Вписанные углы

Определение и основные свойства

Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность. Вписанный угол образуется двумя хордами, исходящими из одной точки на окружности.

Основная теорема о вписанном угле

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

$\angle A = \frac{1}{2} \cdot \text{дуга BC}$

Это фундаментальное свойство вписанных углов позволяет решать множество геометрических задач.

Следствия из основной теоремы

1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой.
   Если точки $A$ и $D$ лежат на окружности по одну сторону от хорды $BC$, то $\angle BAC = \angle BDC$.

2. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, равен $90°$ (прямой угол).
   Если дуга $BC$ равна $180°$, то $\angle BAC = 90°$.

3. Вписанный угол, опирающийся на всю окружность, равен $0°$.
   Если точки $B$ и $C$ совпадают, то $\angle BAC = 0°$.

Соотношение с центральным углом

Центральный угол — это угол с вершиной в центре окружности. Для одной и той же дуги:

Центральный угол в два раза больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу.

Если $\angle BOC$ — центральный угол, а $\angle BAC$ — вписанный угол, опирающийся на ту же дугу $BC$, то:

$\angle BOC = 2 \cdot \angle BAC$

Вписанный четырёхугольник

Четырёхугольник называется вписанным, если все его вершины лежат на окружности.

Свойства вписанного четырёхугольника

1. Сумма противоположных углов равна $180°$:
   $\angle A + \angle C = 180°$
   $\angle B + \angle D = 180°$

2. Внешний угол четырёхугольника равен внутреннему противолежащему углу.

Методика решения задач на вписанные углы

1. Определите, какие углы являются вписанными
   - Вершина угла должна лежать на окружности
   - Стороны угла должны пересекать окружность

2. Найдите дугу, на которую опирается вписанный угол
   - Дуга определяется точками пересечения сторон угла с окружностью

3. Примените основную теорему о вписанном угле
   - Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается

4. Используйте дополнительные свойства
   - Равенство вписанных углов, опирающихся на одну дугу
   - Свойства вписанного четырёхугольника
   - Соотношение с центральным углом

Типичные ошибки при решении задач

1. Путаница между вписанным и центральным углами
   - Вписанный угол имеет вершину на окружности
   - Центральный угол имеет вершину в центре окружности

2. Неверное определение дуги, на которую опирается угол
   - Всегда четко определяйте, какую именно дугу окружности вы рассматриваете

3. Игнорирование условия, что вершина должна лежать на окружности
   - Угол с вершиной внутри или вне окружности не является вписанным

Примеры решения задач

Пример 1: Найти вписанный угол, опирающийся на дугу в $120°$.

Решение:
Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.
$\angle A = \frac{1}{2} \cdot 120° = 60°$

Пример 2: В окружности с центром $O$ вписанный угол $\angle ABC = 40°$. Найти центральный угол $\angle AOC$, опирающийся на ту же дугу.

Решение:
Центральный угол в два раза больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу.
$\angle AOC = 2 \cdot \angle ABC = 2 \cdot 40° = 80°$

Пример 3: В окружность вписан четырёхугольник $ABCD$. Известно, что $\angle A = 70°$ и $\angle B = 80°$. Найти углы $C$ и $D$.

Решение:
В вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна $180°$.
$\angle C = 180° - \angle A = 180° - 70° = 110°$
$\angle D = 180° - \angle B = 180° - 80° = 100°$