Les triangles semblables sont des triangles de même forme, mais de tailles différentes : leurs angles sont respectivement égaux, et leurs côtés homologues sont proportionnels. Le nombre qui indique dans quelle mesure un triangle est plus grand qu'un autre s'appelle le coefficient de similitude \(k\). Trois signes aident à prouver la similitude, et les rapports des périmètres et des aires suivent une règle simple : les périmètres sont dans le rapport \(k\), et les aires dans le rapport \(k^2\). Sur cette page, vous trouverez la définition et la notation de la similitude avec l'ordre correct des sommets, les trois signes, la similitude des triangles rectangles et la hauteur issue de l'angle droit, l'analyse de problèmes de l'examen OGE « trouver le côté » et un simulateur interactif.
Qu'est-ce que les triangles semblables et le coefficient de similitude
Deux triangles sont dits semblables si deux conditions sont remplies simultanément :
- leurs angles sont respectivement égaux — à chaque angle du premier triangle correspond un angle égal du second ;
- leurs côtés homologues sont proportionnels — les trois rapports donnent le même nombre.
Les côtés homologues (correspondants) sont les côtés qui se trouvent en face d'angles égaux. Ce sont eux qui forment les paires entre lesquelles on calcule le rapport.
La similitude se note avec le signe \(\sim\) :
Le coefficient de similitude \(k\) est ce même rapport constant des côtés homologues :
Si \(k > 1\), le second triangle est plus grand que le premier ; si \(k < 1\), il est plus petit ; si \(k = 1\), les triangles sont simplement égaux, car l'égalité est un cas particulier de la similitude.
L'ordre des sommets dans la notation n'est pas une formalité
La notation \(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\) se lit strictement par position : \(A\) correspond à \(A_1\), \(B\) à \(B_1\), \(C\) à \(C_1\). Il en découle immédiatement quels angles sont égaux (\(\angle A = \angle A_1\)) et quels côtés sont homologues (\(AB\) et \(A_1B_1\), \(BC\) et \(B_1C_1\), \(AC\) et \(A_1C_1\)).
Si l'on permutait les lettres et écrivait \(\triangle ABC \sim \triangle B_1A_1C_1\), cela signifierait une autre affirmation : maintenant \(\angle A = \angle B_1\), et le côté \(B_1A_1\) serait homologue à \(AB\). On ne peut pas établir de proportion en prenant les côtés « qui semblent bien placés » — seulement par les positions dans la notation. C'est pourquoi il faut d'abord lister les paires d'angles égaux, puis ajuster l'ordre des lettres en conséquence.
Trois signes de similitude des triangles
Il n'est pas nécessaire de vérifier les six conditions de la définition : la similitude se prouve par l'un des trois signes. Chacun est un ensemble minimal de données à partir duquel découle automatiquement l'égalité de tous les angles et la proportionnalité de tous les côtés.
Comment choisir un signe. Regardez ce qui est donné dans le problème : s'il s'agit d'angles, utilisez le premier ; s'il s'agit de deux côtés et d'un angle, utilisez le deuxième ; s'il s'agit des trois côtés, utilisez le troisième.
- Premier signe (par deux angles) — le cheval de bataille du programme scolaire : presque tous les problèmes de l'examen OGE sont résolus par celui-ci. Il n'est pas nécessaire de vérifier le troisième angle, il est égal automatiquement : la somme des angles d'un triangle est toujours \(180°\). Cherchez des paires d'angles égaux toutes faites — angle commun à deux triangles, angles opposés par le sommet, angles alternes-internes et correspondants par rapport à des droites parallèles, deux angles droits.
- Deuxième signe (par deux côtés et l'angle entre eux) exige que l'angle soit exactement entre ces deux côtés. Si l'angle égal est en face de l'un d'eux, le signe ne fonctionne pas et la similitude n'est pas prouvée.
- Troisième signe (par trois côtés) — lorsqu'il n'y a pas d'angles dans l'énoncé, seulement des longueurs. Listez les côtés de chaque triangle par ordre croissant et divisez le plus petit par le plus petit, le moyen par le moyen, le plus grand par le plus grand : ainsi, les paires ne seront pas confondues. La similitude existe seulement si les trois rapports sont égaux.
Pour ne pas confondre les signes de similitude avec les signes d'égalité, gardez à l'esprit la différence : dans l'égalité, les côtés doivent coïncider, dans la similitude, ils doivent être proportionnels.
