Ympyrä muodostaa kaksi pääasiallista kulmatyyppiä: keskuskulman, jonka kärki on ympyrän keskipisteessä, ja kehäkulman, jonka kärki on itse ympyrän kehällä. Niiden välinen yhteys on yksinkertainen: keskuskulma on yhtä suuri kuin sen vastaava kaari, ja kehäkulma on puolet tästä kaaresta. Tältä sivulta löydät määritelmät, kehäkulmalauseen seurauksineen, havainnolliset piirrokset, vaiheittaiset tehtäväratkaisut ja interaktiivisen harjoittelutyökalun, jolla voit testata osaamistasi.
Ympyrän kulmatyypit: keskuskulma ja kehäkulma
Kun piirrämme ympyrään kaksi janaa samasta pisteestä, muodostuu kulma. Riippuen siitä, missä kulman kärki sijaitsee, erotetaan kaksi päätyyppiä:
- Keskuskulma — kulma, jonka kärki on ympyrän keskipisteessä \(O\). Sen kyljet ovat säteitä.
- Kehäkulma — kulma, jonka kärki on ympyrän kehällä ja jonka kyljet leikkaavat ympyrän (eli ne ovat jänteitä).
Jokainen näistä kulmista vastaa tiettyä kaarta — ympyrän osaa, joka jää kulman sisäpuolelle. Juuri tämä kaari yhdistää keskuskulman ja kehäkulman: molemmat voidaan ilmaista kaaren asteluvun avulla.
Jos kulman kärki on ympyrän sisäpuolella (mutta ei keskipisteessä) tai ulkopuolella, kyseessä ei ole kehä- eikä keskuskulma: tällaisille kulmille on omat kaavansa, joista kerrotaan sivun lopussa.
∠AOC = kaari AC = 120°
∠ABC = ½ kaaresta AC = 60°
Kehäkulmalause ja kehäkulman suuruus
Keskuskulma on yhtä suuri kuin sen vastaava kaari — näin määritellään kaaren asteluku. Jos \(\angle AOC = 120°\), niin myös kaari \(AC\) on \(120°\).
Kehäkulmalause: kehäkulma on puolet siitä kaaresta, jota se vastaa:
Tästä seuraa tärkein yhteys kehä- ja keskuskulmien välillä: kehäkulma on puolet keskuskulmasta, joka vastaa samaa kaarta:
Kehäkulman suuruus ei riipu siitä, missä kohtaa ympyrän kehää kärki sijaitsee — vain vastaava kaari ratkaisee. Siksi alla oleva piirros kannattaa muistaa aihepiirin peruskuvana: vihreä kaari ja kaksi kulmaa, jotka katsovat sitä.
Kehä- ja keskuskulmat: ominaisuudet ja seuraukset
Kehäkulmalauseesta johdetaan suoraan ominaisuudet, joihin useimmat koulutehtävät perustuvat:
- Samaa kaarta vastaavat kehäkulmat ovat yhtä suuret. Jokainen niistä on puolet samasta kaaresta — joten ne ovat yhtä suuria riippumatta siitä, missä niiden kärjet sijaitsevat.
- Halkaisijaa vastaava kehäkulma on suora kulma. Halkaisija jakaa ympyrän kahteen puoliympyrään, jotka ovat \(180°\), joten tällainen kulma on \(180° : 2 = 90°\). Käänteinen pätee myös: jos kehäkulma on suora, se vastaa halkaisijaa.
- Kehäkulma voi olla tylppä. Jos kaari on yli \(180°\), kulma on yli \(90°\) — "puolet kaaresta" -kaava toimii poikkeuksetta.
Nämä ominaisuudet toimivat myös "käänteisesti": esimerkiksi kulmien yhtäsuuruuden perusteella voidaan todistaa, että neljä pistettä sijaitsevat samalla ympyrän kehällä.
