Le théorème de Pythagore est la formule principale de la géométrie en 8e année : dans un triangle rectangle, la somme des carrés des côtés de l'angle droit est égale au carré de l'hypoténuse, soit \(a^2 + b^2 = c^2\). De celle-ci découlent les formules pour trouver l'hypoténuse et n'importe quel côté de l'angle droit, la diagonale d'un rectangle et la distance entre deux points. Sur cette page, vous trouverez la définition et la formule, une démonstration visuelle par les aires, le théorème réciproque, le triangle égyptien 3-4-5, des résolutions d'exercices étape par étape et un entraîneur interactif pour vous tester.
Qu'est-ce que le théorème de Pythagore et quelle est sa formule
Le théorème de Pythagore ne s'applique que dans un triangle rectangle – un triangle où l'un des angles est de \(90°\). Les côtés d'un tel triangle portent des noms différents :
- côtés de l'angle droit (ou cathètes) – les deux côtés qui forment l'angle droit ;
- hypoténuse – le côté opposé à l'angle droit, le côté le plus long du triangle.
Énoncé du théorème : dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des côtés de l'angle droit.
Ici, \(a\) et \(b\) sont les côtés de l'angle droit, \(c\) est l'hypoténuse. Parfois, le théorème est formulé « géométriquement » : l'aire du carré construit sur l'hypoténuse est égale à la somme des aires des carrés construits sur les côtés de l'angle droit. C'est le même théorème, simplement exprimé en termes d'aires plutôt que de nombres.
Pour se souvenir de l'ordre des lettres, une règle simple aide : sous la grande lettre \(c\) se cache toujours le côté le plus long. Si vous confondez l'hypoténuse avec un côté de l'angle droit dans un exercice, la réponse sera incorrecte.
Démonstration du théorème de Pythagore
Il existe plus d'une centaine de démonstrations connues du théorème de Pythagore. L'école présente la plus visuelle – la démonstration par les aires. Prenons deux carrés identiques de côté \(a + b\) et plaçons dans chacun quatre triangles rectangles identiques avec des côtés de l'angle droit \(a\) et \(b\) – mais de manière différente.
- Dans le premier carré, déplaçons les triangles vers les coins de sorte que deux carrés restent libres : un de côté \(a\) et un de côté \(b\). Leurs aires sont \(a^2\) et \(b^2\).
- Dans le second carré, disposons les quatre mêmes triangles en « moulinet ». Il reste un carré incliné de côté \(c\), dont l'aire est \(c^2\).
- Les aires des grands carrés sont égales : chacune vaut \((a+b)^2\). La somme des aires des triangles est également identique : chaque triangle occupe \(\frac{ab}{2}\), donc quatre triangles occupent \(2ab\).
Puisque le tout et la partie soustraite sont identiques, les restes sont également égaux : \(a^2 + b^2 = c^2\). Le théorème est démontré – les équilibres d'aires pour les deux carrés sont inscrits sous le schéma.
Comment trouver l'hypoténuse et un côté de l'angle droit avec le théorème de Pythagore
À partir d'une seule formule \(a^2 + b^2 = c^2\), toutes les formules de travail du sujet sont dérivées : on exprime le côté inconnu à partir de l'égalité et on extrait la racine carrée. La différence entre les deux cas n'est qu'une seule chose – et c'est là que les erreurs sont les plus fréquentes :
- on cherche l'hypoténuse via la somme des carrés des côtés de l'angle droit – elle doit nécessairement être plus longue que chacun d'eux ;
- on cherche un côté de l'angle droit via la différence : on soustrait le carré du côté de l'angle droit connu du carré de l'hypoténuse, et le résultat doit nécessairement être inférieur à l'hypoténuse.
Si le résultat sous la racine est un nombre négatif, cela signifie que vous avez confondu l'hypoténuse avec un côté de l'angle droit – revenez au schéma et cherchez l'angle droit. Et un détail supplémentaire : la racine à la fin est obligatoire, c'est à cette étape que l'on perd le plus de points.
Voici une fiche récapitulative prête avec toutes les formules.
| Ce que l'on cherche | Formule et explication |
|---|---|
| Hypoténuse | c = √a2 + b2racine carrée de la somme des carrés des côtés de l'angle droit |
| Côté de l'angle droit a | a = √c2 − b2racine carrée de la différence des carrés de l'hypoténuse et de l'autre côté de l'angle droit |
| Côté de l'angle droit b | b = √c2 − a2similairement : on soustrait le carré de l'autre côté de l'angle droit |
| Vérification | a2 + b2 = c2 ?égalité vérifiée → le triangle est rectangle (théorème réciproque) |
Théorème réciproque de Pythagore et triangle égyptien
Théorème réciproque de Pythagore : si le carré d'un côté d'un triangle est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle, et l'angle droit est opposé au côté le plus long.
C'est un outil pratique : avec trois nombres, on peut déterminer la nature d'un triangle sans mesurer les angles au rapporteur. La procédure est la suivante :
- trouver le côté le plus long – c'est le candidat à l'hypoténuse ;
- élever au carré les deux autres côtés et les additionner ;
- comparer avec le carré du côté le plus long.