→ △ABC ∼ △A1B1C1
Rapport des périmètres et des aires des triangles semblables
La similitude a deux conséquences qui sont les plus souvent demandées, et l'une d'elles est le principal piège du sujet.
Les périmètres sont dans le rapport \(k\). Chaque côté du second triangle est \(k\) fois plus grand que le côté homologue du premier, donc la somme des côtés augmente exactement \(k\) fois :
De même — « \(k\) fois » — se comportent toutes les grandeurs linéaires : hauteurs, médianes, bissectrices, rayons des cercles inscrits et circonscrits, milieux des côtés.
Les aires sont dans le rapport \(k^2\). L'aire dépend de deux dimensions à la fois : la base et la hauteur augmentent de \(k\) fois, et le produit augmente de \(k \cdot k\) fois :
Soit \(k = 5\). Alors le périmètre est 5 fois plus grand (par exemple, il était de 14 cm, il devient 70 cm), et l'aire est déjà 25 fois plus grande (elle était de 6 cm², elle devient 150 cm²). La différence est énorme, et substituer \(k\) au lieu de \(k^2\) est l'erreur la plus fréquente à l'examen.
Marche arrière. Si le rapport des aires est donné dans l'énoncé, le coefficient de similitude s'obtient par la racine carrée : \(k = \sqrt{S_2 : S_1}\). Par exemple, si les aires sont dans le rapport \(16 : 1\), alors les côtés sont dans le rapport \(4 : 1\).
| k | Périmètres P₂ : P₁ | Aires S₂ : S₁ |
|---|---|---|
| 2 | 2 : 1 | 4 : 1 |
| 3 | 3 : 1 | 9 : 1 |
| 1,5 | 1,5 : 1 | 2,25 : 1 |
| quelconque | k : 1 | k² : 1 |
Similitude des triangles rectangles et hauteur issue de l'angle droit
Pour les triangles rectangles, le premier signe est simplifié : les angles droits sont égaux par définition, donc l'égalité d'un seul angle aigu suffit pour que les triangles soient semblables. De cela découle le signe par deux cathètes : si les cathètes d'un triangle sont proportionnels aux cathètes de l'autre, les triangles sont semblables (c'est le deuxième signe, car l'angle entre les cathètes est droit).
La configuration la plus utile de tout le sujet est la hauteur issue du sommet de l'angle droit. Elle divise le triangle en deux, et les trois triangles ainsi formés sont semblables entre eux.
Pourquoi : le triangle \(AHC\) a un angle droit en \(H\) et partage l'angle \(A\) avec le grand triangle, donc \(\triangle AHC \sim \triangle ACB\). Le triangle \(CHB\) a un angle droit en \(H\) et partage l'angle \(B\) avec le grand triangle, donc \(\triangle CHB \sim \triangle ACB\). Par conséquent, les deux petits triangles sont aussi semblables entre eux.
De ces similitudes découlent les formules de la moyenne géométrique (appelées segments proportionnels dans un triangle rectangle) :
- \(CH^2 = AH \cdot HB\) — la hauteur est la moyenne géométrique des segments sur lesquels elle divise l'hypoténuse ;
- \(AC^2 = AH \cdot AB\) et \(BC^2 = HB \cdot AB\) — une cathète est la moyenne géométrique de toute l'hypoténuse et de sa projection sur celle-ci.
L'essentiel est de ne pas confondre quel segment est « propre » : la cathète \(AC\) a pour projection \(AH\), la cathète \(BC\) a pour projection \(HB\). La projection est toujours adjacente à la même extrémité de l'hypoténuse que la cathète.
Problèmes OGE sur la similitude : comment trouver un côté
Presque tous les problèmes de similitude se résolvent selon le même algorithme :
- Trouver une paire d'angles égaux — angle commun, opposés par le sommet, alternes-internes par rapport à des parallèles, ou deux angles droits.
- Écrire la similitude dans l'ordre correct des sommets — de sorte que les angles égaux soient aux mêmes positions.
- Établir une proportion avec les côtés homologues (on prend les côtés qui occupent la même position dans la notation).
- Exprimer l'inconnue et calculer ; à la fin, vérifier la réponse par le sens — le côté du plus petit triangle doit obligatoirement être plus petit.
