Une inégalité rationnelle est une inégalité de la forme \(\frac{P(x)}{Q(x)} > 0\), où \(P(x)\) et \(Q(x)\) sont des polynômes, et le signe \(>\) peut être remplacé par \(<\), \(\ge\) ou \(\le\). On résout de telles inégalités par la méthode des intervalles : on transpose tout dans le membre de gauche, on factorise, on place sur l'axe numérique les racines du numérateur et les racines du dénominateur, et on détermine les signes. Ci-dessous : définition, algorithme complet, règle des points exclus, multiplicité des racines, exemples résolus et un simulateur avec vérification.
Qu'est-ce qu'une inégalité rationnelle
Une inégalité rationnelle est une inégalité dont les deux membres sont des expressions rationnelles, c'est-à-dire des polynômes et des fractions de polynômes. Après avoir tout transposé dans un seul membre, elle se ramène toujours à la forme
où \(P(x)\) et \(Q(x)\) sont des polynômes, et \(\vee\) représente l'un des signes \(<\), \(>\), \(\le\), \(\ge\). Le membre de droite doit impérativement être zéro — c'est une condition sans laquelle la méthode des intervalles ne fonctionne pas.
Les inégalités rationnelles se divisent en deux types. Si la variable n'apparaît que dans le numérateur, l'inégalité est dite rationnelle entière : il n'y a rien à diviser, et toutes les valeurs de \(x\) conviennent. Si la variable est présente dans le dénominateur, l'inégalité est rationnelle fractionnaire (on l'appelle aussi inégalité fractionnaire ou inégalité avec une fraction) — et alors une restriction \(Q(x) \neq 0\) apparaît immédiatement.
Pourquoi on ne peut pas multiplier les deux membres par le dénominateur
La tentation la plus forte en résolvant une inégalité avec une fraction est de « se débarrasser du dénominateur » en multipliant les deux membres par celui-ci. Avec les équations, on peut faire cela, mais pas avec les inégalités. La raison est simple : en multipliant par un nombre négatif, le signe de l'inégalité s'inverse, et le signe de l'expression \(Q(x)\) est inconnu à l'avance — il dépend de \(x\).
Regardons l'inégalité \(\frac{5}{x-3} < 1\). Multiplions les deux membres par \(x - 3\), comme si c'était un nombre positif : on obtient \(5 < x - 3\), c'est-à-dire \(x > 8\). Vérifions la réponse en substituant \(x = 0\) : \(\frac{5}{0-3} = -\frac{5}{3} < 1\) — l'inégalité est vraie, donc zéro est aussi une solution, mais il n'est pas inclus dans la réponse \(x > 8\). La réponse est perdue.
La bonne approche est de tout transposer à gauche et de réduire à une seule fraction :
Dans la dernière étape, nous avons multiplié les deux membres par \(-1\) et inversé le signe — c'est légal car \(-1\) est toujours négatif. Ensuite, la méthode des intervalles fonctionne, et la réponse est \(x \in (-\infty; 3) \cup (8; +\infty)\) — elle inclut le zéro perdu.
Pour retenir plus facilement : on ne peut pas multiplier les deux membres par une expression avec une variable, mais on peut toujours transposer des termes. Transposer ne change pas le signe de l'inégalité.
Méthode des intervalles : algorithme de résolution étape par étape
La méthode des intervalles repose sur une propriété : entre deux racines consécutives d'une expression rationnelle, son signe est constant. Il suffit donc de trouver tous les points où le numérateur ou le dénominateur s'annule, de diviser l'axe numérique par ces points, et de déterminer le signe sur chaque segment — à l'aide d'un point test ou par la multiplicité des racines.
Points exclus et points pleins : domaine de définition et signe de l'inégalité
Une erreur dans un seul facteur peut transformer une solution correcte en une réponse fausse, il est donc utile d'apprendre la règle des points séparément. Seules deux considérations s'appliquent.
La première est le domaine de définition. La racine du dénominateur est toujours exclue, quel que soit le signe de l'inégalité. À ce point, la fraction n'existe tout simplement pas : on ne peut pas diviser par zéro, donc le nombre ne peut pas être une solution, même si le signe est non strict.
La seconde est le signe strict ou non strict. Les racines du numérateur annulent la fraction. Avec un signe non strict (\(\le\) ou \(\ge\)), l'égalité à zéro nous convient, donc le point est plein et inclus dans la réponse avec une parenthèse carrée. Avec un signe strict (\(<\) ou \(>\)), zéro ne convient pas, et le point est exclu.
