Un cercle fait apparaître deux grands types d'angles : l'angle au centre — dont le sommet est au centre, et l'angle inscrit — dont le sommet est sur le cercle lui-même. Le lien entre les deux est simple : l'angle au centre est égal à l'arc qu'il intercepte, et l'angle inscrit vaut la moitié de cet arc. Sur cette page : les définitions, le théorème de l'angle inscrit avec tous ses corollaires, des schémas clairs, des exercices résolus étape par étape et un simulateur interactif pour te tester tout de suite.
Types d'angles dans un cercle : angle au centre et angle inscrit
Traçons dans un cercle deux segments issus d'un même point — on obtient un angle. Selon l'emplacement de son sommet, on distingue deux grands types d'angles dans un cercle :
- Angle au centre — un angle dont le sommet est au centre \(O\) du cercle. Ses côtés sont des rayons.
- Angle inscrit — un angle dont le sommet est sur le cercle et dont les côtés le coupent (ce sont donc des cordes).
Chacun de ces angles intercepte un arc — la partie du cercle située à l'intérieur de l'angle. C'est justement cet arc qui relie l'angle au centre et l'angle inscrit : leur mesure en degrés s'exprime tous deux à partir de lui.
Si le sommet d'un angle se trouve à l'intérieur du cercle (mais pas au centre) ou à l'extérieur, ce n'est plus ni un angle inscrit ni un angle au centre : ces angles ont leurs propres formules, présentées en fin de page.
∠AOC = arc AC = 120°
∠ABC = ½ arc AC = 60°
Théorème de l'angle inscrit et mesure de l'angle inscrit
L'angle au centre est égal à l'arc qu'il intercepte — c'est ainsi que se définit la mesure en degrés d'un arc. Si \(\angle AOC = 120°\), alors l'arc \(AC\) vaut aussi \(120°\).
Théorème de l'angle inscrit : un angle inscrit se mesure par la moitié de l'arc qu'il intercepte :
D'où découle la relation clé entre angle inscrit et angle au centre : l'angle inscrit vaut la moitié de l'angle au centre qui intercepte le même arc :
La mesure de l'angle inscrit ne dépend pas de l'endroit précis où se trouve son sommet sur le cercle — seul l'arc qu'il intercepte compte. C'est pourquoi le schéma ci-dessous mérite d'être retenu comme « image de référence » de tout ce chapitre : un arc vert et deux angles qui pointent vers lui.
Angle inscrit et angle au centre : propriétés et corollaires
Du théorème de l'angle inscrit découlent directement des propriétés sur lesquelles reposent la plupart des exercices scolaires :
- Les angles inscrits qui interceptent le même arc sont égaux. Chacun d'eux vaut la moitié du même arc — ils sont donc égaux entre eux, quel que soit l'emplacement de leur sommet.
- Un angle inscrit qui intercepte un diamètre est un angle droit. Le diamètre partage le cercle en deux demi-cercles de \(180°\) chacun, donc un tel angle vaut \(180° : 2 = 90°\). La réciproque est vraie aussi : si un angle inscrit est droit, alors il intercepte un diamètre.
- Un angle inscrit peut être obtus. Si l'arc dépasse \(180°\), l'angle dépasse \(90°\) — la formule « moitié de l'arc » fonctionne sans exception.
Ces propriétés fonctionnent aussi « à l'envers » : par exemple, l'égalité d'angles interceptant le même segment permet de démontrer que quatre points sont situés sur un même cercle.
Angle inscrit et angle circonscrit : un quadrilatère dans un cercle
Si les quatre sommets d'un quadrilatère sont sur un même cercle, on l'appelle quadrilatère inscriptible (et le cercle est dit circonscrit à ce quadrilatère). Les angles d'un tel quadrilatère sont des angles inscrits, donc le même théorème s'applique.
- La somme des angles opposés d'un quadrilatère inscriptible vaut \(180°\). Les angles \(A\) et \(C\) interceptent deux arcs qui, ensemble, forment le cercle entier (\(360°\)), donc \(\angle A + \angle C = 360° : 2 = 180°\).
- L'angle extérieur d'un quadrilatère inscriptible est égal à l'angle intérieur au sommet opposé. L'angle extérieur est supplémentaire à son propre angle intérieur, tout comme l'angle opposé.
- La propriété de la somme des angles fonctionne aussi comme critère : si, dans un quadrilatère, les sommes des angles opposés valent chacune \(180°\), on peut lui circonscrire un cercle. C'est pourquoi tout rectangle est inscriptible dans un cercle, alors qu'un losange (hors le carré) ne l'est pas.
Aux côtés des angles inscrits, les exercices font aussi intervenir des angles circonscrits — des angles formés par deux tangentes menées d'un même point extérieur au cercle. Un angle circonscrit vaut la demi-différence des arcs qu'il découpe sur le cercle.
Exercices résolus sur l'angle inscrit et l'angle au centre
Exemple 1. Angle inscrit à partir d'un arc
Énoncé. L'angle inscrit \(ABC\) intercepte l'arc \(AC\), égal à \(120°\). Trouve \(\angle ABC\).
Étape 1. Rappelons le théorème : un angle inscrit vaut la moitié de l'arc qu'il intercepte.
Étape 2. On substitue : \(\angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 120° = 60°\).
Réponse : \(60°\).
Exemple 2. Angle au centre à partir d'un angle inscrit
Énoncé. L'angle inscrit \(ABC\) vaut \(40°\). Trouve l'angle au centre \(AOC\), qui intercepte le même arc \(AC\).