Si l'égalité est obtenue, le triangle est rectangle. Par exemple, pour les côtés 6, 8 et 10 : \(6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2\), donc le triangle est rectangle.
Les ensembles de nombres entiers pour lesquels l'égalité est vérifiée sont appelés des triplets pythagoriciens. Le plus célèbre est 3, 4, 5 : un tel triangle est appelé égyptien car les bâtisseurs de l'Égypte ancienne mesuraient 12 parties égales sur une corde et formaient un triangle de côtés 3, 4 et 5 pour obtenir un angle droit précis sur le chantier. Cette astuce est encore utilisée aujourd'hui.
Où appliquer le théorème de Pythagore : exercices de la vie courante et de géométrie
Le théorème de Pythagore est utile chaque fois que l'on peut identifier un triangle rectangle dans une figure :
- Diagonale d'un rectangle. La diagonale divise le rectangle en deux triangles rectangles, donc \(d = \sqrt{a^2 + b^2}\). C'est ainsi que l'on calcule la diagonale d'un écran de télévision ou la taille d'une pièce.
- Hauteur d'un triangle isocèle. La hauteur menée à la base la divise en deux et forme un triangle rectangle – le même formule s'applique ensuite.
- Diagonale d'un carré. Si le côté est \(a\), alors \(d = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}\).
- Distance entre deux points sur un plan de coordonnées. La formule \(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}\) est le théorème de Pythagore pour le triangle construit sur les différences de coordonnées.
- Exercices pratiques. Une échelle appuyée contre un mur ; la hauteur d'un arbre par rapport à son ombre ; la longueur d'un câble, d'un hauban, d'un fil – dans tous ces exercices, on complète un triangle rectangle et on applique la formule.
Il est important de se souvenir de la principale restriction : le théorème de Pythagore n'est valable que pour un triangle rectangle. S'il n'y a pas d'angle droit, le théorème des cosinus, étudié en 9e année, relie les côtés.
Exemples de résolution d'exercices sur le théorème de Pythagore
Exemple 1. Trouver l'hypoténuse
Exercice. Les côtés de l'angle droit d'un triangle rectangle mesurent \(9\) cm et \(12\) cm. Trouvez l'hypoténuse.
Étape 1. On écrit le théorème pour notre triangle : \(c^2 = a^2 + b^2\).
Étape 2. On élève les côtés de l'angle droit au carré et on les additionne :
Étape 3. On extrait la racine carrée : \(c = \sqrt{225} = 15\) cm.
Réponse : \(15\) cm. Vérification par le sens : l'hypoténuse est plus longue que chaque côté de l'angle droit – c'est normal.
Exemple 2. Trouver un côté de l'angle droit
Exercice. L'hypoténuse d'un triangle rectangle mesure \(25\) cm, un côté de l'angle droit mesure \(7\) cm. Trouvez le second côté de l'angle droit.
Étape 1. On exprime le côté de l'angle droit inconnu à partir de la formule \(a^2 + b^2 = c^2\) : \(b^2 = c^2 - a^2\). Ici, c'est une différence, pas une somme – on cherche un côté de l'angle droit, pas l'hypoténuse.
Étape 2. On substitue les nombres :
Étape 3. On extrait la racine carrée : \(b = \sqrt{576} = 24\) cm.
Réponse : \(24\) cm. On a aussi découvert le triplet pythagoricien \(7 - 24 - 25\).
Exemple 3. Exercice de l'échelle
Exercice. Une échelle de \(5\) m de long est appuyée contre un mur. Son extrémité inférieure est à \(3\) m du mur. À quelle hauteur l'échelle touche-t-elle le mur ?
Étape 1. On fait un schéma : le mur et le sol forment un angle droit, l'échelle est l'hypoténuse. Donc, \(c = 5\) m, un côté de l'angle droit \(a = 3\) m, la hauteur \(h\) est le second côté de l'angle droit.
Étape 2. On cherche le côté de l'angle droit par différence :
Étape 3. \(h = \sqrt{16} = 4\) m.
Réponse : \(4\) m. On retrouve le fameux triangle égyptien \(3 - 4 - 5\).
Exemple 4. Vérifier un triangle avec le théorème réciproque
Exercice. Les côtés d'un triangle mesurent \(10\), \(24\) et \(26\). Est-il rectangle ?
Étape 1. On trouve le côté le plus long – c'est \(26\). Si le triangle est rectangle, c'est lui qui sera l'hypoténuse.
Étape 2. On calcule la somme des carrés des deux côtés les plus courts : \(10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676\).
Étape 3. On compare avec le carré du côté le plus long : \(26^2 = 676\). Les nombres coïncident.
Réponse : oui, le triangle est rectangle, l'angle droit est opposé au côté \(26\). C'est le triplet \(5 - 12 - 13\) multiplié par \(2\).
Exemple 5. Diagonale d'un rectangle
Exercice. Les côtés d'un rectangle mesurent \(8\) cm et \(15\) cm. Trouvez sa diagonale.
Étape 1. La diagonale divise le rectangle en deux triangles rectangles égaux : les côtés du rectangle deviennent les côtés de l'angle droit, la diagonale est l'hypoténuse.