Par exemple, pour l'inégalité \(\frac{x-6}{x+1} \le 0\), le point \(x = 6\) est plein (racine du numérateur, signe non strict), et le point \(x = -1\) est exclu (racine du dénominateur). Réponse : \(x \in (-1; 6]\).
| Quel type de point | Comment le marquer |
|---|---|
| Racine du dénominateur, Q(x) = 0 | exclu toujours, quel que soit le signe — le point n'est pas dans le DD |
| Racine du numérateur, signe strict < ou > | exclu la fraction est égale à zéro, mais un signe différent est requis |
| Racine du numérateur, signe non strict ≤ ou ≥ | plein l'égalité à zéro convient, le point est inclus dans la réponse |
Multiplicité des racines : où le signe change et où il ne change pas
Les signes sur les intervalles ne sont pas obligés de s'alterner simplement — c'est l'idée fausse la plus fréquente dans ce sujet. L'alternance ne fonctionne que lorsque tous les facteurs sont à la première puissance. La règle est plus précise et s'exprime par la multiplicité de la racine — l'exposant du facteur correspondant.
Lors du passage d'une racine de multiplicité impaire (puissance 1, 3, 5), le signe de l'expression change. Lors du passage d'une racine de multiplicité paire (puissance 2, 4), le signe ne change pas : le facteur à la puissance paire est non négatif et n'altère pas le signe de l'expression. La multiplicité se compte de la même manière pour le numérateur et le dénominateur.
Prenons \((x-9)^2(x+3) > 0\). Racines : \(x = 9\) de multiplicité 2 et \(x = -3\) de multiplicité 1. À droite de neuf, l'expression est positive. On passe par 9 — multiplicité paire, le signe reste le même, sur l'intervalle \((-3; 9)\) c'est aussi un plus. On passe par \(-3\) — multiplicité impaire, le signe change en moins. La réponse pour l'inégalité stricte est : \(x \in (-3; 9) \cup (9; +\infty)\), le point 9 est exclu car l'expression y est nulle. Pour l'inégalité non stricte \((x-9)^2(x+3) \ge 0\), la réponse est différente : \(x \in [-3; +\infty)\) — neuf est plein et « colle » deux intervalles en un seul.
| Multiplicité de la racine | Signe lors du passage |
|---|---|
| Impaire : (x − a), (x − a)3 | change |
| Paire : (x − a)2, (x − a)4 | ne change pas |
Axe numérique sur un exemple : détermination des signes
Réunissons tout dans l'inégalité \(\frac{x+7}{(x-2)(x-5)} < 0\). Racines du numérateur : \(x = -7\). Racines du dénominateur : \(x = 2\) et \(x = 5\), qui définissent aussi le DD. Les trois facteurs sont à la première puissance, donc les signes s'alternent. Point test \(x = 10\) dans l'intervalle le plus à droite donne \(\frac{17}{8 \cdot 5} > 0\) — on commence par un plus et on va vers la gauche, en changeant le signe à chaque point.
Exemples de résolution d'inégalités rationnelles
Exemple 1. Inégalité fractionnaire simple
Résoudre \(\frac{x-3}{x+5} \ge 0\).
Étape 1. Le zéro est déjà à droite, la fraction est déjà unique — rien à transposer ou à réduire.
Étape 2. DD. \(x + 5 \neq 0\), c'est-à-dire \(x \neq -5\).
Étape 3. Racines. Le numérateur s'annule pour \(x = 3\), le dénominateur pour \(x = -5\).
Étape 4. Points sur l'axe. \(x = 3\) est plein (racine du numérateur, signe non strict), \(x = -5\) est exclu (racine du dénominateur).
Étape 5. Signes. Point test \(x = 4\) : \(\frac{1}{9} > 0\) — plus à droite. Les deux facteurs sont à la première puissance, donc les signes alternent : moins sur \((-5; 3)\), plus sur \((-\infty; -5)\). Vérifions : pour \(x = -6\), on obtient \(\frac{-9}{-1} = 9 > 0\) — ça correspond.
Étape 6. Réponse. On veut le signe « plus ou zéro » : \(x \in (-\infty; -5) \cup [3; +\infty)\).
Exemple 2. Le zéro n'est pas à droite — on transpose
Résoudre \(\frac{2x+1}{x-4} \le 1\).
