Bonjour ! Je suis Homiwork, votre assistant IA. Je vais vous aider à résoudre ces exercices étape par étape.

Exercice 1

Calculons les limites suivantes :

1. $\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x^2 + 18} - 3}{x - 3}$

Pour résoudre cette limite, nous pouvons multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du numérateur :

$\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x^2 + 18} - 3}{x - 3} \cdot \frac{\sqrt{x^2 + 18} + 3}{\sqrt{x^2 + 18} + 3} = \lim_{x \to 3} \frac{(x^2 + 18) - 9}{(x - 3)(\sqrt{x^2 + 18} + 3)} = \lim_{x \to 3} \frac{x^2 + 9}{(x - 3)(\sqrt{x^2 + 18} + 3)}$

$\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{(x - 3)(\sqrt{x^2 + 18} + 3)} = \lim_{x \to 3} \frac{(x - 3)(x + 3)}{(x - 3)(\sqrt{x^2 + 18} + 3)} = \lim_{x \to 3} \frac{x + 3}{\sqrt{x^2 + 18} + 3}$

En substituant $x = 3$, on obtient :

$\frac{3 + 3}{\sqrt{3^2 + 18} + 3} = \frac{6}{\sqrt{27} + 3} = \frac{6}{3\sqrt{3} + 3} = \frac{2}{\sqrt{3} + 1} = \frac{2(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} = \frac{2(\sqrt{3} - 1)}{3 - 1} = \sqrt{3} - 1$

Donc, $\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x^2 + 18} - 3}{x - 3} = \sqrt{3} - 1$

2. $\lim_{x \to 3} \frac{(x - 2)^{2025} - 1}{x - 3}$

Posons $u = x - 2$, alors $x = u + 2$. Lorsque $x \to 3$, $u \to 1$. Donc,

$\lim_{x \to 3} \frac{(x - 2)^{2025} - 1}{x - 3} = \lim_{u \to 1} \frac{u^{2025} - 1}{u - 1}$

On reconnaît la dérivée de $f(u) = u^{2025}$ évaluée en $u = 1$. Donc,

$f'(u) = 2025u^{2024}$, et $f'(1) = 2025(1)^{2024} = 2025$

Donc, $\lim_{x \to 3} \frac{(x - 2)^{2025} - 1}{x - 3} = 2025$

3. $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{\sin x}$

On peut utiliser la règle de L'Hôpital :

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\sin 0}{\cos 0} = \frac{0}{1} = 0$

Donc, $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{\sin x} = 0$

Réponses:
* $\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x^2 + 18} - 3}{x - 3} = \sqrt{3} - 1$
* $\lim_{x \to 3} \frac{(x - 2)^{2025} - 1}{x - 3} = 2025$
* $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{\sin x} = 0$

Exercice 2

Soit $h$ une fonction numérique définie sur $\mathbb{R}$ par : $h(x) = 2x^3 - x^2 - 4x + 6$

1. Montrer que l'équation $h(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha \in ]-\infty; -1[$ et que $-2 < \alpha < -1$.

Pour montrer cela, nous allons utiliser le théorème des valeurs intermédiaires (TVI).

• $h(x)$ est une fonction polynomiale, donc elle est continue sur $\mathbb{R}$, en particulier sur l'intervalle $]-\infty; -1[$.

Calculons $h(-2)$ et $h(-1)$:

$h(-2) = 2(-2)^3 - (-2)^2 - 4(-2) + 6 = 2(-8) - 4 + 8 + 6 = -16 - 4 + 8 + 6 = -6$

$h(-1) = 2(-1)^3 - (-1)^2 - 4(-1) + 6 = -2 - 1 + 4 + 6 = 7$

Puisque $h(-2) = -6 < 0$ et $h(-1) = 7 > 0$, et que $h$ est continue sur $[-2, -1]$, d'après le TVI, il existe au moins une solution $\alpha \in ]-2; -1[$ telle que $h(\alpha) = 0$.

Pour montrer l'unicité, nous allons étudier la dérivée de $h(x)$:

$h'(x) = 6x^2 - 2x - 4$

Calculons le discriminant de $h'(x)$:

$\Delta = (-2)^2 - 4(6)(-4) = 4 + 96 = 100$

Les racines de $h'(x)$ sont :

$x_1 = \frac{2 - \sqrt{100}}{12} = \frac{2 - 10}{12} = \frac{-8}{12} = -\frac{2}{3}$

$x_2 = \frac{2 + \sqrt{100}}{12} = \frac{2 + 10}{12} = \frac{12}{12} = 1$

Donc, $h'(x) = 6(x + \frac{2}{3})(x - 1)$.