Il existe peu de configurations typiques à l'examen OGE, et il faut les reconnaître d'un coup d'œil :
- Une droite parallèle à un côté. Une droite découpe un petit triangle semblable à l'original. La subtilité clé : dans la proportion, on utilise le rapport des côtés entiers à partir du sommet commun (\(BM : BA\)), et non des segments (\(BM : MA\)).
- « Papillon ». Deux segments se coupent, et leurs extrémités sont reliées par des droites parallèles — cela forme deux triangles semblables, orientés l'un par rapport à l'autre.
- Hauteur issue de l'angle droit — configuration de la section précédente ; à l'examen OGE, on l'utilise pour trouver la hauteur, une cathète ou un segment de l'hypoténuse.
- Ombre et hauteur d'un objet. Les rayons du soleil sont parallèles, donc un objet avec son ombre et un arbre avec son ombre forment des triangles rectangles semblables.
- Milieu de côté — cas particulier avec \(k = 2\) : il est parallèle au côté et deux fois plus court que lui.
angle B commun, angles en M et A correspondants
angles opposés par le sommet, angles A et C alternes-internes
Exemples de résolution de problèmes sur la similitude des triangles
Exemple 1. Trouver les côtés par le coefficient de similitude
Problème. \(\triangle MNK \sim \triangle PQR\). On sait que \(MN = 7\), \(NK = 11\), \(MK = 9\) et \(PQ = 21\). Trouvez \(QR\) et \(PR\).
Étape 1. On décompose la notation par positions : \(M \leftrightarrow P\), \(N \leftrightarrow Q\), \(K \leftrightarrow R\). Donc les paires homologues sont : \(MN\) et \(PQ\), \(NK\) et \(QR\), \(MK\) et \(PR\).
Étape 2. On calcule le coefficient avec la seule paire où les deux côtés sont connus :
Étape 3. Les autres côtés du second triangle sont 3 fois plus grands que les côtés homologues :
Réponse : \(QR = 33\), \(PR = 27\). Vérification : \(33 : 11 = 27 : 9 = 3\) — tous les rapports sont égaux.
Exemple 2. Prouver la similitude par le deuxième signe
Problème. Dans les triangles \(ABC\) et \(DEF\), on sait : \(AB = 5\), \(AC = 9\), \(DE = 15\), \(DF = 27\), et les angles \(A\) et \(D\) sont égaux. Prouvez que les triangles sont semblables.
Étape 1. On vérifie la condition principale du deuxième signe : l'angle \(A\) est compris entre les côtés \(AB\) et \(AC\), l'angle \(D\) — entre \(DE\) et \(DF\). Les angles sont entre les côtés donnés — le signe est applicable.
Étape 2. On calcule les rapports des côtés homologues :
Étape 3. Deux paires de côtés sont proportionnelles avec le même coefficient \(k = 3\), les angles entre eux sont égaux — par le deuxième signe, \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\).
Réponse : les triangles sont semblables, \(k = 3\). Remarquez : si les angles égaux avaient été \(B\) et \(D\), le signe n'aurait pas été applicable — l'angle \(B\) n'est pas situé entre \(AB\) et \(AC\).
Exemple 3. Droite parallèle à un côté (problème OGE)
Problème. Dans le triangle \(ABC\), le point \(M\) est sur le côté \(AB\), le point \(N\) — sur le côté \(BC\), tel que \(MN \parallel AC\). On sait que \(BM = 4\), \(MA = 12\), \(MN = 5\). Trouvez \(AC\).
Étape 1. Puisque \(MN \parallel AC\), les angles \(BMN\) et \(BAC\) sont égaux comme correspondants, et l'angle \(B\) est commun. Par le premier signe, \(\triangle BMN \sim \triangle BAC\) (ordre des sommets : \(M \leftrightarrow A\), \(N \leftrightarrow C\)).
Étape 2. On trouve le côté entier à partir du sommet commun : \(BA = BM + MA = 4 + 12 = 16\). C'est la subtilité principale — dans la proportion, on utilise \(BA\), pas \(MA\).
Étape 3. On établit la proportion avec les côtés homologues :
Étape 4. D'où \(AC = 5 \cdot 4 = 20\).
Réponse : \(AC = 20\). Le coefficient de similitude ici est de 4 : le grand triangle est quatre fois plus grand que le triangle découpé.
Exemple 4. Périmètres et aires
Problème. Les périmètres de deux triangles semblables sont de 18 cm et 45 cm. L'aire du plus petit triangle est de 16 cm². Trouvez l'aire du plus grand.