Étape 1. Transposons un à gauche. On ne peut pas multiplier par \(x - 4\), le signe de cette expression est inconnu :
Étape 2. Réduisons à une seule fraction.
Étape 3. DD. \(x \neq 4\).
Étape 4. Points. \(x = -5\) — racine du numérateur, signe non strict, plein. \(x = 4\) — racine du dénominateur, exclu.
Étape 5. Signes. Pour \(x = 5\), la fraction vaut \(\frac{10}{1} > 0\). Donc plus sur \((4; +\infty)\), moins sur \((-5; 4)\), plus sur \((-\infty; -5)\).
Étape 6. Réponse. \(x \in [-5; 4)\). Vérification des points limites : pour \(x = -5\), la fraction vaut zéro — convient pour \(\le\); pour \(x = 4\), la fraction n'existe pas — ne convient pas.
Exemple 3. Racine de multiplicité paire et point isolé
Résoudre \(\frac{(x-2)^2(x+6)}{x-9} \ge 0\).
Étape 1. DD. \(x \neq 9\).
Étape 2. Racines et multiplicités. \(x = 2\) — multiplicité 2 (paire), \(x = -6\) — multiplicité 1, \(x = 9\) — multiplicité 1 au dénominateur.
Étape 3. Points. \(x = 2\) et \(x = -6\) sont pleins (racines du numérateur avec signe non strict), \(x = 9\) est exclu.
Étape 4. Signes. Point test \(x = 10\) : numérateur positif, dénominateur vaut 1 — plus. Allons vers la gauche. Par 9 (multiplicité impaire), le signe change : moins sur \((2; 9)\). Par 2 (multiplicité paire), le signe ne change pas : moins aussi sur \((-6; 2)\). Par \(-6\) (multiplicité impaire), le signe change : plus sur \((-\infty; -6)\).
Étape 5. Réponse. On prend les intervalles avec le signe « plus » plus tous les points où l'expression est nulle. Le point \(x = 2\) se trouve à l'intérieur d'un intervalle négatif, mais l'expression y est nulle, donc il est inclus dans la réponse séparément :
Un tel point « solitaire » dans la réponse est un signe certain de racine de multiplicité paire avec un signe non strict.
Exemple 4. Simplification de fraction : piège du DD
Résoudre \(\frac{25x^2-10x+1}{5x^2+9x-2} \le 0\).
Étape 1. Factorisons. Le numérateur est un carré parfait : \(25x^2-10x+1 = (5x-1)^2\). Pour le dénominateur, calculons le discriminant : \(D = 81 + 40 = 121\), racines \(x_1 = \frac{1}{5}\) et \(x_2 = -2\), donc \(5x^2+9x-2 = (5x-1)(x+2)\).
Étape 2. DD — avant toute simplification. \(5x - 1 \neq 0\) et \(x + 2 \neq 0\), c'est-à-dire \(x \neq \frac{1}{5}\) et \(x \neq -2\).
Étape 3. Simplifions. \(\frac{(5x-1)^2}{(5x-1)(x+2)} = \frac{5x-1}{x+2}\), mais seulement si \(x \neq \frac{1}{5}\) — la simplification ne redonne pas le point exclu.
Étape 4. Résolvons \(\frac{5x-1}{x+2} \le 0\). Racines : \(\frac{1}{5}\) et \(-2\). Pour \(x = 1\), la fraction vaut \(\frac{4}{3} > 0\). Donc plus sur \((\frac{1}{5}; +\infty)\), moins sur \((-2; \frac{1}{5})\), plus sur \((-\infty; -2)\).
Étape 5. Revenons au DD. L'intervalle \((-2; \frac{1}{5}]\) conviendrait par le signe, mais le point \(\frac{1}{5}\) est exclu : dans l'inégalité d'origine, le dénominateur \(5x^2+9x-2\) s'annule pour \(x = \frac{1}{5}\), la fraction n'existe pas à ce point.
Réponse : \(x \in \left(-2; \frac{1}{5}\right)\) — les deux parenthèses sont rondes.
Exemple 5. Trinôme carré au numérateur
Résoudre \(\frac{x^2-7x+10}{x+4} < 0\).
Étape 1. Factorisons le numérateur. Par le théorème de Viète, la somme des racines est 7, le produit 10, donc \(x^2-7x+10 = (x-2)(x-5)\). L'inégalité devient \(\frac{(x-2)(x-5)}{x+4} < 0\).