Sur l'intervalle $]-\infty; -1[$, $h'(x) > 0$, ce qui signifie que $h(x)$ est strictement croissante sur cet intervalle. Par conséquent, il existe une unique solution $\alpha \in ]-\infty; -1[$ telle que $h(\alpha) = 0$. De plus, comme $-2 < -1$, on a $-2 < \alpha < -1$.

Réponse:
L'équation $h(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha \in ]-\infty; -1[$ et $-2 < \alpha < -1$.

Exercice 3

Soit $f$ une fonction numérique définie sur $[1; +\infty[$ par : $f(x) = x^2 - 2\sqrt{x^2 - 1}$

1. Calculer $\lim_{x \to +\infty} f(x)$

$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} (x^2 - 2\sqrt{x^2 - 1})$

On peut réécrire l'expression comme :

$\lim_{x \to +\infty} x^2(1 - 2\frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x^2}) = \lim_{x \to +\infty} x^2(1 - 2\sqrt{\frac{x^2 - 1}{x^4}}) = \lim_{x \to +\infty} x^2(1 - 2\sqrt{\frac{1}{x^2} - \frac{1}{x^4}})$

Lorsque $x \to +\infty$, $\frac{1}{x^2} \to 0$ et $\frac{1}{x^4} \to 0$, donc $\sqrt{\frac{1}{x^2} - \frac{1}{x^4}} \to 0$.

Ainsi, $\lim_{x \to +\infty} x^2(1 - 2\sqrt{\frac{1}{x^2} - \frac{1}{x^4}}) = \lim_{x \to +\infty} x^2(1 - 0) = +\infty$

Donc, $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$

Réponse:
$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$

Assistant: Bien sûr ! Continuons avec les exercices restants.

Exercice 1 (suite)

4. $\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x + 5} - \sqrt{x - 1}}{\sqrt{x + 12} - \sqrt{x - 2}}$

Pour résoudre cette limite, nous allons multiplier le numérateur et le dénominateur par les conjugués respectifs :

$\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x + 5} - \sqrt{x - 1}}{\sqrt{x + 12} - \sqrt{x - 2}} \cdot \frac{\sqrt{x + 5} + \sqrt{x - 1}}{\sqrt{x + 5} + \sqrt{x - 1}} \cdot \frac{\sqrt{x + 12} + \sqrt{x - 2}}{\sqrt{x + 12} + \sqrt{x - 2}}$

$= \lim_{x \to 4} \frac{(x + 5) - (x - 1)}{(x + 12) - (x - 2)} \cdot \frac{\sqrt{x + 12} + \sqrt{x - 2}}{\sqrt{x + 5} + \sqrt{x - 1}}$

$= \lim_{x \to 4} \frac{6}{14} \cdot \frac{\sqrt{x + 12} + \sqrt{x - 2}}{\sqrt{x + 5} + \sqrt{x - 1}}$

$= \frac{3}{7} \cdot \frac{\sqrt{4 + 12} + \sqrt{4 - 2}}{\sqrt{4 + 5} + \sqrt{4 - 1}} = \frac{3}{7} \cdot \frac{\sqrt{16} + \sqrt{2}}{\sqrt{9} + \sqrt{3}} = \frac{3}{7} \cdot \frac{4 + \sqrt{2}}{3 + \sqrt{3}}$

$= \frac{3}{7} \cdot \frac{(4 + \sqrt{2})(3 - \sqrt{3})}{(3 + \sqrt{3})(3 - \sqrt{3})} = \frac{3}{7} \cdot \frac{12 - 4\sqrt{3} + 3\sqrt{2} - \sqrt{6}}{9 - 3} = \frac{3}{7} \cdot \frac{12 - 4\sqrt{3} + 3\sqrt{2} - \sqrt{6}}{6}$

$= \frac{12 - 4\sqrt{3} + 3\sqrt{2} - \sqrt{6}}{14}$

Donc, $\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x + 5} - \sqrt{x - 1}}{\sqrt{x + 12} - \sqrt{x - 2}} = \frac{12 - 4\sqrt{3} + 3\sqrt{2} - \sqrt{6}}{14}$

5. $\lim_{x \to 1} \frac{x^{2026} - 2026x + 2025}{(x - 1)^2}$

Soit $f(x) = x^{2026} - 2026x + 2025$. On remarque que $f(1) = 1 - 2026 + 2025 = 0$.
Calculons la dérivée de $f(x)$:
$f'(x) = 2026x^{2025} - 2026$. On remarque que $f'(1) = 2026 - 2026 = 0$.
Calculons la seconde dérivée de $f(x)$:
$f''(x) = 2026 \cdot 2025 x^{2024}$. On a $f''(1) = 2026 \cdot 2025$.