Étape 1. L'angle au centre vaut le double de l'angle inscrit qui intercepte le même arc : \(\angle AOC = 2 \cdot \angle ABC\).
Étape 2. On calcule : \(\angle AOC = 2 \cdot 40° = 80°\). On en déduit au passage l'arc : \(AC = 80°\).
Réponse : \(80°\).
Exemple 3. Angle qui intercepte un diamètre
Énoncé. \(AC\) est un diamètre du cercle, le point \(B\) est sur le cercle, \(\angle BAC = 35°\). Trouve \(\angle BCA\).
Étape 1. L'angle \(ABC\) intercepte le diamètre \(AC\), donc \(\angle ABC = 90°\) — le triangle \(ABC\) est rectangle.
Étape 2. La somme des angles d'un triangle vaut \(180°\) : \(\angle BCA = 180° - 90° - 35° = 55°\).
Réponse : \(55°\).
Exemple 4. Quadrilatère inscriptible
Énoncé. Le quadrilatère \(ABCD\) est inscrit dans un cercle, \(\angle A = 70°\), \(\angle B = 80°\). Trouve les angles \(C\) et \(D\).
Étape 1. Les sommes des angles opposés d'un quadrilatère inscriptible valent \(180°\) : \(\angle C = 180° - \angle A = 180° - 70° = 110°\).
Étape 2. De même \(\angle D = 180° - \angle B = 180° - 80° = 100°\).
Vérification. \(70° + 80° + 110° + 100° = 360°\) — la somme des angles du quadrilatère est correcte.
Réponse : \(\angle C = 110°\), \(\angle D = 100°\).
Erreurs fréquentes sur les angles dans un cercle
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Confondre l'angle inscrit et l'angle au centre : prendre la moitié de l'arc pour l'angle dont le sommet est au centre (ou inversement).
Regarde d'abord le sommet. Sommet au centre \(O\) — angle au centre, égal à l'arc entier. Sommet sur le cercle — angle inscrit, égal à la moitié de l'arc.
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Prendre le mauvais arc : pour un angle inscrit, utiliser l'arc sur lequel se trouve son sommet.
Un angle inscrit intercepte l'arc situé « à l'intérieur » de l'angle — le sommet est toujours sur l'autre arc. Dans la notation \(\angle ABC\), l'angle intercepte l'arc \(AC\) qui ne contient pas le point \(B\).
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Multiplier et diviser par 2 dans le mauvais sens : diviser au lieu de multiplier en passant de l'angle inscrit à l'angle au centre.
Retiens ceci : l'angle inscrit est « petit » (moitié de l'arc), l'angle au centre est « grand » (arc entier). De l'inscrit au centre — on multiplie par 2 ; du centre à l'inscrit — on divise par 2.
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Considérer comme inscrit tout angle dont les côtés coupent le cercle — par exemple un angle entre deux cordes qui se coupent à l'intérieur du cercle.
Le sommet d'un angle inscrit doit obligatoirement être sur le cercle lui-même. Un angle dont le sommet est à l'intérieur du cercle vaut la demi-somme des arcs interceptés ; à l'extérieur du cercle, la demi-différence : ce sont d'autres formules.
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Dans un quadrilatère inscriptible, égaler à $180°$ la somme d'angles adjacents au lieu d'angles opposés.
La propriété ne s'applique qu'aux sommets opposés : \(\angle A + \angle C = 180°\) et \(\angle B + \angle D = 180°\). Les angles adjacents d'un quadrilatère inscriptible peuvent être quelconques.
Questions et réponses
Combien vaut un angle inscrit ?
Un angle inscrit vaut la moitié de l'arc qu'il intercepte. Par exemple, si l'arc vaut 120°, l'angle inscrit vaut 60°. C'est le théorème de l'angle inscrit — la formule principale du chapitre.
Quel est le lien entre un angle inscrit et un angle au centre qui interceptent le même arc ?
L'angle au centre vaut le double de l'angle inscrit : ∠AOC = 2·∠ABC. L'angle au centre est égal à l'arc lui-même, tandis que l'angle inscrit en vaut la moitié.
Pourquoi un angle inscrit qui intercepte un diamètre vaut-il 90° ?
Un diamètre intercepte un demi-cercle — un arc de 180°. L'angle inscrit en vaut la moitié : 180° : 2 = 90°. C'est pourquoi tout triangle dont un côté est un diamètre du cercle circonscrit est un triangle rectangle.
Un angle inscrit peut-il être obtus ?
Oui. Si l'arc intercepté par l'angle dépasse 180°, l'angle est obtus : par exemple, un arc de 210° correspond à un angle inscrit de 105°. Un angle inscrit reste toutefois toujours inférieur à 180°.
Qu'est-ce qu'un angle circonscrit et en quoi diffère-t-il d'un angle inscrit ?
Un angle circonscrit est formé par deux tangentes menées à un cercle depuis un même point extérieur. Son sommet est à l'extérieur du cercle, et il vaut la demi-différence des arcs découpés. Le sommet d'un angle inscrit, lui, est sur le cercle, et il vaut la moitié d'un seul arc.
Quels autres types d'angles existe-t-il dans un cercle ?
Outre l'angle au centre et l'angle inscrit, on trouve l'angle entre deux cordes (sommet à l'intérieur du cercle — demi-somme des arcs), l'angle entre deux sécantes issues d'un point extérieur (demi-différence des arcs) et l'angle entre une tangente et une corde (moitié de l'arc intercepté). Tous s'expriment à partir des arcs du cercle.