Étape 2. DD. \(x \neq -4\).
Étape 3. Points. Les trois points sont exclus : \(-4\) — racine du dénominateur, \(2\) et \(5\) — racines du numérateur avec signe strict.
Étape 4. Signes. Point test \(x = 6\) : \(\frac{4 \cdot 1}{10} > 0\). Tous les facteurs sont à la première puissance, donc les signes alternent : plus sur \((5; +\infty)\), moins sur \((2; 5)\), plus sur \((-4; 2)\), moins sur \((-\infty; -4)\).
Étape 5. Réponse. On veut le signe « moins » strict : \(x \in (-\infty; -4) \cup (2; 5)\). Contrôle par substitution : pour \(x = -5\), on obtient \(\frac{70}{-1} < 0\), pour \(x = 3\), on obtient \(\frac{-2}{7} < 0\) — les deux intervalles conviennent.
Erreurs fréquentes lors de la résolution d'inégalités rationnelles
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Multiplier les deux membres par le dénominateur : de $\frac{3}{x-8} > 1$, on obtient $3 > x - 8$ et on écrit $x < 11$.
Le signe de l'expression \(x - 8\) est inconnu à l'avance, et lors de la multiplication par un nombre négatif, le signe de l'inégalité s'inverse. Vérification : \(x = 0\) donne \(\frac{3}{-8} < 1\) — zéro n'est pas une solution, bien qu'il soit inclus dans la réponse \(x < 11\). Correct : \(\frac{3-(x-8)}{x-8} > 0\), c'est-à-dire \(\frac{11-x}{x-8} > 0\), d'où \(x \in (8; 11)\).
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Remplir la racine du dénominateur parce que le signe est non strict : pour $\frac{x-1}{x-7} \ge 0$, on écrit la réponse avec une parenthèse carrée à sept.
La racine du dénominateur est toujours exclue, quel que soit le signe : à ce point, la fraction n'existe tout simplement pas. Réponse correcte : \(x \in (-\infty; 1] \cup (7; +\infty)\) — un a une parenthèse carrée, sept a une parenthèse ronde.
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Simplifier la fraction et perdre le DD : de $\frac{(x+3)^2}{(x+3)(x-5)} \le 0$, on obtient $\frac{x+3}{x-5} \le 0$ et on inclut le point $x = -3$ dans la réponse.
Le DD est écrit avant toute simplification, d'après le dénominateur d'origine : \(x \neq -3\) et \(x \neq 5\). La fraction simplifiée \(\frac{x+3}{x-5}\) est non positive sur \([-3; 5)\) — pour \(x = 0\), elle vaut \(-0{,}6\), ce qui correspond au signe \(\le\). Mais le point \(-3\) est exclu par le DD, donc la réponse est \((-3; 5)\), et non \([-3; 5)\).
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Penser que les signes sur les intervalles alternent toujours, et pour $\frac{(x-1)^2}{x+4} > 0$, mettre un moins à droite de un.
L'alternance est correcte uniquement avec des facteurs à la première puissance. La racine \(x = 1\) a une multiplicité 2, donc le signe ne change pas en passant par elle. L'expression est positive sur tout \((-4; +\infty)\), sauf en un, où elle est nulle. Réponse : \(x \in (-4; 1) \cup (1; +\infty)\).
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Changer le signe de l'inégalité lors du transposition d'un terme : de $\frac{x}{x-2} \le 3$, on obtient $\frac{x}{x-2} - 3 \ge 0$.
Transposer un terme d'une partie à l'autre ne change pas le signe de l'inégalité — seul le signe du terme lui-même change. Le signe s'inverse uniquement lors de la multiplication ou division des deux membres par un nombre négatif. Correct : \(\frac{x}{x-2} - 3 \le 0\), puis \(\frac{x-3(x-2)}{x-2} \le 0\), c'est-à-dire \(\frac{6-2x}{x-2} \le 0\).
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Placer sur l'axe uniquement les racines du numérateur, et vérifier le dénominateur « plus tard » : pour $\frac{x+11}{x^2-16} > 0$, on place un seul point $-11$.
Sur l'axe, on place toutes les racines immédiatement — celles du numérateur et celles du dénominateur, sinon les intervalles seront incorrects. Ici \(x^2-16 = (x-4)(x+4)\), donc il y a trois points : \(-11\), \(-4\) et \(4\), et non un seul. Tous sont exclus (signe strict), réponse : \(x \in (-11; -4) \cup (4; +\infty)\).