Kehä- ja keskuskulmat: syklinen nelikulmio
Jos nelikulmion kaikki neljä kärkeä sijaitsevat ympyrän kehällä, sitä kutsutaan sykliseksi nelikulmioksi (ja ympyrää sen ympäri piirretyksi ympyräksi). Tällaisen nelikulmion kulmat ovat kehäkulmia, joten niihin pätee sama lause.
- Syklisen nelikulmion vastakkaisten kulmien summa on \(180°\). Kulmat \(A\) ja \(C\) vastaavat kahta kaarta, jotka yhdessä muodostavat koko ympyrän (\(360°\)), joten \(\angle A + \angle C = 360° : 2 = 180°\).
- Syklisen nelikulmion ulkokulma on yhtä suuri kuin vastakkaisen kärjen sisäkulma. Ulkokulma täydentää sisäkulman \(180°\):een — aivan kuten vastakkainenkin kulma.
- Kulmien summan ominaisuus on myös tunnusmerkki: jos nelikulmion vastakkaisten kulmien summa on \(180°\), sen ympäri voidaan piirtää ympyrä. Siksi jokainen suorakulmio on syklinen, mutta neljäkäs (paitsi neliö) ei ole.
Kehäkulmien ohella tehtävissä esiintyy myös tangenttikulmia — kulmia, jotka muodostuvat kahden tangentin välille, kun ne piirretään samasta ympyrän ulkopuolisesta pisteestä. Tangenttikulma on yhtä suuri kuin sen leikkaamien kaarien erotuksen puolikas.
Esimerkkejä kehä- ja keskuskulmatehtävien ratkaisemisesta
Esimerkki 1. Kehäkulman laskeminen kaaren avulla
Tehtävä. Kehäkulma \(ABC\) vastaa kaarta \(AC\), joka on \(120°\). Laske \(\angle ABC\).
Vaihe 1. Muistetaan lause: kehäkulma on puolet vastaavasta kaaresta.
Vaihe 2. Sijoitetaan arvot: \(\angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 120° = 60°\).
Vastaus: \(60°\).
Esimerkki 2. Keskuskulman laskeminen kehäkulman avulla
Tehtävä. Kehäkulma \(ABC\) on \(40°\). Laske keskuskulma \(AOC\), joka vastaa samaa kaarta \(AC\).
Vaihe 1. Keskuskulma on kaksi kertaa kehäkulman suuruinen: \(\angle AOC = 2 \cdot \angle ABC\).
Vaihe 2. Lasketaan: \(\angle AOC = 2 \cdot 40° = 80°\). Samalla saimme kaaren suuruuden: \(AC = 80°\).
Vastaus: \(80°\).
Esimerkki 3. Halkaisijaa vastaava kulma
Tehtävä. \(AC\) on ympyrän halkaisija, piste \(B\) on kehällä, \(\angle BAC = 35°\). Laske \(\angle BCA\).
Vaihe 1. Kulma \(ABC\) vastaa halkaisijaa \(AC\), joten \(\angle ABC = 90°\) — kolmio \(ABC\) on suorakulmainen.
Vaihe 2. Kolmion kulmien summa on \(180°\): \(\angle BCA = 180° - 90° - 35° = 55°\).
Vastaus: \(55°\).
Esimerkki 4. Syklinen nelikulmio
Tehtävä. Nelikulmio \(ABCD\) on syklinen, \(\angle A = 70°\), \(\angle B = 80°\). Laske kulmat \(C\) ja \(D\).
Vaihe 1. Syklisen nelikulmion vastakkaisten kulmien summa on \(180°\): \(\angle C = 180° - \angle A = 180° - 70° = 110°\).
Vaihe 2. Samoin \(\angle D = 180° - \angle B = 180° - 80° = 100°\).
Tarkistus. \(70° + 80° + 110° + 100° = 360°\) — nelikulmion kulmien summa täsmää.
Vastaus: \(\angle C = 110°\), \(\angle D = 100°\).
Yleisiä virheitä ympyrän kulmiin liittyvissä tehtävissä
-
Kehäkulma ja keskuskulma menevät sekaisin: keskipisteessä olevan kulman kohdalla otetaan puolet kaaresta (tai päinvastoin).