En utilisant la règle de L'Hôpital deux fois :

$\lim_{x \to 1} \frac{x^{2026} - 2026x + 2025}{(x - 1)^2} = \lim_{x \to 1} \frac{2026x^{2025} - 2026}{2(x - 1)} = \lim_{x \to 1} \frac{2026 \cdot 2025 x^{2024}}{2} = \frac{2026 \cdot 2025}{2} = 1013 \cdot 2025 = 2051525$

Donc, $\lim_{x \to 1} \frac{x^{2026} - 2026x + 2025}{(x - 1)^2} = 2051525$

6. $\lim_{x \to +\infty} x + \sqrt{x + \sqrt{x}} - \sqrt{x} - \sqrt{x}$

$\lim_{x \to +\infty} x + \sqrt{x + \sqrt{x}} - 2\sqrt{x} = \lim_{x \to +\infty} x + \sqrt{x}( \sqrt{1 + \frac{1}{\sqrt{x}}} - 2)$

On peut utiliser l'approximation $\sqrt{1 + u} \approx 1 + \frac{u}{2}$ pour $u$ proche de 0. Ici, $u = \frac{1}{\sqrt{x}}$.

$\lim_{x \to +\infty} x + \sqrt{x}(1 + \frac{1}{2\sqrt{x}} - 2) = \lim_{x \to +\infty} x + \sqrt{x}(-1 + \frac{1}{2\sqrt{x}}) = \lim_{x \to +\infty} x - \sqrt{x} + \frac{1}{2} = +\infty$

Donc, $\lim_{x \to +\infty} x + \sqrt{x + \sqrt{x}} - \sqrt{x} - \sqrt{x} = +\infty$

Réponses:

• $\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x + 5} - \sqrt{x - 1}}{\sqrt{x + 12} - \sqrt{x - 2}} = \frac{12 - 4\sqrt{3} + 3\sqrt{2} - \sqrt{6}}{14}$
• $\lim_{x \to 1} \frac{x^{2026} - 2026x + 2025}{(x - 1)^2} = 2051525$
• $\lim_{x \to +\infty} x + \sqrt{x + \sqrt{x}} - \sqrt{x} - \sqrt{x} = +\infty$

Exercice 1 (suite)

7. $\lim_{x \to +\infty} \sqrt[3]{x^3 + 3} - \sqrt[3]{x^3 - 7x}$

$\lim_{x \to +\infty} \sqrt[3]{x^3 + 3} - \sqrt[3]{x^3 - 7x} = \lim_{x \to +\infty} x(\sqrt[3]{1 + \frac{3}{x^3}} - \sqrt[3]{1 - \frac{7}{x^2}})$

Utilisons l'approximation $\sqrt[3]{1 + u} \approx 1 + \frac{u}{3}$ pour $u$ proche de 0.

$\lim_{x \to +\infty} x((1 + \frac{3}{3x^3}) - (1 - \frac{7}{3x^2})) = \lim_{x \to +\infty} x(\frac{1}{x^3} + \frac{7}{3x^2}) = \lim_{x \to +\infty} (\frac{1}{x^2} + \frac{7}{3x}) = 0$

Donc, $\lim_{x \to +\infty} \sqrt[3]{x^3 + 3} - \sqrt[3]{x^3 - 7x} = 0$

8. $\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^2 - 3} - \sqrt{2x^2 - 4x}$

$\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^2 - 3} - \sqrt{2x^2 - 4x} = \lim_{x \to +\infty} x(\sqrt{1 - \frac{3}{x^2}} - \sqrt{2 - \frac{4}{x}})$

Lorsque $x \to +\infty$, $\sqrt{1 - \frac{3}{x^2}} \to 1$ et $\sqrt{2 - \frac{4}{x}} \to \sqrt{2}$.

Donc, $\lim_{x \to +\infty} x(1 - \sqrt{2}) = -\infty$

Donc, $\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^2 - 3} - \sqrt{2x^2 - 4x} = -\infty$

Réponses:

• $\lim_{x \to +\infty} \sqrt[3]{x^3 + 3} - \sqrt[3]{x^3 - 7x} = 0$
• $\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^2 - 3} - \sqrt{2x^2 - 4x} = -\infty$

Exercice 2 (suite)

2. Donner le tableau des variations de la fonction $h$

Nous avons déjà calculé $h'(x) = 6x^2 - 2x - 4 = 6(x + \frac{2}{3})(x - 1)$. Les racines de $h'(x)$ sont $x_1 = -\frac{2}{3}$ et $x_2 = 1$.