Questions et réponses
Qu'est-ce qu'une inégalité rationnelle ?
C'est une inégalité dont les deux membres sont des expressions rationnelles (polynômes et fractions de polynômes). Après avoir tout transposé dans le membre de gauche, elle se ramène à la forme \(\frac{P(x)}{Q(x)} > 0\), où \(P(x)\) et \(Q(x)\) sont des polynômes, et le signe \(>\) peut être remplacé par \(<\), \(\le\) ou \(\ge\).
Comment résoudre des inégalités rationnelles ?
Par la méthode des intervalles en six étapes : transposer tout dans le membre de gauche pour que le zéro reste à droite ; réduire à une seule fraction et factoriser le numérateur et le dénominateur ; écrire le DD (\(Q(x) \neq 0\)) ; placer sur l'axe numérique les racines du numérateur et du dénominateur ; déterminer les signes sur les intervalles à l'aide d'un point test et de la multiplicité des racines ; écrire la réponse sous forme d'intervalles avec le signe requis.
Quelle est la différence entre une inégalité fractionnaire-rationnelle et une inégalité rationnelle entière ?
Dans une inégalité rationnelle entière, la variable apparaît uniquement au numérateur, par exemple \((x-1)(x+4) > 0\), et le DD est l'ensemble des nombres réels. Dans une inégalité fractionnaire-rationnelle, la variable apparaît au dénominateur, par exemple \(\frac{x-1}{x+4} > 0\), et une restriction \(x \neq -4\) apparaît. L'algorithme est le même — seuls les points exclus changent.
Comment résoudre des inégalités avec une fraction ?
Comme toute inégalité rationnelle : d'abord, transposer tout dans le membre de gauche et réduire à une seule fraction, au lieu de se débarrasser du dénominateur. Par exemple, \(\frac{x}{x+2} \ge 1\) devient \(\frac{x-(x+2)}{x+2} \ge 0\), c'est-à-dire \(\frac{-2}{x+2} \ge 0\). Le numérateur est constant et négatif, donc la fraction est non négative uniquement si le dénominateur est négatif : \(x + 2 < 0\). Réponse : \(x \in (-\infty; -2)\).
Pourquoi ne peut-on pas multiplier les deux membres d'une inégalité par le dénominateur ?
Parce que le signe du dénominateur dépend de \(x\) : lors de la multiplication par une expression positive, le signe de l'inégalité est conservé, et lors de la multiplication par une expression négative, il est inversé. On ne sait pas à l'avance quel cas se présente, donc une partie des solutions est perdue et une partie est ajoutée de manière erronée. On peut toujours transposer des termes — cela ne change pas le signe de l'inégalité.
Comment trouver le DD dans une inégalité ?
Pour une inégalité rationnelle, le DD est l'ensemble de toutes les valeurs de \(x\) pour lesquelles le dénominateur ne s'annule pas. Égalisez le dénominateur à zéro, résolvez l'équation et excluez les nombres trouvés. Le DD doit être écrit d'après le dénominateur d'origine, avant toute simplification de la fraction — sinon les points exclus seront perdus.
Quels points sont exclus et lesquels sont pleins ?
Les racines du dénominateur sont toujours exclues, quel que soit le signe de l'inégalité. Les racines du numérateur sont pleines avec un signe non strict (\(\le\) ou \(\ge\)) et exclues avec un signe strict (\(<\) ou \(>\)). Dans la notation de la réponse, un point exclu correspond à une parenthèse ronde, un point plein à une parenthèse carrée.
Qu'est-ce que la multiplicité d'une racine et pourquoi est-elle nécessaire dans la méthode des intervalles ?
La multiplicité est la puissance à laquelle un facteur apparaît dans la décomposition. Lors du passage par une racine de multiplicité impaire, le signe de l'expression change ; lors du passage par une racine de multiplicité paire, il reste le même. C'est pourquoi les signes ne s'alternent pas toujours simplement : pour \((x-9)^2(x+3)\), le signe reste le même au point 9.
En quelle classe étudie-t-on les inégalités rationnelles ?
En 9ème année, dans les cours d'algèbre, après les inégalités quadratiques et la factorisation des polynômes. La méthode des intervalles est ensuite utilisée pour les inégalités exponentielles, logarithmiques et irrationnelles, ainsi que dans les exercices des examens OGE et du ЕГЭ de spécialité.