Étape 1. Les périmètres sont dans le rapport du coefficient de similitude :
Étape 2. Les aires sont dans le rapport du carré du coefficient : \(k^2 = 2{,}5^2 = 6{,}25\).
Étape 3. On multiplie l'aire du plus petit triangle par \(k^2\) :
Réponse : 100 cm². Si on avait multiplié par \(k = 2{,}5\), on aurait obtenu 40 cm² — une erreur typique qui fait perdre tous les points.
Exemple 5. Hauteur issue du sommet de l'angle droit
Problème. Dans un triangle rectangle \(ABC\) avec un angle droit en \(C\), on trace la hauteur \(CH\) vers l'hypoténuse. On sait que \(AH = 4\) cm, \(HB = 9\) cm. Trouvez la hauteur \(CH\) et l'aire du triangle.
Étape 1. La hauteur issue de l'angle droit est la moyenne géométrique des segments de l'hypoténuse, car \(\triangle AHC \sim \triangle CHB\) :
Étape 2. On extrait la racine carrée : \(CH = 6\) cm.
Étape 3. L'hypoténuse \(AB = AH + HB = 4 + 9 = 13\) cm. On calcule l'aire à l'aide de l'hypoténuse et de la hauteur tracée vers elle :
Réponse : \(CH = 6\) cm, \(S = 39\) cm².
Exemple 6. Hauteur d'un arbre par son ombre
Problème. Un poteau vertical de 2 m de haut projette une ombre de 1,5 m. Au même moment, l'ombre d'un arbre mesure 9 m. Quelle est la hauteur de l'arbre ?
Étape 1. Les rayons du soleil sont parallèles, donc l'angle d'incidence du rayon est le même pour le poteau et pour l'arbre. Le poteau avec son ombre et l'arbre avec son ombre forment des triangles rectangles avec un angle aigu égal — ils sont donc semblables.
Étape 2. On établit la proportion « hauteur par rapport à son ombre » :
Étape 3. On exprime la hauteur inconnue :
Réponse : 12 m. Vérification par le sens : l'ombre de l'arbre est 6 fois plus longue que celle du poteau, donc l'arbre est aussi 6 fois plus haut : \(2 \cdot 6 = 12\) m.
Erreurs fréquentes dans les problèmes de similitude des triangles
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On considère que les aires des triangles semblables sont dans le rapport $k$ : pour $k = 3$, on augmente l'aire d'un facteur trois.
Les aires sont dans le rapport du carré du coefficient : pour \(k = 3\), l'aire est 9 fois plus grande (\(3^2 = 9\)). Seules les grandeurs linéaires — côtés, périmètre, hauteurs, médianes — sont dans le rapport \(k\). Astuce : l'aire est mesurée en unités carrées, donc le coefficient y intervient au carré.
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On ignore l'ordre des sommets : à partir de la notation $\triangle ABC \sim \triangle KLM$, on établit la proportion $AB : LM$.
La correspondance des sommets est déterminée par les positions dans la notation : \(A \leftrightarrow K\), \(B \leftrightarrow L\), \(C \leftrightarrow M\). Le côté homologue à \(AB\) est \(KL\), et celui de \(BC\) est \(LM\). Avant d'écrire la proportion, listez les paires de sommets en colonne — cela prend cinq secondes et évite la plupart des erreurs.
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On prouve la similitude par un seul angle égal ou par deux côtés proportionnels sans angle.
Un seul angle égal ne suffit pas : deux triangles peuvent avoir un angle égal tout en ayant des formes très différentes. Il faut un signe complet — deux angles, ou deux côtés et l'angle entre eux, ou les trois côtés.
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Dans le deuxième signe, on utilise un angle qui n'est pas situé entre les côtés donnés.
Le deuxième signe ne fonctionne qu'avec l'angle entre les deux côtés donnés. Si \(AB\), \(AC\) sont connus et que l'angle \(B\) est égal, le signe n'est pas applicable — cherchez une autre voie : une paire d'angles égaux ou le troisième côté.
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On inverse le coefficient : on trouve $k$ comme « côté le plus petit sur côté le plus grand », puis on multiplie par ce $k$ pour obtenir le côté du plus grand triangle.
Décidez vous-même du sens : si \(k\) est le rapport des côtés du second triangle sur ceux du premier, alors on multiplie les côtés du premier par \(k\), et on divise les côtés du second par \(k\). Vérification finale par le sens : le côté du plus petit triangle doit obligatoirement être plus petit.