Tableau des variations de $h(x)$:

Calculons $h(-\frac{2}{3})$:

$h(-\frac{2}{3}) = 2(-\frac{2}{3})^3 - (-\frac{2}{3})^2 - 4(-\frac{2}{3}) + 6 = 2(-\frac{8}{27}) - \frac{4}{9} + \frac{8}{3} + 6 = -\frac{16}{27} - \frac{12}{27} + \frac{72}{27} + \frac{162}{27} = \frac{206}{27}$

Calculons $h(1)$:

$h(1) = 2(1)^3 - (1)^2 - 4(1) + 6 = 2 - 1 - 4 + 6 = 3$

Tableau des variations complet:

3. En déduire le signe de $h$ sur $\mathbb{R}$

Nous savons que $h(x)$ a une unique racine $\alpha \in ]-2; -1[$. De plus, $h(x)$ est croissante sur $]-\infty; -\frac{2}{3}]$ et décroissante sur $[-\frac{2}{3}; 1]$.

• Pour $x < \alpha$, $h(x) < 0$
• Pour $x = \alpha$, $h(x) = 0$
• Pour $\alpha < x < 1$, $h(x) > 0$
• Pour $x > 1$, $h(x) > 0$

Donc, le signe de $h(x)$ est négatif sur $]-\infty; \alpha[$ et positif sur $]\alpha; +\infty[$.

Réponses:

• Tableau des variations de $h(x)$ (voir ci-dessus)
• Signe de $h(x)$: négatif sur $]-\infty; \alpha[$ et positif sur $]\alpha; +\infty[$

Exercice 3 (suite)

2. Montrer que $f$ est continue sur $[1; +\infty[$

$f(x) = x^2 - 2\sqrt{x^2 - 1}$

• $x^2$ est continue sur $\mathbb{R}$, donc continue sur $[1; +\infty[$.
• $x^2 - 1$ est continue sur $\mathbb{R}$, donc continue sur $[1; +\infty[$.
• $\sqrt{u}$ est continue pour $u \geq 0$. Comme $x^2 - 1 \geq 0$ pour $x \in [1; +\infty[$, $\sqrt{x^2 - 1}$ est continue sur $[1; +\infty[$.
• $2\sqrt{x^2 - 1}$ est continue sur $[1; +\infty[$.

Donc, $f(x) = x^2 - 2\sqrt{x^2 - 1}$ est continue sur $[1; +\infty[$ comme différence de fonctions continues.

4. a) Montrer que : $(\forall x > 1): f'(x) = \frac{2x}{\sqrt{x^2 - 1}}(\sqrt{x^2 - 1} - (x^2 - 2))$

$f(x) = x^2 - 2\sqrt{x^2 - 1}$

$f'(x) = 2x - 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x^2 - 1}} \cdot 2x = 2x - \frac{2x}{\sqrt{x^2 - 1}} = \frac{2x\sqrt{x^2 - 1} - 2x}{\sqrt{x^2 - 1}} = \frac{2x(\sqrt{x^2 - 1} - 1)}{\sqrt{x^2 - 1}}$

On veut montrer que $f'(x) = \frac{2x}{\sqrt{x^2 - 1}}(\sqrt{x^2 - 1} - (x^2 - 2))$.

$\frac{2x}{\sqrt{x^2 - 1}}(\sqrt{x^2 - 1} - (x^2 - 2)) = \frac{2x(\sqrt{x^2 - 1} - x^2 + 2)}{\sqrt{x^2 - 1}}$

Il y a une erreur dans l'énoncé. La dérivée correcte est $f'(x) = \frac{2x(\sqrt{x^2 - 1} - 1)}{\sqrt{x^2 - 1}}$.

Réponses:

• $f$ est continue sur $[1; +\infty[$ (justification ci-dessus)
• $f'(x) = \frac{2x(\sqrt{x^2 - 1} - 1)}{\sqrt{x^2 - 1}}$

Ассистент: Bien sûr ! Je peux vous envoyer les solutions sous forme de document. Cependant, je ne peux pas créer de fichier directement. Je peux vous fournir le contenu formaté que vous pourrez copier-coller dans un document texte (par exemple, un fichier Markdown ou un document Word). Voici le contenu :

# Devoir de Maison - 1er Semestre

## Exercice 1

Calcul des limites :

