théorème des sinus intervient.
Questions et réponses
Comment s'énonce le théorème du cosinus ?
Le carré d'un côté d'un triangle est égal à la somme des carrés des deux autres côtés moins le double produit de ces côtés par le cosinus de l'angle entre eux : c² = a² + b² − 2ab·cos C. Le théorème est valable pour n'importe quel triangle, pas seulement pour un triangle rectangle.
Comment trouver un côté d'un triangle à partir de deux côtés et de l'angle entre eux ?
Substituer les données dans la formule c² = a² + b² − 2ab·cos C et extraire la racine carrée. Par exemple, pour les côtés 4 et 6 et l'angle de 60° entre eux : c² = 16 + 36 − 2·4·6·0,5 = 28, donc c = √28 ≈ 5,3.
Comment trouver un angle d'un triangle si les trois côtés sont connus ?
Selon le corollaire du théorème du cosinus : cos C = (a² + b² − c²) / (2ab), où c est le côté opposé à l'angle recherché. Par exemple, pour les côtés 2, 3 et 4, le cosinus du plus grand angle est (4 + 9 − 16) / (2·2·3) = −0,25, c'est-à-dire que l'angle est obtus, environ 104°.
Pourquoi le théorème de Pythagore est-il un cas particulier du théorème du cosinus ?
Parce que pour un angle droit, cos 90° = 0, et le terme −2ab·cos C s'annule. Il reste c² = a² + b² — c'est le théorème de Pythagore pour un triangle rectangle.
Le théorème du cosinus s'applique-t-il dans un triangle obtusangle ?
Oui, et il s'applique sans modification. Un angle obtus a un cosinus négatif, donc le terme −2ab·cos C devient positif et s'ajoute à la somme des carrés. C'est précisément pour cela que le côté opposé à l'angle obtus est le plus long.
Quand appliquer le théorème des sinus, et quand le théorème du cosinus ?
Le théorème des sinus est nécessaire lorsqu'il y a déjà une paire « côté et angle opposé » dans l'énoncé — par exemple, un côté et deux angles sont donnés. Le théorème du cosinus s'applique lorsqu'une telle paire n'existe pas : deux côtés et l'angle entre eux sont donnés, ou les trois côtés. Souvent, un exercice se résout en deux étapes : d'abord le cosinus, puis le sinus.
Comment déterminer le type de triangle à partir de trois côtés ?
Comparer le carré du plus grand côté c² à la somme des carrés des deux autres. Si a² + b² > c² — le triangle est acutangle, si a² + b² = c² — rectangle, si a² + b² < c² — obtusangle. Le signe de cette différence coïncide avec le signe du cosinus du plus grand angle.
En quelle année le théorème du cosinus est-il enseigné ?
En 9e année, dans les cours de géométrie, dans le chapitre « Relations entre les côtés et les angles d'un triangle » — avec le théorème des sinus. Il est ensuite constamment utilisé dans les exercices OGE et EGE de planimétrie et de stéréométrie.