Katso ensin kärkeä. Kärki keskipisteessä \(O\) tarkoittaa keskuskulmaa, joka on yhtä suuri kuin koko kaari. Kärki kehällä tarkoittaa kehäkulmaa, joka on puolet kaaresta.
-
Valitaan väärä kaari: kehäkulman kohdalla lasketaan kaari, jolla kulman kärki sijaitsee.
Kehäkulma vastaa kaarta, joka jää kulman "sisään" — kärki on aina vastakkaisella kaarella. Merkinnässä \(\angle ABC\) kulma vastaa kaarta \(AC\), joka ei sisällä pistettä \(B\).
-
Kerrotaan tai jaetaan 2:lla "väärään suuntaan": kehäkulmasta keskuskulmaan siirryttäessä jaetaan eikä kerrota.
Muista: kehäkulma on "pieni" (puolet kaaresta), keskuskulma on "suuri" (koko kaari). Kehäkulmasta keskuskulmaan: kerro 2:lla, keskuskulmasta kehäkulmaan: jaa 2:lla.
-
Kaikkia kulmia, joiden kyljet leikkaavat ympyrän, pidetään kehäkulmina — esimerkiksi jänteiden välistä kulmaa ympyrän sisällä.
Kehäkulman kärjen on oltava itse ympyrän kehällä. Ympyrän sisällä olevan kulman suuruus on leikkaavien kaarien summan puolikas, ja ulkopuolella olevan erotuksen puolikas: nämä ovat eri kaavoja.
-
Syklisessä nelikulmiossa lasketaan vierekkäisten kulmien summa $180°$:een vastakkaisten sijaan.
Ominaisuus pätee vain vastakkaisille kärjille: \(\angle A + \angle C = 180°\) ja \(\angle B + \angle D = 180°\). Syklisen nelikulmion vierekkäiset kulmat voivat olla mitä tahansa.
Kysymyksiä ja vastauksia
Kuinka suuri on kehäkulma?
Kehäkulma on puolet vastaavasta kaaresta. Esimerkiksi jos kaari on 120°, kehäkulma on 60°. Tämä on kehäkulmalause, aiheen tärkein kaava.
Miten samaa kaarta vastaavat kehä- ja keskuskulmat liittyvät toisiinsa?
Keskuskulma on kaksi kertaa kehäkulman suuruinen: ∠AOC = 2·∠ABC. Keskuskulma on yhtä suuri kuin kaari itse, ja kehäkulma on puolet siitä.
Miksi halkaisijaa vastaava kehäkulma on 90°?
Halkaisija vastaa puoliympyrää eli 180° kaarta. Kehäkulma on puolet kaaresta: 180° : 2 = 90°. Siksi jokainen kolmio, jonka yhtenä sivuna on ympyrän halkaisija, on suorakulmainen.
Voiko kehäkulma olla tylppä?
Kyllä. Jos kulmaa vastaava kaari on yli 180°, kulma on tylppä: esimerkiksi 210° kaarta vastaa 105° kehäkulma. Kehäkulma on kuitenkin aina alle 180°.
Mikä on tangenttikulma ja miten se eroaa kehäkulmasta?
Tangenttikulma muodostuu kahden tangentin välille, jotka piirretään samasta ulkopuolisesta pisteestä. Sen kärki on ympyrän ulkopuolella, ja se on leikkaavien kaarien erotuksen puolikas. Kehäkulman kärki on ympyrän kehällä, ja se on puolet yhdestä kaaresta.
Mitä muita ympyrän kulmia on olemassa?
Keskus- ja kehäkulmien lisäksi tarkastellaan jänteiden välistä kulmaa (kärki ympyrän sisällä — kaarien summan puolikas), leikkaavien suorien välistä kulmaa (kaarien erotuksen puolikas) ja tangentin ja jänteen välistä kulmaa (puolet kaaresta). Kaikki nämä voidaan ilmaista ympyrän kaarien avulla.