Étape 2. On applique la formule : \(d = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289}\).
Étape 3. \(d = 17\) cm.
Réponse : \(17\) cm. Le triplet pythagoricien \(8 - 15 - 17\) est utilisé ici.
Erreurs fréquentes dans les exercices sur le théorème de Pythagore
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Confondre un côté de l'angle droit avec l'hypoténuse : substituer le côté le plus long comme côté de l'angle droit et obtenir un nombre négatif sous la racine.
L'hypoténuse est toujours le côté opposé à l'angle droit et toujours le plus long. Commencez la résolution par un schéma : marquez l'angle droit, et il deviendra clair quel côté lui est opposé.
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Additionner les côtés eux-mêmes, pas leurs carrés : écrire $a + b = c$ et pour les côtés de l'angle droit 6 et 8 obtenir 14.
Le théorème relie spécifiquement les carrés : \(6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100\), donc \(c = 10\). La somme des côtés eux-mêmes est toujours supérieure à l'hypoténuse – ce n'est pas la réponse, mais un signe d'erreur.
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Oublier d'extraire la racine carrée et écrire $c^2$ au lieu de $c$ dans la réponse : « l'hypoténuse est égale à 225 ».
Après les calculs, il reste toujours le carré du côté. La dernière étape est la racine : \(c = \sqrt{225} = 15\). Prenez comme règle de relire la question de l'exercice avant d'écrire la réponse.
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Chercher un côté de l'angle droit par une somme : $b = \sqrt{c^2 + a^2}$.
On cherche l'hypoténuse par une somme. Un côté de l'angle droit – par une différence : \(b = \sqrt{c^2 - a^2}\). La vérification est simple : le côté de l'angle droit doit être inférieur à l'hypoténuse.
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Appliquer le théorème à un triangle sans angle droit – par exemple, à un triangle isocèle ou à un triangle quelconque de côtés 5, 6, 7.
Le théorème de Pythagore ne fonctionne que dans un triangle rectangle. S'il n'y a pas d'angle droit, on le « crée » d'abord – en traçant une hauteur – ou on utilise le théorème des cosinus du cours de 9e année.
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Dans le théorème réciproque, on ne compare pas avec le bon côté : on élève au carré deux côtés arbitraires et on les additionne.
Le carré du côté le plus long doit être égal à la somme des carrés des deux autres. Pour les côtés 6, 8, 11, on compare \(6^2 + 8^2 = 100\) et \(11^2 = 121\) : il n'y a pas d'égalité, le triangle n'est pas rectangle.
Questions et réponses
Quelle est la formule du théorème de Pythagore ?
a² + b² = c², où a et b sont les côtés de l'angle droit d'un triangle rectangle, et c est l'hypoténuse. En mots : le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des côtés de l'angle droit.
Comment trouver l'hypoténuse si les côtés de l'angle droit sont connus ?
Élever les côtés de l'angle droit au carré, les additionner et extraire la racine carrée : c = √(a² + b²). Par exemple, pour les côtés de l'angle droit 6 et 8, on obtient c = √(36 + 64) = √100 = 10.
Comment trouver un côté de l'angle droit si l'hypoténuse et l'autre côté de l'angle droit sont connus ?
Par la différence des carrés : a = √(c² − b²). Par exemple, avec une hypoténuse de 13 et un côté de l'angle droit de 5, le second côté de l'angle droit mesure √(169 − 25) = √144 = 12.
En quelle classe étudie-t-on le théorème de Pythagore ?
En 8e année, dans les cours de géométrie, dans le chapitre « Triangle rectangle ». On y étudie aussi le théorème réciproque de Pythagore et les triplets pythagoriciens, et le théorème est ensuite utilisé en 9e année ainsi que dans les exercices des examens OGE et EGE.
Qu'est-ce que le théorème réciproque de Pythagore ?
C'est une affirmation dans l'autre sens : si le carré d'un côté d'un triangle est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors le triangle est rectangle. Il permet de déterminer la nature d'un triangle à partir de trois nombres, sans mesurer les angles.
Quel triangle est appelé égyptien ?
Un triangle dont les côtés mesurent 3, 4 et 5 : 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5². Dans l'Égypte ancienne, à l'aide d'une corde divisée en 12 parties égales, on obtenait un angle droit précis pour la construction.
Le théorème de Pythagore fonctionne-t-il dans un triangle non rectangle ?
Non. L'égalité a² + b² = c² n'est vérifiée que pour un angle droit. Pour un triangle quelconque, on utilise le théorème des cosinus c² = a² + b² − 2ab·cos C, qui, pour un angle de 90°, se transforme exactement en théorème de Pythagore.
Comment démontrer simplement le théorème de Pythagore ?
La démonstration scolaire la plus visuelle est celle par les aires. On prend deux carrés identiques de côté a + b et on place dans chacun quatre triangles rectangles égaux de côtés a et b. Dans le premier, les carrés a² et b² restent libres, dans le second – le carré c². Puisque les grands carrés et les triangles sont identiques, alors a² + b² = c².