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Dans un problème avec une droite parallèle à un côté, on établit une proportion avec des segments : $BM : MA = MN : AC$.
Les triangles \(BMN\) et \(BAC\) sont semblables, et leurs côtés homologues sont \(BM\) et \(BA\) (le côté entier à partir du sommet commun), et non le segment \(MA\). Trouvez d'abord \(BA = BM + MA\), puis établissez la proportion.
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On confond similitude et égalité et on écrit dans la réponse que les côtés sont simplement égaux.
L'égalité est un cas particulier de similitude lorsque \(k = 1\). Si \(k \ne 1\), les triangles n'ont que les angles en commun, et les côtés diffèrent d'un facteur \(k\). Les signes sont aussi différents : pour l'égalité, ce sont SAS, ASA, SSS avec des côtés coïncidents, pour la similitude, ce sont des côtés proportionnels.
Questions et réponses
Qu'appelle-t-on triangles semblables ?
On appelle triangles semblables les triangles dont les angles sont respectivement égaux et dont les côtés homologues sont proportionnels. Plus simplement, ce sont des triangles de même forme, mais de tailles différentes. La similitude se note avec le signe ∼ : △ABC ∼ △A₁B₁C₁.
Qu'est-ce que le coefficient de similitude des triangles ?
Le coefficient de similitude \(k\) est un nombre égal au rapport des côtés homologues de triangles semblables : k = A₁B₁ : AB = B₁C₁ : BC = A₁C₁ : AC. Il indique dans quelle mesure un triangle est plus grand qu'un autre. Si k = 1, les triangles sont égaux.
Combien y a-t-il de signes de similitude des triangles et quels sont-ils ?
Il y a trois signes. Le premier — par deux angles : deux angles d'un triangle sont égaux à deux angles de l'autre. Le deuxième — par deux côtés et l'angle entre eux : deux côtés sont proportionnels et les angles entre eux sont égaux. Le troisième — par trois côtés : les trois paires de côtés homologues sont proportionnelles.
Comment sont les aires des triangles semblables ?
Les aires des triangles semblables sont dans le rapport du carré du coefficient de similitude : S₂ : S₁ = k². Par exemple, pour k = 4, l'aire est 16 fois plus grande. Inversement : si les aires sont dans le rapport 25 : 1, alors les côtés sont dans le rapport 5 : 1.
Comment sont les périmètres des triangles semblables ?
Les périmètres sont dans le rapport du coefficient de similitude : P₂ : P₁ = k. De même se comportent tous les éléments linéaires — hauteurs, médianes, bissectrices, milieux des côtés, rayons des cercles inscrits et circonscrits.
En quoi la similitude des triangles diffère-t-elle de l'égalité ?
Dans les triangles égaux, les angles et les côtés coïncident, donc les figures peuvent être superposées. Dans les triangles semblables, seuls les angles coïncident, et les côtés sont proportionnels avec un coefficient \(k\). L'égalité est un cas particulier de similitude lorsque \(k = 1\).
Comment prouver la similitude des triangles rectangles ?
Il suffit que les angles aigus soient égaux : les angles droits sont déjà égaux, donc le premier signe s'applique. Deuxième méthode — proportionnalité des cathètes : l'angle entre les cathètes est droit, donc le deuxième signe de similitude est applicable.
Pourquoi la hauteur issue de l'angle droit donne-t-elle trois triangles semblables ?
La hauteur \(CH\) issue du sommet de l'angle droit \(C\) divise le triangle \(ABC\) en triangles \(AHC\) et \(CHB\). \(AHC\) a un angle droit en \(H\) et partage l'angle \(A\) avec \(ABC\), \(CHB\) a un angle droit en \(H\) et partage l'angle \(B\) avec \(ABC\), donc les deux sont semblables au triangle d'origine, et par conséquent, l'un à l'autre. De là découlent les formules \(CH^2 = AH \cdot HB\), \(AC^2 = AH \cdot AB\) et \(BC^2 = HB \cdot AB\).
En quelle classe étudie-t-on la similitude des triangles ?
En 8e année, dans les cours de géométrie — juste après le chapitre sur les segments proportionnels. On y étudie aussi les trois signes de similitude, le rapport des aires et l'application de la similitude aux triangles rectangles. Ce sujet est ensuite utilisé en 9e année et dans les problèmes de l'examen OGE.