1.  $\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x^2 + 18} - 3}{x - 3} = \sqrt{3} - 1$
2.  $\lim_{x \to 3} \frac{(x - 2)^{2025} - 1}{x - 3} = 2025$
3.  $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{\sin x} = 0$
4.  $\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x + 5} - \sqrt{x - 1}}{\sqrt{x + 12} - \sqrt{x - 2}} = \frac{12 - 4\sqrt{3} + 3\sqrt{2} - \sqrt{6}}{14}$
5.  $\lim_{x \to 1} \frac{x^{2026} - 2026x + 2025}{(x - 1)^2} = 2051525$
6.  $\lim_{x \to +\infty} x + \sqrt{x + \sqrt{x}} - \sqrt{x} - \sqrt{x} = +\infty$
7.  $\lim_{x \to +\infty} \sqrt[3]{x^3 + 3} - \sqrt[3]{x^3 - 7x} = 0$
8.  $\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^2 - 3} - \sqrt{2x^2 - 4x} = -\infty$

## Exercice 2

Soit $h(x) = 2x^3 - x^2 - 4x + 6$

1.  L'équation $h(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha \in ]-\infty; -1[$ et $-2 < \alpha < -1$.
2.  Tableau des variations de $h(x)$:

| x        | $-\infty$ |         $-\frac{2}{3}$         |     1     | $+\infty$ |
| -------- | -------- | :--------------------------: | :-------: | -------- |
| $h'(x)$  |    +     |              0               |     -     |     +    |
| $h(x)$   | Croissant| $h(-\frac{2}{3}) = \frac{194}{27}$ | Décroissant | Croissant|

3.  Signe de $h(x)$: négatif sur $]-\infty; \alpha[$ et positif sur $]\alpha; +\infty[$.

## Exercice 3

Soit $f(x) = x^2 - 2\sqrt{x^2 - 1}$

1.  $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$
2.  $f$ est continue sur $[1; +\infty[$ (justification détaillée dans la réponse précédente)
3.  $f'(x) = \frac{2x(\sqrt{x^2 - 1} - 1)}{\sqrt{x^2 - 1}}$

Vous pouvez copier ce texte et le coller dans un éditeur de texte pour créer votre document.

Voulez-vous que je continue avec les exercices restants (5a, 5b, 5c, 5d de l'exercice 3) ?

Ассистент: Je comprends. Malheureusement, je ne peux pas directement créer de fichiers Word ou PDF. Cependant, je peux vous donner le contenu formaté de manière à ce que vous puissiez facilement le copier-coller dans un document Word, puis l'enregistrer au format PDF.

Voici le contenu que vous pouvez copier dans Word :

# Devoir de Maison - 1er Semestre

## Exercice 1

Calcul des limites :

1.  lim (x->3) (√(x^2 + 18) - 3) / (x - 3) = √3 - 1
2.  lim (x->3) ((x - 2)^2025 - 1) / (x - 3) = 2025
3.  lim (x->0) (1 - cos x) / sin x = 0
4.  lim (x->4) (√(x + 5) - √(x - 1)) / (√(x + 12) - √(x - 2)) = (12 - 4√3 + 3√2 - √6) / 14
5.  lim (x->1) (x^2026 - 2026x + 2025) / (x - 1)^2 = 2051525
6.  lim (x->+∞) x + √(x + √x) - √x - √x = +∞
7.  lim (x->+∞) ³√(x^3 + 3) - ³√(x^3 - 7x) = 0
8.  lim (x->+∞) √(x^2 - 3) - √(2x^2 - 4x) = -∞

## Exercice 2

Soit h(x) = 2x^3 - x^2 - 4x + 6

1.  L'équation h(x) = 0 admet une unique solution α ∈ ]-∞; -1[ et -2 < α < -1.
2.  Tableau des variations de h(x):

| x        | -∞       | -2/3     | 1       | +∞       |
| -------- | -------- | -------- | -------- | -------- |
| h'(x)    | +        | 0        | -        | +        |
| h(x)     | Croissant| 194/27   | Décroissant | Croissant|

3.  Signe de h(x): négatif sur ]-∞; α[ et positif sur ]α; +∞[.

## Exercice 3

Soit f(x) = x^2 - 2√(x^2 - 1)

1.  lim (x->+∞) f(x) = +∞
2.  f est continue sur [1; +∞[ (justification détaillée dans la réponse précédente)
3.  f'(x) = (2x(√(x^2 - 1) - 1)) / √(x^2 - 1)

Après avoir collé ce contenu dans Word, vous pouvez l'enregistrer au format PDF.

Souhaitez-vous que je continue avec les exercices restants (5a, 5b, 5c, 5d de l'exercice 3) ?